统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练-2025届高三数学二轮复习

统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 考点一 二项分布 1．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北·开学考试）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 5．（2025·河北石家庄·一模·多选）在重伯努利试俭中，每次试验事件发生的概率为，事件发生的次数超过一半的概率为，下列叙述中正确的是（    ） A．若为奇数时， B．若为偶数时， C．若为奇数时，随着的增大而增大 D．若为偶数时，随着的增大而增大 6．（2024·湖北荆州·模拟预测·多选）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 7．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 8．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.该质点位于4的概率为 ；在该质点有且仅有一次经过点1的条件下，共经过两次2的概率为 . 9．（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 10．（24-25高三上·天津和平·期末）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 11．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展项了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （i）为多少？ （ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率． (2)在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？ 12．（2025·陕西榆林·二模）如图，某兴趣小组在坐标纸网格中设计了一款跳棋游戏.规则如下：游戏参与者以为出发点，每掷一次均匀硬币，若掷出正面，则沿小正方形的对角线向右上方移动一格；若掷出反面，则沿小正方形的对角线向右下方移动一格. (1)求甲走完第3步后，到达点的概率； (2)若甲向右上方走一步得5分，向右下方走一步得0分，当他走完第4步后，得分为，求的分布列及数学期望； (3)甲和乙都从出发，走到点的位置，设走完第步后，甲位于点，乙位于点，其中且.若对任意且都有，则认为甲获胜，求甲获胜的概率. 13．（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 考点二 超几何分布 1．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）有20个零件，其中16个一等品，其余都是二等品，若从20个零件中任取3个，那么至多有一个是二等品的概率是（   ） A． B． C． D．以上均不对 3．（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（23-24高二下·安徽合肥·期末）现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）某一零件加工厂在最后包装的环节中，由于操作失误，在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件，则取到次品零件个数的期望为 ． 6．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）某校举行“书香读书节”读书征文活动，高一年级和高二年级合计上交了9篇文章．学校通过随机抽取4篇文章评估，若这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的概率为，则高一年级上交的文章有 篇． 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）学校图书阅览室订阅了不同的语文和数学杂志共7本，其中数学杂志不少于3本.一学生从中任意借阅2本杂志.若至多有1本语文杂志的概率为，则数学杂志有 本；若借阅的语文杂志数量的期望为，则数学杂志有 本． 8．（2025·河南·二模）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； (3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 9．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）某区月日至日的天气情况如图所示．如：日是晴天，最低温度是零下，最高温度是零下，当天温差（最高气温与最低气温的差）是． (1)从日至日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率； (2)从日至日中随机抽取两天，用表示一天温差不高于的天数，求的分布列及期望； (3)已知该区当月日的最低温度是零下．日至日温差的方差为，日至日温差的方差为，若，请直接写出日的最高温度．（结论不要求证明） 10．（24-25高二下·天津·阶段练习）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (2)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 考点三 正态分布 1．（24-25高三下·山西·开学考试）某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．324人 B．90人 C．130人 D．45人 2．（2025·浙江温州·二模）已知随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·江西鹰潭·一模）已知，随机变量，若，则的值为（   ） A．81 B．242 C．243 D．80 4．（2025·河北唐山·一模）随机变量．若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习·多选）已知随机变量，，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江·一模·多选）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（   ） A． B． C． D． 7．（2025·新疆·二模·多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（   ） A． B． C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 8．（24-25高三下·甘肃·开学考试·多选）已知随机变量 ，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为 . 10．（2025·河南·一模）统计学中通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：），某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16，他立即判断生产出现了异常，由此可知的最大值为 . 11．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为 ．【参考数据：；；】 12．（2025·山西·一模）某企业生产的一种零件，其质量指标介于的为优质品，该企业生产的这种零件质量指标服从正态分布，技术改造后生产的同种零件质量指标服从正态分布，那么，该企业生产的这种零件的优质品率约提高了 ． （若，则，，）． 13．（24-25高三下·上海·阶段练习）某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (2)复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，，. 14．（24-25高二下·辽宁·开学考试）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数招X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 15．（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 16．（2025·吉林长春·二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节． (1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率； (2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束． ①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求； ②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 考点一 二项分布 1．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 2．（2025·江西·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 3．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 4．（24-25高三上·湖北·开学考试）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 【答案】B 【详解】X服从二项分布，则， 最大即为满足， 解得， 又，故为整数时，结合题设要求，； 不为整数时N为小于，，故， 故选：B 5．（2025·河北石家庄·一模·多选）在重伯努利试俭中，每次试验事件发生的概率为，事件发生的次数超过一半的概率为，下列叙述中正确的是（    ） A．若为奇数时， B．若为偶数时， C．若为奇数时，随着的增大而增大 D．若为偶数时，随着的增大而增大 【答案】BD 【详解】当 时，二项分布对称，即：,. 对于选项 A： 由二项式系数的对称性可知：事件 发生的次数超过一半的概率 等于事件 发生的次数少于一半的概率. 因为 是奇数，所以事件 发生的次数恰好等于一半的概率为 0， 因此，，选项 A 错误； 对于选项 B：设 （ 为正整数），则成功次数超过一半的条件为 . 由于 ，二项分布对称，因此：， 此外， 为中间项的概率. 因此，总概率满足：， 由于 ，有：， 即：，由于 ， 因此：，因此，选项 B 是正确的； 对于选项C： 取，， 取， ， 当很小，比如时，很接近于4，于是， 所以， 故C是错误的； 对于选项D： 当 为偶数时，设 ，其中 为正整数， 事件 发生的次数超过一半意味着 ， 设. . 由于 ，且 ，我们有：. 由于 ，则：. 因此， 对于所有 成立. 由于 且 ，每一项的导数都是正的，因此 ， 即 随着 的增大而增大，故D正确. 故选：BD. 6．（2024·湖北荆州·模拟预测·多选）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，由对称性可知， ，， ，， 所以A，B正确, ， ，故C正确，D错误. 故选：ABC. 7．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 【答案】 或 【详解】抛一次骰子得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ， 则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 则得1分的次数为次时总分得n分的概率为，，若取最大，则 ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：①；②或. 8．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.该质点位于4的概率为 ；在该质点有且仅有一次经过点1的条件下，共经过两次2的概率为 . 【答案】 【详解】第一空，设质点向右移动的次数为，又质点每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，且每次移动是相互独立的，则服从二项分布，经分析质点位于4的位置，则右5次向左1次，则； 第二空，设事件“质点有且仅有一次经过1”，事件“共两次经过2”， “质点仅在第1秒位于1”；“质点仅在第3秒位于” 质点仅在第5秒位于1”， 则两两互斥，则， 仅在第一秒经过1，则质点的走法：RRRLR（第六步不受影响）；RRRR（第五六步不受影响）；RLLRL（第六步不受影响）；RLLL（第五六步不受影响），， 仅在第三秒经过1，则质点的走法：LRRLL（第六步不受影响）；LRRRR（第六步不受影响），仅在第五秒经过1，则质点的走法：LLRRR（第六步不受影响）； LRLRR（第六步不受影响）， 则，又三种情况下，有且仅有一次经过点1的条件下，共经过两次2的情况有：RRRLRR，RRRRLL，LRRRRL，则. 则. 故答案为：；. 9．（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 【答案】7 【详解】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 10．（24-25高三上·天津和平·期末）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 【答案】 【详解】①设事件表示使用已校正的气枪，事件表示射中10环， 则， 故任取一支气枪射中10环的概率是； ②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：. 故答案为：①；②. 11．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展项了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （i）为多少？ （ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率． (2)在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？ 【答案】(1)（i）0.4；（ii）0.352； (2)不存在. 【详解】（1）（i）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为0.4． （ii）法一：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则， 则郑钦文在决赛中获得冠军的概率，即． 法二：郑钦文最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1， 前者是前两局郑钦文连胜，后者是前两局郑钦文、维基奇各胜一局且第3局郑钦文胜． 因为每局比赛的结果是独立的，郑钦文最终获胜的概率为． （2）法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则， 那么获胜的概率为 同理：五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中， 那么获胜的概率为 综上，，化简得， 因为，所以，即， 在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率． 法二：三局两胜制中郑钦文最终获胜的概率， 五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率， 所以，化简得， 因为，所以，即， 在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率． 12．（2025·陕西榆林·二模）如图，某兴趣小组在坐标纸网格中设计了一款跳棋游戏.规则如下：游戏参与者以为出发点，每掷一次均匀硬币，若掷出正面，则沿小正方形的对角线向右上方移动一格；若掷出反面，则沿小正方形的对角线向右下方移动一格. (1)求甲走完第3步后，到达点的概率； (2)若甲向右上方走一步得5分，向右下方走一步得0分，当他走完第4步后，得分为，求的分布列及数学期望； (3)甲和乙都从出发，走到点的位置，设走完第步后，甲位于点，乙位于点，其中且.若对任意且都有，则认为甲获胜，求甲获胜的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3) 【详解】（1）根据题意，甲向上走了一步，向下走了两步，. （2）设甲向上走了步，可取0，1，2，3，4，则，， ， ， ，， . 则的分布列为： 0 5 10 15 20 所以. （3）解法1：甲一共需要走5步，其中向右下方走2步，向右上方走3步. 从5步中选2步是向右下方走的组合数为.同理，乙也有种走法； 游戏参与者在第，步向右下方走记为， ①，当甲为时，乙有1种情况：； 当甲为时，乙有2种情况:、； 当甲为时，乙有3种情况：、、； 当甲为时，乙有4种情况、、、； 共10种情况； ②，当甲为时，乙有3种情况：、、； 当甲为时，乙有5种情况：、、、、； 当甲为时，有7种情况：、、、、、、； 共15种情况； ③，当甲为时，乙有6种情况、、、、、； 当甲为时，乙有9种情况、、、、、、、、； 共15种情况； ④，甲只能为，乙有10种情况：、、、、、、、、、； 共10种情况， 总计50种情况. 所以甲获胜的概率为. 解法2：甲一共需要走5步，其中向右下方走2步，向右上方走3步. 从5步中选2步是向右下方走的组合数为.同理，乙也有种走法； 对任意，都有，可设甲在第，步向右下方走，则乙的走法有两种情况： 情况一：乙在第1步到第步中有两步向右下方行走，共种走法； 情况二：乙在第1步到第步中有一步向右下方行走，在第到第步中有一步向右下方行走，共种走法； 所以甲获胜时，甲与乙总的走法数为 ， 所以甲获胜的概率为. 13．（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)甲面试通过的可能性大 【详解】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； （2）由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 考点二 超几何分布 1．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）有20个零件，其中16个一等品，其余都是二等品，若从20个零件中任取3个，那么至多有一个是二等品的概率是（   ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】C 【详解】至多有一个是二等品即没有二等品或者只有一个二等品， 故概率为：. 故选：C 3．（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 4．（23-24高二下·安徽合肥·期末）现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设10名学生中有名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为， 由，得，化简得，解得， 即本次测试的不合格率为. 故选：C. 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）某一零件加工厂在最后包装的环节中，由于操作失误，在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件，则取到次品零件个数的期望为 ． 【答案】/ 【详解】由题意：设取到次品零件个数为，的可能取值为0，1，2， 且，，， 所以取到次品零件个数的期望为． 故答案为： 6．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）某校举行“书香读书节”读书征文活动，高一年级和高二年级合计上交了9篇文章．学校通过随机抽取4篇文章评估，若这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的概率为，则高一年级上交的文章有 篇． 【答案】5 【详解】设高一年级上交了篇文章，则高二年级上交了篇文章． 设“这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的”为事件， 则， 又，所以 故高一年级上交的文章有5篇． 故答案为：5 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）学校图书阅览室订阅了不同的语文和数学杂志共7本，其中数学杂志不少于3本.一学生从中任意借阅2本杂志.若至多有1本语文杂志的概率为，则数学杂志有 本；若借阅的语文杂志数量的期望为，则数学杂志有 本． 【答案】 5 4 【详解】设数学杂志有本，则借阅2本杂志，至多有1本语文杂志的概率为，解得； 设数学杂志有本，取得语文杂志的数量为，则取， 且，，， 所以，解得． 故答案为：5；4. 8．（2025·河南·二模）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； (3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)0.6 【详解】（1）根据频率之和等于1可得， ，解得. （2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. （3）由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于 由题可知，随机变量服从二项分布，所以, 所以所有可能的取值有0,1,2， 所以 , 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望为. 9．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）某区月日至日的天气情况如图所示．如：日是晴天，最低温度是零下，最高温度是零下，当天温差（最高气温与最低气温的差）是． (1)从日至日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率； (2)从日至日中随机抽取两天，用表示一天温差不高于的天数，求的分布列及期望； (3)已知该区当月日的最低温度是零下．日至日温差的方差为，日至日温差的方差为，若，请直接写出日的最高温度．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3) 【详解】（1）设“从日至日某天开始，这三天中至少有两天是晴天”为事件， 连续统计三天共有个基本事件，事件共有个基本事件，所以. （2）日至日中，温差不高于的共有天，则随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的期望为. （3）显然日至日温差为、、、，平均数为， 方差， 日至日温差为、、、，平均数为， 方差，整理得，解得， 而日的最低温度是零下，所以日的最高温度是. 10．（24-25高二下·天津·阶段练习）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (2)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）从个球中任取个球，总的基本事件个数为， 若取出的3个球得分之和恰为1分，包含的情况有两种： 红白，包含的基本事件个数为， 红黑，包含的基本事件个数为， 所以取出的3个球得分之和恰为1分的概率为； （2）由已知可得的可能取值为，，，， ，， ，， 的分布列为 . 考点三 正态分布 1．（24-25高三下·山西·开学考试）某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．324人 B．90人 C．130人 D．45人 【答案】C 【详解】由题意，，，则， 得分在区间内的学生大约有． 故选：C． 2．（2025·浙江温州·二模）已知随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由知，可知，故，故成立； 反之，若，则，故为充要条件， 故选：C. 3．（2025·江西鹰潭·一模）已知，随机变量，若，则的值为（   ） A．81 B．242 C．243 D．80 【答案】B 【详解】因为随机变量，则，， 因为， 则，， 所以，，解得， 令， 所以，， 故. 故选：B. 4．（2025·河北唐山·一模）随机变量．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为且， 所以， 根据正态分布曲线的对称性，可得， 所以. 故选：D 5．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习·多选）已知随机变量，，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由得，，，则，A正确； 对于B选项，由，得，， 由正态分布的对称性可知，B错误； 对于C选项，由得，，C正确； 对于D选项，由于X与Y均服从正态分布，且，， 所以X的正态曲线较“矮胖”，随机变量分布比较分散，Y的正态曲线较“高瘦”，随机变量分布比较集中，因此，D正确． 故选：ACD． 6．（2025·黑龙江·一模·多选）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，由，得， 则，A正确； 对于B，由A知，在区间的概率为，，， 因此，B正确； 对于C，由B知，，因此，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 7．（2025·新疆·二模·多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（   ） A． B． C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 【答案】BD 【详解】由题意：，. 对A：因为，，所以，故A错误； 对B：因为，，所以，故B正确； 对C：因为，，所以，所以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误； 对D：因为，，所以，所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确. 故选：BD 8．（24-25高三下·甘肃·开学考试·多选）已知随机变量 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意，得 ，而 ，故 A 错误; 对于B，又 ，则 ，而 ， 所以 ，故 B正确; 对于C， 因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线 对称， 所以 ，故 C 正确； 对于D，由对称性，得 ， 所以 ，故 D正确. 故选： BCD. 9．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】因为，且，则由对称性得， 又， 所以，故， 又因为， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 10．（2025·河南·一模）统计学中通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：），某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16，他立即判断生产出现了异常，由此可知的最大值为 . 【答案】2 【详解】解析由题可知，解得，故的最大值为2. 故答案为：2 11．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为 ．【参考数据：；；】 【答案】95.45%/0.9545 【详解】由题意可知，可设误差为，则服从正态分布， ， 故合格率约为95.45%． 故答案为：95.45% 12．（2025·山西·一模）某企业生产的一种零件，其质量指标介于的为优质品，该企业生产的这种零件质量指标服从正态分布，技术改造后生产的同种零件质量指标服从正态分布，那么，该企业生产的这种零件的优质品率约提高了 ． （若，则，，）． 【答案】 【详解】由题知技术改造前，该零件质量指标的均值为，标准差为，技术改造后该零件质量指标的均值为，标准差； 改造前，改造后. 所以优质品率提高了约． 故答案为： 13．（24-25高三下·上海·阶段练习）某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (2)复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，，. 【答案】(1)小明有资格参加复赛 (2)学生甲应先回答A类问题，理由见解析 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ， ，， . 所以，小明有资格参加复赛. （2）若学生甲先答A类问题，设他的得分为随机变量X，则X的可能取值有0，30，100， ，，， 所以，随机变量X的分布列为， 则. 若学生甲先答B类问题，设该同学的得分为随机变量Y，则Y的可能取值有0、70、100， ，，， 所以，随机变量Y的分布列为， 则， 所以，，因此，学生甲应先回答A类问题. 14．（24-25高二下·辽宁·开学考试）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数招X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)80，0.8185 (2)①，② 【详解】（1）， 因为，所以， 则 （2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件； “抽取的零件是乙机床生产”记为事件； “抽取的零件是次品”记为事件, 则,,,, 则， 15．（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为， 由题可知：，解得， 所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为： ． 所以，. （2）样本中质量指标值在和的芯片数量为， 所取样本的个数为件， 质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、， 所以，，， ，， 随机变量的分布列为： 所以的数学期望． （3）由（1）可知：，则，， 由题可知：． 所以：，即. 16．（2025·吉林长春·二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节． (1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率； (2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束． ①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求； ②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：，． 【答案】(1) (2)①；②50001元 【详解】（1）由题意知， 则． （2）①由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数小于等于4或获得分时掷骰子点数大于4，而掷骰子点数小于等于4的概率为，掷骰子点数大于4的概率为． ， 则， 故为等比数列. 由，，故首项为. 因此，……， 将所有等式相加得， 所以， 当时， 综上. ② 元． 即估计游戏奖励的预算资金为50001元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$