数列：裂项相消法、错位相减法 讲义-2026届高三数学二轮复习

数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 考点目录 裂项相消法 错位相减法 知识点解析 一、裂项相消法 核心原理 将数列的通项公式拆分为两个相邻项的差（裂项），求和时中间项相互抵消，仅剩余首尾有限项，简化计算。 解题思路（三步法) 1.定类型：判定数列为分式型（多 nn+k灯n+n+k(2n-1j2n+1等形式)： 2.精准裂项：按公式将通项a拆为an=k·(bn一bn+1)(k为常数，bn为相邻项结构)，高频裂项公式： 1-11 n(n+1)nn+1 1 111 (2n-1)(2n+1)22n-12n+1 1 ==Vn+i-Vn Vn+Vn+ 3.求和消项：写出前n项和S,的裂项形式，抵消中间重合项，合并剩余首尾项得结果。 关键：裂项后验证是否还原为原通项，避免系数错误：注意消项后剩余项的个数和符号。 二、错位相减法 核心原理 针对等差X等比型数列，通过“原式×等比公比”构造新数列，与原式作差后，转化为等比数列求和，简化 计算。 解题思路（四步法） 1.定类型：判定数列为Q,=等差项×等比项（记等差数列为cn},等比数列为dn},公比q≠1）： 2.写和设式：设前n项和Sn=a1+a2+a3+..+an; 3.乘比作差：两边同乘等比公比q,得qSn=a1q+a2q+..+an-1q+Qnq,将两式错位对齐后作差，即Sn一qSn: 4.化简求和：作差后中间项为等比数列，用等比数列求和公式计算，整理得S,(注意最后一项的符号和等比数列 的项数)。 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 关键：乘比后必须错位对齐（保证同类项相减）：公比q=1时直接用等差数列求和，无需错位相减；结果需整理 为最简形式（系数约分、括号展开）。 三、注意事项 1.裂项相消：复杂裂项（如含指数、对数）需紧扣“相邻项作差”核心，灵活变形： 2.错位相减：计算作差和等比求和时，注意项数计数和符号运算，易出错处需分步验算。 考点一 裂项相消法 【例题分析】 Sn+Sn1 例1.(2026-河北保定一模)已知数列{a,}的前n项和为S。,且a,=1,n+li=2· 0浅 6=(-1)2n+1 (2)若 a,a1,求数列b,的前n项和 例2.(2026重庆一模)已知数列a的前m项和为5，若-(n+15,=2+川，且4=2。 (1)证明：(n为等差数列，并求Sn. 1 ②洁，2过，数列b的前n项和，求证：了<2. 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 例3.(2026·陕西榆林模拟预测)已知等差数列a,的前n项和为S,且4，=9,5，=30， ①)求a,的通项公式： 1 (2)求数列Sn的前n项和： 1,1,1 11 十 十…十 (3)证明：SS,S,S,2. 【变式训练】 变式1，(25-26高二上浙江杭州期末)已知5为数列a,的前”项和，3S,=(m+2到a,4=1. (①求a,的通项公式： 「1 (2)设数列an的前n项的和为T,求Tn: 3 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 变式2。(25-26高二下四川凉山开学考试)已知等差数列a,中，4=2,4=5 )求数列a,的通项公式 ②记么=a,+2”,求数列6，的前n项和： 1 ③)定，aa,求证：数列c的前项和<1， 变式3.(2026辽宁抚顺一模)已知数列a,满足4=3,4，=8，且对任意的正整数”，当n≥2时，都有 0n+H+a-1=2an+2 )证明：数列a,-是等差数列： 2n+3 bn= (2)设a,a,求数列fb.}的前n项和Sn. 变式4.(2026河北张家口一模)已知数列a的前”项和为5，满足m,=S+3川m-,且4=1 ④)求数列S的通项公式： 1 (2)求数列anan+1的前n项和T,· 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 考点二 错位相减法 【例题分析】 例1.(2026-四川成都二模)已知正项数列a的前n项和为S,且4=1,2S,=a+a,neN )求数列a,的通项公式 (2)若b,=,+1 2”,求数列{b}的前n项和工· 例2.(2026广东一模)在数列0中，4=2,4=8，且对任意的n∈N,都有02=41一4a )证明：{a,2a,是等比数列，并求出a的通项公式 (2)求数列a。的前n项和。. 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 例3.(25-26高二上渐江杭州期未)已知数列a满足4=5，a,=5,a=4,+6a(n≥2到 1)求证：(a+2a是等比数列. 2记4，=a,-3,求数列b及a,的通项公式： 3设3”c=m3”-a,求+l6++e. 例4，(25-26高二下浙江温州月考》已知数列a,为等差数列，且4，=6，a=10,数列b,}满足46=1， 2bn1=b neN） )求数列a,和，的通项公式： Cn= (2)设”b,,求数列{cn的前n项和Tn. 6 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 【变式训练】 变式1.(2026安徽安庆一模)已知数列a,}的前n项和S, S-2+a.=- (neN), 数列b}满足 b=2"an (④)求证：数列，是等差数列，并求数列a,的通项公式 {Sn} (2)求数列 的前n项和。 变式2.(2026吉林通化模拟预测)已知等差数列a的前n项和为S,且S。=4S,a=24,+1. (1)求数列a 的通项公式： ) (2)数列b满足b-2 求数列{a,nbn}的前n项和Tn· > 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 变式3.(2026~山西晋中模拟预测)已知数列a,的前”项和为9，且25，-3a,=4n-3. 1)证明：a,一2是等比数列： 2设。=川a-2求数列b,的前”项和 1 2 3 s6商下河北保定开学已知数列4/调足34】，中6 (①求a的通项公式： (2)求a,的前n项和： 6求数列a3的前n项和. P数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 考点目录 裂项相消法 错位相减法 知识点解析 一、裂项相消法 核心原理 将数列的通项公式拆分为两个相邻项的差（裂项），求和时中间项相互抵消，仅剩余首尾有限项，简化计算。 解题思路（三步法） 1.定类型：判定数列为分式型（多为a、a++k、(2r2+可等形式)： 2.精准裂项：按公式将通项an拆为an=k·(bnb+）(k为常数，bn为相邻项结构)，高频裂项公式： 一 =贵点 1 mt=(点点)】 ae=vativa 3.求和消项：写出前项和Sn的裂项形式，抵消中间重合项，合并剩余首尾项得结果。 关键：裂项后验证是否还原为原通项，避免系数错误；注意消项后剩余项的个数和符号。 二、错位相减法 核心原理 针对等差×等比型数列，通过“原式×等比公比”构造新数列，与原式作差后，转化为等比数列求和，简化计 算。 解题思路（四步法） 1.定类型：判定数列为an=等差项×等比项（记等差数列为c,等比数列为dn,公比g≠1）： 2.写和设式：设前n项和Sn=a1十a2十a3十…十an: 3.乘比作差：两边同乘等比公比q,得qSn=a19+a29+…+an19+an9,将两式错位对齐后作差，即Sn-qSn ； 4.化简求和：作差后中间项为等比数列，用等比数列求和公式计算，整理得S。(注意最后一项的符号和等比数列 的项数)。 关键：乘比后必须错位对齐（保证同类项相减）；公比9=1时直接用等差数列求和，无需错位相减；结果需整理为 最简形式（系数约分、括号展开）。 三、注意事项 1.裂项相消：复杂裂项（如含指数、对数）需紧扣“相邻项作差”核心，灵活变形； 2. 错位相减：计算作差和等比求和时，注意项数计数和符号运算，易出错处需分步验算。 考点一 裂项相消法 【例题分析】 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 例1.(2026河北保定一模)已知数列{a,}的前n项和为S,且a=1, S1-S=1 n+1n2 (1)求S ②)若6，=(-1)2m+1 求数列{bn}的前n项和 anan 【答案】①S.=n+ 2 ②-1+1 n+1 【解10同为片子-方温8-1 可知数列 S 是以首项为三=1，公差为；的等差数列， n 1 则号=1+-小-"空所以3 2 2 (2)由(1)可知：S,=”+1 2 当≥2时，则a,=5.-5-+_n-l=n, 2 且a,=1符合上式，所以an=n, 可得6-小r2-旷0-r日 aan n(n+1) 设数列bn}的前n项和为Tn, -+r4r… n+1 所以数列6，)的前n项和为-1+一 n+1 例2.(2026重庆一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,若nSn1-(n+1)Sn=2(n2+n,且a,=2. (1)证明： 为等差数列，并求Sn· (2)若b. 2S,-1 数列。的前项和，求证：无<分 【答案】(1)证明见解析，Sn=2n (2)证明见解析 【详解】(1)nSm-(n+1S,=2r2+n→S-S=2, n+l n 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 所以数列) 是以9=马=2为首项，2为公差的等差数列， 11 所以S4=2+2(n-1)=2n→Sn=2n2; 1 1(11 (2)6-25.-14n-1（2n-1(2n+022n-12n+1J” 工-+6+-非g》+ -1+11+-1+… 例3.(2026陕西榆林·模拟预测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a=9,S4=30. (1)求{an}的通项公式： 1 (2)求数列 的前n项和； S 111 ，11 (3)证明： 十 十十 【答案】(1)an=3n 2n ②30n+1) (3)证明见解析 【详解】(1)设等差数列a,的公差为d,由题意可知 a1+2d=9, 4a+6d=30, 解得a1=3,d=3,故an=a1+(n-1)d=3n. a由sa-n,所以发中 2 数列 a为那日小 12 2 (3)由(2)知30+0京，其中1=4,8，，2， 刘非 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 1.11.141 当n=1时，。+3+992 一十 三一十 1,111,,11 综上所述， +…十 【变式训练】 变式1.(25-26高二上浙江杭州期末)已知Sn为数列an}的前项和，3Sn=(n+2)an,a,=1. (1)求{an}的通项公式： (2)设数列 的前n项的和为n,求T,. 【答案】(1)an= n(n+1) 2 (2)Tn=2- 2 n+1 【详解】(1)由已知3Sn=(n+2)an, 当n≥2时，3Sn1=（(n+1)an, 则3a。=3S。-3Sn1=(n+2)a。-(n+1a-1, 28·8 化简可得=n+1 等式左右分别相乘可得=”+1”.n-1…43 4n-1n-2n-…2即2-”+ a 2 又a,=1,所以an= n(n+1) 2 2 111 所以Tn=二+++…+ 11 2n+1 变式2.(25-26高二下·四川凉山开学考试)已知等差数列{an}中，42=2，a=5, (1)求数列{an}的通项公式： (2)记bn=an+2，求数列{b.}的前n项和Sn; 3)记c,=1 ,求证：数列cn}的前n项和Tn<1. arant 【答案】(1)an=n; 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 Q5-r++2-2: 2 (3)证明见解析 【详解】(1)已知等差数列{an},设首项为a,公差为d, 则0=g+d=2 (a,=a+4d=5’解得 a=1 d=1’ .an=1+n-l×1=n. (2)an=n, bn=n+2", Sn=1+2）+(2+22)+(3+2）+…+(n+2”） =(1+2+3+…+n)+2+22+23+…+2"） =n1+m21-2） 2 1-2 1 E5n2+n+21-2 (3)c,=1=1=11 anan n(n+l nn+1' 日目》日 .nEN', Tn=1- <1 n+1 变式3.(2026辽宁抚顺一模)己知数列{an}满足a,=3,a2=8,且对任意的正整数n,当n≥2时，都有 0m+1+an-1=2an+2. (1)证明：数列{a,-n2}是等差数列： (2)设6，=2n+3 求数列bn}的前n项和Sn. aant 【答案】(1)证明见解析 n(n+4) (2)Sn= 3(n+1)(n+3 【详解】(1)根据题意，令cn=a。-n2, 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 当n22时，c1-cn=a41-(n+12-(a,-n2）=a1-a,-2n-1=a,-a1-2n+1, c,-c-1=a,-m2-(a1-(n-l1）=a,-a-2n+1, 所以C+1-Cn=Cn-Cn-1, 且c,=a1-1=2,c3=a2-22=4,则c2-G=2, 所以数列{an-n}是首项为2，公差为2的等差数列； (2)根据(1)可得a,-m2=2+2(n-1,所以an=n2+2n, 则6-2+3 2n+3 1 1 a.a(n2+2njn+1)2+2(n+1）n2+2n(n+12+2(n+1)' 所x-g44r[g16,66s2a2 1 1 nn+4) 3(n+12+2n+13(n+1)(n+3) 变式4.(2026河北张家口一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足na,=S,+3nn-1),且a,=1. (1)求数列Sn}的通项公式； (2)求数列 1 的前n项和T. anan 【答案】(1)Sn=3n2-2n ②T. n 6n+1 【详解】(1)由na。=S,+3n(n-1得， 当n≥2时，n(S。-Sn-）=Sn+3n(n-1, (n-1)S,-nS-=3n(n-1), 即S_S=3 n n-1 所以数列S是首项为S=凸=1，公差为3的等差数列 n 11 所以八=1+n-)×3,故S,=3n2-2n 0 (2)由(1)知Sn=3n2-2n=n(3n-2),所以nan=n(3n-2)+3n(n-. 6 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 因为n>0,所以an=3n-2+3n-1)=6n-5 1 1 1 又 1「111 ,a1(6m-5[6(n+1)-5(6n-5j(6n+16l6m-56m+i 所以元-0-》行…+(oa】 eo 所以数列 1 aa 的前项和工=” 6n+1 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 考点二 错位相减法 【例题分析】 例1.(2026四川成都二模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a=1,2S。=a+a,n∈N (I)求数列{an}的通项公式： 巴老么=品，求数列6的前n度和工 【答案】(1)an=n (2)7,=3-n+3 2” 【详解】(1)由2Sn=a+a,neN,当n22时，2S-1=a-,+a, 则2Sn-2Sn=(a+a）-(a+a),即2an=a+a,-a元-a-, 所以a-a=an+a-1,即an+am-i(a,-am-=a,+a-, 由数列an}为正项数列，所以an+a-1>0,从而有an-a-1=1,n≥2， 所以数列{an}是以a,=1为首项，1为公差的等差数列， 所以a。=1+(n-l)×1=n,neN. 2=2空，所以，=6+6+6+…+6， (2)由(1)知b,=0+1_n+1 从而就女号空a训” 2” 17+++1*4 n+1_3n+3 2 1 2 所以7=3-n+3 2” 例2.(2026广东一模)在数列{an}中，a1=2,a2=8,且对任意的n∈N,都有an2=4am+1-4an· (I)证明：{a+1-2a}是等比数列，并求出{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn. 6 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 【答案】(1)证明见解析，an=n2” (2)Sn=(n-1·2m1+2 【详解】(1)因为a,=2,a2=8,所以a2-2a1=8-2×2=4. 因为an+2=4a+1-4an,所以an+2-2am+1=2(am+1-2an), 又a,-2a=4+0,则有a1-2a,+01eN.小，所以82-20山=2， an+-2a 所以{a1-2an}是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以“-24，=4×2=2”，所以号器受=1， 又“=1，所以号是以1为首项，1为公差的等差数列， 2 2 所以C=1+(n-lx1=n,所以a.=n2”. (2)设S。=12+2·22+323++n…2", 则2Sn=122+223+…+(n-12”+n2+1, 两式相减符-又-2+242-a22气-2-1-2-2 则Sn=(n-1·2+2 例3.(25-26高二上浙江杭州期末)己知数列an}满足a1=5,a2=5,a+1=an+6a-1n≥2). (I)求证：{a1+2an}是等比数列. (2)记b,=an-3”，求数列{b}及{an}的通项公式： (3)设3”cn=n(3”-a),求c+c+…+c.. 【答案】(1)证明见解析 (2)an=3”-(-2)”;bn=-(-2)” 6-9+ 【详解】(1)因为a+1=an+6ann≥2)，所以a+1+2an=3an+2a,-(n≥2)， 因为a1=5,a2=5,所以a2+2a1=15, 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 由以上递推关系可知，a+2a,≠0，则+2=3n≥2， a +2an 故{a1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列； (2)由(1)可知，a+1+2an=15×3"-=5x3”, 因为bn=an-3”,所以an=bn+3”,则bn1+3m1+2(bn+3）=5×3”, 即bn1=-2bn, 3=2,所以由以上递推关系可知，6+0，型 则数列{b}是以2为首项，-2为公比的等比数列， 则b.=2×-2=-(-2)”,a.=3”-(-2)°； 8》由2)可，c=a-a=a-2,则=则c= 设5=k-k++k小.则3=+2++ 导-眉+2+) 2-3+”, 则+…+=8=6-+n周 例4.(25-26高二下·浙江温州月考)己知数列an}为等差数列，且a2=6,a4=10,数列{bn}满足a,b2=1, 2b+1=bnn∈N）. (I)求数列{an}和{b.}的通项公式： @设c=会，求数列e的前碳和 【答案】064=2n+2 10