不等式与基本不等式 热点考点预测练-2026届高考数学三轮冲刺

不等式与基本不等式 热点考点预测练 2026届高中数学高考复习备考 一、单选题 1．若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（   ） A．2 B． C．6 D． 4．若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．已知，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，实数，满足，则（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 三、填空题 10．已知，若，，且，则实数c的取值范围是______． 11．不等式的解集为______. 12．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 13．已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是___________. 14．若直线平分圆的周长，则的最小值为_____. 四、解答题 15．设. (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 16．已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 17．已知函数. (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若在区间上恒成立，求实数的范围. 18．已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的图象． (1)求函数的解析式，并求函数的值域； (2)设，解关于的不等式：． 19．已知抛物线，过的焦点作直线交于两点，直线（为的顶点）交的准线于点. (1)求证：； (2)求的最小值. 参考答案 1．D 根据不等式的性质判断A、C、D，作差判断B. 因为，所以，因为，所以，A错误； ，因为，所以，则，，B错误； 因为，所以，C错误； 因为且，所以，则，即，所以，D正确. 故选：D 2．B 利用指数函数单调性解不等式，再解分式不等式，最后求交集即可. 由题意知，， 因为解分式不等式可得， 所以，即. 故选：B 3．C 将目标式化为，利用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件. 由，则、， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 故选：C 4．C 分离参数，结合基本不等式求的取值范围. 因为不等式，当时恒成立， 所以. 当时，， 当且仅当时取等号. 所以. 故选：C 5．C 先将已知等式进行变形得到，然后将目标式变形为，然后根据基本不等式的性质进行求解即可. 因为，所以，所以. 那么. 因为，所以. 所以根据基本不等式的性质得， 当且仅当，即时等号成立. 此时取最小值为1. 故选：C. 6．C 得到，，，求出，令，则，故，令，求导，得到函数单调性，从而求出的取值范围为. 当时，，此时，不合要求，舍去； 当时，，即，不合要求，舍去； 故，， ，解得， 又，故， 又， 令，则， 故， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，当从负数一侧趋向于0时，趋向于， 所以的取值范围为. 故选：C 7．ACD 根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项. 对于A，由题可知不等式有意义须需，则， 则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，当，即，时，有，故不等式不一定成立，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由题意知,，故, 故不等式成立，D正确． 故选：ACD 8．BD 根据分式不等式以及高次不等式的解法结合解集的端点特征分析求解即可. 对于关于x的不等式，显然且， 此时，可得， 则原不等式等价于， 因为不等式的解集为， 根据解集的端点个数可知，且，故D正确； 可知的解集为， 令，解得或， 若，则，且，可得，则， 可知，，为不等式的解集端点， 且，可以取到，不可以取到， 则，解得，故AC错误，B正确. 故选：BD. 9．ACD 根据绝对值的性质、对数函数的图象与可得，，；结合不等式的性质与基本不等式即可判断. 依题意，当时，；当时，； 当时，；当时，； 因为实数，且，所以；所以，故A正确； 由，得，即， 即，即，所以；同理； 所以，故D正确； 因为，当且仅当， 即，时等号成立，但此时不满足，所以等号不成立，故B错误； 因为，当且仅当， 即，时等号成立，故C正确. 故选：ACD. 10． 由题意得，，在平面直角坐标系aOb中作出可行域，得，由得，即求解即可. 因为，， 故，， 在平面直角坐标系aOb中作出可行域，    由，可得，即 ． 由得，， 解得． 故答案为：. 11．或 将已知分式不等式化为，然后利用一元二次不等式的解法求解即可. 等价于，即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 故答案为：或 12． 使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 13． 构造函数，利用导数结合已知条件可得的单调性，由，不等式等价于，由的单调性即可求得解集A，再分别求得，的值域，由已知可得函数的值域是函数的值域的子集，从而可求得实数a的取值范围. 解：构造函数， 所以， 因为定义在上的函数满足， 所以，所以在上单调递增，且， 所以不等式可化为，即， 所以， 所以的解集， 函数，当且仅当，或时等号成立，在A上仅当时等号成立， 所以在A上的值域为， 为增函数， 所以在A上的值域为， 若，使得， 则， 所以，又因为 即实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．4 直线平分圆的周长，即过圆心，可得a、b的关系，然后利用基本不等式可解. 圆即圆，则圆心为， 由题知直线过圆心，所以有， 所以， 当，即时，等号成立. 故答案为：. 15．(1) (2)答案见解析 （1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. （1）不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 16．(1) (2) (3)答案见解析 （1）根据幂函数的定义以及偶函数性质分析求解即可； （2）转化问题解不等式，进而求解即可； （3）整理可得，分类讨论，结合含参一元二次不等式运算求解即可. （1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为奇函数，舍去； 当时，为偶函数，符合题意. 综上所述，. （2）因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且为偶函数， 则，等价于， 则，整理得，解得或， 所以的取值范围为． （3）由， 则，即， 当时，不等式为，则不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 17．(1) (2)答案见解析 (3). （1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）对分类讨论求解即可； （3）分离参数后得，即可得解. （1）当时，， 则，所以. 即不等式的解集为. （2）因为. 所以①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （3）由在区间上恒成立得在区间上恒成立 等价于在区间上恒成立. 因为，所以 则在区间上恒成立. 即，所以的取值范围是. 18．(1)，． (2)答案见解析. （1）根据幂函数定义求，由偶函数确定；根据平移求，利用的单调性和值域求值域. （2）因式分解，讨论求解不等式. （1）因为是上的幂函数， 所以，解得或， 又是偶函数，所以， 所以， 所以， 因为的值域为， 函数在上单调递增， 所以的值域为． （2）由（1）可知，且， 即， 可化为， 若，则解得或； 若，解得； 若，解得或； 综上，若，则不等式的解集为； 若，则不等式解集为； 若，则不等式的解集为． 19．(1)证明见解析 (2)9 （1）设由直线过点得到，再求出，因此 BP方程为，所以. （2）令,求出，再利用基本不等式求解即可. （1）抛物线的焦点为 ，准线 ，顶点 设 因为直线过点； 所以，即 即， 因为，所以； 直线 AO 的方程为，代入准线，得； 因为，所以，所以， 所以点与的纵坐标相同， 因此 BP方程为，与准线垂直， 所以. （2）令，则，则； 所以 所以； 当且仅当时取等，有最小值9. 学科网（北京）股份有限公司 $