精品解析：浙江省台州市书生中学2021-2022学年八年级下学期寒假作业检查（开学考）数学试题

2021学年第二学期八年级起始考（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 扩大9倍 5. 已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则=（　　） A. ﹣5 B. 5 C. ﹣ D. 6. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则等于（ ） A. 1 B. 5 C. D. 8. 如图，等腰底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、于点、，若点是边的中点，为线段上一动点，周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，则的度数为（ ）． A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 10. 已知等边的边长为，是边上的动点，过作于点，过作于点，过作于点．当与重合时，的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式有意义的条件是____________ 12. 已知3m=6，3n=2，则32m+n值为______________． 13. 若a＋b＝8，ab＝15，则a2＋ab＋b2＝________． 14. 已知关于x的分式方程无解，则k的值为________. 15. 若，则的值为______． 16. 如图，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，点在上，连接BE，∠BEC＝2∠ADB，于点，且EF＝BC，若CD＝5，则BE的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，第17-19题每题6分，第20-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 在的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点的坐标分别是． （1）请图1中添加一个格点，使得是轴对称图形，且对称轴经过点． （2）请图2中添加一个格点，使得也轴对称图形，且对称轴经过点． 20. 中，是它的角平分线，D是的中点，，，垂足分别为E、F．求证：． 21. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元． （1）求：甲、乙玩具进货单价各是多少元？ （2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？ 22. 先阅读，再解答 由=2可以看出，两个含有二次根式代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是　　； （2）化去式子分母中的根号：=　　，=　　； （3）比较与的大小，并说明理由． 23. 阅读材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，＝1成立，我们称(2，2)是使＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题： （1）数对(，4)，(1，1)中，使＝1成立的“神奇数对”是　 　； （2）若(5﹣t，5+t)是使＝1成立的“神奇数对”，求t的值； （3）若(m，n)是使＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值． 24. 已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，． （1）如图，若，，求的度数． （2）如图，求证：． （3）如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021学年第二学期八年级起始考（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，就是最简二次根式，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、时，，不是最简二次根式； D、的被开方数含分母，不是最简二次根式. 2. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理，验证两条较短边的和大于最长边，即可确定能否构成三角形． 【详解】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，对各选项逐一验证： ∵ A选项中，，不满足三边关系，∴不能构成三角形． ∵ B选项中，，满足三边关系，∴可以构成三角形． ∵ C选项中，，不满足三边关系，∴不能构成三角形． ∵ D选项中，，不满足三边关系，∴不能构成三角形． 综上，可能是一个三角形的边长的是B项． 3. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题用科学记数法的知识即可解答． 【详解】解：． 故选C． 【点睛】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好． 4. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 扩大9倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据x、y的值同时扩大3倍后求出分式的值，和原来比较求出结果． 【详解】∵中的x、y的值同时扩大3倍， ∴， 所以分式的值扩大3倍． 故选：A． 【点睛】考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 5. 已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则=（　　） A. ﹣5 B. 5 C. ﹣ D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据关于y轴对称的两个点的坐标的特征求得a、b的值，再代值计算即可. 【详解】∵点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称， ∴a=2，b=3， ∴. 故选C. 【点睛】知道“若点P（a，b）和点Q（m，n）关于y轴对称，则a+m=0，b=n.”是解答本题的关键. 6. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：a＜﹣1＜b＜﹣a， ∴a+b＜0， ∴原式＝|a|﹣（a+b） ＝﹣a﹣a﹣b ＝﹣2a﹣b， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型． 7. 若，则等于（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：x＝2， 故y＝-3， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键． 8. 如图，等腰底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、于点、，若点是边的中点，为线段上一动点，周长的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质并结合三角形面积公式计算得出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵垂直平分， ∴， ∵等腰底边长为，点是边的中点， ∴，， ∵等腰面积是， ∴， ∴， ∵周长， ∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为． 9. 如图，在中，，，，则的度数为（ ）． A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据等边对等角，可得，根据三角形外角性质可得，进而求得，即可求得的度数． 【详解】解：设， ， 又 故选D 【点睛】本题考查了三角形内角和定理与三角形的外角性质，等边对等角，掌握角度计算，设出参数是解题的关键． 10. 已知等边的边长为，是边上的动点，过作于点，过作于点，过作于点．当与重合时，的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用等边三角形各内角为，结合含角的直角三角形的性质，将相关线段用含x的代数式表示，再根据总长列一元一次方程求解． 【详解】解：设， 是边长为12等边三角形， 、， 、、、且与重合， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 解得， 即． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式有意义的条件是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出3x-1≥0，求出即可． 【详解】∵要使有意义，必须3x-1≥0， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使有意义，必须a≥0． 12. 已知3m=6，3n=2，则32m+n的值为______________． 【答案】72 【解析】 【分析】逆用幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：72． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 13. 若a＋b＝8，ab＝15，则a2＋ab＋b2＝________． 【答案】49 【解析】 【分析】首先配方得出a2+ab+b2=（a+b）2-ab进而得出答案． 【详解】解：∵a+b=8，ab=15， 则a2+ab+b2=（a+b）2-ab=82-15=49． 故答案为49． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，正确配方是解题关键． 14. 已知关于x的分式方程无解，则k的值为________. 【答案】0或 【解析】 【分析】根据分式方程无解,可得分式方程的增根是整式方程的解,根据方程的解满足方程,可得关于k的方程,根据解方程,可得答案 【详解】两边都乘以x(x+1),得x=3k(x+1) 分式方程的增根是-1. 将x=-1代入x=3k(x+1),得-1=3k(-1+1) 解得k=0或k= 故答案为: k=0或k= 【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用分式方程无解 15. 若，则的值为______． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可． 【详解】解：由题意得a-2022≥0， ∴a≥2022， ∴|2021-a|= a-2021． ∵， ∴， ， ， 即=2022． 故答案为2022． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键． 16. 如图，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，点在上，连接BE，∠BEC＝2∠ADB，于点，且EF＝BC，若CD＝5，则BE的长为_____． 【答案】##7.5 【解析】 【分析】在BC上取CG=CF，连接AG，可证得△ACG≌△BAE，得BE=AG，∠AEB=∠CGA，即有∠BEC=∠AGB，再由可得AG=DG，在Rt△DCF中，可求得CD、CF的长，从而求得DG的长，即BE的长． 【详解】在BC上取CG=CF，连接AG ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC，∠BAE=∠ACG=60° ∵EF=BC ∴EF=AC 即AE+EC=EC+CF ∴AE=CF ∴AE=CG 在△ACG和△BAE中 ∴△ACG≌△BAE（SAS） ∴BE=AG，∠AEB=∠CGA 即∠BEC=∠AGB ∵，∠AGB=∠ADB+∠DAG ∴∠ADB=∠DAG ∴AP=DG ∵∠DCF=∠ACG=60°， ∴∠CDF=30° ∴在Rt△DCF中，CF= ∴CP=2.5 ∴BE=DG=CD+CG=5+2.5=7.5 故答案为：7.5 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，作辅助线得到两个全等三角形是解题的关键及难点． 三、解答题（本大题共8小题，第17-19题每题6分，第20-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）各加数化为最简二次根式后再进行二次根式的加减； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：（1）， （2） ， 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减乘除运算法则． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】ab，1 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a，b的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ； 当，时，原式= 【点睛】本题考查分式的化简求值、分式的混合运算，需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 19. 在的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点的坐标分别是． （1）请图1中添加一个格点，使得是轴对称图形，且对称轴经过点． （2）请图2中添加一个格点，使得也是轴对称图形，且对称轴经过点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的相关概念，由题意以y轴为对称轴进行作图即可得解； （2）根据轴对称的相关概念，由题意以y=x轴为对称轴进行作图即可得解. 【详解】（1）如下图： 则点即为所求； （2）如下图： 则点D即所求． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中轴对称图形的作图，熟练掌握掌握轴对称的作图方法是解决本题的关键. 20. 中，是它的角平分线，D是的中点，，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元． （1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？ （2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？ 【答案】（1）甲6元，乙5元；（2）112件 【解析】 【分析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为元，根据结合“用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元． （2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件， 根据题意得：， 解得：， ∵y为整数， 答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 先阅读，再解答 由=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是　　； （2）化去式子分母中的根号：=　　，=　　； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）＜． 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义求解； （2）利用分母有理化计算； （3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到，然后进行大小比较． 【详解】（1）1的有理化因式是1； （2）：； （3）．理由如下： ∵，∴，∴． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 23. 阅读材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，＝1成立，我们称(2，2)是使＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题： （1）数对(，4)，(1，1)中，使＝1成立的“神奇数对”是　 　； （2）若(5﹣t，5+t)是使＝1成立的“神奇数对”，求t的值； （3）若(m，n)是使＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值． 【答案】（1）(，4)；（2）±；（3）﹣36 【解析】 【分析】（1）按照题中定义将数对（，4），（1，1）分别验算即可； （2）根据题意得关于t 的分式方程，解方程即可； （3）根据已知条件，先将m和n用含a，b，c的式子表示出来，再根据题意得出关于m和n的等式，然后可得关于a，b，c的等式，从而可对所给的代数式配方，求得最值． 【详解】解：（1）∵+＝+＝1 ∴（，4）是使＝1成立的“神奇数对”． ∵+＝2≠1 ∴（1，1）不是使＝1成立的“神奇数对”． 故答案为：（，4）； （2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇数对”， 则：+＝1 ∴5+t+5﹣t＝25﹣t2 ∴t＝± 经检验，t＝±是原方程的解 ∴t的值为±； （3）∵a＝b+m，b＝c+n ∴m＝a﹣b，n＝b﹣c 由题意得：+＝1 +＝1 ∴b﹣c+a﹣b＝（a﹣b）（b﹣c） ∴a﹣c＝（a﹣b）（b﹣c） ∴（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c） ＝（a﹣c）2﹣12（a﹣c） ＝（a﹣c﹣6）2﹣36 ∵（a﹣c﹣6）2≥0 ∴（a﹣c﹣6）2﹣36≥﹣36 ∴代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值为﹣36． 【点睛】本题考查了分式方程在新定义习题和整式的化简求值中的应用，解题的关键是正确按照定义列式求解． 24. 已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，． （1）如图，若，，求的度数． （2）如图，求证：． （3）如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出，，再根据构建方程即可解决问题； （2）延长至H，使，连接，想办法证明即可解决问题； （3）结论：．想办法证明，推出，再证明即可． 【小问1详解】 解：， ． ． ， ． ． ， ． ． ． 【小问2详解】 证明：如图，延长至点H，使，连接． 是的中线， ． 在和中 ，． ． ． ， ． ， ． 在和中 ． ． ， ； 【小问3详解】 解：结论：． 理由：由（2）得，，又点G中点， ． 由（2）， ． 在和中， ． ，． ∵， 是等边三角形，，． ． ． 在和中， ． ． ， ． 在四边形中，． ． ． ． ． ． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $