第15题B版 数列综合分类训练-2026届高考数学三轮冲刺

2026年新高考第15题B版分类训练 数列综合 考点 3年考题 考情分析 数列综合 2025年新高考Ⅱ卷第16题 2024年新高考Ⅰ卷第19题 2024年新高考Ⅱ卷第19题 2023年新高考Ⅰ卷第20题 2023年新高考Ⅱ卷第18题 数列大题整体难度适中，但常与其他知识点综合考查，一旦融入复杂计算，难度会显著提升。纵观近3年新高考数学试题，数列核心考查内容集中在：等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和公式、数列求和方法、最值问题及相关证明等，是高考冲刺阶段的重点复习模块。 据此可预测，2026 年新高考数列命题方向仍将围绕等差、等比数列的通项与前 n 项和、数列求和、不等式证明、最值问题展开，延续核心考点与综合考查思路。 1.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【解析】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 2．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【解析】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 3.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意的正整数，. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）根据等比数列的定义即可验证结论； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可. 【解析】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 4.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第20题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【解析】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 5.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【解析】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 1.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.数列的通项an与前n项和Sn的关系 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 4.累加法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项. 5.累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项. 6.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5），设，易得， 于是 积累裂项模型4：对数型 7.分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 8.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 9.倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 10.构造法求数列的通项的几种类型． ①形如，则构造进行求解. ②形如，则构造进行求解. ③形如则构造进行求解. ④形如(），则构造进行求解. ⑤形如,则构造， 若，则数列成等差数列；若，则再利用类型（1）进行构造. ⑥形如，则构造进行求解. 等差数列 1.（湖南怀化市2026届高三下学期第一次模拟考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得： ， 由得： ， 联立解得：，， 则由等差数列前项和公式可得 ； （2）由，，可得等差数列的通项公式为：， 则，即数列的前项积为： ， 因此： ， 令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： , 即的最小值为. 2.（湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研）在数列中，，，，且是等差数列. (1)求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. （2）由（1）知，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为，则，则，得证. 3.（安徽江南十校2026届高三3月联考）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立， 必有， 所以，解得 所以 即数列的通项公式为. （2） . 4.（福建省福州市2026届高三三月质量检测）记为等差数列的前n项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)设函数，记，求数列的前21项和. 【答案】(1) (2)21 【解析】（1）设等差数列的公差为，则 解得所以. . （2）因为， 所以， 所以 . 5.（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考）已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)若，且的前n项和为，求证：（）． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）在等差数列中，由，得，解得， 由，，成等比数列，得，即，又， 解得，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，，即数列为等差数列， ，当时，， 所以. 6.（杭州学军中学高三上学期期末）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 等差数列构造问题 1.（重庆市名校联盟2026届高三下学期第一次联考）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求． (2)若，数列的前项和，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【解析】（1）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以； （2）， ． 2.（九江市2026届第一次高考模拟统一考试）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【解析】（1）已知， 所以， 所以， 两边同除以，得， 因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，所以， 当时，， 时，也满足， 因为，所以，解得， 又，所以的最大值为. 3.（湖北省云学联盟2026届高三上学期期末联考）已知数列 中， ， ， . (1)证明数列 是等差数列，并求 的通项公式: (2)设 ，求 的前 项和 . 【答案】(1) 证明见解析 ， (2) 【解析】(1)证明:当 时， ， 所以 , 又 ，所以 ， 故 是以 2 为首项,3 为公差的等差数列, (5 分) 故 ,所以, (2)解:由题意 ， ① 则 , 1- ②得: 故 4.（2026届江苏省G4联考12月）数列中，，，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求. 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【解析】（1）对任意的，， 等式两边同时除以得，即， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，所以， 因为，则， 对任意的，， 所以. 等比数列 1.（江苏省镇江市2026届高三第一学期零模）已知等比数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)或 (2)-3527 【解析】（1）设公比为，则由和可得， 即，解得或， 或 （2）①当时，，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， ②当时，， ①， 所以②， 由①-②得 ， 2.（江西省部分学校2025-2026学年高三上学期1月测试）已知等比数列满足，且是与的等差中项． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设等比数列的公比为q（)， 因为是与的等差中项， 所以，所以，因为，所以， 所以的通项公式为． （2）由（1）可得， 则，① ，② ①②得 ． 则． 3.（广东省东莞市2025-2026学年上学期期末检测）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】（1）证明：设数列的公差为， 所以①， ②， 由①得， 代入②得，所以原结论得证． （2）由（1）知，， 所以， ， 所以， 所以原式等价于 因为，所以，即， 解得，所以满足等式的解，共6个， 故集合中元素个数为6． 等比数列的构造问题 1.（江西省部分省示范高中2025-2026学年高三一轮复习摸底监测数）已知数列中，． （1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】（1）由，可得， 所以数列是首项和公比均为5的等比数列， 所以，即． （2）因为， 所以 ． an与前n项和Sn的关系 1.（安徽省黄山市2026届高三第一次质量检测）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，，因为正项数列，所以， 由，得， 两式相减得，即， 因为，所以， 故是一个以1为公差的等差数列， 即． （2）由题意，则， 所以， 即． 2.（湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测）记数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【解析】（1）当时，，得， 当时，，得，整理得， 所以从开始成公比为3的等比数列，则. 综上，； （2）由（1）得， 当时，， 当时，， 则， 两式相减，得， 所以也满足该式 3.（浙江省强基联盟2026年1月高三联考）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，所以当时，，解得， 当时，，与相减得， 即时，，所以， 所以是首项和公比均为2的等比数列，所以，即， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以——①， 则——②， 得 ， 所以. 4.（四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高三上学期期末（第二阶段学情）考试）已知数列的前项和为，且，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由数列的前项和为，且， 当时，可得，解得； 当时，可得， 整理得， 即， 数列是首项，公比为2的等比数列. （2）由（1）知， 从而， 则， 两式相减，可得 ， . 5.（山东聊城市2026届高三下学期高考模拟）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，；（ii） 【解析】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，则. （2）（i）由， 当时，，即； 当时，，则， 即，则，即， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 则，即. 由（1）知，， 由（i）知，， 则 ， 所以 . 6.（2026河北张家口一模）已知数列的前项和为，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由得， 当时，，即，即. 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，故. （2）由（1）知，所以. 因为，所以. 又. 所以 .所以数列的前项和． 7.（辽宁省名校联盟2026届高三高考模拟卷(调研卷) 数学试题(二)）已知数列的前n项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1)证明见详解 (2) 【解析】（1）由得：， 即， 所以， 又，所以，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列. （2）由（1）知数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 所以， 当时，， 当时，满足条件，所以， 所以， 所以 递推关系的构造 1.（黑龙江省九师联盟2025届高三下学期4月联考）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由题设条件，可得若，则， 用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以. 因为，所以，，，所以，， 由得，所以， 又，所以是首项、公比均为的等比数列. 所以，则. （2）显然时，成立， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以， 所以. 综上，，得证. 2.（2026届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））数列满足． （1）当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由； （2）求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件． 【答案】（1）不是，理由见详解； （2）证明见详解. 【解析】（1）假设数列为等差数列，设它的公差为， 由可得， 即， 因为当时，恒成立， 所以在时恒成立， 即，解得， 所以，当时，数列不是等差数列. （2）当时，， 因为，，故，即， 因此数列单调递增，故充分性成立， 取，则， 因为，故，此时数列单调递增， 但不满足，故必要性不成立， 故“”是“数列单调递增”的充分不必要条件． 3.（江苏省九校2026届高三下学期一模联考）已知数列各项均不为零，，，. (1)当时，求的前50项和； (2)若，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为数列各项均不为零，，， 所以当时，由， 所以有 ， 所以此时该数列的周期为，因此， 所以的前50项和为； （2）由， 因为，， 所以， 因为， 所以，或， 因为是正整数，所以，即 当时，由， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此，所以， 显然恒成立，所以正整数的最小值为. 4.（河南省九师联盟2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题）在数列中，． (1)求的通项公式； (2)设为的前项和，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以， 所以数列是常数列， 又，所以，故． （2）由（1）可知，是等差数列，则， 所以， 故， ． 5.（湖南省永州市2026届高三第二次模拟考试）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，得， 即，得，又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则，所以. （2）由（1）知，， ， 两式相减得， 所以 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高考第15题B版分类训练 数列综合 考点分析· 考点 3年考题 考情分析 数列大题整体难度适中，但常与其他知识点综合考查， 2025年新高考Ⅱ卷第16题 一旦融入复杂计算，难度会显著提升。纵观近3年新高 考数学试题，数列核心考查内容集中在：等差数列与等 2024年新高考I卷第19题 比数列的通项公式、前n项和公式、数列求和方法、最 数列综合 2024年新高考Ⅱ卷第19题 值问题及相关证明等，是高考冲刺阶段的重点复习模块。 据此可预测，2026年新高考数列命题方向仍将围绕等差、 2023年新高考I卷第20题 等比数列的通项与前项和、数列求和、不等式证明、 2023年新高考Ⅱ卷第18题 最值问题展开，延续核心考点与综合考查思路。 ,真题回顾 1.(2025·新高考Ⅱ卷高考真题第16题)设数列(a,满足a,=3,0山=+ nn+1 n(n+1) (1)证明：{nan}为等差数列； (2)设f(x)=ax+a,x2+…+amx",求f'(-2). 第1页共19页 2.（2024新高考I卷高考真题第19题)设m为正整数，数列a1,a2,,a4m+2是公差不为0的 等差数列，若从中删去两项4，和a,i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个 数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,,a4m+2是(i,j)-可分数列. (1)写出所有的i),1≤i<j≤6，使数列a,a2,,a6是(i,)-可分数列： (2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,,a4m+2是(2,13)-可分数列； (3)从1,2，，4m+2中一次任取两个数i和ji<j),记数列a,a2,,a4m+2是(i,j)-可分数列的 餐率为只，证明：只>日 3.(2024新高考Ⅱ卷高考真题第19题)已知双曲线C:x2-y2=mm>0),点P(5,4)在C上， k为常数，0<k<1.按照如下方式依次构造点Pnn=2,3,…,过P作斜率为k的直线与C 的左支交于点2n-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点，记P的坐标为(xn,yn) (④)若k=豆求 (②证明：复列x是公比为+套的等比数列， (3)设Sn为△PnPn+Pn+2的面积，证明：对任意的正整数n,Sn=Sn1 第2页共19页 4.(2023·新高考Ⅰ卷高考真题第20题)设等差数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 的公差为d，且 d>1. 令 $$b _ { n } = \frac { n ^ { 2 } + n } { a _ { n } } ，$$ $$S _ { n } ， T _ { n }$$ 分别为数列 $$\left\{ a _ { n } \right\} ， \left\{ b _ { n } \right\}$$ 的前项和， (1)若 $$3 a _ { 2 } = 3 a _ { 1 } + a _ { 3 } ， S _ { 3 } + T _ { 3 } = 2 1 ，$$ ，求 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 的通项公式； (2)若 $$\left\{ b _ { n } \right\}$$ 为等差数列，且 $$S _ { 9 9 } - T _ { 9 9 } = 9 9 ，$$ 求d. 5.(2023·新高考Ⅱ卷高考真题第18题)已知 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 为等差数列， $$b _ { n } = \left\{ \begin{array}{l} a _ { n } - 6 ， \\ { 2 a _ { n } ， n ^ { 2 } } \end{array} \right.$$ 为奇数 偶数 记 $$S _ { n } ， T _ { n }$$ ，分别为数列 $$\left\{ a _ { n } \right\} ， \left\{ b _ { n } \right\}$$ 的前n项和， $$S _ { 4 } = 3 2 ， T _ { 3 } = 1 6 .$$ (1)求 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ }的通项公式 (2)证明：当 n>5 时， $$T _ { n } > S _ { n } .$$ 第3页共19页 解题金针● 1.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d. (2)前n项和公式：Sn=na1+n(n-1)d2=n(a1+an)2. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1q-; 通项公式的推广：an=amq-m. (2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn=a1(1-qm)1一g= al-anq1-q. 3.数列的通项an与前n项和Sn的关系 S,n=1 4=S-Sn22 ①当n=1时，a若适合Sn-Sn1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项an; ②当n=1时，a若不适合S,-S,-1，则用分段函数的形式表示. 4.累加法：若在已知数列中相邻两项存在：an-an1=f(n)(n≥2)的关系，可用“累加 法”求通项。 5.累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：0=g(n)(n≥2)的关系，可用“累乘法”求 an- 通项. 6.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和 积累裂项模型1：等差型 (1) 1-11 n(n+1)nn+l (2) 1=111 nn+的knn+ (3) 1=111 4n-122n-12n+i} 1「1 1 (4) n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2) 第4页共19页 (5)mn+0=写n+1a+2)--0mn+1月 (6) 2n+11 1 n2(n+1)2n2(n+1)2 (7) n+1 1「1 n(n+2)=4n (n+2)2 积累裂项模型2：根式型 1 (1) =√n+l-√n n+l+n (2) 1 Vntk+(nk-) 2m-1+v2n+72W2m+i-2n- 1 1 (3) 积累裂项模型3：指数型 2" (1) -21-1)-(2°-0-1-1 (2-1(2”-D(21-1(2”-1）2”-121-1 (2)n+2 2(n+1)-n21）11 na+)-2m+1)-2(n+i2n2a+-2 3)4-09-3=33 n(n+2)2(n+2)n 2n+2n (4)2n+1)-1)”=1)1 n(n+1)nn+1 (5)a,=n-3,设a,=(am+b3-an-)+b1-3,易得a=b=- 4 于是a.=42m-3”-2m-3)-3 4 积累裂项模型4：对数型 log.82u=log-log。a a 7.分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则 求和时可用分组求和法，分别求和后相加减 8.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的， 那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解。 9.倒序相加法：如果一个数列{α，}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常 数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 10.构造法求数列的通项的几种类型。 第5页共19页 ①形如an+1=Aan+B，则构造anl+t=A(an+x)进行求解， ②形如an+1=Aan+Bn+C,则构造an1+k(n+1)+b=A(an++b)进行求解. ®形如Q三0，+m则造：名二+m进行求解 ④形如al=Aan+mB(A≠B),则构造an1+kB1=A(a,+kB")进行求解。 ⑤形如a+1= 4a,,则构造1=B0,+C_C.1+B Ba,+C an Aan A an A 若A=C,则数列{二}成等差数列；若A≠C,则再利用类型(1)进行构造. a ⑥形如an1=Aan+Ban1(n≥2)，则构造an1+aan=(an+aan)进行求解。 考向预测● 等差数列 1.(湖南怀化市2026届高三下学期第一次模拟考试)已知等差数列an}的前n项和为Sn, 且a2+a3=0,5a2+a4+2=0 (1)求数列{an}的前n项和Sn; (2)记bn=2,数列{bn}的前n项积为Tn,求Tn+Sn的最小值. 第6页共19页 2.（湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研)在数列{an}中，a1=6,a3=20, a4=30,且{aH1-an}是等差数列 (1)求a2: (2)证明：斋十高十…+孟< 3.(安徽江南十校2026届高三3月联考)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1n∈N (1)求数列{an}的通项公式： (2)若6，=a,+(a1-1) Ad,an+ 求数列{b,}的前n项和T 第7页共19页 4.(福建省福州市2026届高三三月质量检测)记Sn为等差数列a}的前n项和，已知 S,=90,a3=14 (1)求{an}的通项公式； (2)设函数fx)=2+2-2-2+1,记bn=f(an),求数列{b}的前21项和T1. 5.(江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考)已知等差数列an}的公差d>0,其前 n项和为Sn,且a1,42,a4成等比数列，S=30 (1)求数列{an}的通项公式： ②若6=4，+1，且®的前n项和为，求证：2江，>b,（m22). 第8页共19页 6.（杭州学军中学高三上学期期末)记S,为等差数列{an}的前n项和，已知 a2=11,S10=40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列an}的前n项和Tn 等差数列构造问题 1.（重庆市名校联盟2026届高三下学期第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若 nS+1-(n+1)Sn=2(n2+n),且a1=2. ()证明：{产}为等差数列，并求Sn (②)若bn=s.点，数列{bn}的前n项和Ta求证：Tn<克. 第9页共19页 2.(九江市2026届第一次高考模拟统一考试)已知数列an}的前n项和为Sn,a1=1,且 S,=nar-n(n+1) (1)证明： 是等差数列； n (2)若Sn<2an+7,求n的最大值 3.(湖北省云学联盟2026届高三上学期期末联考)己知数列{an}中，a1=4, an=a-1+2-1+3,(n22,neN). (1)证明数列{an-2}是等差数列，并求{an}的通项公式： (2)设bn=-1,求{bn}的前n项和Ta· 第10页共19页