精品解析：吉林省吉林市吉化第一高级中学校2026届高三下学期阶段性检测数学试题

吉化一中高三年级阶段性检测 数学 一、单选题 1. 样本数据 ，， ，的平均数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知复数 ，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知集合，，则 的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 4. 在中，内角的对边分别为 ，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 记为等差数列的前项和，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列是公差为1的等差数列 8. 函数的图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若有三个零点，则 D. 若关于的方程存在实数解，则实数满足或 9. 已知椭圆： （）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（ ） A. 的方程为 B. 若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则 C. 若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为 D. 若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则 三、填空题 10. 已知，，若，则实数_________． 11. 已知函数，若， ，则a的取值范围是_________. 12. 已知在正四棱锥中，在底面ABCD内，底面ABCD，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，若，则的最小值为__________． 四、解答题 13. 如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，， ． （1）若四点共圆，且，求AD； （2）若，求凸四边形ABCD面积的最大值． 14. 已知数列的前n项和为，，，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，， 平面 ，点，分别在棱，上，且 ． （1）求证：； （2）若 ，与平面 所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面 的距离． 16. 设抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，且线段的中点为（）. （1）当时，求的准线方程. （2）点为上一动点，过作的准线的垂线，垂足为，设过，，三点可作双曲线，且的两个焦点均在轴上. （ⅰ）若过点，求的方程； （ⅱ）求的离心率的取值范围. 17. 已知函数， ． （1）当时，求在区间上的最大值与最小值； （2）讨论的零点个数； （3）若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉化一中高三年级阶段性检测 数学 一、单选题 1. 样本数据，， ，的平均数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】样本数据的平均数为. 2. 已知复数 ，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由 ，则， 所以. 3. 已知集合，，则 的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】求出交集，利用子集个数公式进行求解. 【详解】，， 故，故 的子集个数为 . 4. 在中，内角的对边分别为 ，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 5. 记为等差数列的前项和，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合函数值域的求法求解即可. 【详解】由，，可得. 又，所以. 令，则，代入，得， 由，解得， 故的最大值为. 6. 已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式作出函数的图象，然后根据已知条件确定，最后将所求表达式构造新函数，根据函数的单调性求出范围即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示，设， 所以，解得：，， 解得：，， 所以，， 令，则在上单调递减，则，即， 令，则在上单调递增，则， 所以，则， 所以，则. 故选：B． 二、多选题 7. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列是公差为1的等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】先结合已知条件求得 ，，再依次讨论各选项即可得答案． 【详解】因为， 所以，解得 ，故A正确； 所以，解得， 所以，，故B选项正确； 因为， 所以，故C选项错误； 因为，， 所以， 即数列是公差为1的等差数列，故D选项正确． 8. 函数的图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若有三个零点，则 D. 若关于的方程存在实数解，则实数满足或 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，易知在上单调递增，故由， 得，得，故B错误， 对于C，函数有三个零点，等价于方程有三个不相等的实数根， 等价于函数的图象与直线有三个交点， 又直线恒过定点，如图， 当直线位于与之间（不包括两条直线）时满足条件， 当直线位于时，； 当直线位于时，联立与，消去整理得， 由相切，得，解得，又 ，则， 由图可知，故C正确， 对于D，由上图得函数的值域为， 而的图象是由的图象向右平移个单位得到， 故的值域为， 将条件转化为关于的方程存在实数解， 所以，解得或 ，故D正确. 9. 已知椭圆： （）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（ ） A. 的方程为 B. 若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则 C. 若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为 D. 若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义和基本不等式，求得，得出的值，求得椭圆的方程，可判定A正确；求得直线方程为，联立方程组，求得的长，可判定B错误；利用“点差法”求得的斜率，得出的方程，可判定C正确；利用弦长公式，分别求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A，根据椭圆的定义，可得 ， 由基本不等式，可得，所以，即 因为椭圆的短轴长为，可得，所以， 所以椭圆的方程为 ，所以A正确； 对于B，由 ，，可得 ，则， 所以过且垂直于轴的直线方程为， 将代入椭圆的方程 ，可得，解得， 所以，所以B错误； 对于C，设 ，因为在椭圆上， 则，两式相减得：， 因为的中点为，可得， 所以，可得，所以的斜率为， 所以直线的方程为，即，所以C正确； 对于D，当一条直线的斜率为0时，则另一条直线的斜率不存在， 不妨设直线的斜率为0，则， 则直线的方程为，可得，所以； 当两条直线的斜率都存在，且不为0时， 设直线的方程为 ，且， 联立方程组，整理得， 可得且， 则 ， 因为直线与垂直，所以直线的斜率为， 同理可得：， 则， 综上可得，，所以D正确. 三、填空题 10. 已知，，若，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算得的坐标，再根据平行向量的坐标关系列方程求解实数的值即可. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，解得. 11. 已知函数，若， ，则a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】按照，，，分类解不等式，通过参变分离求最值即可求解. 【详解】当时，恒成立，此时 . 当时，由 ，得，所以恒成立，即. 当时，由 ，得，即. 设（），则（）， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则. 综上，a的取值范围是. 12. 已知在正四棱锥中，在底面ABCD内，底面ABCD，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出内切球球心位置以及半径，取 中点，由极化恒等式，则当共线且按此顺序排列时，取得最小值，即可求出的最小值. 【详解】如图，由可得，则， 取中点分别为 ，则 ，， 则，同理， 则三角形为正三角形， 由对称性，正三角形的内切圆绕转一圈即可得到正四棱锥的内切球， 设正三角形中心为，可得， 取 中点，则， 由余弦定理可得， ， 当共线且按此顺序排列时，， 则的最小值为. 故答案为; . 四、解答题 13. 如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，， ． （1）若四点共圆，且，求AD； （2）若，求凸四边形ABCD面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆的几何性质，结合余弦定理进行求解即可； （2）利用三角形面积公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 在中， 由余弦定理可知； 因为四点共圆，且， 所以由圆内接四边形的性质可知：， 因此在中， 由余弦定理可知， 解得：，或舍去； 【小问2详解】 在和中，， ， 所以， 设凸四边形ABCD面积为， 所以，所以 ， 所以当时，有最大值，即有最大值， 所以S的最大值为. 14. 已知数列的前n项和为，，，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）; （2）． 【解析】 【分析】（1）利用与的关系得到数列通项的递推关系式，再利用递推关系式构造基本数列求通项公式； （2）利用分组求和法求出. 【小问1详解】 由， 得，得， 则， 因为，，所以，满足上式， 所以， 又，所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列． 所以，． 【小问2详解】 由（1）得 所以 即． 15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，， 平面 ，点，分别在棱，上，且 ． （1）求证：； （2）若 ， 与平面 所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面 的距离． 【答案】（1）证明：连，相交于点，连 ．∵底面为菱形，∴且． 又 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴ ， ∴ ，又 ，而 ． ∴ 平面，又 ，∴平面，而平面， ∴ ，， 为等腰三角形，即． （2） 【解析】 【分析】（1）连接底面菱形对角线交点，利用线面平行得 ，结合菱形对角线垂直及 推出 平面，进而平面，从而 ，由中点性质即得. （2）由 及第一问知底面ABCD，建立空间直角坐标系，根据菱形边长与角度得各点坐标，利用 与平面 所成的角为60°，求出P点坐标，再求平面PCD的法向量以确定点A关于该平面的对称点M，最后通过平面PAB的法向量计算点M到该平面 的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若 ，则，由（1）知 ，∴平面， 以为原点以，，分别为轴，轴， 轴建立直角坐标系， 又，∵，则 ， ，， ， ∵ ，，∴ 平面 ， 与平面 所成的角为60°， ∴ ，∴ ，∴ ． ∴ ， ， ． 设平面的法向量为 则取，，，∴ ， 设 ， ，则， 到平面的距离相等， ， ∴． 又，∴，解得 ， 设平面 的法向量为 ，∵ ， ． 则取 ，，，∴ ， 则点 到平面 距离为． 16. 设抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，且线段的中点为（）. （1）当时，求的准线方程. （2）点为上一动点，过作的准线的垂线，垂足为，设过，，三点可作双曲线，且的两个焦点均在轴上. （ⅰ）若过点，求的方程； （ⅱ）求的离心率的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可. （2）（ⅰ）判断出双曲线中心，结合图象平移设出双曲线方程，结合抛物线性质求出点坐标，代入双曲线方程求解即可. （ⅱ）设出点坐标，根据题意判断出点横坐标范围，结合图象平移设出双曲线方程，将，，代入双曲线方程，联立求出，表达式，代入离心率公式求范围即可. 【小问1详解】 当时，依题意得的坐标为， 所以的准线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）因为的两个焦点均在轴上，且经过，，，， 所以由对称性可知，的中心为线段的中点，即， 实半轴长为，设的方程为（ ）. 的横坐标为，，均在上，则的横坐标为， 设，又在上，所以， 代入的方程，得，解得. 的方程为. （ⅱ）由题知，，设，则，. 当时，过，，三点不能作双曲线. 当时，线段中点的横坐标与的横坐标相等， 过，，三点不能作双曲线，则且. 因为的两个焦点均在轴上， 所以可设的方程为（， ）， 将，，的坐标代入的方程，得 ①，②，③， ②－③得，因为，所以， 由①得，， 由③得，，而， 则，代入， 得，， 由且，得且. 故的离心率的取值范围为. 17. 已知函数， ． （1）当时，求在区间上的最大值与最小值； （2）讨论的零点个数； （3）若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为1 （2）当时，无零点，当或时，有1个零点，当时，有2个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数求出的单调性，再结合单调性求最值即可； （2）根据 将其转化为，令，通过导函数研究图象性质，即可根据与图象的交点个数确定的零点个数； （3）根据分情况讨论，由解得，或，由题意，结合的图象 求出a的取值范围，分析得出，，据此将题中的转化为a的函数，再结合导数求解单调性即可求出a的范围． 【小问1详解】 当时，，， 当时， ，所以在上单调递增， 所以，． 【小问2详解】 令 ，得，即， 令，则的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数， ，令，得， 当时，，则，所以在上单调递增； 当时，，则，所以在上单调递减， 所以， 又当时，，当 时，； 所以的大致图象如下所示： 数形结合得，当时，直线与的图象无交点，故无零点； 当或时，直线与的图象有1个公共点，故有1个零点； 当时，直线与的图象有2个交点，故有2个零点. 【小问3详解】 由题知， 则， 当时，，方程 只有唯一解1，显然不合题意； 当 时，由 ，可得，或， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时， ，在上单调递减； 所以在处取得最大值，此时， 又当时，，当 时，， 要使在定义域内有三个不同的极值点，需使的图象与直线有两个不同的交点，即得， 不妨设，则，所以，即， 所以， 所以 ， 令，则， 易知在上单调递增， 所以，又， 所以，即在上单调递增， 因为，则当时，恒有， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $