第三章 圆--切线长定理与三角形的内切圆 复习题 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

第三章《圆》复习题-- 切线长定理与三角形的内切圆 【题型1 利用切线长定理求线段长度】 1.如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点D，E、F，且，，则的长是（　　） A． B． C． D． 2.如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 3.如图，与正方形的两边，相切，且与相切于E点．若的半径为4，且，则的长度为（    ） A．5 B．5.5 C． D．6 4.如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 利用切线长定理求周长】 1.如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（    ） A．14 B． C．16 D．18 2.如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（    ） A． B．6 C． D． 3.如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 4.已知是边长为3的等边三角形，的半径为是上一动点，分别切于点的另一条切线交于点，则周长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【题型3 利用切线长定理求面积】 1.我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ） A． B． C． D． 2.如图，的内切圆分别与三边相切于点，点和点，若，，则的面积为 ． 3.如图，直线分别与⊙相切于，且∥，连接，若，则梯形的面积等于（　 　） A．64 B．48 C．36 D．24 4.如图所示，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：． (2)若以，，，四点为顶点的四边形是正方形，的半径为，求的面积． (3)若，，求的半径的长． 【题型4 利用切线长定理求角度】 1.四边形是的外切四边形，若，则的度数是 ． 2.如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 3.如图，是的切线，是切点，分别交于，两点，若，则 ． 4.如图，A是外一点，分别与相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．，则的周长是 ，若，则 ． 【题型5 利用切线长定理进行证明】 1.如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 2.如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 3.如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接． 求证：①与相切； ②四边形是__________形； ③__________． 4.如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】 1.如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 2.如图，将刻度尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），若三角板角的顶点A在刻度尺上的读数是，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是，量角器与三角板的接触点为B． （1） ． （2）该量角器的直径长为 ．（结果保留根号） 3.如图，在四边形中，分别与相切于B、E、A三点，为的直径．若，则的半径为 ．    4.如图， 内切于正方形，边、上两点，，且是的切线，当的面积为时，则的半径是 ．    【题型7 作三角形的内切圆】 1.如图，在的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点，，在格点（正方形网格的交点）上． （1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形的外心； （2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形的内心． 2.为建设绿色花园城市，某小区要在一块等边空地内修建一个圆形花坛． (1)实践与操作：要使花坛面积最大，用尺规作图法画出圆形花坛示意图（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)应用与计算：在（1）的条件下，米，求圆形花坛的面积． 3.如图，点C，D分别在射线OA、OB上，求作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切．（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）    4.按着要求画图．               (1)在图1中，利用直尺和圆规，作出的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过、、三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在图2中，找出的圆心． ②在图2中的边上找到一点，使得平分； ③在图2备用图中的上找到一点（不与点重合），使得． 【题型8 三角形内切圆中求最值】 1.如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．    2.如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ． 3.如图，点B的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交y轴于点A，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ． 4.如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为 ． 【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 1.如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（　　） A．48 B． C．24 D． 2.如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（　　）    A．1 B． C．1.5 D．2 3.如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点，，，在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是 ；连结，若是的内切圆，则圆心到的距离是 ．    【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】 1.如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 2.一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r是其内切圆半径，则R﹣r＝ ． 3.如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 4.如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长． 参考答案 【题型1 利用切线长定理求线段长度】 1.D 【分析】连接，，，，，，交于点M，根据“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角”可得，，，结合求得点E是中点，然后由等腰三角形三线合一的性质求得点A，O，E共线，在中由勾股定理求得后，利用的面积求得内切圆的半径；由切线长定理和等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，在中由勾股定理求得后，再利用面积法求得即可解答； 【详解】解：如下图，连接，，，，，，交于点M， 由切线长定理可知平分，， ∵， ∴， ∴， 同理根据切线长定理可知平分，，， ∴， ∴点E是中点， 根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在的延长线上，即点A，O，E共线， ∴， 中由勾股定理可得， ∵且， ∴， 中由勾股定理可得， 等腰中由三线合一的性质可得垂直平分， ∵， ∴， ∴， 故选： D． 2.B 【分析】本题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，根据切线长定理，得到，根据切线性质，得，勾股定理计算即可． 【详解】∵是的切线，为切点，经过圆心，， ∴，，， ∴， 故选：B． 3.D 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】设与正方形的边，切于点F，H，先证四边形是正方形，求出，再根据切线长定理可得． 【详解】解：如图，设与正方形的边，切于点F，H， 则， ，， 四边形是正方形， 的半径为4，且， ，， ， 与相切于点E， ， 故选D． 4.C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、应用切线长定理求解 【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：作于H， ∵直径于H， ∴， ∵，分别切于C，B， ∴，直径， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【题型2 利用切线长定理求周长】 1.C 【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 根据切线长定理得到，根据即可得到的周长． 【详解】解：如图：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2.C 【知识点】等边三角形的性质、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，根据切线长定理可知的周长，连接在中，由勾股定理求出的长即可得出结论 【详解】解：连接，如图， ∵是等边三角形， ∴ ∵是的中点， ∴, ∵分别切于点M，N， ∴， 同理：， ∴的周长， 在中，， ∴的周长为， 故选：C 3.B 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D，交，于点，， ∴，， ∵的周长为4，即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4.C 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】连接，，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案． 【详解】解：连接，，设切于G，    ∵，分别是的切线， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴周长， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，l最小，当最大时，l最大； 根据垂线段最短可得，当时，最小， ∵是边长为3的等边三角形，， ∴， 由勾股定理得：， 当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时， ∴， ∴． 故选：C． 【题型3 利用切线长定理求面积】 1.C 【分析】本题考查切线的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是掌握切线长定理． 当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由切线长定理得到，，由勾股定理列出关于的方程，求出的长即可解决问题． 【详解】解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，与半圆相切于H，交于P， ∵四边形是正方形， ∴， ∴分别是半圆的切线， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴娱乐区的最大面积梯形的面积． 故选：C． 2.20 【分析】直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系． 【详解】的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，， ，，， 设， 则 整理得，， 解得：，（不合题意舍去）， 则，    ， ， 故的面积为20， 故答案为20． 3.B 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】先根据切线长定理得出，然后利用面积求出OF的长度，即可得到圆的半径，最后利用梯形的面积公式 即可求出梯形的面积． 【详解】连接OF， ∵直线分别与⊙相切于， ∴ ． 在 和 中， ∴, ∴． 在 和 中， ∴， ∴． ∵ ， ． ∵， ． ， ∴ ， ， ∴梯形的面积为 ． 故选：B． 4.（1）证明：如图所示，连接． ∵是直径, ∴ ∴ ，都是的切线， ， ； 又，， ， ． ． （2）如图，连接． 当以，，，四点为顶点的四边形是正方形时，, ∴； ∵ ∴， ∴ ∵ ． （3）若，则 ∵ ∴ ∴，即 ∵ ， ∴， 在中，, ∴， ∴ 【题型4 利用切线长定理求角度】 1. 【分析】本题主要考查了切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理及其推论．令四边形与分别相切于点E、F、G、H，连接，通过证明，即可求解． 【详解】解：令四边形与分别相切于点E、F、G、H， 连接， ∵是的外切四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2. 【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理．根据题意可得，，进而求得，根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：，是的两条切线， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 3. 【分析】本题考查了切线的性质定理以及切线长定理，连接，由切线的性质可求出，再由切线长定理可得出，可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵分别为的切线， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， 故答案为：． 4. 【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，圆周角定理，先利用勾股定理可计算出的长，再根据切线长定理得到得到的周长，由四边形的内角和得到的度数，然后利用圆周角定理计算是解题的关键． 【详解】解：连接，，, ∵分别与切于点B，C， ∴，，， 在中，， ∵与相切于P， ∴， ∴的周长． ∵，， ∴， ∴， ∴优弧的度数为， ∴， 故答案为：，． 【题型5 利用切线长定理进行证明】 1.（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）∵，点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴． 2.（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点， ∴ ，， ∵， ∴； （2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，， ∵，， ∴ ， ∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴与相切． 3. 解：①证：连接OC，OD 在和中 ， ， ， 是的切线， ， ∴与相切； ②由①可知：， 又∵CM＝DM，AM＝AM， ∴， ∴AC＝AD， ∵AC＝AD＝CM＝MD， ∴四边形是菱形； 故答案为：菱； ③∵AM＝CM，OC＝OD， ∴，， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， 又∵是菱形， ∴ ， ∴， 故答案为：． 4.（1）证明：连接， ∵为直径， ∴.     在中，B为中点， ∴， ∴，     ∵， ∴，   又∵为切线， ∴， ∴      ∴.     即， ∴是的切线. （2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，   ∴，     ∴； 【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】 1.1 【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键，首先利用切线的性质证明四边形是正方形，得到，再利用切线长定理得到，，最后由列方程即可求解． 【详解】设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， ，， ，， 在中，， ， ， 解得 ． 故答案为：1． 2. 2 【分析】本题考查了切线长定理，含30度角直角三角形的特征，勾股定理．根据题意得出和与量角器相切，则，，进而得出，即可解答． 【详解】解：令量角器与刻度尺接触点为点C，量角器圆心为点O， 根据题意可知，和与量角器相切， ∴，，， ∵A在刻度尺上的读数是，C在刻度尺上的读数是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴该量角器的直径长为， 故答案为：2，． 3. 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质，根据切线的性质把图形分割为矩形和直角三角形是解题的关键． 过D作于F，由切线的性质得四边形是矩形，则；由切线长定理可得的长，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵与， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵分别与相切， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的半径为．    故答案 为： 4. 【分析】设正方形的边长为，则，设，，则，，，利用勾股定理得出，再由，得出，从而求出，得到． 【详解】解：设与相切于，与相切于，与相切于， 设正方形的边长为， ， 设，， 在中， ，，， ， ， ， ， ， ， 的半径为， 故答案为：． 【题型7 作三角形的内切圆】 1.解：（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求． 2.（1）解：所作图形如图所示： （2）解：∵是等边三角形， ∴米，， ∵平分， ∴米， ∴米， 由作图可知点O为的内切圆的圆心，也是的重心， ∴米， ∴圆形花坛的面积为． 3.解：如图，作∠DOC的平分线OM，∠ODC的平分线DN，OM交DN于点P1，作P1F⊥OD，以P1为圆心，P1F为半径作⊙P1即可；同法作出⊙P2． ，即为所求；    4.（1）解：如图，即为的内切圆；    （2）解：①圆心如下图所示；    ②点如下图所示；    ③点如下图所示．    【题型8 三角形内切圆中求最值】 1.4 【分析】延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值；利用点的坐标的特征求得线段，，利用三角形的面积关系求得的半径，延长交于点，利用矩形的性质和勾股定理求得的长度，则结论可得． 【详解】解：如图，延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，   点的坐标为， 点的坐标为， ，， 设与三边的切点为，，，连接，，，则，，，设， ， ， ， ， ， 延长交于点， ，， ，， ，， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 2. 【分析】由矩形的性质得出，，由勾股定理得出，设△的内切圆的半径为，则，解得，连接，易证是的中位线，得出，当经过圆心时，最长，则此时最长，作于，于，则，，由勾股定理得出，则，即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 设△的内切圆的半径为， 则， 解得：， 连接， 是边上的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 当经过圆心时，最长，则此时最长， 作于，于， 则，， ， ， ； 故答案为：． 3. 【分析】连接，作的外接圆，圆心为P，根据内心定义证明，可得，当A，I，P三点共线时，取得最小值，此时，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为P，连接，， ∵点I为的内心， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∴， ∴P， 当A，I，P三点共线时，取得最小值， 此时 ． 故答案为：． 4. 【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接，，，取中点，连接，过作于点，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，最大值为，然后由勾股定理求出的值即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性质定理和勾股定理的应用． 【详解】解：如图，连接，，，取中点，连接，过作于点， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 则点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点三点共线时，最大，为的值， ∵为的内心，过作于点，于点， ∴四边形为正方形， 由直角三角形的内切圆半径为，即， ∴， 取的中点G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴最大值为， 故答案为：． 【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 1.C 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质． 设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由 的周长内切圆半径，即可求出的周长． 熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键． 【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且， 又， ∴四边形是正方形， ， ， ， 解得， ， ， ，即的周长为， 故选：C． 2.A 【分析】作辅助线如解析图，根据，代入数据求解即可. 【详解】解：如图，设与的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r， 则，， ∵ ， 又的周长为18，面积为9， ∴， ∴， 故选：A.    3.C 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵ ，且，，， ∴， 解得， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：C． 4. 【分析】设，表示出相关线段的长，根据四边形和四边形的面积之差，得到，求出值即可；连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，证明为直角三角形，求出内切圆半径，再根据切线长定理得到，从而证明，求出，从而得到即可． 【详解】解： ， 设，则， ，， 与为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，   等边的边长为，为中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，为直角三角形， 内切圆半径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 圆心到的距离为， 故答案为：，． 【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】 1.D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2.4.5 【分析】根据勾股定理的逆定理推出，连接，，根据圆是的内切圆，得到，，，，推出正方形，设，得到方程，求出方程的解即可，进而得出其外接圆的半径，即可得出答案 【详解】如图：连接，    ， 圆是的内切圆 ，，， 四边形是正方形 设 直角三角形斜边长是直角三角形外接圆的直径 其外接圆半径为： 故答案为： 3.（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 4.（1）证明：连接OD． ∵点I是△ABC的内心， ∴∠2＝∠7， ∴ = ， ∴OD⊥AC， 又∵∠1＝∠ADF，∠2=∠ABC，∠ADF＝∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DGAC； ∴OD⊥DG， ∴DG是⊙O的切线； （2）解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠5＝∠6， ∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6， 即∠4＝∠DAI， ∴DA＝DI； ∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD， ∴△DAE∽△DBA， ∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD， ∴AD＝6， ∴DI＝6． 学科网（北京）股份有限公司 $