10.3.1 频率的稳定性（八大题型）训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3.1 频率的稳定性 题型一 计算频率 1．在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 2．某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班的学生人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数 3．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 4．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 题型二 辨析概率与频率的关系 5．下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 6．关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 7．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果： 种子粒数 100 100 100 100 100 100 发芽粒数 79 78 81 79 80 82 发芽率 根据表格分析猕猴桃种子的发芽率约为__________． 8．利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率，结果如表所示： 序号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.500 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 随着试验次数的增加，频率有什么变化规律？频率与概率有什么关系？ 题型三 用频率估计概率 9．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为 B．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小 C．某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D．随着试验次数足够多，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 11．在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 12．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表． 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 (1)请完成上述表格（保留三位小数）； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 题型四 游戏的公平性 13．如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 14．下列说法中错误的是（    ） A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖 C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平 D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2 15．在下列三个问题中： ① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的； ② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率； ③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的； 其中，正确的是___________.（用序号表示） 16．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 题型五 决策中的概率思想（3） 17．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成600份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压800份订单未配货，预计第二天新订单超过1000份的概率为0.02．志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.98，则至少需要志愿者（    ） A．32名 B．33名 C．34名 D．35名 18．下列说法正确的是（    ） A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率 B．掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件 C．连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质地不均匀 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于 19．如图，A地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的频率； (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径（将频率视为概率）． 题型六 天气预报中的概率解释 20．每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 21．下列说法正确的有（    ） A．随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小； B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀； C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖； D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水． 22．有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是________. 23．将下列说法用概率的知识表达： （1）一位工程师说，他们厂制造的节能灯，1 000个中平均有950个寿命不小于10000 h； （2）一位老农民说，十有八九要下雨了. 题型七 抽奖、彩票的概率解释 24．某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 25．下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大 B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大 C．某彩票中奖的概率是2%，买100张一定有2张中奖 D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论 26．在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是_________. 27．某种体育彩票的抽奖规则是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个.有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，由于每个号码出现的机会相等，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？ 题型八 其他问题中的概率解释 28．小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 29．已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法不正确的是（    ） A．合格产品一定少于8件 B．合格产品一定多于8件 C．合格产品一定正好是8件 D．合格产品可能是8件 30．为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是______． 31．鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3.1 频率的稳定性 题型一 计算频率 1．在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 【答案】D 【分析】结合题意，由频率等于频数比总数可得. 【详解】由题意可得反面朝上的频数为52，所以其频率为. 故选：D 2．某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班的学生人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数 【答案】AB 【分析】由题目表格中的数据，逐一判断选项，可得答案. 【详解】选项A：显然（2）班学生的数学成绩的优秀率最高，故A正确； 选项B：只根据优秀率的大小，无法比较每个班人数的多少，故B正确； 选项C：该年级全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比， 由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C错误； 选项D：设（1）班、（2）班数学成绩优秀的人数分别为x，y，（1）班、（2）班人数分别为a，b， 则，，得，，又（1）班和（2）班放在一起统计的优秀率为83%， 即，即，即，得，则，故D错误． 故选:AB. 3．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 【答案】0.45 【分析】根据给定条件，利用频率的定义求解. 【详解】正面向上的频率为：. 故答案为： 4．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 【答案】(1)答案见解析 (2)0.9 【分析】（1）根据题意频率计算公式运算求解； （2）根据概率和频率的关系分析求解. 【详解】（1）根据频率计算公式，表格数据如下： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 （2）由（1）中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为0.9． 故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 题型二 辨析概率与频率的关系 5．下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【分析】利用频率与概率的概念分析选项即可. 【详解】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误； 对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确. 故选：D 6．关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 7．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果： 种子粒数 100 100 100 100 100 100 发芽粒数 79 78 81 79 80 82 发芽率 根据表格分析猕猴桃种子的发芽率约为__________． 【答案】 【分析】利用频率与概率的关系即可得解. 【详解】由表格中的数据，结合频率与概率的关系可知，该猕猴桃种子的发芽率约为． 故答案为：． 8．利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率，结果如表所示： 序号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.500 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 随着试验次数的增加，频率有什么变化规律？频率与概率有什么关系？ 【答案】答案见解析 【详解】随着试验次数的增加，频率的值越来越接近一个常数；当试验次数非常大时，可以用频率近似地估计概率，这个常数即为概率． 所以频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值. 题型三 用频率估计概率 9．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 10．下列说法正确的是（    ） A．小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为 B．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小 C．某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D．随着试验次数足够多，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】BD 【分析】运用频率和概率概念，以及频率与概率的关系逐个判断即可. 【详解】对于A，小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的频率为，不是命中率，故A错误； 对于B，D,运用频率的定义，概率与频率的关系可判断都正确. 对于C， 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1700粒种子发芽.故C错误. 故选：BD. 11．在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 【答案】 /0.7 14 【分析】根据随机事件的概率计算公式计算即可. 【详解】由题意可知摸球100次，其中30次摸到黑球， 所以其中70次摸到白球，故一次试验中摸到白球的概率为， 设不透明的盒子里，装有6个黑球和个白球， 则摸到白球的概率为，解得. 故答案为：；14. 12．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表． 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 (1)请完成上述表格（保留三位小数）； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 【答案】(1)表格见解析 (2)0.900 【分析】（1）利用频率计算方法分别求解，然后填入表格即可； （2）结合频率与概率的关系，利用概率的定义求解即可. 【详解】（1）表格中的数据从左向右分别为，，，， ，，，，， 故填入题表中的数据依次为1.000，0.800，0.900，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903． 填表如下： 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 1.000 0.800 0.900 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 （2）观察表格中发芽频率的数据，随着试验次数的增加，发芽频率在0.900附近波动， 所以由（1）估计该油菜籽发芽的概率约为0.900． 题型四 游戏的公平性 13．如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每次试验出现正反面的概率是相等的即可得到结果. 【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为. 故选：D. 14．下列说法中错误的是（    ） A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖 C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平 D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2 【答案】ABD 【分析】根据事件发生的随机性，即可判断正误. 【详解】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确. 故选：ABD. 15．在下列三个问题中： ① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的； ② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率； ③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的； 其中，正确的是___________.（用序号表示） 【答案】①② 【分析】以甲乙获胜概率是否均为来判断游戏是否公平，并以此来判断① 的正确性；以频率和概率的关系来判断② ③的正确性. 【详解】① 中：甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币， 可得4种可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 则“同时出现正面或反面”的概率为，“一个正面､一个反面”的概率为 即甲乙二人获胜的概率均为，那么这个游戏是公平的.判断正确； ② 中：“掷一枚骰子出现三点”是一个随机事件，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率会稳定于其概率值，故此事件发生的频率接近其概率.判断正确； ③ 中：气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出现下雨的天数是随机的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天. 判断错误. 故答案为：① ② 16．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析. 【分析】（1）根据定义一一列举出即可； （2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断. 【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个. 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. （2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得 ， 又A与B对立，所以， 所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 【点睛】本题考查概率的应用，古典概型的概率计算问题，属于基础题. 题型五 决策中的概率思想（3） 17．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成600份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压800份订单未配货，预计第二天新订单超过1000份的概率为0.02．志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.98，则至少需要志愿者（    ） A．32名 B．33名 C．34名 D．35名 【答案】C 【解析】由题意可知，第二天需要完成的订单数约为，除去原来能完成的订单配货外，剩余订单达约为1200，再结合题意，即可求出结果. 【详解】由题意可知，第二天需要完成的订单数为，需要志愿者x名 因为．所以至少需要志愿者34名． 故选：C. 18．下列说法正确的是（    ） A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率 B．掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件 C．连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质地不均匀 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于 【答案】AC 【解析】根据频率与概率之间的关系可判断A；由对立事件的概念可判断B；由“极大似然法”可判断C；根据概率的定义可判断D. 【详解】对于A，在相同条件下，试验次数越多，频率就会稳定在概率附近，故A正确； 对于B，掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，故B不正确； 对于C，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质地不均匀，故C正确； 对于D，由于概率是稳定的数值，抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率等于，故D不正确. 故选：AC 19．如图，A地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的频率； (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径（将频率视为概率）． 【答案】(1)答案见解析 (2)甲应选择路径；乙应选择路径. 【分析】（1）根据频数计算频率即可； （2）分别计算两个时间段的概率，比较概率的大小可得结论. 【详解】（1）选择的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 （2）设分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站． 由（1），知， ， 因为，所以甲应选择路径； ， ， 因为，所以乙应选择路径. 题型六 天气预报中的概率解释 20．每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式直接得出结论. 【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为. 故选:B 21．下列说法正确的有（    ） A．随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小； B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀； C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖； D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水． 【答案】AB 【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项． 【详解】对于A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确； 对于B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B正确． 对于C，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误． 对于D，“明天本市降水概率为70%”，指下雨的可能性为0.7，故D错误． 故选：AB． 22．有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是________. 【答案】①②③ 【分析】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【详解】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③ 23．将下列说法用概率的知识表达： （1）一位工程师说，他们厂制造的节能灯，1 000个中平均有950个寿命不小于10000 h； （2）一位老农民说，十有八九要下雨了. 【答案】（1）从该厂制造的节能灯中任取一个，其平均寿命不小于10000 h的概率约为0.95. （2）天要下雨的概率约为0.8-0.9. 【解析】利用概率的定义解释即可. 【详解】（1）由概率的定义可知，从该厂制造的节能灯中任取一个， 其平均寿命不小于10000 h的概率约为0.95. （2）天要下雨的概率约为0.8-0.9. 【点睛】本题考查了概率的定义，概率是一个定值，属于基础题. 题型七 抽奖、彩票的概率解释 24．某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 25．下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大 B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大 C．某彩票中奖的概率是2%，买100张一定有2张中奖 D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论 【答案】AB 【详解】对A，掷一枚硬币正面朝上的概率是0.5，抛一枚图钉钉尖着地的概率不是0.5，钉尖朝上的概率比较大，所以A对； 对B，射击运动员击中靶的概率是0.9，所以中靶的可能性很大，所以B对； 对C，概率只是一种可能性的预测，并不是绝对的，买100张也有可能全部没有中奖，所以C错； 对D，只对一个小区抽样并不能代表整个城市，所以D错. 26．在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是_________. 【答案】0 【解析】根据游戏规则,转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域,而得到随身听对应的区域均标为奇数,即可求得 【详解】 转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域, 又 得到随身听对应的区域均标为奇数, 得到的奖品为随身听的概率为. 故答案为:. 【点睛】本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是理解游戏规则和掌握概率的基础知识,考查了分析能力,属于基础题. 27．某种体育彩票的抽奖规则是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个.有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，由于每个号码出现的机会相等，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？ 【答案】不对 【分析】根据概率的意义判断. 【详解】抽奖中的36个球的大小、重量等应该是一致的， 严格说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次， 除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形，和没有用过的球一样. 因此，当你把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时， 不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响， 上述两种说法都是错的. 题型八 其他问题中的概率解释 28．小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 【答案】A 【分析】根据概率的概念与意义求解. 【详解】他踢点球进门的概率是，所以他第3次踢进门的概率为. 故选：A 29．已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法不正确的是（    ） A．合格产品一定少于8件 B．合格产品一定多于8件 C．合格产品一定正好是8件 D．合格产品可能是8件 【答案】ABC 【分析】根据概率的意义，可得合格产品可能是8件. 【详解】某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查， 合格产品可能是8件． 故选：ABC． 30．为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是______． 【答案】 【分析】设非吸烟者患肺癌的概率为，根据题意列出方程，求出，即可得到答案 【详解】本次研究调查中，非吸烟者有7500人，吸烟者样本量有2500人， 设非吸烟者患肺癌的人数是人，则，， 因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45人． 故答案为：. 31．鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 【答案】(1) (2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元 【分析】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求； （2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润. 【详解】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为． （2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）． 乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $