9.2.3 总体集中趋势的估计（五大题型）训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.3 总体集中趋势的估计 题型一 计算几个数的中位数 1．随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872，963，742，682，1322，1244，674，548，884，993，则这组数据的中位数为（    ） A．872 B．878 C．884 D．1283 2．某公司统计其员工的专业素养指标，公司员工年龄分布如下表，则（   ） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A．这组数据的平均数是33.2 B．这组数据的极差是17 C．这组数据的第75百分位数是36 D．这组数据的中位数和众数相同 3．已知一组数据：2，13，10，5，7，，13的平均数为8，则该组数据的中位数为________. 4．某面包店记录了最近一周A，B两种口味的面包的销售情况，如下表所示： A口味 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/个 16 12 14 10 18 19 13 B口味 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/个 13 18 10 20 12 9 14 (1)试比较最近一周A，B这两种口味的面包日销量的中位数的大小. (2)该面包店店主将在下一周每天都制作n个A口味的面包，假设下一周A口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致，每个面包当天卖出可获利6元，当天未售出则将损失5元，从中选一个，你应该选择哪一个?说明你的理由. 题型二 由频率分布直方图估计中位数 5．重庆市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对1500名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这1500名学生期末数学考试成绩的中位数约为（   ）    A．100 B．97.5 C．95 D．92.5 6．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（   ） A． B．这200名参赛者得分的中位数为64 C．得分在内的频率为 D．得分在内的共有80人 7．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为_______.（结果保留整数）    8．从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：g）都在区间，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示.    (1)求这200个脐橙中质量不低于的个数是多少. (2)求这200个脐橙质量的中位数约为多少.（保留两位小数） (3)若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数. 题型三 由茎叶图计算中位数 9．在一次数学考试后，数学老师随机抽取了10名同学的考试成绩，其茎叶图如下所示，则该样本数据的中位数为（    ） A．76.5 B．77 C．77.5 D．78 10．如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（　　） A．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等 B．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高 C．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低 D．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高 11．如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为______. 12．在某市的科技创新大赛活动中，10位评委分别对甲学校的作品“乒乓球简易发球器”和乙学校的作品“感应垃圾桶”进行了评分，得分的茎叶图如图． (1)根据茎叶图写出甲、乙两所学校的作品得分的中位数； (2)根据茎叶图计算甲、乙两所学校的作品得分的平均数，并判断哪一件作品更受评委的欢迎？ 题型四 用中位数的代表意义解决实际问题 13．某公司购入了400根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表： 钢管口径 11.0 12.5 14.0 16.5 18.5 20.5 21.0 22.0 频数 26 74 100 40 46 52 38 24 则这批钢管口径的中位数为（    ） A．14.00cm B．15.25cm C．16.25cm D．16.50cm 14．甲、乙两班参加某次数学调研测试，相关统计数据如下表所示（满分分，分以上为优秀），则下列结论正确的是（    ） 班级 考试人数 中位数 平均数 方差 甲 乙 A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B．甲班成绩波动比乙班成绩波动大 C．甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数 D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 15．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 码号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是________(填“平均数”“众数”或“中位数”)． 16．亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表． 类别 时间t（小时） 人数 A 5 B 20 C a D 30 E 10 请根据图表信息解答下列问题： (1)a＝________； (2)补全条形统计图； (3)小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？ (4)据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数． 题型五 根据折线统计图解决实际问题 17．国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 18．地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的环比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 19．某同学将全班某次数学考试成绩整理成折线统计图，如图所示，估计此次考试成绩的中位数是________．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.3 总体集中趋势的估计 题型一 计算几个数的中位数 1．随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872，963，742，682，1322，1244，674，548，884，993，则这组数据的中位数为（    ） A．872 B．878 C．884 D．1283 【答案】B 【详解】将这10个数据从小到大排列，依次为548，674，682，742，872，884，963，993，1244，1322， 所以这组数据的中位数为. 2．某公司统计其员工的专业素养指标，公司员工年龄分布如下表，则（   ） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A．这组数据的平均数是33.2 B．这组数据的极差是17 C．这组数据的第75百分位数是36 D．这组数据的中位数和众数相同 【答案】BCD 【分析】根据表格一一计算平均数、极差、百分位数、中位数与众数即可. 【详解】对于A，由题意可知该组数据的平均数为 ，故A错误； 对于B，该组数据最大值为，最小值为，极差为，故B正确； 对于C，易知，该组数据从小到大排列后， 第15和16个数据都位于36岁年龄组，所以C正确； 对于D，该组数据从小到大排列后，第10和11个数据为32岁，所以中位数为32岁， 众数也是32岁，故D正确. 3．已知一组数据：2，13，10，5，7，，13的平均数为8，则该组数据的中位数为________. 【答案】7 【分析】根据已知列出方程求解得出.进而将数据由小到大排列，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得. 将这组数据从小到大排列可得，2，5，6，7，10，13，13. 所以该组数据的中位数为7. 故答案为：7. 4．某面包店记录了最近一周A，B两种口味的面包的销售情况，如下表所示： A口味 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/个 16 12 14 10 18 19 13 B口味 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/个 13 18 10 20 12 9 14 (1)试比较最近一周A，B这两种口味的面包日销量的中位数的大小. (2)该面包店店主将在下一周每天都制作n个A口味的面包，假设下一周A口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致，每个面包当天卖出可获利6元，当天未售出则将损失5元，从中选一个，你应该选择哪一个?说明你的理由. 【答案】(1)A口味的面包日销量的中位数大于B口味的面包日销量的中位数 (2)，理由见解析 【分析】（1）将销量从小到大的顺序排列，确定中位数后比较大小； （2）分别求出时的获利情况，然后比较大小来确定. 【详解】（1）最近一周A口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为10，12，13，14，16，18，19． 所以A口味的面包日销量的中位数为14． 最近一周B口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为9，10，12，13，14，18，20， 所以B口味的面包日销量的中位数为13． 故A口味的面包日销量的中位数大于B口味的面包日销量的中位数． （2）当时，下一周A口味的面包可获利 元． 当时，下一周A口味的面包可获利 元． 当时，下一周A口味的面包可获利 元． 因为，所以应该选择． 题型二 由频率分布直方图估计中位数 5．重庆市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对1500名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这1500名学生期末数学考试成绩的中位数约为（   ）    A．100 B．97.5 C．95 D．92.5 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的性质及中位数的概念，即可求解． 【详解】根据题意可得前几组的频率依次为 所以中位数在内，且为． 故选：C． 6．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（   ） A． B．这200名参赛者得分的中位数为64 C．得分在内的频率为 D．得分在内的共有80人 【答案】ACD 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A的正误；根据直方图中位数的求法，代入计算，即可判断B的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数的关系，即可判断C、D的正误. 【详解】由题意有，解得，故A正确； 设中位数为，所以，解得，故B错误； 由题意得得分在内的频率为，故C正确； 由题意得得分在内的频率为， 则得分在内的共有人，故D正确. 故选：ACD. 7．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为_______.（结果保留整数）    【答案】76 【分析】先根据频率分布直方图求出的值，然后根据中位数的定义求出结果即可. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 由，， 设中位数为，则， 有，解得. 故答案为：76. 8．从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：g）都在区间，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示.    (1)求这200个脐橙中质量不低于的个数是多少. (2)求这200个脐橙质量的中位数约为多少.（保留两位小数） (3)若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数. 【答案】(1)110 (2) (3) 【分析】（1）先求得频率，进而求得正确答案. （2）根据频率分布直方图中中位数的求法求得正确答案. （3）根据频率分布直方图中平均数的求法求得正确答案. 【详解】（1）由题意，不低于的频率为， 所以这200个脐橙中质量不低于的个数是. （2）前两组的频率为， 前三组的频率为， 所以中位数，则， 得，即中位数约为； （3）估计平均数为. 题型三 由茎叶图计算中位数 9．在一次数学考试后，数学老师随机抽取了10名同学的考试成绩，其茎叶图如下所示，则该样本数据的中位数为（    ） A．76.5 B．77 C．77.5 D．78 【答案】C 【分析】根据中位数的定义即可得解. 【详解】由茎叶图可知， 10名同学的成绩按从小到大的顺序为：， 所以其中位数为. 故选：C. 10．如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（　　） A．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等 B．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高 C．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低 D．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高 【答案】ABC 【分析】通过茎叶图，逐一对各项进行计算判断，从而得到结果. 【详解】对于选项A和B，甲、乙两位选手得分的茎叶图中，每个茎上的叶的数目相同， 乙的所有叶上的数字之和是37，甲的所有叶上的数字之和是20+m<30， 所以甲选手的平均分一定比乙选手的平均分低，所以选项A中的结论与选项B中的结论均不正确； 对于选项C和D，甲选手得分的中位数和众数均为85，乙选手得分的中位数和众数均为84， 所以C中结论不正确，D中结论正确. 故选：ABC. 11．如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为______. 【答案】21.5 【分析】将茎叶图中的数据按照从小到大排列后，根据中位数的定义即可求得. 【详解】将这6个数从小到大排列为16，18，21，22，22，31， 因数据有偶数个，则中位数是中间两个数的平均数，故中位数为. 故答案为：21.5. 12．在某市的科技创新大赛活动中，10位评委分别对甲学校的作品“乒乓球简易发球器”和乙学校的作品“感应垃圾桶”进行了评分，得分的茎叶图如图． (1)根据茎叶图写出甲、乙两所学校的作品得分的中位数； (2)根据茎叶图计算甲、乙两所学校的作品得分的平均数，并判断哪一件作品更受评委的欢迎？ 【答案】(1)甲学校作品得分的中位数为，乙学校作品得分的中位数为； (2)甲学校作品得分的平均数为，乙学校作品得分的平均数为，甲学校的作品更受评委的欢迎. 【分析】（1）根据茎叶图求得甲乙两所学校作品的得分，并按照从小到大进行排序，再求中位数即可； （2）根据（1）中所得数据，直接求平均数，再从中位数和平均数的角度，即可判断. 【详解】（1）甲学校作品的得分由小到大排列为：62，65，68，75，77，83，84，91，92，93， 所以甲学校作品得分的中位数为； 乙学校作品的得分由小到大排列为：60，63，75，75，77，79，81，82，87，91， 所以乙学校作品得分的中位数为. （2）甲学校作品得分的平均数为； 乙学校作品得分的平均数为． 甲学校作品得分的中位数和平均数都大于乙学校作品得分的中位数和平均数， 所以甲学校的作品更受评委的欢迎． 题型四 用中位数的代表意义解决实际问题 13．某公司购入了400根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表： 钢管口径 11.0 12.5 14.0 16.5 18.5 20.5 21.0 22.0 频数 26 74 100 40 46 52 38 24 则这批钢管口径的中位数为（    ） A．14.00cm B．15.25cm C．16.25cm D．16.50cm 【答案】B 【分析】根据中位数的定义及频数表即可得解. 【详解】因为为整数， 所以样本数据的中位数为从小到大排列的第200个数据和第201个数据的平均数， 因为前三组的频数之和为200，所以这批钢管口径的中位数为15.25． 故选：B． 14．甲、乙两班参加某次数学调研测试，相关统计数据如下表所示（满分分，分以上为优秀），则下列结论正确的是（    ） 班级 考试人数 中位数 平均数 方差 甲 乙 A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B．甲班成绩波动比乙班成绩波动大 C．甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数 D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 【答案】ABC 【分析】由表格中的数据可判断A选项；利用方差与样本稳定性的关系可判断B选项；根据两个班的人数与中位数可判断C选项；根据众数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，甲、乙两班学生成绩的平均数均为分，A对； 对于B选项，甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差，故甲班成绩波动比乙班成绩波动大，B对； 对于C选项，甲班人数为人，且甲班成绩的中位数为分，故甲班优秀的人数小于或等于， 乙班人数为人，且乙班成绩的中位数为分，这说明乙班优秀的人数至少为， 所以，甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数，C对； 对于D选项，由题表看不出两班学生成绩的众数，D错. 故选：ABC. 15．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 码号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是________(填“平均数”“众数”或“中位数”)． 【答案】众数 【分析】根据众数、平均数、中位数的意义进行选择. 【详解】鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大， 由题表可知，码号为37的鞋销量最大，共销售了16双，37是这组数据的众数. 故答案为：众数 16．亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表． 类别 时间t（小时） 人数 A 5 B 20 C a D 30 E 10 请根据图表信息解答下列问题： (1)a＝________； (2)补全条形统计图； (3)小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？ (4)据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数． 【答案】(1)35 (2)条形统计图见解析 (3)小时 (4)22.5万人 【分析】（1）用样本总量100减去类别的人数，即可求出； （2）由（1）所求的值即为类别的人数，即可补全条形统计图； （3）根据中位数的定义，将这组数据按从小到大的顺序排列，求出第50个与第51个数的平均数即为中位数； （4）用样本估计总体的计算方法进行求解即可. 【详解】（1）由题表可得，； （2）补全条形统计图如图所示． （3）根据中位数的定义可知，这组数据的中位数落在类别，所以小王每天进行体育锻炼的时间范围是：； （4）由于（万人）； 所以估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万． 题型五 根据折线统计图解决实际问题 17．国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 【答案】C 【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值，A正确； 对于B，差异平均值为，B正确； 由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确； 对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C错误． 18．地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的环比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【答案】BCD 【分析】根据图表中信息，以及地方一般公共预算收入的月累计值和同比增长的概念，逐一判断各选项的正误，判断结果. 【详解】由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元），4月的地方一般公共预算收入为（亿元），可知选项A错误； 9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以选项B正确； 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以C正确； 2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年10月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为，所以D正确； 故选：BCD. 19．某同学将全班某次数学考试成绩整理成折线统计图，如图所示，估计此次考试成绩的中位数是________．    【答案】115 【分析】根据频率分布折线图和中位数的概念可得. 【详解】 根据频率分布折线图，因为，中位数是从小到大排列为第20与第21的平均数，据此估计此次考试成绩的中位数是115. 故答案为：115. 1 学科网（北京）股份有限公司 $