第十九章 二次根式 第1讲 二次根式的初步计算讲义 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第1讲二次根式的计算初步原卷版 目录 课时1二次根式的概念和性质 … 2 课时1二次根式的概念和性质加油练习题 课时2最简二次根式与分母有理化.6 课时2最简二次根式与分母有理化加油练习题 8 课时3二次根式估算… 9 课时3二次根式估算加油练习题 10 课时4二次根式的四则运算. 12 课时4二次根式的四则运算加油练习题… 14 y 课时1二次根式的概念和性质 知识讲解 二次根式一般地，形如va(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数 例：V2,V4,,v,2+1. 二次根式的双重非负性：对于va,①a≥0，②va≥0 例：2-I=1-x→ ∫x-1≥0 11-x≥0 两个重要公式：(wa)2=a(a≥0)》 (a>0) √&=lal= (a=0) l-a (a<0) 例：（N+)=2+1 9例题1 1.下列各式中，属于二次根式的是(). A.V-3 B.2 C.√2a D./4 9例题2 2.当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义 (1)W3-它 (2)V2+1 1 (3V2x-7 2 (4)元 2+x ⑨例题3 3.若2<m<8,化简：√2-m2-√m-82= 9例题4 4.若实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简V@-)2-√a-)2+的结果是(). A.1 B.b+1 C.2a D.1-2a 9例题5 5.已知a,b,c在数轴上的位置如下图所示，化简a--√(a+c2+Ve-a2-VF=一 0 b 3 课时1二次根式的概念和性质加油练习题 1.下列各式中，一定属于二次根式的是() A.3 B.2 C.3 D.√3-2 2.当r是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ (1)v-2z+6: (2)+4 2-59 (3)V3z; 3.若5<m<9,则化简V3-m2+√(m-10)2的结果是(). A.-7 B.7 C.2m-13 D.13-2m 4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√a+12+√仍-2-√a-的结果是(). 。1 A.-2 B.2a C.2b D.0 5.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简a-√a+c2+√e-a2+√仍-c c 0 a 5 课时2最简二次根式与分母有理化 日知识讲解 最简二次根式1、被开方数中不含能开的尽的因数或因式 例：V180=6v5 2、被开方数中不含分母 一氵 2 3、分母中不含根号 例：方当 9例题1 1.下列二次根式是最简二次根式的是(). A.V⑧ BV月 C.√42 5 D.6 9例题2 4 2.化简：v20=一√=— 9例题3 3.化简二次根式√层a<0)得（入 B-&a画 CiV-a 6 D.-EV-ab 9例题4 4.已知a<b,化简二次根式v-2a的结果是 日知识讲解 分母有理化：分母里不能有根号 11×=@ √avax_ a a a x Va=Va× =w@=√a a 1 【平方差】 va-1=(va-1) -va+1 a-1 √a-Vi=(va-v⑥ =Va+V8 a-b 9例题5 5.化简下列二次根式： 2V+3 (1)5+ (2)2√m-3V@ 课时2最简二次根式与分母有理化加油练习题 1.下列二次根式是最简二次根式的是(). A.2⑩ 5 B.\ 1 C.顶 D.5 2.化简： (1)5风=_； 3.请化简下列各题（写出简化过程）： 4 (+ (②)3va-4v6 3a+4v6 4.化简二次根式： 2>0= 5.已知a>b,化简二次根式√一ab的正确结果是(). A.bVab B.by-ab C.-byab D.-bV-ab 课时3二次根式估算 已知识讲解 当m2≤a<(m+1)2时(m为非负整数)，m≤a<m+1 例如：①i<2<<A<5<<7<v⑧<v<W⑩ 1<2<√<2<5<<√7<v⑧<3<⑩ ②v4<<√ 2<√6<3 ③√G<√红<√4细 6<红<7 ④√<√⑩<16 3<1而<4 9例题1 1.已知a,b为两个连续整数，且a<√3<b,则a+b= 日知识讲解 当m2≤a<(m+1)2时(m为非负整数)，m≤va<m+1. 例如：√② _2<2<()2 1<√2<2 .√2的整数部分是1 √2的小数部分是√2-1 例如：1.5=1+0.5 2.3=2+0.3 3=3+0 v2=1+(√2-1) √=1+(3-1) √10=3+（√10-3） 数=整数部分+小数部分 小数部分=数-整数部分 -4-I0i4Vg而V需 例如：-2.1=-3+0.9 练一练：√的整数部分是 9例题2 2.设13的整数部分为a,小数部分为b,则2a-b的值为 9例题3 3.已知5+红的整数部分为a,5-√红的小数部分为b,求a+的值. 课时3二次根式估算加油练习题 1.已知a,b为两个连续整数，且a<√3红<b,则a+b值分别为(). A.7 B.9 C.11 D.13 10第1讲二次根式的计算初步解析版 目录 课时1二次根式的概念和性质 .1 课时1二次根式的概念和性质加油练习题 课时2最简二次根式与分母有理化.6 课时2最简二次根式与分母有理化加油练习题 8 课时3二次根式估算… 11 课时3二次根式估算加油练习题 .13 课时4二次根式的四则运算. 14 课时4二次根式的四则运算加油练习题… 17 y 课时1二次根式的概念和性质 日知识讲解 二次根式一般地，形如va(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数 例：V2,V4,,v,2+1. 二次根式的双重非负性：对于va,①a≥0，②va≥0 例：VE-I=1-x+ ∫x-1≥0 11-x≥0 两个重要公式：(wa)2=a(a≥0)》 (a>0) √&=lal= (a=0) l-a (a<0) 例：（N+)=2+1 9例题1 1.下列各式中，属于二次根式的是(). A.V-3 B.2 C.√2a D./4 【答案】D 【解析】 无解析 9例题2 2.当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义， (1)W3-它 2 (2)Wx2+1 1 (3√2x-7 (4)a 2+x 【答案】(1)略 (2)略 (3)略 (4)略 【解析】1) (2) (3) (4) 9例题3 3.若2<m<8, 化简：V2-m2-V(m-82=_ 【答案】2m-10 【解析】 无解析 9例题4 4.若实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简√a-12-√a-+b的结果是(). 01 A.1 B.b+1 C.2a D.1-2a 【答案】A 【解析】 无解析 9例题5 5.已知a,b,c在数轴上的位置如下图所示，化简a--√a+c2+√c-a2-VF= 【答案】-a+2c 【解析】无解析 课时1二次根式的概念和性质加油练习题 1.下列各式中，一定属于二次根式的是() A.V-3 B.√2 C.3 D.3- 【答案】B 【解析】解：A.√3中-3<0，.√一3无意义，故A项不符合题意： B.√2中2>0，.√2有意义，故B项符合题意； C.是三次根号，∴不是二次根式，故C不符合题意： D.,√3-工中当≤3时二次根式有意义，∴.V3-z有可能是二次根式，故D不符合题意. 故选：B 4 2.当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ (1)v-2z+6: (②)V金+4 x-5 (3)v3x2; 6 【答案】(1)z≤3： (2)x≥-4且x≠5： (3)为全体实数： (4)a>-1. 【解析】解：(1)根据题意可知，-2红+6≥0，解得x≤3： ②根搭题意可知，{+8解得≥4且5： (3)根据题意得3x2≥0，解得r为全体实数； (4)根据题意得，a+1>0,解得a>-1. 3.若5<m<9,则化简V3-m2+V(m-10)的结果是(. A.-7 B.7 C.2m-13 D.13-2m 【答案】B 【解析】解：：5<m<9, 3-m<0,m-10<0, V3-m2+√m-102=m-3+10-m=7. 故选：B. 4.实数a、在数轴上的位置如图所示，化简√a+1)2+√仍-1)2-√a-)的结果是(）. A.-2 5 B.2a C.2b D.0 【答案】B 【解析】解：由题意得，-1<a<0<1<b, a+1>0,b-1>0,a-b<0 Va+12+V6-12-Va-b2=a+1+b-1-(6-a)=2a 故选：B. 5.已知a、6、c在数轴上的位置如图所示，化简a-Va+c2+√e-a2+√仍-c 0a6> 【答案】3a+b-c 【解析】解：根据题意得：c<0<a<b,且a<c, ∴.a+c<0,c-a<0,b-c>0, 则原式=a+a+c+a-c+b-c=3a+b-c. 课时2最简二次根式与分母有理化 日知识讲解 最简二次根式1、被开方数中不含能开的尽的因数或因式 例：√180=6v5 2、被开方数中不含分母 一； 冷9 2 6 3、分母中不含根号. 9例题1 1.下列二次根式是最简二次根式的是(). A.√⑧ BV月 C.V42 5 D.6 【答案】C 【解析】 无解析 9例题2 4 2.化简：V20=一：√7=— 【答案】5v102w3 9 【解析】无解析 9例题3 3化简二次根式侣(a<0)得《入 B.-gVab C.v-ab D.-5v-ob a 【答案】A 【解析】 无解析 9例题4 4.已知a<b,化简二次根式v√-2a的结果是 【答案】-a√-26 【解析】a<b,V-2ab有意义， .a<0,b<0, .V-2a2b=-aV-2b. 日知识讲解 分母有理化：分母里不能有根号一： 1 1× =Va √ava× a a ax √a=Va× =ava=√a a 1 【平方差】√a-i=(a-可 =va+1 a-1 1 √a-Vi=(wa-同 =Va+VB a-b 9例题5 5.化简下列二次根式： 2 (1)5+ 2vE+3V/@ (2)2√压-3V0 【答案】(1)略 6 (2)略 【解析】(1) (2) 课时2最简二次根式与分母有理化加油练习题 1.下列二次根式是最简二次根式的是(). A.V/20 BV 1 C. D.5 【答案】D 【解析】解：A√而=2√5，不是最简二次根式，故A不符合题意： 作 2, 不是最简二次根式，故B不符合题意： CV侣=受，不足报简=次根式，故不特合题意： D.√是最简二次根式，故D符合题意. 故选：D 2.化简： (1)V54=: / 【答案】3√6 √6 4 【解析】解：(1)54 =V⑨x6 9 =3V6; @ 3 =√4×2 =V3 2v2 、 41 3.请化简下列各题（写出简化过程）： 4 ()+7 (②)3v6-4v6 3va+4v6 【答案】（西，7： 2 (2)9a-24va画+16b 9a-16b 4(√15-√T) 【解析】解：（国原式=5+V7(西-V7 =4(V西-V⑦ 8 =5-v7 2 (3v/a-4v6)2 (②)原式= (3va+4v⑥·(3va-4vb) 9a-24vab +16b 9a-16b 4.化简二次根式： 2 √18zy>0)= 【答案】w② 6x 【解析】 解：原式=VF V182 3v2x -yW② 10