2.4一元二次方程的应用 同步自主达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《2.4一元二次方程的应用》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．一个长方体木盒的高是，长比宽多，体积是，求这个木盒的长．设这个木盒的长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某企业1月份的生产总值为500万元，受疫情影响，3月份的生产总值降至360万元，若设平均月降低率为，则可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔几步”，现设阔为x步，则列方程为（    ） A． B． C． D． 4．化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次．若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（  ） A． B． C． D． 6．如图，某学校计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分学生种植实习地，若使每块种植地的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为(    )． A．2 B．4 C．10 D．2或10 8．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为 ． 10．某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是 人． 11．某人工智能大模型七月份用户数量为亿，九月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为 ． 12．如图，若线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则 ． 13．在手工课上，小明用一张长、宽的长方形硬纸板制作无盖长方体纸盒．制作方法是：在硬纸板四个角剪去大小相同的正方形，折起四边（接口忽略不计）．若纸盒的底面积为，则剪去的正方形的边长为 ．    14．小明妈妈在国庆节期间以155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以售出20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1500元，为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打 折出售？ 15．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为 米． 16．直角三角形纸片中，，将、分别沿着、折叠，使点、恰好都落在点，且．已知，则 ． 三、解答题（满分72分） 17．泾阳茯茶是再加工茶类中黑茶紧压茶的一种，距今已有数百年的历史，它是一款中国陕西省特有的传统茶品．元旦期间，某平台从某茯茶加工厂以250元一盒的价格采购了一批泾阳茯茶．以每盒400元的价格售出．这种茯茶的周销售量为400盒．为了尽快减少库存，元旦前夕，该平台打算降价促销．经调查发现．这种茯茶每盒的售价每降价1元，每周可以多售出5盒．请问这种茯茶的售价每盒降价多少元时，该平台销售这种茯茶一周可获得的利润为65000元？ 18．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 19．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 20．如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料(全部用完)，设的长为． (1)的长为 ；的取值范围是 ； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为； (3)玲玲说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断玲玲的说法正确吗？并说明理由． 21．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 22．如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为米，宽为米． (1)求通道的宽度； (2)某园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是元平方米，超过平方米后，每多出平方米，所有“四季青”的种植单价可降低元，但单价不低于元平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了平方米，支付该园艺公司种植“四季青”的费用为元，求种植“四季青”的面积． 23．某商场销售某品牌冰箱，每台进货价为元．请你运用所学数学知识根据市场情况和该商场老板的要求，帮助制定这种冰箱的销售策略． 商场进行试销，当销售价为元时，平均每天能售出台；而当销售价每降低元时，平均每天就能多售出4台． 任务一： （1）设每台冰箱降价元，用含的代数式填空： ①降价后，该冰箱的售价为（___________）元； ②降价后，每台冰箱的利润为（___________）元，平均每天售出冰箱（___________）台． 任务二： （2）实际销售中，促销活动规定售价不能超过元．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的定价应为多少元？ 参考答案 1．解：设这个木盒的长为，则木盒的宽为， 根据题意，， 故选：C． 2．解：依题意，得， 故选：A． 3．解：∵设阔为x步，长比阔多12步， ∴长为步， ∵矩形面积为864平方步， ∴列方程为，即． 故选：B． 4．解：根据题意可知做实验的学生人数为名， 而全班有43名学生，则， 故选：B． 5．解：月平均增长率为，第一个月进馆人次：， 第二个月进馆人次：， 第三个月进馆人次： 累计进馆人次， 故选：A． 6．解：设道路宽度为x米， 根据题意得，， 故选：A． 7．解：四边形是矩形， ， ， 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 解得 不合题意，舍去． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 8．解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 9．解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 10．解：设学生人数为n， 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴这个班的学生人数是人， 故答案为：50． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设八、九月份用户数量的月平均增长率为， 根据题意得，， 故答案为：． 12．2或6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、三角形的面积等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 延长相交于点，则是直角三角形，根据线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：如图，延长相交于点， 则是直角三角形， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∴m为2或6， 故答案为：2或6． 13．2 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意，得． 整理，得． 解得（舍去），， 则剪去小正方形的边长是． 故答案为：2． 14．9 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设每件商品降价x元，根据盈利条件列一元二次方程，解方程得到降价金额，再计算折扣率． 【详解】解：设每件商品降价x元，则每件利润为元，即元；每天销售量为件．根据每天盈利1500元，得 ． 整理得：， 即， ， ， 解得或． 为尽快减少库存，取，折扣率为折． 故答案为：9． 15．20，20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为米，则的长度为米，然后根据矩形的面积公式列出方程，结合题意舍掉不合适的结果即可． 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 或， 舍去， ，， 答：羊圈的边长，各为20米，20米． 故答案为：20，20． 16．4 【分析】本题考查了勾股定理、平行线的性质以及折叠，先利用折叠性质得到，再由推出，再用勾股定理列方程求解，最后根据即可． 【详解】解：由折叠可知． 设， ， ． 、， ， ， ， 在中， ， 解得：或， ， ． 故答案为：． 17．50元 【分析】设降价为x元，则每盒的盈利元，每周可售出件，根据题意，得，解得即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】解：设降价为x元，则每盒的盈利元，每周可售出件 ，根据题意，得， 整理得， 解得， 因为要尽快减少库存，所以销量应尽可能大，故应取的较大值，所以，即每盒降价50元． 答：要降价50元． 18．(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 19．(1)或 (2)能， 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 20．(1)； (2)当为时，矩形花园的面积为 (3)玲玲的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程在面积问题中的应用，关键是根据墙的长度关系列出表达式，再结合面积公式列方程求解． （1）设，先根据三面墙的总长推导出的表达式；再结合旧墙的长度限制，列出不等式组确定的取值范围； （2）矩形面积，代入、，列出方程，求解得到两个根，检验解的合理性即可； （3）假设面积为，根据面积公式列出方程，计算判别式，根据判别式判断合理性即可． 【详解】（1）解：设， ∵三面墙总长为，且， ∴； ∵旧墙最长为，且墙长为正， ∴， 解得； 故答案为：；． （2）解：根据题意，矩形面积为， 整理得， 解得，； ∵， ∴舍去， 故当时，矩形花园面积为． （3）解：矩形花园的面积为， 则，整理得， ∵， ∴方程无实数根， 故玲玲的说法不正确． 21．(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 22．(1)通道的宽度为米 (2)种植“四季青”的面积为平方米 【分析】本题考查一元二次方程的应用； （1）设通道的宽度为米．由题意，解方程即可； （2）设种植“四季青”的面积为平方米． 【详解】（1）解：设通道的宽度为米． 由题意， 解得或舍去， 答：通道的宽度为米． （2）解：设种植“四季青”的面积为平方米． 由题意：， 解得， 答：种植“四季青”的面积为平方米． 23． 任务一：（1）①②，；任务二：（2）元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①利用降价后该冰箱的售价试销时该冰箱的售价每台冰箱降低的价格，可用含的代数式表示出降价后该冰箱的售价； ②利用降价后每台冰箱的利润降价后每台冰箱的售价每台冰箱的进价，可用含的代数式表示出降价后每台冰箱的利润；利用降价后每天的销售量试销时每天的销售量，可用含的代数式表示出降价后每天的销售量； （2）利用总利润每台的销售量日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其代入中，取其符合题意的值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：降价后，该冰箱的售价为元； 故答案为：； ②根据题意得： 降价后，每台冰箱的利润为元， 平均每天售出冰箱台； 故答案为：，； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每台冰箱的定价应为元． 学科网（北京）股份有限公司 $