28.2.1 解直角三角形 导学案 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦“解直角三角形”，核心知识点包括直角三角形五个元素（三边、两锐角）的关系及求解方法。课堂以比萨斜塔情景引入，知识回顾复习特殊角三角函数值和直角三角形基本关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 特色在于情景化问题链引导探究，通过实际案例培养几何直观和抽象能力，典例与分层习题提升运算能力和推理意识，中考链接强化应用意识，助力学生用数学思维解决实际问题。

28.2.1 解直角三角形 导学案 学习目标 1. 理解并掌握直角三角形的概念； 2. 理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系； 3. 能综合运用勾股定理、直角三角形两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. ； 4. 培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法． 重难点突破 1.在解直角三角形的过程中，一般要用到下面的一些关系： （1）直角三角形(除直角外)的五个元素： 边： a . b . c . 角： ∠A . ∠B . （2）三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)； （3）两锐角之间的关系：∠ A + ∠ B =90°； （4）边角之间的关系： sin A= = ，sin B= = . cos A= = ，cos B= = . tan A= = ，tan B= = . 解直角三角形常见类型及方法: 核心知识 1）直角三角形(除直角外)的五个元素： 边： . . . 角： . . （2）三边之间的关系： ； （3）两锐角之间的关系： ； （4）边角之间的关系： sin A= ， sin B= . cos A= ， cos B= . tan A= . tan B= . 解直角三角形常见类型及方法: 【知识回顾】 1. 将30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表： 2.如图，在Rt△ABC 中，共有六个元素(三条边，三个角)，其中∠C=90°. (1) 三边之间的关系： ； (2) 锐角之间的关系： ； (3) 边角之间的关系： sinA= ，cosA= ，tanA= . 【情景引入】 如图，比萨斜塔1972 年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C， 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5.2 m，AB=54.5 m，根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角。你愿意试着计算一下吗? 【提问】在直角三角形中知道几个条件可以求解其它未知量呢? 【问题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8 ，你能分别求出∠B，AC，BC吗？ 【问题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=20°，AC=6，你能分别求出∠B，AB，AC吗？ 你发现了什么? 【问题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4， AB=5，你能求出这个直角三角形的其它元素吗？ 【问题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ∠B=30°，你能求出这个直角三角形的其它元素吗？ 你发现了什么? 【小结】 1)一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即 条边和 个锐角，只要知道其中的 个元素( )，就可以求出其余的 个未知元素. 2)由直角三角形中的已知元素，求出其余 的过程，叫解直角三角形. 3)在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系: 1）直角三角形(除直角外)的五个元素： 边： . . . 角： . . （2）三边之间的关系： ； （3）两锐角之间的关系： ； （4）边角之间的关系： sin A= ， sin B= . cos A= ， cos B= . tan A= . tan B= . 解直角三角形常见类型及方法: 【典例解析】 例1 如图 ，在 Rt△ABC 中，∠C=90°AC= ，BC= ，解这个直角三角形. 例2 如图 ，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位). 【巩固练习】 1. 在△ABC 中，已知∠C=90°，b+c=30，∠A-∠B=30°，解这个直角三角形. 2.已知△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（ ） A.3.5 B.4.2 C 5.8 D.6.5 3.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA= ，∠A，∠B为锐角，求tan B的值. 【随堂检测】 1. 根据下列条件解直角三角形，结果不能确定的是( ) ①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知一斜边和一锐角； ⑤已知一直角边和斜边． A．②③ B．②④ C．② D．②④⑤ 2. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13 米，已知 cos α = ，则小车上升的高度是( ) A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米 3.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E，连接 BD，则tan∠DBC 的值为( ) A. B.-1 C.2- D. 4.如图，在△ABC中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求AC和AB的长． 5.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，sinC= ， AC=8，BD平分∠CBA交AC边于点D. 求： (1)线段AB的长； (2)tan∠DBA的值. 【链接中考】 1.(2024·内蒙古包头·中考真题)如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且 BE=EF=FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG.若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为( ) A. B. C. D. 2.(2020·江苏盐城·中考真题) 如图，在△ABC中，∠C=90°，tan A= ，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD= ，求AB的长. 参考答案 【情景引入】 如图，比萨斜塔1972 年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C， 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5.2 m，AB=54.5 m，根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角。你愿意试着计算一下吗? sin A= = = 0.095 4，利用计算器可得∠A≈5°28′. 【提问】在直角三角形中知道几个条件可以求解其它未知量呢? 【问题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8 ，你能分别求出∠B，AC，BC吗？ ∵ ∠C=90°，∠A=30°，AB=8 ， ∴∠B=60°，BC=4. ∵由勾股定理得AC= = 4 . 【问题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=20°，AC=6，你能分别求出∠B，AB，AC吗？ ∵ ∠C=90°，∠A=20°，AC=6 ， ∴∠B=70°， ∵在 Rt△ABC 中， cosA= ， ∴AB= = ≈ 6.383， ∵在 Rt△ABC 中， tanA= ， ∴BC = AC·tan20°= 6×0.364=2.184. 你发现了什么? 在直角三角形中，已知一个锐角和任意一条边长，可以求出另一个锐角和其它两条边长. 【问题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4， AB=5，你能求出这个直角三角形的其它元素吗？ ∵ ∠C=90°，AC=4， AB=5， 由勾股定理得BC= =3，∴sinA= = ， 由此，可以通过计算器求出∠A，进而可求出∠B. 【问题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ∠B=30°，你能求出这个直角三角形的其它元素吗？ 不能 你发现了什么? · 在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出另一条边长和其它两个锐角的度数. · 在直角三角形中，已知两个锐角度数，无法求出三条边长. 【小结】 1)一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即 三 条边和 两 个锐角，只要知道其中的 两 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素. 2)由直角三角形中的已知元素，求出其余 未知元素的过程，叫做解直角三角形. 3)在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系: 1）直角三角形(除直角外)的五个元素： 边： a . b . c . 角： ∠A . ∠B . （2）三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)； （3）两锐角之间的关系：∠ A + ∠ B =90°； （4）边角之间的关系： sin A= ，sin B= . cos A= = ，cos B= = . tan A= = ，tan B= = . 解直角三角形常见类型及方法: 【典例解析】 例1 如图 ，在 Rt△ABC 中，∠C=90°AC= ，BC= ，解这个直角三角形. 解： ∵ tanA = = = ， ∴ ∠A = 60°， ∠B = 90°－∠A= 90°－ 60°=30°， ∴ AB=2AC =2 . 例2 如图 ，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位). 解：∠A=90°－ ∠B= 90°-35°=55°， ∵ tan B= ，∴ a= = ≈ 28. 6. ∵ sin B= ，∴ c= = ≈ 34.9. 【巩固练习】 1.在△ABC 中，已知∠C=90°，b+c=30，∠A-∠B=30°，解这个直角三角形. 解：∵∠C=90°， ∴ ∠A+∠B=90°， ∵ ∠A-∠B=30°， ∴ ∠A=60°， ∠B=30°， ∵sin30°= = ， ∴ b= c， ∵b+c=30， ∴ c +c=30， 解得 c=20，则b=10，a= =10 . 2.已知△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（ ） A.3.5 B.4.2 C 5.8 D.6.5 解析：根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于3，在△ABC中，∠C=90°，AC=3， ∠B=30°， ∴ AB=6， ∴ AP的长不可能大于6. 故选D 3.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA= ，∠A，∠B为锐角，求tan B的值. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 则sinA= = ， ∴CD = AC=4， 在Rt△BCD中，BC=5，CD=4， ∴ BD = =3， ∴ tanB= = . 【随堂检测】 1. 根据下列条件解直角三角形，结果不能确定的是( C ) ①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知一斜边和一锐角； ⑤已知一直角边和斜边． A．②③ B．②④ C．② D．②④⑤ 2. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13 米，已知 cos α = ，则小车上升的高度是( A ) A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米 3.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E，连接 BD，则tan∠DBC 的值为( A ) A. B.-1 C.2- D. 【解析】∵ △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠C=45°，BC= AC， 又∵点D为边 AC的中点， ∴ AD=DC= AC， ∵ DE⊥BC 于点E， ∴ ∠CDE=∠C=45°， ∴ DE=EC= DC= AC， ∴ tan∠DBC= = = . 故选： A 4.如图，在△ABC中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求AC和AB的长． 解：如图作CH⊥AB于H． 在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°， ∴CH= BC=6，BH= =6 ， 在Rt△ACH中，tanA= = ， ∴AH=8， ∴AC= =10， ∴AB=AH+BH=8+ 6. 5.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，sinC= ， AC=8，BD平分∠CBA交AC边于点D. 求： (1)线段AB的长； (2)tan∠DBA的值. 解：(1) ∵ Rt△ABC中，∠CAB=90°， ∴ sinC= = ，BC2 － AB2 = AC2 ， ∴可设AB=3k，则BC=5k， ∵ AC=8， ∴(5k)2 － (3k)2 =82， ∴k=2(负值舍去)， ∴AB=3 ×2=6； (2)过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8－x. ∵ BD平分∠CBA交AC边于点D ， ∠CAB=90°， ∴ DE=AD=x. 在 Rt△BDE与Rt△BDA 中， BD=BD，DE=DA， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△BDA(HL) ， ∴BE=BA=6， ∴CE=BC－BE=5 ×2 －6=4， 在 Rt△CDE中， ∵∠CED=90°， ∴DE2+CE2=CD2， ∴ x2+42=(8－x)2， 解得x=3， ∴AD=3， ∴ tan∠DBA= = = . 【链接中考】 1.(2024·内蒙古包头·中考真题)如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且 BE=EF=FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG.若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为( ) A. B. C. D. 【解析】【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值. 过点G作GH⊥BC，证明△AGD≈ △FGE，得到 = = ，再证明△GHF≈ △ABF，分别求出 HG，FH的长，进而求出 BH的长，勾股定理求出 BG的长，再利用正弦的定义，求解即可. 【详解】解：∵矩形ABCD，BE=EF=FC，AB=4，BC=6， ∴AD=BC=6，AD∥BC，BE=EF=FC=2， ∴ △AGD≈ △FGE， BF=4， ∴ = = ， ∴ = ， 过点G作GH⊥BC，则： GH∥AB， ∴ △GHF ≈△ABF， ∴ = = = ， ∴FH= BF=1，GH= AB=1， ∴BH=BF－FH=3，∴BG= = ， ∴ sin∠GBF= = = ， 故选： A. 2.(2020·江苏盐城·中考真题) 如图，在△ABC中，∠C=90°，tan A= ，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD= ，求AB的长. 【分析】由tanA= 求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由 BD是∠ABC 的平分线得出∠ CBD=30°，进而求出BC的长，最后用 sin ∠A即可求出 AB的长. 解：∵在Rt△ABC中， ∠C=90°，tan A= ， ∴ ∠A=30°，∠ABC=60°， ∵ BD 是∠ABC 的平分线， ∴ ∠CBD=∠ABD=30°， 又∵ CD=， ∴ BC= =3， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A=30°， ∴ AB= = 6. 故答案为：6 学科网（北京）股份有限公司 $