第27章 相似 复习课-2025-2026学年九年级下册数学同步辅导（人教版2012）

复习课 糞例精标 【例1】如图27-1，晚上，小亮走在大街上 (1)求证：△ABC∽△FCD; 他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并 (2)若S△cD=5,BC=10,求DE的长. 且自己被两盏路灯照在地上的两个影子成一直 思路分析：(1)利用线段相等可以得到角相 线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长 等，就可得到相似的条件；(2)利用相似三角形 为1.5米，自己身高1.80米，两盏路灯的高相 的面积之比等于相似比的平方可 同，两盏路灯之间的距离为12米，求路灯的高. 以解决该问题. 思路分析：利用EF∥AB和EF∥CD构造 (1)证明：.AD=AC 图27一2 相似三角形解答， .∠ACB=∠FDC 解：由题意，得EF=1.80米，MF=1.5米， D是BC边的中点，DE⊥BC, NF=3米，BD=12米. .BE=CE,∴∠ABC=∠FCD, 设AB=CD=h米， .△ABCp△FCD. DN=x米， MF ND (2)解：过点A作AH⊥BC于点H 则BN=(12-x)米， 图27-1 .△ABC△FCD,D是BC边的中点， DM=1.5+3+x=(4.5+x)(米). BC2 DC=4. .EF⊥BD,AB⊥BD, 又.S△cD=5,BC=10, .EF∥AB,.△NEFc∽△NAB, .NF_EF ∴.S△BC=4S△FCD=20, NB AB S△ABC= C·AH=20MH=4 即122，变形得合-12.@ 又.AD=AC,AH⊥CD, 同理，可得合-么5三.@ ∴.H为DC的中点，.DH=2.5. 5 AH∥DE, ①+②得合-16,5 ∴.∠BDE=∠BHA,∠BED=∠BAH, 5 ,解得h=6.6. ∴.△BDE∽△BHA, .路灯的高为6.6米. DE AH=BD:BH,.DE=8 点拨：在本题的解答过程中，由于EF∥ AB,EF∥CD,所以利用两个“A”形基本图形及 点拔：本题是一个证明兼计算的综合题， 相似三角形的性质构造比例式.为了直接求得 (1)问通过找两个角相等证明相似是我们必须 路灯的高h,通过比例式的变形与相加，消去辅 熟练掌握的一种基本方法，(2)问有一定的难 助未知数x,从而减少了计算量. 度，由于想到面积法，从而想到作AH⊥BC,进 【例2】如图27-2，在△ABC中，D是BC 而利用等腰三角形的性质，其思维是具有一定 边的中点，且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相 跳跃性的，平时不多动脑筋思考，在中考中是难 交于点E,EC与AD相交于点F. 于处理的. 综合复习 1.如图27一3，在每个小正方形边长都为1个单 的面积为3，则△BOC的面积为 位长度的正方形网格中，点P是△ABC某个 顶点经过以原点O为位似中心，作位似变换 后得到的对应点，则点P的对应点是( 0 A.点A B.点B 图27-6 图27-7 C.点C D.A、B、C三点都可以 6.如图27一7，△ABC与△A1BC1为位似图 形，点0是它们的位似中心，相似比是？，已 知△ABC的面积为3，那么△A1BC1的面积 是 图27-3 图27-4 7.四边形ABCDO四边形A'B'C'D',已知数据 2.如图27一4，正方形ABCD中，E为AB的中 如图27一8所示，则x ，y ,∠D'= 点A1DE于点O.则88等T( 120 A2R司 c号 D.2 5 3.下列说法中正确的有() 50 90° ①有一个角相等的两个等腰三角形相似； 图27-8 ②有一个角对应相等的两个直角三角形相 8.如图27-9，在△ABC中，∠BAC=90°，BC 似；③两个等边三角形相似；④底角相等的两 边的垂直平分线交AB于点D,交CA的延长 个等腰三角形相似， 线于点E,BC的中点是M,连接AM.求证： A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 △ADM∽△EAM. 4.如图27一5，三个并排放置的正方形，其中相 似的两个三角形是( 图27-9 图27-5 A.△AOB与△ABCB.△ABC与△ACD C.△ABC与△DBAD.△AOC与△ABD 5.如图27-6，在梯形ABCD中，AD∥BC,对角线 AC、BD相交于点O.若AD=1,BC=3,△AOD15.解：(1)由已知得k=-2. 把点(3,1)和k=-2代入y=kx十b中， 得1=-2×3十b,.b=7. (2):位似比为2 ∴.函数y=kx十b的图象有两种情况（如 答图27-9-5)： ①不经过第三象限时，过(1,0)和(0,2)， 易求函数表达式为y=一2x十2； ②不经过第一象限时，过（一1,0）和(0，一2)， 易求函数表达式为y=一2x一2. 精彩一题 解：(1)画出△A'B'C',如答图27-9-6. 答图27-9-6 (2)B点坐标为(0,6)..PC:PC=3:1, ∴.C点坐标为(3,0) 设线段BC所在直线的函数关系式为y= kx+b. 6=b, k=一2， 则 解得 0=3k十b, b=6. .线段BC所在直线的函数关系式为y= -2x+6. 复习课 【综合复习】 1.A2.D3.B 4.C点拨：设小正方形的边长为1，那么AB ,c=1.sD=2品-能=号 2 又.'∠ABC=∠DBA,∴.△ABC∽△DBA. 5.276.12 7.6.44.8100°点拨：由四边形ABCD∽ 四边形NgCp,得音=是=子 x 6.4,y=4.8..四边形ABCD四边形 A'B'C'D',.∠B=∠B=50°，∠C'= ∠C=90°.又.∠A'=120°，.∠D'= 360°-50°-90°-120°=100°. 8.证明：如答图27一1， .在Rt△ABC中， BM=CM, .AM=BM,.∠1=∠B.B 又.∠B+∠C=90°， 答图27一1 ∠E+∠C=90°， .∠B=∠E,.∠E=∠1. 又.'∠AMD=∠EMA, .△ADM∽△EAM. 9.解：.AC=√6，AD=2, .CD=√AC2-AD'=√2. 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： ①当Rt△ABC∽Rt△ACD时， 有品是AB-品 AD 3 ②当Rt△ACB∽Rt△CDA时， 有S把AB-2S=3E 故当AB的长为3或3√2时，这两个直角三 角形相似. 10.解：(1).CE∥AD, 部船∠2=∠ACR∠1=∠R .AD平分∠BAC,.∠1=∠2. .∠ACE=∠E ∴.AE=AC 能昭 (2)9+35 点拨：AB=3,BC=4, ∠ABC=90°，∴.AC=√AB2+BC=5.