27.2.4 相似三角形的判定2-2025-2026学年九年级下册数学同步辅导（人教版2012）

精彩一题 在图27-3-1@中，当是-中时，参照上 在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的 述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并 任意一点，BE交AD于点O,某学生在研究这 给出证明（其中n是正整数）. 一问题时，发现了如下的事实： 图27-3-11 1当能=时，有8号品（如 图27-3-11①)； (当能=言=中2时：有品是=异2（如 图27-3-11②)； ()当=中时，有0=2异（如 图27-3-11③). 第4课时相似三角形的判定（二） 基础巩固 1.如图27一4一1，每个正方形均由边长为1的 2.在△ABC和△A'B'C'中，如果AB=7,BC= 小正方形组成，则下列图中的三角形（阴影部 5.CA=3,AB=子，BC'=1.CA'=号那 分)与△ABC相似的是( 么() A.∠A=∠A1 B.∠A=∠B1 B 图27一4-1 C.∠A=∠C D.以上答案均不对 3.(易错题)如图27-4-2，已知△ABC,D、E5.如图27-4-4，在△ABC中，AB=25,BC= 分别是AB、AC边上的点，AD=3cm,AB 40,AC=20.在△ADE中，AE=12,AD= 8cm,AC=10cm.若△ADE与△ABC相似， 15,DE=24.求证：△ADB∽△AEC. 则AE的值为( D A.c Bm或号m B 图27-4一4 c.m或号cm 5 D.1 cm 图27-4-2 图27-4一3 4.如图27-4-3，BD平分∠ABC,且AB=4, BC=6,则当BD= 时，△ABD △DBC. 能力提升 1.△ABC和△A'B'C'中，AB=9cm,BC= 三角形相似，则△DEF的另两边长可以 8 cm,CA=5 cm,A'B'=4.5 cm,B'C'= 是( ) 2.5cm,C'A'=4cm,则下列说法错误的 A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm 是() C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm A.△ABC与△A'B'C'相似 4.如图27一4一6，在正方形网格上有六个三角 B.AB与A'B是对应边 形：①△ABC;②△BCD;③△BDE; C.两个三角形的相似比是2 ④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK.②~⑥中与 D.BC与B'C'是对应边 三角形①相似的是( 2.如图27-4-5，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁 A.②③④ B.③④⑤ 都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC, C.④⑤⑥ D.②③⑥ 则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的() 5.如图27一4一7，在正三角形ABC中，D、E分 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 别在AC,AB上，且把=台，AE=E,则 有() A.△AED∽△BED 图27-4-5 图27-4-6 B.△AED△CBD 3.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm, C.△AED△ABD 9cm,△DEF的一边长为4cm,要使这两个 图27一4-7 D.△BAD∽△BCD 6.满足下列条件的各对三角形中相似的两个三 9.如图27一4一10，在四边形ABCD中，∠B= 角形有() ZACD.AB=6.BC-4.AC-5.CD=77. ①∠A=60°，AB=5cm,AC=10cm,∠A'= 60°，A'B'=3cm,A'C'=6cm; 求AD的长. ②∠A=45°，AB=4cm,BC=6cm,∠D 45°，DE=2cm,DF=3cm; ③∠C=∠E=30°，AB=8cm,BC=4cm, DF=6 cm,FE=3 cm; 图27一4-10 ④∠A=∠A',且AB·A'C'=AC·A'B' A.1对B.2对C.3对 D.4对 7.如图27一4一8，在正方形ABCD中，E是AB 的中点，AF=AD.求证： (1)△FAE∽△EBC; 精彩一题 (2)FE⊥EC. 如图27一4一11，方格纸中每个小正方形的边长 图27-4-8 均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的 格点上 '2 8.如图27-4-9，已知△ABC、△DCE、△FEG 图27-4-11 是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明 在同一直线上，且AB=√5，BC=1,连接BF, 理由； 分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.求证： (2)P,P2,P,P4,P,D,F是△DEF边上的7个 △BFG∽△FEG,并求出BF的长. 格点，请在这7个格点中选取3个点作为三 角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相 似（要求写出2个符合条件的三角形，并在 图中连接相应线段，不必说明理由) 图27-4-9【能力提升】 1.A2.B3.D4.B 5.D点拨：在矩形ABCD中，AB=2,BC=3, 根据勾股定理，得AC=BD=√AB十BC= 2+8=E.EF∥AC/HGE 需EH/m/rG器怎装+ EH_EBAE=1,:EF+EH=AC- BD ABAB √I3..EF∥HG,EH∥FG,∴.四边形EF GH是平行四边形，.四边形EFGH的周 长=2(EF+EH)=2√/13. 能-品-瓷昌 7.证明：四边形ABCD为平行四边形， ∴.AE∥BC.∴.△OAE∽△OCB, 浩器 8.(1)证明：.AD∥BC, ∴△GBDo△GBCg霈2 又E是AD中点，DE=AE, 带能， (2)解：.AD∥BC,.△AEF∽△CBF, 能能 由8需-提器器 即零=2升EF EF2+5EF-6=0,.EF=1, 故EF的长为1. 精彩一题 解：依据题意可猜想：当怨=十时，有 82千成立 证明：过点D作DF∥BE交AC于点F, .D是BC的中点，.F是EC的中点. 能n可蜘瓷能品 器品品能异 点拨：此题的设计意在通过特例进行归纳、 猜想、证明来展示学生探究思维的能力.引 平行线证明比例线段的实质是构造基本图 形，本题添加辅助线的方法有多种， 第4课时相似三角形的判定（二） 【基础巩固】 1.A 2.B点拨：△ACB∽△B'C'A' 3.C 4.2√6 5证明：品-距-子 ∴.△ADEO△ABC, .∠DAE=∠BAC,.∠DAB=∠EAC. 又.AD:AB=AE:AC, ∴.△ADBp△AEC. 【能力提升】 1.D2.C3.C4.B 5.B点拨：设三角形ABC的边长为a.由题 意可知：AE=a,AD=号a,CD=号a, Bc=a,所以能=部=子又由∠A= ∠C=60°，可知△AED∽△CBD. 6.B 7.证明：(1)设AF=a, AD=AB=BC=4a,AE=BE=2a. ..AF_a_1.AE_2a_1 ·BE=2a=2'BC=4a=2 ∠A=∠B=90°， ∴.△FAE△EBC. (2)由△FAE∽△EBC可知∠AEF= ∠BCE. .∠BEC+∠BCE=90°， ∴.∠BEC+∠AEF=90°， ∴.∠FEC=90°，即FE⊥EC. 点拨：当已知边的数量关系和角的数量关 系时，一般可考虑使用“两边对应成比例且 夹角相等的两个三角形相似”来判定三角 形相似. 8.证明：.'△ABC≌△DCE≌△FEG, ∴BC=CE=BG=号BG=1,即BG=3. :G-A8=,品-器是8 又.'∠BGF=∠FGE,.△BFG∽△FEG. ,△FEG是等腰三角形， ∴.△BFG是等腰三角形， ∴.BF=BG=3. 9解船=专品月-号船品 75AC-CD 又.'∠B=∠ACD,.△ABC∽△DCA. 6-=瓷AD=5 41 精彩一题 解：(1)△ABC和△DEF相似.理由如下： 根据勾股定理， 得AB=2√5，AC=√5，BC=5; DE=4√2，DF=2√2，EF=2√10. 加加即 ∴.△ABCc∽△DEF. 答图 (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意 2个均可（如答图）. △P2P5D,△P4PF,△P2P4D,△P4P5D, △P2P4P5,△P1FD 第5课时相似三角形的判定（三） 【基础巩固】 1.B 点拨：∠1=∠2，.∠DAE= ∠BAC,添加条件A、C、D后均可判定 △ABC△ADE..·∠DAE不是边AD 与DE的夹角，∴.添加条件B后，不能判定 △ABC∽△ADE. 2.C3.C 4.6 5.解：.'△ABC是直角三角形，CD是斜边AB 上的高， ∴.∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°， ∴.∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+ ∠BCD=90°. ∴.∠A=∠BCD,∠B=∠ACD. ∴.△ABC∽△ACD∽△CBD. I△AC△CBD品S品 即普-品BD=4cm (2:△CBD△AuC.-B認. 即号0BD-9m 点拨：本题的图形非常重要，要注意归纳其 规律，已知六条线段(AC,BC,CD,AB, AD,BD)中的任意两条，都可通过相似或 勾股定理或面积法求出其余四条线段 的长。 【能力提升】 1.B点技：可证得△A0D∽△CBA,8 0-1,BC-0A=AB=