20.1.3 利用勾股定理作图、计算-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

第3课时利用勾股定理作图、计算 【基础过关】 1.A2.A 3.A点拨：点P的坐标为（一2,3），.OP= √2十3=√13..点A,P均在以点O为圆 心，OP长为半径的圆上，∴.OA=OP= 13.9<13<16,.3<13<4..点A 在x轴的负半轴上，·点A的横坐标介于 一4和一3之间.故选A. 4.B5.C6.B7.B 8.√/41 9.解：如图.（画法不唯一） E 【素养提升】 1.A点拨：连接AC.根据题意可得BC AB=1,∠ABC=90°.在Rt△ABC中，根据 勾股定理得AC=AB十BC=2,∴.AC= √2..AM=AC=√2，.点M对应的数是 √2+1.故选A. 2.8 3.< 4.解：(1)由折叠可知DE=GE,AG=CD= AB=4.设DE=x, 则AE=8一x, 在Rt△AEG中，由勾股定理得AG+GE= AE2, .16十x2=(8-x)2,解得x=3, .DE=3. (2)如图所示，过点F作FH⊥AD于点H, 则FH=AB=4.在Rt△ABF中， .由折叠可知AF=FC,由勾股定理， 得BF2=AF2-AB, 即BF2=(8-BF)2-16, ..BF=AH=3..'AE=AD-DE=5, ..EH=AE-AH=2, ∴.由勾股定理，得EF=FH+HE=42+ 22=20. ∴.EF=2√5（负值已舍去）. (3)如图所示，过点G作GM⊥AD于点M. SoA-AGXGE-zAEXGM. GM=号Sm=2 xGMXDE=-9 【综合探究】 解：(1)W4+(8-x)2十√1十x (2)√/73 (3)(画法不唯一)如图，已知AB=1,DE=2, BD=3,P为线段BD上一动点. 上-+-+-+ 设BP=x,则根据勾股定理得AP= √x2+1,PE=√/(3-x)2+4, ∴.AP+PE=√x2+1十√(3-x)+4, 由(2)可知√x2十1十√3-x)2十4的最小值 即为A,E两点之间的距离， .AE=√32十32=3√2， ∴.易得√x2+1+√/(3-x)2+4的最小值为3√2. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第4课时勾股定理的逆定理 【基础过关】 1.B2.D3.C 4.等腰直角三角形 5.11,60,61点拨：由题意，得第⑤组勾股数 的第1个数为11.设第2个数为x,则第第2课时>勾股定理的应用 基础过关 1.如图20-2-1所示 楚河 汉界 4.一根32厘米长的绳子被折成如图20一2一4 是两人某次棋局棋盘 所示的形状，绳子两端钉在P,Q两点，PQ= 上的一部分，若棋盘 16厘米，且RP⊥PQ,则RQ= 中每个小正方形的边 厘米 长均为1，则“车” 图20一2-1 “炮”两棋子所在格点之间的距离为 ( A.√5 B.3 C.10 D.4√/10 2.【跨学科综合】图20一2一2①中有一首古算 图20-2-4 诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位 5.如图20一2-5所示，在一条东西走向河流的 置的湖水深度，其示意图如图20一2一2②所 一侧有一村庄在点C处，河边原有两个引水 示，其中AB=AB',AB⊥BC于点C,BC= 点A,B,其中AB=AC,由于某种原因，由C 0.5尺，BC=2尺.设AC的长度为x尺，可 到A的路现在已经不通.该村为方便村民引 列方程为 水，决定在河边新建一个引水点H(H在A, B之间，且A,H,B在同一条直线上)，并新 D诗文：波平如镜一湖面，半尺高 修一条路CH,且CH⊥AB于点H.测得 处生红莲亭亭多姿湖中立，突 遭狂风吹一边离开原处二尺远， CH=2.4km,HB=1.8km,求新路CH分别 花贴湖面象睡莲。 比原路CB、CA少多少千米 ① ② 图20-2-2 3.【生活情境】如图 4 20-2-3所示是 某款自动感应水 B 717777777 图20-2-5 龙头的示意图，在 洗手台面 距离洗手台面 图20-2-3 20cm的点C处连接着出水口D所在的水管，水 管AB为竖直方向，点E在点C的正下方且安 装有红外线感应装置.已知出水口D到点C 的距离CD为15cm,出水口D到点E的距离 为17cm,且CD⊥AB,则红外线感应装置距 离洗手台面的高度BE为 cm. 素养提升 1.如图20一2一6是一个圆柱形饮料罐，底面半 5.如图20一2一10，在一张长48分米、宽10分 径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔， 米的长方形纸片ABCD的长边CD上放一个 则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度 平面镜，一束光线从纸片顶点A处射入，由平 α的取值范围是（罐壁的厚度和小圆孔的大 面镜上的O点反射后恰好经过B点，求光线 小忽略不计) ( 在纸片上通过的路径长. A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13 北 B 1459 图20-2-10 60 图20-2-6 图20-2-7 2.如图20一2一7，一艘轮船位于灯塔P的南偏 6.如图20一2-11所示，OM,ON是两条公路， 东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正 ∠O=30°，沿公路OM方向距离点O160m的 北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北 点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路 偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的 ON方向行驶时，在以重型运输卡车所在的 距离为 海里（结果保留根号）. 点P为圆心，100m长为半径的圆形区域内， 3.如图20-2-8，钓鱼竿AB的长为5.4m,露出水 都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的 面上的鱼线BC长为1.8m.当钓鱼者把钓鱼竿 距离越近噪声影响越大.假设重型运输卡车 AB转到AB'的位置时，露出水面上的鱼线 沿道路ON方向行驶的速度为5m/s. B'C'长为4.2m,则CC的长为 m. (1)求卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与 学校之间的距离； (2)求卡车沿道路OV方向行驶一次给学校 带来噪声影响的时间. 图20-2-8 图20-2-9 4.如图20一2一9是一架秋千的示意图，当它静 图20-2-11 止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m,将它 往前推送3m(水平距离BC=3m)时，踏板离 地的垂直高度BF=1.5m,绳索始终拉得很 直，则秋千的绳索AD的长为 m. 综合探究 1.如图20-2-12，在△ABC中，∠ACB=90°， 形，连接AB,经过计算得到AB的长为 AB=10cm,BC=6cm.若点P从点B出发， cm,该长度就是蚂蚁爬行的最 以4cm/s的速度沿B→A→C→B运动，设运 短路程. 动时间为t秒(t>0). (2)如图20一2一13③是一个圆柱形玻璃杯， (1)若点P在AC上，求出此时线段PC的长 该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm, (用含t的代数式表示). 若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面爬 (2)在运动过程中，当t为何值时，△BCP是 到点B,则蚂蚁爬行的最短路程为 以PB为底边的等腰三角形？ cm, (3)如图20-2一13④是一个圆柱形玻璃杯， 高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离 杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，一只蚂 蚁正好在外壁上，它在离杯上沿1cm,且 在杯的轴截面上与点A相对的点B处， 图20-2-12 则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的 最短路程是多少？（杯壁厚度忽略不计） 图20-2-13 2.数学课上，老师围绕立体图形表面的最短路 径问题展开提问：如图20一2-13①是一个三 级台阶，每一级的长、宽、高分别为20cm, 3cm,2cm.点A处有一只蚂蚁要沿着台阶爬 到点B处，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 在此基础上，继续探究圆柱表面的最短路径 问题： (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图 20一2-13②，将三级台阶展开成平面图 形，可得到长为20cm,宽为15cm的长方