20.1.2 勾股定理的应用-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其证明 基础过关 1.在△ABC中，∠C=90°，若AC=8,AB=10, 7.将两个全等的直角三角形按 则BC的长是 ( 照如图20-1一4所示的位 A.7 B.6 C.5 D.2 置摆放，使点A,E,D在同一 2.如图20一1一1所示，在△ABC中，AB=AC= 条直线上，∠A=∠D=90°， 10,BC=16,点D为BC的中点，DE⊥AB于 AE=CD=a,AB=ED=6, 图20一1一4 点E,则DE的长为 ( BE=CE=c. A.1.2B.1.6 C.2.4 D.4.8 (1)∠BEC= °，根据三角形面积公 3 式，可得△BEC的面积为 ;根据 割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面 积，可得△BEC的面积为 (2)求证：a2+b=c2. 图20-1-1 图20-1-2 3.【教材P26练习T2变式】如图20一1一2所 示，是由两个直角三角形和三个正方形组成 的图形，其中阴影部分的面积是 A.50 B.16 C.25 D.41 4.【数学文化】如图20一1一3，“赵 爽弦图”是由四个全等的直角 8.【教材P25练习T1变式】在△ABC中，∠C 三角形与中间的一个小正方形 拼成的大正方形，若图中的直 90°，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c. 角三角形的两条直角边的长分图20-1一3 (1)已知b=2,c=3,求a的值； (2)已知a:c=3：5,b=32,求a,c的值. 别为1和3，则中间小正方形的周长是( A.4 B.8 C.12 D.16 5.在△ABC中，∠B=90°，AB=2,AC=4,则 BC= 6.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为 60cm,宽为32cm,对角线为68cm,这个桌面 (填“合格”或“不合格”). 素养提升 1.【教材P26练习T2变式】如图20一1-5，所 得到图20-1一6②的“数学风车”，则这个风 有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 车的外围周长是 直角三角形，其中最大的正方形E的边长为 3.如图20-1-7，在Rt△ABC中，∠ACB= 10cm,正方形A的边长为6cm,正方形B的 90°，CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15. 边长为5cm,正方形C的边长为3cm,则正方 (1)求AB的长； 形D的边长为 ( (2)求CD的长. A.√30cmB.4cm C.√/5cmD.3cm 图20一1-7 图20-1-5 图20-1-6 2.如图20一1一6①是我国古代著名的“赵爽弦 图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形 围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角 形中边长为6的直角边分别向外延长一倍， 综合探究 1.如图20一1一8①是第七届国际数学教育大会 动，设运动的时间为ts (ICME一7)的会徽，在其主体图案中选择两个 相邻的直角三角形，恰好能组合成如图20 1-8②所示的四边形OABC.若OC=√5， 备用图 BC=1,∠AOB=30°，则OA的长为 图20-1-9 (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值： CME-7 (3)当t=13时，求A,P两点之间的距离. ② 图20-1-8 2.已知：如图20一1-9所示，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P 从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移由勾股定理得BC=√AB-AC=4(cm). (2)由题意得BP=tcm,分以下两种情况： 第一种：如图①所示，当∠APB=90°时， △ABP为直角三角形，则BP=BC=4cm, ∴.t=4. C(P) B ① ② 第二种：如图②所示，当∠BAP=90°时， △ABP为直角三角形， 则CP=BP-BC=(t-4)cm. 由勾股定理得：AC+CP2=AP2=BP2 AB3+(t-4)2=f-53,解得t=25, 4 综上所述，t的值为4或5， 4 (3)如图③所示，当t=13时，BP=13× 1=13(cm),.CP=BP-BC=9(cm). 在Rt△ACP中，AP=√AC+CP严= √32+9=3/10(cm),即A,P两点之间的 距离为3√10cm. 第2课时勾股定理的应用 【基础过关】 1.C 2.x2+22=(x+0.5)2 3.12 4.20点拨：设RQ=x厘米，则RP=(32一 x)厘米.RP⊥PQ,.△PRQ为直角三 角形.由勾股定理得PQ+RP=RQ,即 162+(32-x)2=x2,解得x=20,即RQ= 20厘米。 5.解：由题意得BC=√CH+HB=√2.4+1.8 =3(km), 设AB=AC=xkm, AH=AB-HB=(x-1.8)km, 易知AC2=CH2+AH, .x2=2.42+(x-1.8)2, 解得x=2.5, ∴.AB=AC=2.5km, ∴.新路CH比原路CB少3-2.4=0.6(km), 比原路CA少2.5-2.4=0.1(km). 【素养提升】 1.A点拨：a的最小值是圆柱的高，最大值 根据勾股定理，得√52十12=13.即a的取 值范围是12≤a≤13.故选A. 2.25√6点拨：如图，设东西方向线与AB 交于点C,在Rt△APC中，AP=50海里， ∠APC=90°-60=30，AC=2AP 25海里，PC=√502-25=25√3（海里）. 在Rt△PCB中，∠BPC=90°-45°=45°， .BC=PC=25√3海里，∴.PB= √(25√5)2+(25√5)2=25√6（海里）. 北 459 东 60 3.62 4.5 5 5.解：如图所示，延长AD到A', 使AD=A'D,连接A'O, 易知B、O、A'在一条直线上， .'A'D=AD, .A'D=BC=10分米. D 又.∠ODA'=∠OCB=90°， ∠A'OD=∠BOC,∴.△A'OD≌△BOC. A'O-BO.OC-OD-CD-TAB- 号×48=24（分米）. 在Rt△BOC中，OB2=OC+BC, ∴.OA2=OB2=242+102=576+100= 676..OA'=OB=26分米 又点A,A'关于直线CD对称， ..OA=OA' .OA+OB=26+26=52(分米). 即光线在纸片上通过的路径长为52分米. 6.解：(1)如图所示，过点A作AH⊥ON于 点H,可知点A到射线ON的最短距离为 线段AH的长度， ∴AH的长度为卡车对学校的噪声影响最 大时，卡车与学校之间的距离. .∠0=30°，0A=160m, ∴AH=20A=80m. 故卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与 学校之间的距离为80m. (2)如图所示，在ON上取两点C,D,连接 AC,AD. H 0 -M 当AC=AD=100m时，卡车在CD段行驶 对学校有影响. ,AC=AD,AH⊥CD, ..CH=DH 由(1)知AH=80m, 在Rt△ACH中，由勾股定理，得： CH=√/AC2-A=√100-802=60(m). ∴.CD=2CH=120m. ,重型运输卡车沿着道路ON方向行驶的 速度为5m/s, .影响时间为120÷5=24(s). 答：卡车沿道路ON方向行驶一次给学校 带来噪声影响的时间为24s. 【综合探究】 1.解：(1).在△ABC中，∠ACB=90°，AB= 10cm,BC=6cm, '.由勾股定理得AC=√/102-62=8(cm), ∴.AB+AC=10+8=18(cm). ∴.PC=(18-4t)cm. (2)如图①，当点P在AB边上时，PC= BC.过点C作CD⊥AB于点D, 则PB=2BD :2CD·AB=2BC·AC, ..CD= 24 5cm, BD=√BC-CD=18 cm, ·PB=36 m, 即1=0解得1=号 如图②，当点P在AC边上时，PC=BC,即 18-4t=6,解得t=3. 综上，当：的值为号或3时，△BCP是以 PB为底边的等腰三角形， 2 2.解：(1)25（2)17 (3)如图，作出玻璃杯侧面展开 图的一半，设展开图中杯的上 沿为EF.作点B关于EF的对 称点B',过B作B'D⊥AE,交 AE的延长线于点D,连接AB',交EF于 点C,连接BC,易得BC+CA=AB',则 AB的长即为最短路程.由题意得DE= B'F=BF=1cm,AE=9-4=5(cm), ∴.AD=AE+DE=6cm. .底面周长为16cm, ÷B'D=号×16=8(cm). ∴.AB'=√AD+BD=10cm, .蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的 最短路程为10cm.