20.1.1 勾股定理及其证明-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

聚焦中考 1.(湖北省襄阳市)若二次根式x+3在实数范 9.(湖南省长沙市)先化简，再求值：（号-）· 围内有意义，则x的取值范围是 () A.x≥-3 B.x≥3 y-1,其中x=2,y=2. x+y C.x≤-3 D.x>-3 2.(江苏省南京市)下列整数中，与10一√13最 接近的是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.(重庆市)估计√2（√⑧十√10）的值应在() A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间 10.(广东省)先化简，再求值：(x十y)2+(x十y)· 4.(湖北省孝感市)下列二次根式中，不能与√2 (x-y)-2x2,其中x=√2，y=√3. 合并的是 () B B.⑧ C.√/12 D.√/18 5.(天津市)计算（√61+1）(61一1)的结果为 6.(广东省)若a-2+b+1|=0,则(a十 b)2020= 7.(四川省凉山州)已知x1=√3十√2，x2=√3一 √2，则x十x 11.(湖北省襄阳市)已知：x=1-√2，y=1十 8.(潮北省荆州市)计算v2×层-4X√层× √2，求x2+y2-xy-2x+2y的值， (1-√2)°. 第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其证明 基础过关 1.在△ABC中，∠C=90°，若AC=8,AB=10, 7.将两个全等的直角三角形按 则BC的长是 ( 照如图20-1一4所示的位 A.7 B.6 C.5 D.2 置摆放，使点A,E,D在同一 2.如图20一1一1所示，在△ABC中，AB=AC= 条直线上，∠A=∠D=90°， 10,BC=16,点D为BC的中点，DE⊥AB于 AE=CD=a,AB=ED=6, 图20一1一4 点E,则DE的长为 ( BE=CE=c. A.1.2B.1.6 C.2.4 D.4.8 (1)∠BEC= °，根据三角形面积公 3 式，可得△BEC的面积为 ;根据 割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面 积，可得△BEC的面积为 (2)求证：a2+b=c2. 图20-1-1 图20-1-2 3.【教材P26练习T2变式】如图20一1一2所 示，是由两个直角三角形和三个正方形组成 的图形，其中阴影部分的面积是 A.50 B.16 C.25 D.41 4.【数学文化】如图20一1一3，“赵 爽弦图”是由四个全等的直角 8.【教材P25练习T1变式】在△ABC中，∠C 三角形与中间的一个小正方形 拼成的大正方形，若图中的直 90°，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c. 角三角形的两条直角边的长分图20-1一3 (1)已知b=2,c=3,求a的值； (2)已知a:c=3：5,b=32,求a,c的值. 别为1和3，则中间小正方形的周长是( A.4 B.8 C.12 D.16 5.在△ABC中，∠B=90°，AB=2,AC=4,则 BC= 6.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为 60cm,宽为32cm,对角线为68cm,这个桌面 (填“合格”或“不合格”).8.解：原式√24×√16×日 =√8-√2 =2√2-√2 =√2. 9.解：原式=x2二y .y-1 xy x+y =(x十)(xy2.y-1 xy x十y =x一y_x =一 x=√2，y=2,.原式=-√2 10.解：原式=x2十2xy十y2+x2-y2-2x2 =2xy. x=√2，y=√/3， ∴.原式=2×√2×√5=2√. 11.解：x=1-√2，y=1十√2， ∴.x-y=(1-√2)-(1+√2)=-2√2， xy=(1-√2)(1+√2)=-1. ∴.x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2 2(x-y)+xy=(-2√2)2-2X(-2√2)+ (-1)=7+4√2 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其证明 【基础过关】 1.B2.D3.A4.B 5.2√36.合格 7.解：1)902c2(d+) (2)证明：.Rt△ABE≌Rt△DEC, ∴.∠AEB=∠DCE,BE=EC=c. .∠D=90°，∴.∠DCE+∠DEC=90°， ∴.∠AEB+∠DEC=90°，∴.∠BEC=90°， △BEC是等腰直角三角形， :S梯形ABCD=SR△ABE十SR△DEC十SR△BEC, :.AB+CD)·AD_AE·AB+ED·DC+ 2 2 BE·EC 2 即(a+b)(a+b-ab+ba+c2 2十2十2 02+2ab+B=c2+2ab 2 2 ∴.a2+b2=c2. 8.解：(1)在△ABC中，∠C=90°，b=2, c=3, ∴.a=√c2-b=√/32-22=√5. (2)设a=3x,则c=5x. .a2+b2=c2,.(3x)2+322=(5x)2, 解得x=8(负值已舍去). .3x=24,5.x=40,即a=24,c=40. 【素养提升】 1.A点拨：本题利用了勾股定理，由题意可 知：S正方形D=S正方形E一S正方形A一S正方形B一 S正方形c=100-36-25-9=30(cm), ∴.正方形D的边长为√30cm.故选A. 2.76点拨：由题意知CD=6×2=12,BC= 5,由勾股定理可知BD=13,所以AD+ BD=6+13=19,则这个风车的外围周长 是19×4=76. 3.解：(1).在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=20,BC=15, ∴.AB=√AC+BC2=√/202+15=25. (2):Sam-号AC,BC=AB·CD, .AC·BC=AB·CD, ∴.20×15=25CD,.CD=12. 【综合探究】 1.√5点拨：∠OBC=90°，OC=√5，BC= 1,∴.OB=√OC2-BC=√/(5)2-12=2. :∠A=90,∠A0B=30,AB=20B= 1,∴.OA=√/OB2-AB2=√22-1=√3. 2.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB=5cm,AC=3cm, 由勾股定理得BC=√AB-AC=4(cm). (2)由题意得BP=tcm,分以下两种情况： 第一种：如图①所示，当∠APB=90°时， △ABP为直角三角形，则BP=BC=4cm, ∴.t=4. C(P) B ① ② 第二种：如图②所示，当∠BAP=90°时， △ABP为直角三角形， 则CP=BP-BC=(t-4)cm. 由勾股定理得：AC+CP2=AP2=BP2 AB3+(t-4)2=f-53,解得t=25, 4 综上所述，t的值为4或5， 4 (3)如图③所示，当t=13时，BP=13× 1=13(cm),.CP=BP-BC=9(cm). 在Rt△ACP中，AP=√AC+CP严= √32+9=3/10(cm),即A,P两点之间的 距离为3√10cm. 第2课时勾股定理的应用 【基础过关】 1.C 2.x2+22=(x+0.5)2 3.12 4.20点拨：设RQ=x厘米，则RP=(32一 x)厘米.RP⊥PQ,.△PRQ为直角三 角形.由勾股定理得PQ+RP=RQ,即 162+(32-x)2=x2,解得x=20,即RQ= 20厘米。 5.解：由题意得BC=√CH+HB=√2.4+1.8 =3(km), 设AB=AC=xkm, AH=AB-HB=(x-1.8)km, 易知AC2=CH2+AH, .x2=2.42+(x-1.8)2, 解得x=2.5, ∴.AB=AC=2.5km, ∴.新路CH比原路CB少3-2.4=0.6(km), 比原路CA少2.5-2.4=0.1(km). 【素养提升】 1.A点拨：a的最小值是圆柱的高，最大值 根据勾股定理，得√52十12=13.即a的取 值范围是12≤a≤13.故选A. 2.25√6点拨：如图，设东西方向线与AB 交于点C,在Rt△APC中，AP=50海里， ∠APC=90°-60=30，AC=2AP 25海里，PC=√502-25=25√3（海里）. 在Rt△PCB中，∠BPC=90°-45°=45°， .BC=PC=25√3海里，∴.PB= √(25√5)2+(25√5)2=25√6（海里）. 北 459 东 60 3.62 4.5 5 5.解：如图所示，延长AD到A', 使AD=A'D,连接A'O, 易知B、O、A'在一条直线上， .'A'D=AD, .A'D=BC=10分米. D 又.∠ODA'=∠OCB=90°， ∠A'OD=∠BOC,∴.△A'OD≌△BOC. A'O-BO.OC-OD-CD-TAB- 号×48=24（分米）. 在Rt△BOC中，OB2=OC+BC,