26.2.4 反比例函数在路程、面积、工程等问题中的应用-2025-2026学年九年级下册数学同步辅导（人教版2012）

26.2实际问题与反比例函数 第4课时 反比例函数在路程、面积、工程等问题中的应用 基础巩固 1.某钢铁锻造车间的工人师傅要将底面积为 4.某件商品的成本价为15元，据市场调查得 200dm、高是15dm的圆柱形铁坯锻造成上 知，每天的销售量y(件)与销售价格x(元)有 表面为正方形的铁板，设铁板的厚度为 下列关系： y(dm),铁板的上表面面积为x(dm),则y与 x/元 20 25 30 50 x的函数关系式为( y/件 15 12 10 6 A.y=3000x B.y=40 x (1)根据表中数据，在直角坐标系中描出实数 c-品 D.y=3000 对(x,y)的对应点，并画出图象； (2)猜测y与x之间的关系式： 2.A、B两城市相距720千米，一列火车从A城 (3)设总利润为W元，试求出W与x之间的 去B城. 函数关系式，若售价不超过30元，则当日 (1)火车的速度v(千米/时)和行驶的时间 的销售单价定为多少元时，才能获得最大 t(小时)之间的函数关系式是 利润？ (2)若到达目的地后，按原路匀速返回，并要 求在4小时内回到A城，则返回的速度不 能低于 3.有一面积为60m2的梯形，其上底长是下底 长的3，若下底长为xm,高为ym,则y与x 之间的函数关系式是 能力提升 1.小明乘车从南充到成都，行车的平均速度 2.(易错题)一张正方形的纸片， y(km/h)关于行车时间x(h)的函数图象是 剪去两个一样的小长方形得到 12 ( 一个“E”图案，如图26-4一1，图26-4-1 年卡之， 设小长方形的长、宽分别为x、y,剪去部分的 面积为20，若2≤x≤10，则y关于x的函数 图象大致是( 6.某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为 定值，单位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室 的底面积S(单位：m)与其深度d(单位：m)是 2 10 10 反比例函数关系，它的图象如图26一4一3 所示 3.已知某市的土地面积是7434km2,人均占用 (1)求储存室的容积V的值； 的土地面积S(km/人)随全市人口数n(人) (2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满 的变化而变化，则S与n的函数关系式为 足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取 值范围. 4.继共享单车、共享汽车后，共享运营的时代也 S/m2 催化了另外一种交通工具的流行，那就是共 享电动车.共享电动车行驶的总路程s(单位： km)与平均耗电量a(单位：mAh/km)之间满 500----- 20 d 足反比例函数关系=(k为常数，k≠0).已 图26-4-3 知某型号的共享电动车充满电后，以平均耗 电量为1800mAh/km的速度行驶，可行驶 20km.某次王老师家访时，由于路面不平，平 均耗电量为2000mAh/km,则该共享电动车 行驶的最远路程为 km. 5.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h) 与行驶速度v(km/h)满足函数关系式：t= 冬其图象为如图26一4一2的一段曲线且端 点为A(40,1)和B(m,0.5). (1)求k和m的值； (2)若行驶速度不得超过60km/h,则汽车通 7.用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣 过该路段最少需要多长时间？ 粉的残留量近似地满足反比例函数关系.寄宿 t/ht 生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一 件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水 (约10升)，小敏每次用半盆水（约5升）.如 n v/(km/h) 果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小 图26-4-2 红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏 的衣服中残留的洗衣粉还有2克. (1)请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉 的残留量y与漂洗次数x的函数关系式； (2)当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为 (1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关 衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看， 系式，并写出自变量的取值范围； 你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？ (2)开始上课后5分钟时与30分钟时比较，何 时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果 较好，要求学生的注意力指数至少达到36， 那么经过适当安排，老师能否在学生达到所 需的状态下讲解完这道题？并说明理由， 002亦2504种x分 图26-4-4 精彩一题 心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分 钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变 化而变化，开始上课时，学生的注意力增强，中 间有一段时间的注意力保持较为理想的稳定状 态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析 可知，学生的注意力指数y随时间x(分)的变 化规律如图26一4一4（其中AB、BC为线段， CD为双曲线的一部分). 第5课时反比例函数在物理中的应用 基础巩固 1.已知力F对一物体所做的功是15焦，则力F 关于此物体在力的方向上移动的距离s的函 ∠.小 数图象大致是()又.点Q(4,m)在该反比例函数的图象上， ∴.4·m=4,解得m=1, 即点Q的坐标为(4,1)，而直线y=一x+b 经过点Q(4,1),.1=-4十b,解得b=5, .直线的解析式为y=一x+5. (2)对于y=-x+5,令y=0,得x=5, ∴.A点坐标为(5,0)， ∴Saa0=号X5X1=号 9.解：(1).当x<一1时，一次函数的值大于 反比例函数的值；当x>一1时，一次函数 的值小于反比例函数的值， .A点的横坐标是一1，∴.A(一1,3) 设一次函数的解析式为y=kx十b, -k十b=3, 直线过A、C两点，则由 2k+b=0, k=-1, 解得 b=2. .一次函数的解析式为y=一x+2. (2):y=4(x>0)的图象与y=-3(x< 0)的图象关于y轴对称，“=2(2>0). .B点是直线y=一x十2与y轴的交点， B(0,2).设P(n,3 ,月)n>2,Sa边形0= 3 S8m-Sae=2.号(2+n-号× 2×2=2,解得n=号P(号，号】 精彩一题 解：(1)四边形OABC是面积为4的正方 形，.OA=OC=2..B点坐标为(2,2). .k=xy=2X2=4. (2).正方形MABC、正方形NA'BC由正 方形OABC翻折所得， ..ON=OM=20A=4. :点E、F在函数y=4的图象上， ∴.当x=4时，y=1,即E(4,1). 当y=4时，x=1,即F(1,4). 设直线EF的解析式为y=mx十n, 4m+n=1, 将E、F两点坐标代入，得 m+n=4. m=-1, n=5. .直线EF的解析式为y=一x十5， 26.2实际问题与反比例函数 第4课时反比例函数在路程、面积、 工程等问题中的应用 【基础巩固】 1.D 2.(1)u=720 (2)180千米/时 3.y=90 4.解：(1)根据描点法作出函数的图象，描点， 连线即可得图象，图象如答图所示： 如店菇药元 答图 (2)观察题表中数据可得，x与y的积为常 数，判断为反比例函数，设y=,根据数 据，易得k=20×15=300,故其解析式为 y300 (3)W=(z-15).300=300-4500.因为 W随x的增大而增大，售价不超过30元， 所以当x=30时，W最大=150. 【能力提升】 1.B 2.A点拨：根据自变量取值范围选图象且注 意剪去部分的面积是两个小长方形的面 积和. 3.S=7434 n 4.18 5.解：()将(40,1)代人t=,得1= 40 解得k=40.函数解析式为t=40, 当t=0.5时，0.5=40，解得m=80. ∴.k=40,m=80. (2)冷=0，得1=品-是结合函数图象 可汽车通过该路段最少雷要号 6.解：(1)由题图知当d=20时，S=500, .V=500×20=10000. (2)由(1)得Sd=10000,则S=10000, d, .10000>0,∴.S随着d的增大而减小. 当d=16时，S=10000=625; 16 当d=25时，S=10000=40. 25 ∴.储存室的底面积S的取值范围是400≤ S≤625. 7.解：(1)设小红对应的函数关系式为y1= ,小敏对应的函数关系式为2=三， x 把(1,1.5)、(1,2)分别代入两个关系式得 1.5=,2=.解得1=1.5，k,=2. “小红对应的函数关系式为”=5，小敏 对应的函数关系式为=2（x为正整数). (2)把y=0.5分别代入两个关系式， 得.5=0.5，① 2=0.5,② 解方程①得x=3,解方程②得x=4. 10×3=30(升)，5×4=20（升）. .小红共用水30升，小敏共用水20升，小 敏的方法更值得提倡。 精彩一题 解：(1)设线段AB的函数关系式为y=a.x+ b,由于过点A(0,20),B(10,40), b=20, a=2, 则 .线段AB的 10a+b=40,b=20. 函数关系式为y=2x十20(0≤x≤10). 设双曲线CD的函数关系式为y=饣 .过点C(25,40),∴.k=1000. 双曲线CD的函数关系式为y=1000( (25≤ x≤40). (2)由(1)知，上课后5分钟时注意力指数 y=30,上课后30分钟时注意力指数为 33号，故上课后30分钟时注意力更集中。 (3)能，理由如下：当2x+20=36时， 得x=8:当1000=36时，得c=277 :27日-8=19号>19经过适当安排， 老师能在学生达到所需的状态下讲解完这 道题 第5课时反比例函数在物理中的应用 【基础巩固】 1.B2.D3.A4.4 5.解：(1)P=Fv=20×3000=60000(瓦)= 6×104瓦， =6X0(F>0. (2)当F=1200牛时，