19.3.5 二次根式的加减法-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

1.计算3÷（一√3）÷（一√）的结果为 A.3 B.9 C.1 D.3√3 2.如果ab>0,a十b<0,那么下列各式正确的是 C.a六√会=b D.(ab)2=-ab &在次根式细，丽层，卓后 √a3-b中，最简二次根式有 ( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.化简二次根式a a+1 的结果是 ( A.√-a-1 B.-√/-a-1 C./a+1 D.-√a-1 5二次根式得，号号的大小关系足 ( B2</ 2、2 D.2 2 55W5 6.我们赋予“※”一个实际含义，规定a※b= a·6+√后，则2※6= 7.计算： 1)号18÷(-)x327; 素养提升 ab (2λa2- /a十b Wa-bVa +b(a>b>0). 8.【跨学科综合】高空抛物极其危险，是违法行 为.据研究，物体下落的时间t(单位：s)和高 度K单位：m)近似满足公式一（不考虑 风速的影响). (1)从50m高空抛下的物体落地所需时间t 是多少？从100m高空抛下的物体落地 所需时间t2是多少？ (2)t2是t的多少倍？ (3)经过1.5s,高空抛下的物体下落的高度是 多少？ 9.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， S△ABc=3√2cm,BC=√3cm,AB=3√3cm, CD⊥AB于点D.求AC,CD的长. B 10.阅读下面的解题过程，根据要求回答下列 问题 1.世票气且为偶数成香， 化简：“ b3-2ab2+a2b (b<a<0). a 平的值， 解：原式-产 b(b-a)2 ① =a(b-a)/B b-a Na ② …丽 ③ =√ab. ④ (1)上述解答过程从第 步开始出现 错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请你写出正确的解题过程. 综合探究 【阅读理解】在进行二次根式化简时，我们有时 (2)计算： 1 1 1 十…十 会碰上如3 区，2这样的式子，其实我们 √+1'√5+√√7+5 5√3'5+1 还可以将其进一步化简： √2n+I+√2n-I 后得 2 2×3-6 2 2(√3-1) 23-1)=5-1. √3+1(3+1)（√3-1）(3)2-12 以上这种化简的方法叫作分母有理化. 2还可以用以下方法化简： 2=3-1 √5+1 5+1√5+1 (8)2-1_WB+1)5-1D=3-1. 3+1 3+1 (1)请用不同的方法化简。一2 5+√3 19.3二次根式的加法与减法 第5课时>二次根式的加减法 基础过关 1.下列二次根式中，可以与√3合并的是( (2)W20-√/5+√45； A./18 C.√/24 D.√0.3 2.若最简二次根式√2x+I和√/4x-3能合并，则 x的值为 ( A-号 B C.2 D.5 3.若√m与√18可以合并，则m的最小正整数值 是 ( A.18 B.8 C.4 D.2 3w2-3日+ 4.计算√I+44-√99等于 A.√I B.-√/11 C.0 D.-2√/1I 5在银式Dv石v、2石巾，与 1 1 √3是同类二次根式的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.下列计算正确的是 () A.⑧-3=√8-3=√5 9.已知x=,求分x+6z…后-2· B.√4+√=√/4+9=√/I3 √的值。 C.27+√2=2√7+2=6 D.3√2-√2=(3-1)√2=2√/2 7.若√⑧+=6√2，则门表示的数为 8.计算： (1)4√2+3√2-6√2-5√2； 素养提升 1.已知m=√27一√5，则实数m的取值范围是 5.小华准备完成题日：计算：（■√27一 ( A.2<m<3 B.3<m4 (√停-4√)，发现系数口印刷不清她。 C.4<m<5 D.5<m<6 2.如图19一5一1，数轴上A,B两点所对应的实 )他把■猪成3，请你计算：(3√写 数分别是一1，√3，若线段AB=BC,则点C所 表示的实数是 s)-(层-4： AB G -103 (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的答案 图19-5-1 是0.”请你通过计算说明原题中“■”是 什么. A.1+3 B.2+√/5 C.2√3+1 D.2√3-1 3.设<0，则片y-任- 4.【新定义】对于任意的正数m,n定义运算 √m-√n,m≥n, 为：m￥n= 计算(3*2)十 √m+√n,m<n, (8￥12)的结果为 综合探究 琳琳玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容 (2)若琳琳摸取出全部的四个小球，计算结果为 器中放入如图19一5一2①所示的四个小球，每 x,琦琦说x的值与√48属于同类二次根式， 个小球上分别标有一个数.现从容器中摸取小 你认为琦琦的说法对吗？请说明理由、 球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数；若 摸取到灰色球，就减去球上的数。 /12 3 √6 ⑦ √12 ② 图19-5-2 (1)若琳琳摸取到如图19一5一2②所示的两个 小球，请计算出结果； 第6课时二次根式的混合运算 基础过关 1.化简⑧-√2（√2+2）得 8.计算： A.-2 B.√2-2 I×(is-周： C.2 D.4√2-2 2.(ab+b√a)(b√a-a√b)的运算结果是 ( A.0 B.ab2-a2b 22-3,F+5÷E C.a2b-ab2 D.2abab 3.下列计算正确的是 A.(7-3)2=7-3=4 B.(x+√/2x)(-√x+√2x)=2x-x=x C.(√7+√3)×/10=√/10×/10=10 9.以下是某同学化简二次根式4，-27× D.(√a+2√b)(√a-√2b)=a-4b √写-(5+2)+1后-2的运算过程 4.计算(2-√/5)2025(2十√/5)2026的结果是( A.-2-√5 B.2-5 解，原式=4×号27×写 (3+4)+ C.2+√5 D.-2+√5 (√3-2) 第一步 5.【教材P16习题T4变式】已知√2≈1.414，则 =2√2-9-7十√/3-2 第二步 计算√⑧-√2+√3×6结果的近似值为( =2√2+√3-18 第三步 A.7.070 B.5.656 (1)上面的运算过程中第一步出现了两个错 C.4.242 D.2.828 误，分别是① 6.计算： ② ;第二步出现了 (1)(2√6+√/50)÷√2= 一个错误是③ 1 (2)请你写出完整的解答过程. (2W8÷3√2X亚= 7.【新定义】我们规定运算符号“△”的意义是： 当a>b时，a△b=a十b;当a≤b时，a△b= a一b,其他运算符号的意义不变，计算：（√3△ √2)+(2√5△3√2)= 素养提升 1.按如图19-6-1所示的程序计算，若开始输 巴42（一2+2其巾+1 入的n的值为√2，则最后输出的结果是( /输入n 计算nn+l) 是 >15? 输出 图19-6-1 A.14 B.16 C.8+5√2 D.14+2 4.【教材P16习题T5变式】已知a=√5+2，b= √5一2，求下列代数式的值， 2.已知m是√6的整数部分，n是√/13的小数部 (1)a2-b; 分，则m十n一√13的值为 (2)a2+b2+ab. 3.先化简，再求值： aa后，其中a=: 综合探究 【阅读理解】像(5十√2)（√5-√2）=3，√a· ②已知有理数a,b满足a十6=一1十 √2+1√2 √a=a(a≥0)，两个含有二次根式的代数式相 乘，若积不含有二次根式，则这两个代数式互为 2√2，求a,b的值. 有理化因式. 例如，√3与√3、√2+1与2-1、2√3+3√5与 2√3-3√5等，均互为有理化因式.进行二次根 图19-6-2 式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的 根号 (1)3一√2的有理化因式为 田化商1 二 (3)①如图19-6-2所示，在△ABC中，∠CAB 与∠CBA的平分线相交于点P,若△ABC 的周长为2√5+4，面积为3，则点P到AB 边的距离为 数学活 活动纸张规格的奥秘 1.生活中，我们常用到不同规格的长方形打印 纸，出于满足影印（放大或缩小后，需保持形 状不变)及制作各规格纸张时方便省料等方 面的需求，纸张规格制定了通用的国际标准. 其中，把A0纸定义为面积为1平方米、长与 宽的比值为√2的纸张；沿A0纸两条长边中 点的连线裁切，就得到两张A1纸；再沿A1 纸两条长边中点的连线裁切，得到两张A2 纸…以此类推，得到A3、A4、A5等纸（如 图1所示).若设A4纸的宽为x米，则x应为 A8 的A6 A4 A5 A2 A3 图1 得 且瓷的第术平方根 c号 n号的算术半方银 2.(1)如图2①，把两个边长为1的小正方形沿 对角线剪开，用所得的4个直角三角形拼 成一个面积为2的大正方形，则大正方形 的边长为 一般结论：正方形的对角线与边长的比 是 (2)如图2②，按照国际标准，A型纸为长方 形，其中A0纸的面积为1m,将A0纸沿 长边中点连线对折、裁开，便得到两张A1 动 纸；将A1纸沿长边中点连线对折、裁开， 便得到两张A2纸；将A2纸沿长边中点 连线对折、裁开，便得到两张A3纸… 将An纸沿长边中点连线对折、裁开，便 得到两张A(n+1)纸. ①A1纸面积是A2纸面积的 倍， A2纸周长是A4纸周长的 倍 ②将一张A4纸按如图2③所示进行两次 折叠（折痕分别是AB和AE),观察发现 点B恰好和点C重合，求A4纸的长与宽 之比. A2 ☑☑ 40 A1------ A3 A4 B DF ③ 图2 ③根据上述结论，估算A0纸的长和宽分 别是多少毫米（结果取整数）. (参考数据：√2≈1.4142，√/1.4142≈ 1.1892, 1≈0.7071，√0.7071≈0.8409， √/1414200≈1189.2，√/707100≈840.9， √2×840.9≈1189.2，√2×1189.2≈1681.8) 复习课 是典例精析 【例1】下列二次根式中，哪些是最简二次 合并 根式？不是的原因是什么？ 解：(1)原式=2√3×5√2+2√/3×4√3 i5v40.2a,3a618a6/昏，号。 3√2×5√2-32×4√3 =10√6+24-30-12√6 √Jab,√4x2+y',√a+b)2(a-b)(a>b>0), =-2√6-6； 3xF6ryF3ya/ab. (2)原式=[(2-3)(2+√3)]=1： 思路分析：最简二次根式有以下两个特征： (3)原式=[√2+(3-√6)][√2-(3 一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含 √6)] 能开得尽方的因数或因式， =(2)2-(√3-√6)2 解西v3a,号va瓜Vr+y,65是 =2-(9-6√2) 最简二次根式，其余的不是.因为： =6√2-7. √45=√9X5=3√5； 点拨：(1)在对二次根式进行运算时，要根据 二次根式的特点，灵活利用乘法公式计算，使运 0.2a=√5-√25 5 算更简捷；(2)二次根式相加减，先把各个二次根 √18ab=√9a2·2b=3aW2b; 式化成最简二次根式，再把被开方数相同的分别 合并，要注意的是，化简过程不要出错，合并时， 3； 只合并二次根式的系数即可，根式部分不变， N(a+b)2(a-b)=(a+b)a-B; 【例3】若|a-b十1|与a+2b+4互为相 √3x2+6xy+3y=√/3(x+y)7=√3|x+yl. 反数，求代数式(a一b)2o27的值 点拨：判断最简二次根式，关键是要把握最 思路分析：根据相反数的性质可知这两个 简二次根式的两个条件 代数式的和为零，结合绝对值和二次根式的性 【例2】计算下列各题： 质，可进一步求出a、b的值， (1)(25-32)(5√2+4√5)； 解：.|a-b十1|与/a+2b十4互为相反数， (2)(√2-√5)2（√2+√）2： ∴.|a-b+1+Ja+2b+4=0, (3)(√2+√3-√6)（√2-√3+√6）. .|a-b+1|≥0wWa+2b+4≥0， 思路分析：几个二次根式的和或差相乘，类 ∴.a-b+1=0,且a+2b+4=0, 似于多项式乘法，能用乘法公式的尽量用乘法 ∴.a=-2,b=-1, 公式.如(1)进行计算时，不要漏乘；对于运算结 ∴.(a-b)2027=(-1)2027=-1. 果，只有被开方数相同的最简二次根式才能 点拨：二次根式√a≥0这个性质，常与绝对 值、偶次方相结合，这个非负数的性质在解答题 解：.x=2-√3，y=2+√3， 目时应用较多.若√a+√b=0或√a+|b=0或 .x+y=(2-√3)+(2+√3)=4，xy= √a十b=0,则a=0,b=0,这些常作为中考的考 (2-√3)(2十√3)=22-(3)2=4-3=1. 查题型 (1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2× 【例4】已知x=2-√3，y=2十√3，求下列 1=14. 代数式的值. (2)x2-xy+y2=(x+y)2-3.xy=42 3×1=13. (1)x2+y2; 点拨：整体思想的核心就是把所研究对象 (2)x2-xy+y2. 的一部分或全部视为一个整体运用在解题过程 思路分析：在关于二次根式的化简求值问 中.在解题时把注意力和着眼点放在问题的整 题中，有时可考虑已知条件与所求代数式之间 体结构上，从而触及问题的本质，避开不必要的 的联系，运用整体思想求解，以简化运算 计算，使问题得以简化. 复习训练 1.若a<1,化简√/(a-1)z-1等于 6.已知实数a,b在数轴上的对应点如图19一2 A.a-2 B.2-a 所示，则化简（√a)2+√/(b-a)一√/(a+b)为 C.a D.-a 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是( A.2√2 B C.√4 D.27 图19-2 3.墨迹覆盖了等式“27●√3=3”中的运算符 A.3a B.26-a 号，则被覆盖的运算符号是 ( ) C.a+2b D.a-26 A.+ B.- C.× D.÷ 4.下列运算错误的是 7.若最简二次根式√3a-7与2√5是同类二次 A.√2+√3=√5 B.√2X3=√6 根式，则a C.√⑧÷√2=2 D.(-√3)2=3 8.计算√2×（√-√2）的结果为 ,表示 5.如图19一1，在大正方形中有两个小正方形，面 这个数的点落在了如图19一3所示的数轴上 积分别为S1,S2,已知S1=48,S2=32,重叠部 的 段（填“①”“②”或“③”或“④”）. 分的面积为8，则空白部分的面积为 ( ①，②，③，④ A.16√6-16 0 2 34 B.8√6-6 图19-3 C.16√6-6 9.若三角形的三边长分别为2,5，n,则化简 图19-1 D.6√6-8 √(3-n)+8一n的结果为 10.计算： (1)√3X12+|-2|-(π-3)°： (2)3/+5-+2÷8: (3)(3√2-2√3)(3√2+2√3)-（√2-√3）2. 11.先化简，再求值：W9xy一2√x3y十√xy,其中 x=-7y=-8 12.【教材P16练习T7变式】已知x十1=5， x 求下列各式的值： +是： (2)x-1 13.(1)如图19-4①，在边长为（√5+√3）cm的正 方形的一角剪去一个边长为（√5一√3）cm 的小正方形，求图中阴影部分的面积； (2)小明是一名爱动脑筋的学生，他发现沿 图19一4①中的虚线将阴影部分剪开，可 拼成如图19一4②所示的长方形，请你根 据小明的思路求图19一4①中阴影部分 的面积. ① ② 图19-4(3)当=1.5时1.5昏， 解得h=11.25, ∴.下落的高度是11.25m. g.解：Sac=号AC·BC=ABCD, :.AC=2Sac=62=2V6(cm). BC √3 w-花紧m 10.解：(1)② (2).'b<a,∴.b-a<0, ∴.(b-a)2的算术平方根为a一b. (3源式=62 b(b-a)2 ·(a-bVa -b-a =-(-a而 =√ab. 隔高 9-x≥0①， x-6>0②. 由①，得x≤9，由②，得x>6, .不等式组的解集为6<x≤9. x为偶数，x=8. +x x2-5.x+4 x2-1 =/1+x'√《x+D(x- /(x-4)(x-1) 市隔 =+1.x—4 √Jx+1 =√x-4 =√/8-4 =4 =2. 【综合探究】 2 2(√5-√3) 解：1)方法一5千5(5+3)(5- 2(/5-√3) (5)2-(3)2 =5-√3. 2 5-3 方法二：5十55+5 =(5)2-(5)2 √5+√5 =5+3)(W5-3) 5+√3 =√5-√3. (2)原式= 3-1 5-3 (3+1)(3-1)(5+√3)(5一3) 7-5 +十 (√7+5)(7-5) √/2m+1-√21-1 (√2m+1+/2-1)(√/2+1-/2n-1) --1+5-B+万5+…十 2 2 2 √2n+1-√2n-1 2 =2n+1-1 2 点拔：此题以阅读的形式给出了分母有 理化的概念及常用的化简方法，其核心是利 用平方差公式进行化简，要灵活掌握， 19.3二次根式的加法与减法 第5课时二次根式的加减法 【基础过关】 1.B2.C3.D4.C5.C6.D 7.4√2 8.解：(1)原式=(4+3-6-5)×2 =-4W2; (2)原式=2√5-√5+3√5=4√5； (8)原武=2后-5+6-5 2 9.解：原式=x√元十2x√反-2x√元=xπ， “=子“原式= 【素养提升】 1.B2.C 3.04.33+√2 5解：1)原式=3×百号×3)-(2 4×9)-8-2厄-23+22=- 3 3 3 (2)设“是a,则原式=(a分-子s) 层-4)-停a-号×3回)-(2 4×号)=尽。-2万-2+2巨= 2/ 3 3,23 ga- 3 ,该题的答案是0， : 23=0,解得a=6. ga- 3 .原题中“■”是6. 【综合探究】 解：(12-3/27=23-3=5. (2)琦琦的说法对，理由如下： m+后-2停=2店-疗+6 √6=√5，即x=√3. .48=4√3，与√3是同类二次根式， ∴.琦琦的说法对. 第6课时二次根式的混合运算 【基础过关】 1.A2.B3.B4.A5.B 6.(1)23+5(2)4-√6 7.33-2√2 8.解：(1)原式=√2×(3√2-√2) =2X2√2 =4; (2)原式=4√3-3+5√3 =(4-1+5)3 =8√3 9.解：(1)①（√3+2）2=3+4 ②√3-2=√3-2 @27-=9 (24召mX得-63+2+-2 =4×号27x写-3+45+0+2- =2√2-3-7-4√3+2-√5 =2√2-8-5√3. 【素养提升】 1.C 2.-1 3解，aa》。-58· a(a-1)(a十1) a+a-D=+1。中1-号 0 a “a=2,原式=2=2. √2 22-2+ x十2 x+1 x2-1 =(x+2)(x-五Dx+2 x+1 x十2 =(x+2)(x-1)`(x+1)(x-1D =(x-1) :x=5+1原式5+1-1)一 1 4.解：.a=√5+2，b=√5-2， ∴.a+b=√5+2+√5-2=25，a-b=√5+ 2-√5+2=4，ab=(W5+2)(√5-2)=1.