专题8.2立方根【七大考点+七大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦立方根核心知识点，从定义（若x³=a则x为a的立方根）、记法（三次根号a）入手，梳理开立方与立方的互逆关系，明确正负数及零的立方根性质，构建从概念到运算再到应用的学习支架，衔接平方根知识形成实数认知体系。 资料通过七类题型分层设计，例题与举一反三结合，如正方体体积问题培养数学眼光，规律探索题发展推理思维，综合阅读题提升数学语言表达。课中辅助教师梯度教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题8.2立方根 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一、立方根 立方根：若一个数的立方（三次方）等于a,那么这个数叫做 a 的立方根（三次方根）若x 是 a 的立方根，则说明x 3 = a。a 的立方根记为： ,读作“三次根号a”。 根指数 ( 被开方数 ) 开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。 （1） 8 的立方根： （2）- 64 的立方根： 技巧归纳： 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 【题型探究】 题型一：立方根的概念 【例1】．（24-25七年级上·全国·单元测试）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意； ②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意； ③该选项正确，不符合题意； ④的立方根是，该选项错误，符合题意； 故错误的选项为①②④， 故选：B． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·河北邢台·月考）式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·陕西西安·月考）以下关于平方根与立方根说法正确的是（   ） A．任何实数都有1个立方根 B．一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 【答案】A 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的概念与性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．任何实数都有1个立方根，正确，符合题意； B．一个正实数的算术平方根只有1个，平方根有2个，故原说法不正确，不符合题意； C．0和正数有算术平方根，故原说法不正确，不符合题意； D．正数负的平方根小于其立方根，故原说法不正确，不符合题意． 故选A． 题型二：求一个数的立方根 【例2】．（25-26七年级下·全国·周测）计算下列各式的值： (1)(2)(3)(4) 【答案】(1)4(2)(3)1(4) 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·山东淄博·期末）的立方根是_____，的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的求解，算术平方根、平方根的求解．根据立方根，平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， 则的平方根是， 故答案为：，． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： （1）________； （2）________． 【答案】 9 【分析】本题考查了立方根的定义和计算，掌握立方根的计算方法，尤其是分数立方根的拆分计算是解题的关键． 计算立方根时，需找到使立方等于被开方数的数；分数立方根可分解为分子分母分别开立方；负号表示取相反数． 【详解】解：（1） ， ． 故答案为：； （2），首先计算 ， ，， ， ， 故答案为：． 3．（2025八年级上·北京·专题练习）求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的立方根，掌握立方根的性质是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1）；（2）；（3）． 题型三：立方根的实际应用问题 【例3】．（25-26七年级上·浙江·期中）小雨做了一个棱长为的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子体积比你的大．”则小雪做的盒子的棱长为______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，先计算小雨盒子的体积，再求出小雪盒子的体积，然后利用立方根定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，小雨盒子的体积为， ∴小雪盒子的体积为， ∴小雪盒子的棱长为 ， 故答案为：． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少_______（用含的代数式表示），若，则棱长应减少_______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可． 【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为， 由题意得：， 解得：， ∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为． 故答案为：6． 题型四：已经一个数的立方根，求这个数 【例4】．（25-26七年级下·重庆·月考）已知的立方根是，的算术平方根是，则______． 【答案】 【分析】根据立方根的定义及算术平方根的定义求出、的值，再代入求值即可． 【详解】解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得，， ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）若，则的立方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知m，n为实数，若，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的性质． 利用立方根的性质，将方程转化为一元一次方程，求解的值，再求其算术平方根． 【详解】解：由， 得， 两边立方，得， 整理得， 即， 所以． 故的算术平方根为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是______ 【答案】3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 题型五：算术平方根和立方根的综合问题 【例5】．（22-23九年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 【举一反三】 1．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西临汾·月考）已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 3．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 题型六：立方根的规律探索问题 【例6】．（25-26七年级下·全国·周测）（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 【答案】 26.46 6.69 14.42 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义以及小数点的变化规律是正确解答的关键． （1）根据被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位进行求解； （2）将写成，写成，结合，，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，则， 可以发现：当被开方数由变为时，其算术平方根由变为，即被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位， ∴当被开方数由变为时，其算术平方根由变为， ． 故答案为：． （2）∵， ； ， ； 故答案为：，． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 2．（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）已知，，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，正确理解题意、找到规律是关键．根据已知的式子结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答，注意符号． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 题型七：立法根综合问题 【例1】．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 2．（22-23七年级下·四川南充·月考）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 3．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东泰安·期末）在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，需根据算术平方根的定义（非负性）、立方根的定义和平方根的性质判断每个选项． 【详解】解：选项A，∵，算术平方根结果非负，∴A错误； 选项B，∵，∴是的一个平方根，∴B正确； 选项C，∵当时，，有平方根，∴C错误； 选项D，∵，而的立方根为，∴D错误； 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【详解】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，则的值约是（    ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律． 利用立方根的性质，将1510分解为，再分别求立方根后相乘． 【详解】解：∵ ， 又∵ ，， ∴ ． 故选：C． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【详解】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 二、填空题 9．（25-26八年级上·河北沧州·期末）一个正方体水槽的体积为，则该正方体水槽的棱长是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据正方体体积公式，棱长的立方等于体积，求体积的立方根即可得到棱长． 【详解】解：∵正方体水槽的体积为， ∴该正方体水槽的棱长是． 故答案为：4． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________． 【答案】或1 【分析】设非零实数为 ，根据立方根的定义列出方程 ，通过立方运算和解方程求解． 本题考查了立方根，熟练掌握立方根的相关计算是解题的关键． 【详解】解：设这个非零实数为 ，则 ． 两边立方得 ，即 ． 因式分解得 ． 由于 ， 所以 或 ， 解得 或 ． 经检验， 和 都满足题意． 故答案为 1 或 ． 11．（25-26七年级上·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器计算：________，________，________．（结果精确到0.001） 【答案】 1.287 2.772 5.972 【分析】使用计算器计算每个立方根，并按照要求将结果精确到0.001； 本题考查了开立方，熟练使用计算器开立方是解题的关键． 【详解】解：使用计算器计算得： ， ， ， 故答案为1.287，2.772，5.972． 13．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若互为倒数，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值、倒数的定义等知识点，熟练掌握各运算法则和定义是解题关键．利用倒数定义和立方根性质化简求值即可． 【详解】解：互为倒数， ，即． ， ． ． 故答案为： ． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的求解，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，通过移项、系数化为1等步骤，将方程转化为可直接开方的形式． （1） 先移项，将常数项移到等号右边，再把二次项系数化为1，最后根据平方根的定义开方求解； （2） 先把方程两边同时除以2，将三次项系数化为1，再根据立方根的定义求出的值，进而解得． 【详解】（1）解： 即 （2）解： 16．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由题意，得， ， 解得：； （2）解：， ∴的平方根是． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 18．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 【答案】(1)两，9，3； (2)32，； 【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【详解】（1）∵ ∴ 是两位数 ∵ 的个位上的数是 9 ∴ 的个位上的数字是 9 ∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ， ∴ 的十位上的数字是 3 故答案是：两，9，3 ； （2）①求 32768 的立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 8 ∴ 的立方根个位数是 2 ∵ ∴ 的立方根十位数是 3 综合可得 32768 的立方根是 32 ②求立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 5 ∴ 的立方根个位数是 5 ∵ ∴274625的立方根十位数是6 ∴274625的立方根65 ∴的立方根是 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握一些常用整数的立方值有助于快速判断立方根的整数范围． 19．（25-26八年级上·福建三明·月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【答案】(1)两位数 (2)9 (3)3 (4)26；47 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键． （1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）根据（1）（2）（3）即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，所以是两位数； （2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9； （3）解：因为，所以，即， 所以的十位上的数是3． （4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2立方根 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一、立方根 立方根：若一个数的立方（三次方）等于a,那么这个数叫做 a 的立方根（三次方根）若x 是 a 的立方根，则说明x 3 = a。a 的立方根记为： ,读作“三次根号a”。 根指数 ( 被开方数 ) 开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。 （1） 8 的立方根： （2）- 64 的立方根： 技巧归纳： 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 【题型探究】 题型一：立方根的概念 【例1】．（24-25七年级上·全国·单元测试）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【举一反三】 1．（25-26八年级上·河北邢台·月考）式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 3．（25-26七年级上·陕西西安·月考）以下关于平方根与立方根说法正确的是（   ） A．任何实数都有1个立方根 B．一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 题型二：求一个数的立方根 【例2】．（25-26七年级下·全国·周测）计算下列各式的值： (1)(2)(3)(4) 【举一反三】 1．（25-26七年级上·山东淄博·期末）的立方根是_____，的平方根是______． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： （1）________； （2）________． 3．（2025八年级上·北京·专题练习）求下列各式的值： (1) (2) (3) 题型三：立方根的实际应用问题 【例3】．（25-26七年级上·浙江·期中）小雨做了一个棱长为的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子体积比你的大．”则小雪做的盒子的棱长为______． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为______． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少_______（用含的代数式表示），若，则棱长应减少_______． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为________． 题型四：已经一个数的立方根，求这个数 【例4】．（25-26七年级下·重庆·月考）已知的立方根是，的算术平方根是，则______． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）若，则的立方根是__________． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知m，n为实数，若，则的算术平方根为______． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是______ 题型五：算术平方根和立方根的综合问题 【例5】．（22-23九年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【举一反三】 1．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·月考）已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 3．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 题型六：立方根的规律探索问题 【例6】．（25-26七年级下·全国·周测）（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 2．（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）已知，，，，则________． 题型七：立法根综合问题 【例1】．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 2．（22-23七年级下·四川南充·月考）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 3．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东泰安·期末）在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，则的值约是（    ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 二、填空题 9．（25-26八年级上·河北沧州·期末）一个正方体水槽的体积为，则该正方体水槽的棱长是______． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________． 11．（25-26七年级上·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器计算：________，________，________．（结果精确到0.001） 13．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若互为倒数，，则代数式的值是______． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 三、解答题 15．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 16．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 18．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 19．（25-26八年级上·福建三明·月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $