专题8.1平方根【六大考点+六大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦“平方根”核心知识点，系统梳理算术平方根的定义、平方根的概念及表示方法，明确正数有两个互为相反数的平方根、0的平方根是0、负数没有平方根的性质，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料通过题型探究（概念辨析、计算应用、非负性解题等）培养学生抽象能力与运算能力，结合实际问题（如正方形明信片边长计算）发展应用意识，课中辅助教师系统授课，课后高分演练助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题8.1平方根 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一、平方根 算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0。 平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a （x可能为正数，也可能为负数），那么x就叫做a的平方根(二次方根). 开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算。 知识点二：平方根的表示方法: 如果x2=a (a≥0), 那么x = ，读作“正负根号a”。表示a的正的平方根。表示 a的负的平方根。 规定：正数a的正的平方根 叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0. 技巧归纳： 1、正数有两个平方根，它们互为相反数； 2、0的平方根是0； 3、负数没有平方根。 【题型探究】 题型一：平方根的概念 【例1】．（25-26七年级下·全国·月考）下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，平方数的非负性，掌握平方根仅对非负数有定义，利用平方数的非负性判断式子的正负是解题的关键． 平方根仅对非负数有定义，因此需找出无论取何值恒为负数的选项． 【详解】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意； B、当时，的值为，有平方根，不符合题意； C、恒成立，总有平方根，不符合题意； D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，正数有两个平方根，的平方根是，负数没有实数平方根，逐一判断即可. 【详解】解：A、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； B、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； C、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； D、负数在实数范围内无平方根，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2.（25-26八年级上·四川宜宾·月考）下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握好相关知识是解题关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断正误． 【详解】解：对于A：， 因此是4的平方根，故A正确； 对于B： ， 因此的算术平方根是，故B正确； 对于C： ， 因此的算术平方根不是，故C错误； 对于D： ， 且，因此7是49的算术平方根，故D正确． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 【答案】D 【分析】本题考查平方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的概念，正数的平方根有两个，互为相反数，逐一判断即可. 【详解】A、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； B、∵ 且，∴ 的平方根是，说法正确，不符合题意； C、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； D、∵ ，，∴ 的平方根是，说法错误，符合题意． 故选：D． 题型二：求一个数的（算术）平方根 【例2】．（2026七年级下·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)算术平方根：；平方根： (2)算术平方根：；平方根： (3)算术平方根：；平方根： (4)算术平方根：；平方根： (5)算术平方根：；平方根： 【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：； （2）解：算术平方根：；平方根：； （3）解：算术平方根：；平方根：； （4）解：∵7不是完全平方数，∴它的算术平方根是；平方根是； （5）解：算术平方根：；平方根：． 【举一反三1】 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）的平方根是______，的算术平方根是______ 【答案】 / 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，理解平方根、算术平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方运算得到4，再求平方根；直接根据算术平方根定义求解即可． 【详解】解： = 4，4 的平方根是； 的算术平方根是． 故答案为，． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)算术平方根：；平方根：； (2)算术平方根：；平方根：； (3)算术平方根：；平方根：； (4)算术平方根：；平方根：； (5)算术平方根：；平方根：； (6)算术平方根：；平方根：． 【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：； （2）解：算术平方根：；平方根：； （3）解：算术平方根：；平方根：； （4）解：算术平方根：；平方根：； （5）解：算术平方根：；平方根：； （6）解：算术平方根：；平方根：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）一个正数的平方等于196，求这个数． （2）一个负数的平方等于，求这个数． （3）一个数的平方等于1.44，求这个数． 【答案】(1) ； (2) ； (3) 【详解】解：（1）一个正数的平方等于196 ； （2）一个负数的平方等于 ； （3）一个数的平方等于1.44 ． 题型三：算术平方根的非负性解题 【例3】．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为_____ ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式和绝对值， 根据，，，可得， ． 【详解】解：根据，，，可得 ， ． 即 ，． 解得 ，． 所以． 故答案为： 【举一反三】 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若实数x，y满足：，则的值为___． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，利用非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，每个部分必须为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且 ， ∴，， 解得，， 因此， 故答案为：2 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方运算． 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）若实数x，y，z满足，则的平方根为_____________． 【答案】±2 【详解】解：， ，，， 解得，，． 则， ， 的平方根为， 的平方根为． 故答案为：． 题型四：求代数式的平方根 【例4】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 3.（23-24七年级下·福建莆田·月考）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 题型五：算术平方根的取值范围 【例5】．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向右移动两位，那么对应的算术平方根的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·月考）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数：___________． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意得，即，据此即可求解． 【详解】解：∵k的算术平方根在3和4之间， ∴，即， ∴， 故答案为：10（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时，_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即，由此求解即可． 【详解】解：∵，a，b均为正整数， ∴ ∴当b取最大值时，即时，， ∴， 解得， 故答案为：4． 3．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数每向左（向右）移动两位，则开方的结果的向左（向右）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型六：算术平方根有关的规律探索题 【例6】．（25-26八年级上·山东聊城·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查与算术平方根有关的规律探索题．根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ， ． 原式 ． 故答案为：． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知，则___________ 【答案】 【分析】将转化为的形式，利用算术平方根的乘积运算性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·月考）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，根据所给各数的排列方式，发现前n排数的总个数的变化规律，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． 题型七：平方根的实际问题 【例8】．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1)9 (2)能 【分析】本题考查算术平方根的应用，利用面积公式：长×宽=面积，得到类似的等式，利用平方根的定义求解即可． （1）根据正方形面积公式：边长的平方=面积，求解即可； （2）设宽为x ，列式求解，再比较长和宽是否都大于（1）中所求明信片的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，得明信片的边长为； （2）解：设宽为，则长为， 由题意，得， 整理，得， ∴， ， ∵， ∴能在不折叠的情况下将明信片放入此信封． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 【答案】(1)； (2)小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等 【分析】本题是考查代数式的表达及化简，以及代数式与几何图形的面积和周长结合的综合问题．根据等腰直角三角形、正方形面积计算公式，利用等量代换思想，用代数式表示出面积，是解题的关键． （1）根据图中图形的面积关系，得到④号正方形的面积和①号三角形的面积的关系，计算出④号正方形的面积和边长． （2）根据图中边长的关系，用含的代数式表达图中平行四边形的周长和等腰梯形的周长，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵③④⑤号图形的面积的和与①号三角形的面积相等，③⑤号三角形的面积和与④号正方形的面积相等， ∴④号正方形的面积①号三角形的面积， ∵①号三角形的面积为：， ∴④号正方形的面积， ∵④号正方形的面积， ∴边长； （2）解：图中平行四边形的周长为：， 图中等腰梯形的周长为：， ∴小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等. 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）根据拼接前后的面积相等建立方程求解可得答案． （2）设小长方形的对角线的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：（1）设大正方形的边长为x， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：大正方形的边长为4； （2）设小长方形的对角线的长度为m， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小长方形的对角线的长度为． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用数形结合的思想解决问题即可； 利用一个面积为的正方形，正方形的边长为所求； 求出阴影部分的面积可得结论． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半 ∴边长为 故答案为：2，； （2）如图，线段即为所求； ∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：， 故阴影部分的面积为：， 故阴影正方形的边长为：， 故为所求； （3）阴影部分的面积， 新正方形的边长 故答案为： 题型八：平方根的综合问题 【例8】．（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，解决本题的关键是读懂题意找到规律并建立等式求解． （1）根据运算求解即可． （2）由的值和的值为相邻的两个整数，设，两边同时平方整理化简即可． （3）根据相差3可建立等式，再两边同时平方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，则， 可得，解得 （2）解：结论： 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴． （3）解：依题意，得， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1)(2)(3)2023 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用平方根的定义分情况列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设第四个数为， ∵ 四个有理数之和的平方是， ∴ 四个有理数之和为或， ① 当四个数之和为时，，解得； ② 当四个数之和为时，，解得； ∴ 第四个数是11或7． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的定义及有理数的乘方运算，需根据相关定义和法则逐一判断选项计算的正确性． 【详解】解：∵算术平方根的定义为非负数的正的平方根，即的结果为非负， ∴对于选项A，是16的算术平方根，结果为4，而非，A错误，不符合题意； ∵，∴B错误，不符合题意； ∵表示的相反数，，∴，C错误， 不符合题意； ∵，∴D正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的剪拼与算术平方根的应用，熟练掌握剪拼前后图形面积不变，以及利用面积求正方形边长是解题的关键． 先计算阴影部分的面积，再根据剪拼前后面积不变，得出新正方形的面积，进而求出其边长． 【详解】解：∵每个小方格边长为1, ∴阴影部分面积， ∵剪拼后正方形面积与阴影部分面积相等， ∴新正方形面积为5， ∴新正方形边长为， 故选：D． 4．（25-26八年级上·海南海口·期末）已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根以及算术平方根的定义．分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项． 【详解】解：A、是25的平方根，说法正确，该选项不符合题意； B．，则的算术平方根是2，说法正确，该选项不符合题意； C、的平方根是，故原说法错误，该选项符合题意； D、，说法正确，该选项不符合题意． 故选：C． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知一些数的平方如下表所示，则无理数的大小在（   ）         6.8121 6.8644 6.9169 6.9696 7.0225 7.0756 7.1289 A．2.61与2.64之间 B．2.64与2.65之间 C．2.65与2.66之间 D．2.65与2.67之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据表格中的数据找到7在哪2个数的平方之间即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴ 即的大小在2.64与2.65之间， 故选：B． 7．（24-25七年级下·云南普洱·期末）一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式规律，观察代数式变化部分与序号的关系是解决问题的关键． 通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母的指数为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子： ； 第4个式子：； 综上所述，该组式子的规律为：， 故选：B． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 【答案】C 【分析】本题考查相反数、倒数、乘方的性质，涉及的知识点是“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为”“平方为的数有两个”．解题方法是先根据定义求出、、的值，再分情况代入式子计算；解题关键是注意的取值有两个，需分情况讨论．易错点是忽略的正负两种情况，导致漏解．解题思路为：先利用相反数、倒数、乘方的性质得到、、，再分和两种情况代入式子计算结果． 【详解】∵互为相反数， ∴． ∵互为倒数， ． ， 或． 当时，=． 当时，=． 故选C． 二、填空题 9．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义及性质，关键是掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”这一核心知识点．先利用两个平方根互为相反数的性质列出关于的方程，求解得到的值；再代入平方根的表达式求出正的平方根，即为该正数的算术平方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数的算术平方根是7； 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是__________． 【答案】 【分析】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”是解答此题的关键．根据小正方形的面积，求出正方形的面积，再根据算术平方根定义，求出结果即可． 【详解】解：分割图形如下： 这个正方形的面积为：， 故这个正方形的边长是：． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若一个正数的平方根为和，则代数式的值为__． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质及代数式的整体代入求值，关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”这一性质得到与的关系式，再对所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 整理得：， ∴； 故答案为：． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）观察表格： 按表中规律，已知，则_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵， ∴； 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·周测）已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 14．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1)(2)(3)(4)或(5)或18(6)或 (7)或(8)或8(9)或7(10)或3 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 解得： （3）解： 解得： （4）解： 解得： （5）解： 解得： （6）解： 解得： （7）解： 解得： （8）解： 解得： （9）解： 解得： （10）解： 解得： 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【答案】（1）0.1  10  （2）右  1  （3）①22.4  ②25 【详解】解：（1）由表格可知，，． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②由及（2）中的规律可知， 则 ∴ 即． 16．（25-26七年级下·全国·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 【答案】（1）3  ，0.5 ， 7 ， ， 0 （2）①不一定等于a，当时，；当时， ②，   【分析】（1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）①从（1）中可以得到规律：非负数的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；②利用①中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）①不一定等于， 当时，； 当时，． ②， ，， ；． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1平方根 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一、平方根 算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0。 平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a （x可能为正数，也可能为负数），那么x就叫做a的平方根(二次方根). 开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算。 知识点二：平方根的表示方法: 如果x2=a (a≥0), 那么x = ，读作“正负根号a”。表示a的正的平方根。表示 a的负的平方根。 规定：正数a的正的平方根 叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0. 技巧归纳： 1、正数有两个平方根，它们互为相反数； 2、0的平方根是0； 3、负数没有平方根。 【题型探究】 题型一：平方根的概念 【例1】．（25-26七年级下·全国·月考）下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 2.（25-26八年级上·四川宜宾·月考）下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 题型二：求一个数的（算术）平方根 【例2】．（2026七年级下·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【举一反三1】 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）的平方根是______，的算术平方根是______ 2．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）一个正数的平方等于196，求这个数． （2）一个负数的平方等于，求这个数． （3）一个数的平方等于1.44，求这个数． 题型三：算术平方根的非负性解题 【例3】．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为_____ ． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若实数x，y满足：，则的值为___． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是_______． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）若实数x，y，z满足，则的平方根为_____________． 题型四：求代数式的平方根 【例4】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 2．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 3.（23-24七年级下·福建莆田·月考）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 题型五：算术平方根的取值范围 【例5】．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是________． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·月考）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数：___________． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时，_______． 3．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）已知，，则______． 题型六：算术平方根有关的规律探索题 【例6】．（25-26八年级上·山东聊城·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知，则___________ 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 3．（25-26八年级上·上海·月考）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 题型七：平方根的实际问题 【例8】．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 题型八：平方根的综合问题 【例8】．（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26八年级上·海南海口·期末）已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知一些数的平方如下表所示，则无理数的大小在（   ）         6.8121 6.8644 6.9169 6.9696 7.0225 7.0756 7.1289 A．2.61与2.64之间 B．2.64与2.65之间 C．2.65与2.66之间 D．2.65与2.67之间 7．（24-25七年级下·云南普洱·期末）一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 二、填空题 9．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______． 10．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是__________． 11．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若一个正数的平方根为和，则代数式的值为__． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）观察表格： 按表中规律，已知，则_____． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·周测）已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 14．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 16．（25-26七年级下·全国·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $