专题01 平方根与立方根（8大题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01平方根与立方根 目录知 A题型建模·专项突破 题型一、求一个数的算术平方根、平方根、立方根 题型二、已知一个数的平方根或立方根，求这个数… .2 题型三、利用算术平方根的非负性解题… 4 题型四、利用平方根与立方根的定义解方程… 5 题型五、算术平方根及立方根的实际应用.8 题型六、平方根与立方根的综合问题 … 12 题型七、与算术平方根有关的规律探索题.14 题型八、与立方根有关的规律探索题.… 18 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、求一个数的算术平方根、平方根、立方根 1.(25-26八年级上陕西宝鸡·期末)196的平方根是 :169的算术平方根是 ；-125的 立方根是 2.(24-25七年级下·全国期中)9的算术平方根是，25的平方根是，-27的立方根是 3.(2025八年级上山东青岛·专题练习)16的算术平方根是一，4的立方根是 ,√⑧1的平方根 4.(2025八年级上·广东深圳专题练习)81的平方根是；√16的算术平方根是一： -27= 题型二、已知一个数的平方根或立方根，求这个数 5.(25-26八年级上·上海黄浦·期末)若3x+1和x-1是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 6.(25-26八年级上陕西西安期中)a-1是-8的立方根，b+1的立方根是-8，则a-b= 7.(25-26七年级上山东淄博月考)一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和-7a+10,那么这个数 是 8.(25-26八年级上·陕西西安·期中)已知a-3和9+2a是一个正数的两个平方根，3b+6的立方根是3，则 b-a的算术平方根是 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三、利用算术平方根的非负性解题 9.(25-26七年级上北京期末)若a+1+√b-2027=0,则a+b的值为 2025 10.(25-26八年级上甘肃张掖期末)若x,y为实数，且满足x-3+√6-x+y=0,则x 的值是 1.25-26八年级上北京通州期末)已知k-2++3+(2-12=0,则2t二的值是一 x+y 12.(25-26七年级下·全国课后作业)若实数x,y,z满足√x+|y-1川+√2-2=0，则(x-yz)2的平方根 为 题型四、利用平方根与立方根的定义解方程 13.(25-26八年级上江苏无锡月考)解方程： (1)2x3+54=0: (2)3(x-1)=27. 14.(25-26八年级上江苏泰州月考)求x的值： (1)(2x+1)2=16 (2)3(x+1)=-81 15.(25-26八年级上江苏宿迁·月考)解方程： (1)4x2-3=6 (2)8(x+1)-27=0 16.(25-26七年级上山东泰安·月考)求下列各式中x的值. (1)(x-1)2=225 (2)27x3=1000 (3)16x2-49=0 (4)(x+1)°+64=0 题型五、算术平方根及立方根的实际应用 17.(25-26七年级上·北京·期中)动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设 用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将封妖阵”调整为面积为 12m2的长方形，且长与宽之比为2：1. (1)“混天绫的总长度是多少米？ (②)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由. 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(25-26七年级下.全国·周测)如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为 16000cm3. (1)求长方体水池的长、宽、高. (②)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为℃m的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积 为水池体积的 ,求该小球的半径（球的体积公式：V=号，其中r为球的半径，取3，结果精确到 0.01cm). 19.(25-26七年级上浙江杭州·期中)观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面 积为1. B 图1 图2 图3 (1)图1中阴影正方形的面积是 并由面积求正方形的边长，可得边长AB长为： (2)在图2,3×3正方形方格中，由题(1)的解题思路和方法，设计一个方案画出长为√5的线段。 (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是 20.(25-26八年级上·河南南阳·月考)请根据如图所示的对话内容解答下列问题. 现有一个大正方体木块，体积是1000cm3。 从这个大正方体木块的8个角上分别截去8个大 小相同的小正方体木块，使截去后余下的体积 是784cm3。 ()求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长.小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为cm,则截得的这8个小正方体木块的总体积为cm,由题 意得： 请补全以上填空并继续完成小红的解答， 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型六、平方根与立方根的综合问题 21.(25-26八年级上·吉林长春期中)已知正数x的两个平方根分别是2a-1和a+7,负数y的立方根与它 本身相同. (I)求a,x,y的值； (②)求x-11y的算术平方根。 22.(25-26八年级上宁夏银川期中)已知3x-5的算术平方根是5,1-2y的立方根是-3. (1)求x,y的值： (2)求Vx+2y-2的平方根. 23.(25-26八年级上陕西成阳期中)已知2a-1是9的平方根，3a+b-1的算术平方根是4. (1)求a与b的值； (2)当ab>0时，求2a+b2的立方根， 25.26八年级上重庆万州月考)已知一个正数a的两个不同的平方根分别是3x-4和1-2x,口+ 立方根是3 (1)求a和b的值 (2)求V3a-b2+5的算术平方根. 题型七、与算术平方根有关的规律探索题 25.(25-26七年级下·全国课后作业)(1)观察发现： a(a>0) 0.0001 0.01 100 10000 。 a 0.01 1 y 100 表格中x= y= (2)归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位； (3)规律运用： ①已知5≈2.24，则√500≈ ②已知√2m≈7.07，√5000≈70.7，则m= 26.(25-26七年级下·全国·课后作业)[核心素【实践与探究】 )计算：=，03：：6= 3 4 =- 【归纳与应用】 (2)观察(1)中的等式，发现其中的规律，并猜想Va2与a有怎样的关系，请用数学式子表示出来； 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)利用你得到的规律，计算： ①若x<2,则x-22=- ②3.14-π2=- 27.(25-26七年级上浙江绍兴期中)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①V1x5+4=√5=3，②2x6+4=V16=4,③√3x7+4=√25=5，… (1)观察算式规律，计算√4×8+4，√20×24+4的值. (②)用含正整数n的式子表示上述算式的规律. (3)根据规律，求√1×5+4-√2×6+4+√3×7+4-√4×8+4+.+√2023×2027+4的值 11 S2025七年级全国专题级习先测察下列武，再回答阿题：第一个等武中方十+十1 第个大空1哈第个 11 V++=1+ 1,1 --=1 34=112 ()根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式(n为正整数)； (3)对于任何实数a,[a表示不超过a的最大整数，如[3)=3，「V5=2,计算： 1.1 11 11 1 V++2京++2+3+1++年++ 202372024 的值. 题型八、与立方根有关的规律探索题 29.(25-26八年级上河北石家庄·期中)观察下表，并用所得的规律解决问题： a 0.001 1 1000 1000000 a 0.1 1 10 100 (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动 位，其立方根的小数点向右（或左)移动 位； (2)应用：①已知0.000456≈0.07697，则456≈ ②已知3000≈14.42，则3≈ (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根.已知：√6≈2.44960≈7.746，计算√0.54的值. 30.(25-26八年级上河南郑州期中)观察如表，并解答下列问题， 0.000001 0.001 1 1000 1000000 a 0.01 0.1 100 【规律总结】 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左） 移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动位； 【规律应用】 (2)已知0.3≈0.6694,5≈1.442,330≈3.107. ①300≈ ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 ā 0.01 0.1 1 10 100 31.(25-26八年级上山西运城期中)阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告， 以-50653的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为103=1000,1003=1000000,1000<50653<1000000，所以50653是两位数； ②其次观察了立方数：13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729….猜想个位数 字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33=27,4=64，所以50653的十位数字应为3，于是 猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到-50653=-37，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个 数的立方根也互为相反数；反之，也成立 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题 (1)3-195112= (2)若2x-1+5=0,则x= (3)已知x-2+2=x,求x的值 32.(25-26八年级上·广东河源月考)(1)【发现】 ①近+-1=1+(-1)=0： ②8+-8=2-2=0： ③1000+-1000=10-10=0； 111=0: 64+6444 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式：一： (2)【归纳】 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数Q,b,若 ā+6=0，则_；（写出a与b之间的关系式） (3)【应用】 根据(2)中所归纳的结论，解决下列问题： ①若3-2x+x+6=0,求√4x: ②若4a2-10+6-3b=0,且V4-b=0,求a的值. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·四川内江期末)下列式子正确的是( A.8=2 B.V-2}2=-2 C.√4=2 D.-V4=2 2.(25-26八年级上·四川眉山期末)下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是 正数；③算术平方根不可能是负数；④(3.14-π)》2的算术平方根是3.14-π；⑤负数的立方根是负数.其中 正确的说法有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26八年级上山西长治期末)若实数x的平方根为±√万，y的立方根为-2，则代数式x+y的值为() A.-1 B.0 C.1 D.3 4.(25-26八年级上·山西晋中.期中)某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到 原来的2倍时，这个正方体的棱长是() A.2 B.8 C.2 D.2 5.(25-26八年级上海南海口期中)若1a+1+(b-22+VC+3=0,则a+b+c的值是() A.0 B.1 C.-2 D.3 二、填空题 6.(25-26八年级上广东佛山月考)64的平方根为 √64的算术平方根为 _,64的立方 根为 7.(25-26八年级上·甘肃兰州期末)已知b有两个平方根分别是a+3与2a-15,则b为 8.（25-26八年级上辽宁盘锦月考)已知a,b为实数，且b=√a-8-√8-a+25,则a+√b的值为」 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(25-26八年级上四川成都月考)如图，a,b,c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.则 c+la-b-M(a-c)2= BA 0 10.(25-26八年级上·上海期中)定义：用(a,b)表示一个数对，其中a为任意数，b≥0.记a=m, -√b=n,将数对m,n和n,m称为数对(a,b的一对“开方对称数对”.例如：数对(8,25)的开方对称数对 为(2，-5)和(-5,2).若数对(a,b)的一个开方对称数对是(-4,5)，则a+b的值是 三、解答题 11.(25-26八年级上江苏泰州月考)解方程： 023x-22-15 (2)3(x+5)3=-81 12.(25-26八年级上四川广元月考)已知√7-2a的平方根是±V3,2b+3的立方根是-3. (I)求a,b的值； (2)求2a-b的平方根. 13.(25-26八年级上江苏扬州月考)己知某个正数的两个不同的平方根分别是a-12和2a-15, 2a+b-26的立方根是2. (I)求a与b的值； (2)求a+b的平方根. 14.(24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考)观察下列等式，请解答下列问题： ,1,1 1 x=+京+2 =1+ 1x2 2+3=1+ 11 1 2x3 11 x3=1 32+4 3x4 =1+ (I)请用正整数n表示第n个等式： (2)根据以上规律，计算x+x2+x+…+x2024-2025 15.(25-26八年级上河南开封期中)综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 8/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图示 洛阳美景 图示、数据及 计算 正方形卡片的面积为100cm2,长方形封皮的 相关数据及说明 长与宽的比为3：1，面积为210cm2. 计算结果 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮 【实践操作】A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形包装封皮 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中. 16.(25-26八年级上湖南衡阳·月考)通过观察后再回答问题 a 0.0004 0.04 x a 0.02 0.2 3 (I)从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知√7≈2.65，√70≈8.37，则√700≈ (2)己知√m=12.34,√n=1.234,用含m的代数式表示n(请写出解答过程). 17.(24-25八年级上河南平顶山期中)我们知道-64的立方根是-4，可以表示为-64=-4，反之 (-4)3=-64,16的平方根是±4，可以表示为±V6=±4，反之（±42=16.根据立方根和平方根的含义，完成 下面问题： (1)125表示的含义是什么？7a+1表示的含义是什么？ (2)V8a+b-2表示的含义是什么？ 若7a+1)N8a+b-2=2,求a+b的值和-8a+3b+3的平方 18.(25-26八年级上·河南南阳·月考)观察下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 哈 0.01 0.1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动位，它的 的小数点就相应 的向左或向右移动位； (2)根据你发现的规律填空：①已知V5.217≈2.284，√521.7≈22.84. 则√0.05217≈ ,-52170≈ ； ②若√F≈0.02284，则x 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动 位： ①已知0.000456≈0.07697，则-456≈ ②已知5≈1.442,30≈3.107，则3000≈ 10/10 专题01 平方根与立方根 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求一个数的算术平方根、平方根、立方根 1 题型二、已知一个数的平方根或立方根，求这个数 2 题型三、利用算术平方根的非负性解题 4 题型四、利用平方根与立方根的定义解方程 5 题型五、算术平方根及立方根的实际应用 8 题型六、平方根与立方根的综合问题 12 题型七、与算术平方根有关的规律探索题 14 题型八、与立方根有关的规律探索题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求一个数的算术平方根、平方根、立方根 1．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）196的平方根是 ；169的算术平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 ±14 13 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根，理解各自的概念正确化简各数是解题关键． 【详解】解：196的平方根是，169的算术平方根是13，的立方根是， 故答案为：；13；． 2．（24-25七年级下·全国·期中）9的算术平方根是 ，25的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 3 【分析】此题考查了算术平方根、平方根和立方根． 根据算术平方根、平方根和立方根的定义直接求解． 【详解】解：∵， ∴9的算术平方根是3； ∵， ∴25的平方根是±5； ∵ ∴的立方根是， 故答案为：3；； 3．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）16的算术平方根是 ，4的立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查算术平方根、立方根和平方根，根据算术平方根、立方根和平方根的定义和性质求解即可． 【详解】解：16的算术平方根是4，；4的立方根是；的平方根是； 故答案为：4，， 4．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）的平方根是 ；的算术平方根是 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，根据平方根、算术平方根和立方根的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； ∵，， ∴的算术平方根是； ∵， ∴， 故答案为：；；． 题型二、已知一个数的平方根或立方根，求这个数 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平方根定义，熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个不同的平方根互为相反数，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， 则，， ∴ 这个正数是：． 故答案为：1． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期中）是的立方根，的立方根是，则 ． 【答案】512 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义，分别求出a和b的值，再计算． 【详解】解：是的立方根， ， 解得， 的立方根是， ， 即， 解得， 则， 故答案为512． 7．（25-26七年级上·山东淄博·月考）一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是 ． 【答案】121 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握一个正数的两个不相等的平方根互为相反数． 根据平方根的性质，正数的两个不相等的平方根互为相反数，列出方程求解参数，再计算平方根的值，最后求原数． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 则一个平方根为， 因此这个正数为． 故答案为：121． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是 【答案】3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 题型三、利用算术平方根的非负性解题 9．（25-26七年级上·北京·期末）若，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查非负数的性质，即绝对值和算术平方根的非负性，准确的计算是解决本题的关键． 根据等式成立的条件，每个非负数部分都为零，据此求解即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且． 解得，． ∴． 故答案为：2026． 10．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方运算． 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·北京通州·期末）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，以及绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值．根据非负数的性质，绝对值、算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零，则每个部分都为零，从而求出x，y，z的值，再代入所求式子计算，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）若实数x，y，z满足，则的平方根为 ． 【答案】±2 【分析】本题考查的是算术平方根、平方根，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值均为非负数，它们的和为零时，每个部分均为零，从而求出的值． 【详解】解：， ，，， 解得，，． 则， ， 的平方根为， 的平方根为． 故答案为：． 题型四、利用平方根与立方根的定义解方程 13．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的性质解方程，熟知求平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2后开立方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以3，再同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得或． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）求x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是掌握求一个数的平方根和立方根． （1）根据求一个数的平方根解方程； （2）根据求一个数的立方根解方程． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， ， ， 解得． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查平方根和立方根，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将方程变形为，利用平方根定义解答即可； （2）将方程变形为，利用立方根定义解答即可． 【详解】（1）解： 或； （2）解： ． 16．（25-26七年级上·山东泰安·月考）求下列各式中的值． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）本题考查了平方根的定义，将看作整体，算出的平方根，进而可求出； （2）本题考查了立方根的定义，算出的立方根，进而可求出； （3）本题考查了平方根的定义，算出的平方根，进而可求出； （4）本题考查了立方根的定义，将看作整体，算出的立方根，进而可求出； 【详解】（1）解：， ， （2）解：， ， （3）解：， ， ， （4）解：， ， ． 题型五、算术平方根及立方根的实际应用 17．（25-26七年级上·北京·期中）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20m (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长与面积计算，解题的关键是根据面积公式求出边长（长、宽），再计算周长． （1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 18．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 19．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用数形结合的思想解决问题即可； 利用一个面积为的正方形，正方形的边长为所求； 求出阴影部分的面积可得结论． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半 ∴边长为 故答案为：2，； （2）如图，线段即为所求； ∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：， 故阴影部分的面积为：， 故阴影正方形的边长为：， 故为所求； （3）阴影部分的面积， 新正方形的边长 故答案为： 20．（25-26八年级上·河南南阳·月考）请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 【答案】(1) (2)，，截得的每个小正方体木块的棱长； 【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）求一个数的立方根即可； （2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴棱长为， 故大正方体木块的棱长为； （2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为， 则截得的这8个小正方体木块的总体积为， 由题意得：， 解得：， 故截得的每个小正方体木块的棱长为， 故答案为：，． 题型六、平方根与立方根的综合问题 21．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 22．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 23．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知是9的平方根，的算术平方根是4． (1)求a与b的值； (2)当时，求的立方根． 【答案】(1)，或 ， (2)5 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念及求法，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据平方根定义得到或，再根据算术平方根定义，结合或分情况讨论求解，即可解题； （2）根据推出a与b的值，再将a与b的值代入中计算，进而得到结果，最后根据立方根定义求解，即可解题． 【详解】（1）解：是9的平方根， 或， 解得或， 的算术平方根是4． ， 则当时，有，解得； 当时，有，解得； （2）解：， ，， ， 的立方根为． 24．（25-26八年级上·重庆万州·月考）已知一个正数a的两个不同的平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a和b的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数求出，进而确定其中一个平方根，求出；再根据立方根的定义求出 （2）将、的值代入式子，先计算出被开方数，再求算术平方根． 【详解】（1）解：∵一个正数a的两个不同平方根分别是和， ∴， ， ， 则其中一个平方根为， ∴ 又∵的立方根是， ∴， ， ， ； （2）解：将，代入，得 ， 的算术平方根为， 故答案为： 题型七、与算术平方根有关的规律探索题 25．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【答案】（1）0.1  10   （2）右  1   （3）①22.4  ②25 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）由表格可知，，． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②由及（2）中的规律可知， 则 ∴ 即． 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 27．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 28．（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 题型八、与立方根有关的规律探索题 29．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 30．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 31．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 32．（25-26八年级上·广东河源·月考）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川内江·期末）下列式子正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，注意算术平方根是非负的，而立方根有唯一实数值. 【详解】解：A选项：，，故A选项正确； B选项：根据算术平方根的定义可得：，故B选项错误； C选项：根据算术平方根的定义可得：，故C选项错误； D选项：根据平方根的定义可得：，故D选项错误． 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川眉山·期末）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③算术平方根不可能是负数；④的算术平方根是；⑤负数的立方根是负数．其中正确的说法有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查根据算术平方根和立方根的定义，逐个判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵ 负数没有算术平方根，∴ ①错误； ∵ 0的算术平方根是0，不是正数，∴ ②错误； ∵ 算术平方根是非负数，∴ ③正确； ∵ 的算术平方根是   ，不是 ，∴ ④错误； ∵ 负数的立方根是负数，∴ ⑤正确. ∴ 正确的有③和⑤，共2个， 故选B． 3．（25-26八年级上·山西长治·期末）若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·山西晋中·期中）某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．先求得增大后的正方体的体积，然后依据立方根的性质求解即可． 【详解】解：小正方体的体积． 大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 故选：D． 5．（25-26八年级上·海南海口·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据绝对值、平方及算术平方根的非负性可得，求出的值再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东佛山·月考）64的平方根为 ，的算术平方根为 ，64的立方根为 ． 【答案】 4 【分析】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义求解，64的平方根有两个值；表示64的算术平方根，其值为8，再求8的算术平方根；64的立方根是4． 【详解】解：64的平方根是； ，8的算术平方根是； 64的立方根是4． 故答案为：，，4． 7．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知有两个平方根分别是与，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的性质是解题关键．根据平方根的性质：两个平方根互为相反数，建立方程求解，再计算的值即可． 【详解】解：有两个平方根分别是与， ，解得， ，， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·辽宁盘锦·月考）已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查算术平方根成立的条件，立方根，根据算术平方根的开方数是非负数得到，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 9．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴．观察数轴得：，可得，再根据立方根，绝对值，算术平方根的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ 故答案为： 10．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程，熟练掌握定义，灵活解方程是解题的关键． （1）开平方即可求解； （2）开立方即可求解． 【详解】（1）解： 开平方得 当时，，解得， 当时，，解得， 故方程的解为：； （2）解： 开立方得 解得． 12．（25-26八年级上·四川广元·月考）已知的平方根是的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，掌握相应的定义是关键． （1）根据平方根的定义、立方根的定义列出方程进行解答便可； （2）把，代入求出的值，再根据平方根的定义进行计算便可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴，即 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义． （1）根据平方根的定义，立方根的定义作答即可； （2）先求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵某个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：； ∵的立方根是2， ∴， 即， 解得：； （2）解：， ∴的平方根为． 14．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）观察下列等式，请解答下列问题： ； ； ； …… (1)请用正整数表示第个等式：________； (2)根据以上规律，计算 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键． （1）根据规律直接得出结果即可； （2）利用（1）中结论及有理数的混合运算进行计算即可 【详解】（1）解：根据规律可知，， 故答案为：； （2） ． 15．（25-26八年级上·河南开封·期中）综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮． 【实践操作】小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形包装封皮． 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片不能直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程， 解得， ， ， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 故正方形卡片不能直接装进长方形封皮中． 16．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的理解和规律的应用，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． （1）从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案； （2）根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍， ∴从到被开方数扩大到原来的倍， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我们知道的立方根是，可以表示为 反之 16 的平方根是，可以表示为 反之 根据立方根和平方根的含义，完成下面问题： (1)表示的含义是什么？ 表示的含义是什么？ (2)表示的含义是什么？ (3)若 求的值和的平方根． 【答案】(1)表示125的立方根，表示的立方根 (2)表示的算术平方根 (3)；的平方根为 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键． （1）根据立方根的概念解答即可； （2）根据算术平方根的概念解答即可； （3）先根据立方根，算术平方根的概念求出，然后代入和求解即可． 【详解】（1）表示125的立方根，表示的立方根． （2）表示的算术平方根． （3）因为， 所以， 所以， 所以，， 所以． 18．（25-26八年级上·河南南阳·月考）观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)2，算术平方根，1 (2)①；；② (3)3，1；①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）①利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；②利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解；②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：2，算术平方根，1 （2）解：①∵． ∴，； 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为： （3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：3；1 ①∵， ∴； 故答案为： ②∵， ∴． 故答案为： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $