第十四章 统计（复习讲义，8大题型精讲）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学统计复习讲义通过知识框架图与对比表格系统构建知识体系，涵盖数据获取、抽样方法、统计图表、样本估计总体等核心内容，用表格对比普查与抽样调查优缺点、简单随机抽样与分层抽样异同，清晰呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于“问题情境化”练习设计，如结合“口罩质量检测”考查抽样方法，用“电价预测折线图”分析数据特征，培养数据观念与模型意识。题型分层设置，从基础填空到综合解答，辅助教师实施分层教学，助力学生提升数据分析与逻辑推理能力。

第十四章 统计（复习讲义） 1、掌握获取数据的基本途径及相关概念，明确普查和抽样调查的优缺点，学会用两种调查的方法解决生活中的一些简单问题. 2、理解简单随机抽样的必要性和重要性，理解简单随机抽样的目的和基本要求，掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数表法的一般步骤. 3、了解分层抽样的概念，掌握分层抽样的一般步骤和相关的数据计算，理解简单随机抽样与分层抽样的异同. 4、掌握常用的三种统计图表(扇形统计图、折线统计图和频数直方图)的功能及其特点，能针对实际问题和收集到的数据的特点,选择科学的统计图表. 5、学会用频率分布表画频率分布直方图表示样本数据，能通过频率分布表或频率分布直方图对数据作出总体统计. 6、结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义. 7、理解标准差、方差公式的基本性质，通过具体实际问题不断体会集中趋势、离散程度是如何刻画的,以及它们之间的内在联系. 8、结合实例,能用频率分布直方图估计总体分布，能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义. 一、获取数据的基本途径及相关概念 知识点1　总体和样本 名称 定义 总体 在获取数据时,把所考察对象(某一项指标的数据)的全体叫作总体 样本 从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本 个体 把组成总体的每一个考察对象叫作个体 样本 容量 样本中个体的数目叫作样本容量 知识点2　获取数据的途径 1.获取数据的途径有很多种,如统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样调查、互联网等. 2.抽样调查与普查 特点 调查方法 普查 抽样调查 优点 所取得的资料更加全面、系统 (1)迅速、及时; (2)节约人力、物力和财力,对个体信息的了解更详细 缺点 耗费大量的人力、物力和财力 获取的信息不够全面、系统 特点 调查方法 普查 抽样调查 适用范围 总体容量不大,要获取详实、系统和全面的信息 (1)大批量检验 (2)破坏性检验 (3)不必要普查等 二、抽样 知识点1　抽签法 用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤: (1)将总体中的N个个体编号; (2)将这N个号码写在形状、大小相同的号签上; (3)将号签放在同一箱中,并搅拌均匀; (4)从箱中每次抽出1个号签,连续抽取k次; (5)将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出. 知识点2　随机数表法 用随机数表法抽取样本的步骤: (1)对总体中的个体编号(每个号码位数一致); (2)在随机数表中任选一个数; (3)从选定的数开始按一定的方向读下去,若得到的号码在编号中,则取出;若得到的号码不在编号中或前面已经取出,则跳过.如此继续下去,直到取满为止; (4)根据选定的号码抽取样本. 知识点3　简单随机抽样 1.定义:一般地,从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本(n<N), 如果每个个体都有相同的机会被取到,那么这样的抽样方法称为简单随机抽样. 2.最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数表法. 方法 抽签法 随机数表法 不同点 ①抽签法比随机数表法简单; ②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况 ①随机数表法要求编号的位数相同; ②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况 相同点 ①都是简单随机抽样,并且要求被抽取样本的总体的个数有限;②都是从总体中逐个不放回地抽取 知识点4　分层抽样 1.定义:一般地,当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使样本更客观地反映总体情况,我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分,然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样,这种抽样方法叫作分层抽样,所分成的各个部分称为“层”. 2.应用范围:当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样. 知识点5　简单随机抽样与分层抽样对比 为了使样本相对总体具有很好的代表性,就必须使得总体中每个个体被抽取的概率相等.如果一个样本是按这种规则抽取的,那么称这个样本为随机样本.简单随机抽样和分层抽样两种抽样方法所获取的样本都为随机样本,它们的特点和适用范围可归纳如表所示. 类别 特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 — 总体中的个体数相对较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 分层 抽样 将总体分成几层,按各层的个体数之比抽取 各层抽样时,可以采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 三、统计图表 知识点1　扇形统计图 1.定义:用整个圆代替总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分、扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小,这样的统计图称为扇形统计图. 2.作用:扇形统计图能够直观地反映各个类别在总体中所占的比例.在扇形统计图中,每一个扇形的圆心角以及弧长,都与这一部分占总体的百分比的大小成正比. 知识点2　折线统计图 1.定义:用一个单位长度表示一定的数据,根据数量的多少描出各点,然后用线段顺次把各点连接起来,这样的统计图称为折线统计图. 2.作用:折线统计图既可以表示出项目的具体数量,又可以看出变化趋势. 知识点3　频数直方图 1.定义:在统计数据时,按照频数分布表,在平面直角坐标系中,横轴标出每个组的端点,纵轴表示频数,每个矩形的高代表对应的频数,这样的统计图称为频数直方图. 2.作用:频数直方图既能反映分布状况,又可以表示变化趋势. 知识点4　频率分布直方图 1.把横轴均分成若干段,每一段对应的长度称为组距,然后以此段为底作矩形,它的高等于该组的频率/组距,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组的频率,这些矩形就构成了直方图.我们将这种直方图称为频率分布直方图. 2.频率分布直方图的优点:更直观、形象地反映了样本的分布规律,使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式. 知识点5　频率折线图 将频率分布直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来,并将两边端点向外延伸半个组距,就得到频率折线图,简称折线图. 四、样本估计总体 知识点1　平均数 (1)均值：一般地、把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。 (2)平均数：如果给定的一组数是，，…，是则这组数的平均数为 即 。 (3)一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，则其平均数为+++……+。 (4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，j=1，2，…，k。记，则所有数据的样本平均数为。 知识点2　众数 1.一般地,我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数. 2.如果有几个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么这几个数据都是这组数据的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数. 知识点3　中位数 一般地,将一组数据按照从小到大的顺序排成一列,如果数据的个数为奇数,那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数,那么,排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数. 知识点4　极差、方差、标准差 1.极差 (1)定义:一组数据的最大值与最小值的差. (2)作用:极差较大,数据点较分散;极差较小,数据点较集中. 2.方差、标准差 假设一组数据是，，…，用表示这组数据的平均数，则为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式。我们对方差开平方，取它的算术平方根，即为这组数据的标准差。 知识点5　频率分布直方图求数字特征 1.众数是最高的矩形的底边的中点值. 2.中位数左右两侧直方图的面积相等. 3.平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和. 知识点6　百分位数 1.k百分位数的特点：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于，且至少有(100-k)%的数据大于或等于 2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤 第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步，计算 第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k· 位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步，如果 不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数。 3.常用的四分位数有25百分位数,50百分位数(即中位数)和75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中25百分位数称为下四分位数,75百分位数称为上四分位数. 题型一 获取数据的基本途径及相关概念 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）下面情况中，更适合用抽样调查的有（   ） ①某学校全体学生体质健康检测    ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查 ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查    ④调查一个县各村的粮食播种面积 ⑤调查一条河流的水质    ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 A．②③④ B．②③⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据抽样调查与全面调查（普查）的适用条件，判断各情况适合的调查方式即可. 【详解】①某学校全体学生体质健康检测学校学生人数有限，且体质健康检测需要准确结果，适合普查； ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查关系到住户生命财产安全，必须确保全覆盖，适合普查； ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查检测细菌数需要破坏牛奶样本（具有破坏性），无法对所有牛奶进行检测，适合抽样调查； ④调查一个县各村的粮食播种面积数据需要精确统计，且县内村庄数量有限，适合普查； ⑤调查一条河流的水质河流范围广，无法对全部水体进行检测，只需抽取不同点位的水样即可推断整体水质，适合抽样调查； ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 连锁酒店顾客数量庞大，全面调查成本高，只需抽取部分顾客即可反映整体满意度，适合抽样调查. 故选：D. 2．（25-26高一上·河南·月考）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．了解某市小麦的根部生长情况 B．了解某品牌手机的防摔功能 C．了解某省高一学生坚持晨读的情况 D．对我国最新研发的“玄龙08战斗机”的各零部件质量情况的调查 【答案】D 【分析】根据抽样调查与普查的特点，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：了解某市小麦的根部生长情况，普查工作量巨大且有破坏性，适合抽样调查，故A错误； 选项B：了解某品牌手机的防摔功能，普查工作量巨大且有破坏性，适合抽样调查，故B错误； 选项C：了解某省高一学生坚持晨读的情况，普查工作量巨大，适合抽样调查，故C错误； 选项D：“玄龙08战斗机”的各零部件数量有限，且是精确度要求较高的调查， 适合全面调查（普查），故D正确. 故选：D 3．（25-26高二上·四川南充·月考）2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批个）口罩的质量，决定抽查其中的．在这个问题中下列说法正确的个数是（    ） ①总体是指这1000个口罩；           ②个体是每个口罩； ③样本是按的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念判断. 【详解】总体是研究对象的全体.这里是“1000个口罩的质量”，而非“1000个口罩”，所以①错误； 个体是总体中的单个单位.即“每个口罩的质量”，而非“每个口罩”，所以②错误； 样本是从总体中抽取的部分个体，即“按2%比例抽取的20个口罩的质量”，而非“20个口罩”，所以③错误； 样本容量是样本中个体的数量，抽取了1000×2%=20，所以样本容量为20，④正确. 故选：A. 4．（24-25高一下·天津河西·期末）下列调查方式合适的是（   ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【答案】C 【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查， 而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误； 对于B，要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误； 对于C，调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确； 对于D，调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误. 故选：C. 题型二 简单随机抽样（随机数表） 1．（25-26高一上·陕西渭南·期末）某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民依次编号为000，001，，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号是（   ） 2145  7016  3388  2954  0761  1084  3711  6928  5074  3602  9578 4183  1572  6049  0839  2456  8109  8043  1967  5203  9845  9625 A．084 B．611 C．371 D．295 【答案】A 【分析】直接由随机数表依次读取数据，注意舍去超出范围的编号与重复的编号即可. 【详解】从随机数表中的第2行第7列开始向右读取数据， 依次为163，388（超出299，舍去），295，407（超出299，舍去），611（超出299，舍去），084， 即得到的第3个样本编号是. 故选：A. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 【答案】ABC 【分析】由简单随机抽样的定义逐项判断即可. 【详解】抽签法是简单随机抽样，所以A正确； 随机数表法是简单随机抽样，所以B正确； 简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限，所以C正确； 简单随机抽样要求从总体中逐个抽出样本，所以D错误. 故选：ABC． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（   ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 【答案】BD 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可. 【详解】根据简单随机抽样的概念：从有限总体中进行随机、不放回抽样， 可知 A不是逐个抽取，C不是不放回抽取，故不是简单随机抽样，BD是简单随机抽样． 故选：BD 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（    ） 3221183429  7864540732  5242064438  1223435677  3578905642 8442125331  3457860736  2530073286  2345788907  2368960804 3256780843  6789535577  3489948375  2253557832  4577892345 A．328 B．457 C．253 D．007 【答案】BCD 【分析】根据随机数表法计算求解. 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007， 故得到的前4个编号是253，313，457，007． 故选：BCD． 题型三 分层抽样 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为（   ） A．27 B．36 C．54 D．81 【答案】B 【分析】由分层抽样中某一层的人数，计算样本总量的方法，结合题意即可求得该单位抽取的样本容量. 【详解】样本容量 故选：B. 2．（26-27高二上·云南·期末）某学校为了解学生参加跑步运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取70名学生，已知该校初中部和高中部分别有900名和1200名学生，则高中部应抽取的人数为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】利用总体中各层的比等于样本中各层的比计算. 【详解】根据分层抽样的定义知，高中部共抽取人， 故选：C． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本． 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个； 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个． 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 【答案】AD 【分析】根据抽样的定义及分类判断各个选项即可. 【详解】根据两种抽样的特点可得，无论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性相等， 都为，故A正确，B错误， 因为总体中有差异比较明显的三个层（一级品，二级品，三级品）， 所以方法二抽到的样本更有代表性，故C错误，D正确． 故选：AD． 4．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）某校高一年级共有500名学生参加学校组织的活动（每人只参加一项活动），其中参加“党团队一体化公益实践活动”的有125人，参加“心理健康游园活动”的有人、参加“湿地奔跑活动”的有人，现用分层抽样的方法，从中抽取100名学生了解他们的健康情况；如果已知参加“心理健康游园活动”的学生抽取了56人，则参加“湿地奔跑活动”的学生要抽取的人数为________． 【答案】19 【详解】分层抽样中，总体共500名学生，抽取100人，因此抽样比为， 由题意得：，因此：， 根据抽样比得：，解得， 因此：， 故参加“湿地奔跑活动”抽取人数为. 题型四 扇形图、折线图及条形图的应用 1．（2026·湖南·模拟预测）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 【答案】C 【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值，A正确； 对于B，差异平均值为，B正确； 由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确； 对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C错误． 2．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【分析】根据饼状图和条形图提供的数据逐一分析判断选项． 【详解】由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确； 由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确； 成绩前100名的学生中，高一人数为人， 故高三人数不超过人，C选项正确； 成绩第101名到第名的学生中，高一人数为人， 故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误， 故选：D 3．（25-26高二上·四川成都·期末）为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（    ）    A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 【答案】C 【分析】从饼图中算出各项目的总人数，再结合条形图中的男女比例，分别计算每个选项中的具体人数，从而判断对错. 【详解】全年级有1000人参与该活动，由饼状图可知： 选择篮球的学生有： 人， 选择乒乓球的学生有： 人， 选择足球的学生有： 人， 由条形图可知： 选择篮球的学生中，女生 人，男生 人， 选择乒乓球的学生中，女生 人，男生 人， 选择足球的学生中，女生 人，男生 人. 故选：C． 4．（25-26高三上·河南信阳·期末）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【答案】D 【分析】对于A，不知道“80后”从事技术岗位的人数的比例，故无法比较；由图1可判断B；求出芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占比即可判断C；求出“90后”从事市场岗位的人数占比可判断D. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的人数的比例，故无法比较，故A不一定正确； 对于B，由图1知芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，故B错误； 对于C，芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占从事这两个行业总人数的， 没有超过从事这两个行业总人数的，故C错误； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 因为， 所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故D正确. 故选：D. 5．（2026·安徽安庆·一模）（多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 题型五 众数、中位数、平均数和极差的计算 1．（2025·陕西西安·模拟预测）在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，或，结合题意可得出关于的不等式，即可得出的值，然后利用平均数公式可求得结果. 【详解】由题意可知，这组数据的中位数为， 因为该组数据存在众数，故或，则这组数据的众数为， 又这组数据的中位数小于众数，所以，解得，故， 因此，这组数据的平均数为. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）一组正数的平均数为，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过平均数列式求得，然后利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为正数的平均数为， 所以，所以. 所以 ，当且仅当即时取等号. 故选：C 3．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知样本，，，，的平均数为12，样本，，，的平均数为16，则样本，，，，，，，，的平均数为（   ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15 【答案】D 【分析】由平均数的计算公式求解即可. 【详解】由题知：样本，，，，的平均数为12， 故++++； 样本，，，的平均数为16， 故+++； 所以样本，，，，，，，，的平均数为： ++++++++， 故选:D. 4．（2026·山东聊城·一模）（多选）已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（   ） A．第一组数据的平均数为4 B．第二组数据的方差为3 C．将两组数据合并后数据的平均数是9 D．将两组数据合并后数据的方差是30 【答案】ACD 【详解】设第一组样本数据，，…，的平均数为，方差为， 则第二组样本数据，，…，的平均数为，方差为， 由题意知，， 则有，解得第一组的平均数为，故选项A正确； 第二组的方差为，故选项B错误； 将两组数据合并后数据的平均数是，故选项C正确； 第一组样本数据的方差， 即， 即， 即， ， ， 则两组数据合并后数据的方差是 ， ， ， 则两组数据合并后数据的方差 ，故选项D正确. 5．（25-26高二上·广东江门·月考）甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是________ 甲．平均数为3，中位数为2             乙．中位数为3，众数为2 丙．平均数为2，方差为2.4             丁．中位数为3，方差为2.8 【答案】丙 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除甲乙丁，由假设推理判断丙． 【详解】对于甲，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故甲错误； 对于乙，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故乙错误； 对于丙，若出现6点，因为平均数为2，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故丙正确； 对于丁，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故丁错误； 故答案为：丙． 6．（25-26高二上·湖北·月考）若一组数的众数为，平均数为，则__________. 【答案】 【分析】先根据众数的定义确定的值，再根据平均数公式计算的值，最后求. 【详解】依题意可得众数，平均数， 故. 故答案为：. 7．（25-26高二上·广东江门·期末）已知数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数是_____. 【答案】11 【分析】根据平均数的概念和公式计算即可. 【详解】因为的平均数为2，所以. 所以的平均数为： . 故答案为：11. 8．（25-26高三上·山东济南·开学考试）若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为___________. 【答案】14 【分析】根据数据的平均数的性质以及计算公式，即可求得答案. 【详解】由于样本数据的平均数为8，故， 的平均数为， 则， 故数据，的平均数为， 故答案为：14 9．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______. 【答案】3.6 【分析】依题意，5个数排序后中位数为3，唯一众数为2，可推得这5个数为，其中为大于3且不相等的两个数，其中，，且，即可求解． 【详解】由题可知摸到的号码为2，2，3，，，其中，，且， 为使平均数最大， ，，其平均数最大为. 10．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知一组数据：2，13，10，5，7，，13的平均数为8，则该组数据的中位数为________. 【答案】7 【分析】根据已知列出方程求解得出.进而将数据由小到大排列，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得. 将这组数据从小到大排列可得，2，5，6，7，10，13，13. 所以该组数据的中位数为7. 故答案为：7. 题型六 方差与标准差的计算 1．（2026·广东·一模）已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因的平均数为1，方差为2，则， 于是数据的平均数为， 又，则， 于是数据的方差为： . 2．（2026·四川内江·二模）现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】A 【详解】对于A：原数据平均数为，添加数据3后平均数为，故A正确； 对于B：原数据中位数为，添加数据3后中位数为3，故B错误； 对于C：原数据众数为1，添加数据3后众数为1和3，故C错误； 对于D：原数据方差为，添加数据3后方差为，故D错误. 3．（2026·山东青岛·一模）若个数据的平均值为，方差为，现加入数据和，则这个数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个数据为，依题意求出，加入两数据后再依次求其平均值与方差即可. 【详解】设这个数据为，依题意，， 则， 加入数据和后，这个数据的平均值为， 则方差为. 4．（2026·河北邯郸·一模）已知一组数据的方差为，甲同学将这组数据错看成，并求得错误数据的方差为，则正确数据的方差（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】C 【分析】利用方差公式，将正确数据和错误数据的方差的表达式相减，即可求得答案. 【详解】由于，故正确数据和错误数据的平均数相等，记为， 则， ， 则， 则． 5．（2026·四川成都·二模）（多选）已知数据的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设，得到新数据，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（    ） A．平均数是3M B．中位数是 C．方差是9P D．极差是 【答案】BC 【分析】根据题意，结合数据的平均数、中位数、方差和极差的定义与计算方法，结合，逐项求解判断，即可得到答案. 【详解】对于A，由数据的平均数为，可得， 新数据的平均数为 ，所以A错误； 对于B，由数据的中位数为， 将新数据从小到大排序，因为，所以新数据的排序和原数据的排序相同， 所以新数据的中位数为，所以B正确； 对于C，由数据的方差为， 设新数据的方差为，因为新数据满足，可得，所以C正确； 对于D，由原数据的极差为，可得， 因为新数据满足，则新数据的极差为，所以D错误. 6．（2026·吉林白城·一模）（多选）有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由排序确定中位数不变，通过分析极差可以为4，最后运用方差的公式寻求前后数据的方差关系进而得到结论. 【详解】对于A，令，原中位数，将最大最小去掉后，，此时中位数，所以.故A正确. 对于B，，故B错误. 对于C，因为原数据的平均值为4，所以，去掉，，新的平均值为. 又 所以，因此，故C正确. 对于D，由上述计算，故D正确. 7．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知数据的平均数8，方差为2，则___________． 【答案】2 【分析】根据平均数与方差的计算公式计算即可求解. 【详解】因为数据的平均数为8， 所以，化简可得， 因为数据的方差为2， 所以，化简可得， 所以，即， 所以. 故答案为：2 8．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 【答案】63 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： . 故答案为：63. 9．（25-26高一上·河南南阳·月考）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. （2）餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. 10．（24-25高一下·宁夏银川·期末）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 【答案】(1)，众数是； (2)，； (3)①证明见解析 ；②证明见解析. 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，根据频率分布直方图可计算得出甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数. （2）将图2中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可求得，再利用方差公式可求得. （3）①利用平均数公式可证得结论成立；②推导出，再利用方差公式可证得结论成立. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得， 甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是. （2）， . （3）①依题意，，所以原等式成立. ②， 又，则， 同理， ， 所以. 题型七 百分位数的应用 1．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义计算可得. 【详解】因为这组数据共个，所以，因此分位数为第6个数据和第7个数据的平均数， 因为该组数据的分位数为，所以，解得. 2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）（多选）电影南京照相馆在全国各地热映，某影院连续天的观影人数单位：百人依次为，，，，，，，，则这组数据的（    ） A．众数为 B．中位数为 C．平均数为 D．第百分位数为 【答案】AC 【分析】由样本数据的数字特征依次判断选项即可. 【详解】对于A，160出现的次数最多，故众数是160，故A正确； 对于B，将数据从小到大排列为80，90，120，160，160，160，170，180， 共八个数据，则中位数是第4位与第5位的平均数，即中位数是，故B错误； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，，故第百分位数为从小到大的第3位数，即120，故D错误. 3．（安徽安庆市2026届高三二模数学试题）统计某地区2025年上半年的月降水量，数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 则该地区上半年月降水量的分位数为___________． 【答案】56 【详解】将6个降水量数据从小到大排列： 46， 48， 53， 56， 56， 58，则样本容量为. 根据百分位数计算规则，可得 因为不是整数， 所以向上取整为5，因此75%分位数为排序后第5个数据，即56. 4．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）若10名跳水运动员在一次比赛（满分：100分）中的得分情况分别为95，80，68，77，74，90，88，83，76，86，则这组数据的分位数为______． 【答案】 【详解】解：得分从小到大排列为：68，74，76，77，80，83，86，88，90，95， ， 这组数据的分位数为第8个数． 题型八 频率分布直方图的问题 1．（25-26高三上·安徽·期末）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可判断A不正确；求得数据的众数和平均数的值，可判定B不正确；根据中位数的计算方法，求得数据的中位数，可判定C错误；求得落在中的人数为，结合分层抽样，列出方程，求得及格的人数，可判定D正确. 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A不正确； 对于B，由频率分布直方图，可得数据的众数为， 平均数， 众数大于平均数，所以B错误； 对于C，由频率分布直方图，可得中位数为，所以C错误； 对于D，由频率分布直方图，可得落在中的人数为， 设全校有人及格，则，解得，即估计全校有640名考生及格，所以D正确. 故选：D. 2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）重庆市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对1500名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这1500名学生期末数学考试成绩的中位数约为（   ）    A．100 B．97.5 C．95 D．92.5 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的性质及中位数的概念，即可求解． 【详解】根据题意可得前几组的频率依次为 所以中位数在内，且为． 故选：C． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是（    ） A．65 B．70 C．68分 D．66分 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得答案. 【详解】平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标再求和， 即（分）. 故选：C 4．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）（多选）某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（    ） A． B．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表） C．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78 D．从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件 【答案】ABD 【分析】由频率分布直方图面积和为1，可判断A，由平均数计算公式可判断B，由中位数计算方法可判断C，由频率分布直方图确定频率，即可判断D. 【详解】由，得，A正确； 平均数为， 所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71，B正确； 因为， 所以中位数在第4组， 设中位数为，则， 解得，所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为73.33，C错误； 由频率分布直方图可知100件零件中二等品有件，一等品有件， 故从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有件，D正确. 故选：ABD. 5．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）（多选）某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（   ） A．成绩落在区间的频率为0.3 B．这100名学生成绩的中位数为75 C．这100名学生成绩的平均数为76 D．成绩低于60分的学生人数为10人 【答案】AC 【详解】A选项，由频率分布直方图可得区间频率为，A正确； B选项，设中位数为，则，解得，B错误； C选项，平均数为，C正确； D选项，成绩低于60分的学生人数为，D错误. 6．（2026高三·全国·专题练习）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的众数为________，这次测试数学成绩的中位数为________（精确到0.1），这次测试数学成绩的平均数为________． 【答案】 【分析】根据众数，中位数,平均值的概念依次计算得到答案. 【详解】根据频率分布直方图： 众数约为； 前三个矩形概率和为，设中位数为，则，解得. 平均数为： . 故答案为： 7．（25-26高二上·浙江杭州·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）． (1)求的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数（结果保留两位小数）； 【答案】(1) (2)众数为，中位数为 【分析】（1）由频率之和为计算即可得； （2）利用众数与中位数定义计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 解得； （2）由频率分布直方图可得众数为， 设中位数为，由， ，故， 则有，解得. 基础巩固通关测 1．（24-25高二上·安徽·月考）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【答案】C 【分析】由抽样调查的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此调查为抽样调查，所以A错误； 对于B，每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误； 对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确； 对于D，1200名学生的视力是总体，所以D错误. 故选：C 2．（25-26高一上·重庆·开学考试）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．了解长寿沙田柚的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 【分析】根据抽样调查和普查的特点逐一判断. 【详解】对于A，了解长寿沙田柚的甜度情况，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查； 对于B，了解某品牌新能源汽车电池的续航能力，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查； 对于C，了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况，普查工作量大，适合抽样调查； 对于D，对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，是精确度要求高的调查，适合全面调查. 故选：D. 3．（25-26高一上·山西忻州·期末）某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（    ） A．42 B．45 C．49 D．50 【答案】C 【分析】求出总人数得到抽样比，利用分层抽样中样本容量等于总人数乘以抽样比即可求解. 【详解】由题可得总人数为 人，抽样比 所以样本容量. 故选：C. 4．（25-26高一上·山东潍坊·期末）某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机数表法的读数规则结合题意求出需选取符合条件的5个数字即可得解. 【详解】由题可知依次选取符合条件的5个数字为：. 所以选出的第个问题编号为11. 故答案为：B 5．（25-26高三上·贵州遵义·期末）某实验室从“芯片算力，功耗控制，集成度，兼容性，稳定性”五个维度，对自研芯片，进行性能测评，评分结果的雷达图如下，则下列说法中正确的是（   ） A．在“稳定性”维度，芯片的评分为4分 B．在“功耗控制”维度，芯片的评分高于芯片的评分 C．在“芯片算力”维度，芯片的评分低于芯片的评分 D．芯片的性能评分的波动性低于芯片的性能评分的波动性 【答案】D 【分析】根据雷达图，逐项分析即可得解. 【详解】由雷达图可知，在“稳定性”维度，芯片的评分为8分,故A错误； 在“功耗控制”维度，芯片的评分与芯片的评分相同，故B错误； 在“芯片算力”维度，芯片的评分高于芯片的评分，故C错误； 由雷达图，芯片的各项性能评分比较均衡，其波动性低于芯片的性能评分的波动性，故D正确. 故选：D 6．（2026·山西朔州·一模）近年来中国微短剧市场规模呈快速上升趋势，已知2020~2025年中国微短剧市场规模（单位：亿元）依次为，则这6个数据的中位数为（    ） A．101.7 B．373.9 C．284.0 D．237.8 【答案】D 【详解】这6个数据的中位数为 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【分析】根据统计估计计算求解. 【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以. 8．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（    ） A．120分，75 B．120分，20 C．115分，65 D．115分，140 【答案】D 【详解】因为某AI公司有男性30人，女性10人，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95， 所以该公司的平均成绩为分， 该公司成绩的方差为. 9．（25-26高三下·宁夏石嘴山·开学考试）高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（    ） A．该组数据的平均数为7，众数为 B．该组数据的第60百分位数为6 C．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 【答案】D 【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数，众数，中位数，方差的定义计算可得. 【详解】选项A,这组数据从小到大排列为， 故平均数为， 众数为和，中位数为，故A错误； 选项B，，则第百分位数为，故B错误； 选项C：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故C错误； 选项D，方差为， 如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7， 此时的方差为，故D正确. 10．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）某高中学校从有120名学生的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人．则下列结论正确的有 （    ） A．样本量为30 B．120名社团成员中男生有72人 C．高二与高三年级的社团成员共有85人 D．高一年级的社团成员中女生最多有48人 【答案】AB 【分析】根据分层抽样的相关概念及等比例性质依次判断各项的正误. 【详解】A：从中随机抽取30名，则样本量为30，对； B：设120名社团成员中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人， 所以，解得，所以120名社团成员中男生有72人，对； C：设高二与高三年级的社团成员共有人， 因为按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样时高一年级抽取10人， 所以，解得，所以高二与高三年级的社团成员共有80人，错； D：根据C知，高一年级的社团成员有（人），故高一年级的社团成员中女生最多有40人，错. 故选：AB 11．（24-25高一下·广东广州·期末）（多选）某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和12．抽取了女生30人，其平均数和方差分别为162和24．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据分层抽样的总样本平均数和方差公式进行求解即可. 【详解】根据题意可得总样本平均数为 ， 根据方差公式可得： . 故选：AD. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）为了了解某社区居民有无收看“春节联欢晚会”，某记者分别从某社区的老、中、青三个年龄段中的160人、x人、200人中，采用分层抽样的方法进行调查，下列结论正确的是（   ） A．若抽查的样本数为30，且在老年组中抽取了8人，则 B．若老、中、青人数之比为，且在老年组中抽取了16人，则样本容量 C．若，则当抽查的样本容量为50时，在青年组中抽取了20人 D．若老、中、青人数之比为，且样本容量，则 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得，所以；对于B，由，得；对于C，设在青年组中抽取了y人，由题意得，解得；对于D，，解得． 13．（25-26高一下·全国·单元测试）某商场一年中各月份的收入，支出情况如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．支出最高值与支出最低值的比是 B．4至6月份的平均收入为50万元 C．利润最高的月份是2月份 D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 【答案】AD 【分析】根据折线统计图即可判断各选项． 【详解】由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是，故A正确． 由图可知，4至6月份的平均收入为（万元），故B错误． 由图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误． 由图可知，2至3月份的收入的变化率为， 与11至12月份的收入的变化率为，故D正确． 故选：AD 14．（2026·贵州安顺·一模）已知数据的平均值为3，则的平均值为______． 【答案】7 【分析】利用平均数公式列式求解. 【详解】由数据的平均值为3，得， 所以的平均数为 . 16．（2026·甘肃·一模）一组数的平均数为2，则这组数的方差为__________. 【答案】/ 【详解】由题意可知，解得， 则方差. 17．（2026·四川成都·二模）“十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． (1)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 【答案】(1)32岁 (2)94，6，94，6.8，从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定 【分析】（1）设中位数为a，根据中位数的定义列方程求解即可. （2）求出平均数，再根据方差的定义求方差；比较平均数与方差即可得出结论. 【详解】（1）设中位数为a，∵第一组的频率为， 第二组的频率为，第三组的频率为， 又，，． 则，，则中位数为32岁． （2）5个年龄组成绩的平均数为， 方差． 5个职业组成绩的平均数为， 方差为． 所以从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定． 18．（25-26高一上·陕西渭南·期末）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和，计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为， 频率分布直方图组距为2，故. 所有区间频率和为， 即，解得， 所以. （2）餐厅满意指数平均数； 餐厅满意指数平均数. 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数. （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数， 方差 . 能力提升进阶练 1．（2026·山东烟台·一模）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近天通过直播带货销售农产品的日销售额（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据频率和为可解得，再根据百分位数的定义及公式求解. 【详解】设销售额的第百分位数为， 由已知，解得， 又， ， 所以， 且， 解得， 即销售额的第百分位数为. 2．（25-26高一上·河南焦作·月考）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数、方差的线性变换的性质判断选项A，B；利用均值的性质，结合已知条件判断选项C；利用方差的定义，结合计算，进而判断选项D． 【详解】对于A，，，移项得，故A正确； 对于B，，根据方差的线性性质得，故B正确； 对于C，， 由均值的性质得，得到， 则，故C正确； 对于D，由方差的定义得，则， 由题意得 ，故D错误． 故选：D． 3．（24-25高一下·云南大理·月考）某工厂生产A，B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零件6000件．质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行质检，则B型号的零件被抽到的数量是（    ） A．240 B．200 C．300 D．100 【答案】B 【分析】由分层抽样的定义列出比例式即可求解. 【详解】由题意可得B型号的零件被抽到的数量是． 故选：B. 4．（2026·广东佛山·二模）（多选）地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的环比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【答案】BCD 【分析】根据图表中信息，以及地方一般公共预算收入的月累计值和同比增长的概念，逐一判断各选项的正误，判断结果. 【详解】由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元），4月的地方一般公共预算收入为（亿元），可知选项A错误； 9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以选项B正确； 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以C正确； 2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年10月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为，所以D正确； 故选：BCD. 5．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）有一组互不相等的样本数据，现添加一个新的数据，得到新的一组数据，则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是（   ） A．若平均数不变，但极差变大 B．若中位数不变，但平均数变小 C．若平均数不变，但方差变大 D．若中位数不变，但方差变小 【答案】BD 【分析】根据题意，设原来数据中，平均数为，方差为，结合中位数，平均数和方差的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】不妨设原来数据中，平均数为，方差为， 对于A，若平均数不变，则，因为， 所以添加后极差仍然是，故A错误； 对于B，若中位数不变，则，只要， 新数据的平均数就比原来小，故B正确； 对于C，原来的方差，若平均数不变，则， 新的方差， 即平均数不变时，方差一定变小，故C错误； 对于D，例如，取原始数据为，可得原始数据的中位数为，方差为， 添加一个新数据，可得新数据的中位数仍为，此时新数据的方差为， 因为，方差变小，所以D正确. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）某社团有男生名，女生名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则下列说法正确的为（   ） A．该抽样一定不是系统抽样 B．该抽样可能是随机抽样 C．该抽样不可能是分层抽样 D．男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率 【答案】BC 【详解】由总体容量为，样本容量为5，抽样比为. 对于A：因为系统抽样是将总体分成均衡的若干部分，再按等距规则抽取个体． 只要符合等距规则，有可能抽到2名男生和3名女生， 所以一定不是系统抽样是错误，因此A不正确； 对于B：因为简单随机抽样是从总体中逐个抽取，每个个体被抽到的可能性相等的， 抽到2名男生和3名女生是随机事件，有可能发生，故B正确； 对于C：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同， 但现在某社团有男生名，女生名，抽取2名男生和3名女生，抽的比例不同， 所以不可能是分层抽样，故C正确； 对于D：在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽到的概率都相等，均为， 因此男生和女生被抽到的概率相等，故D选项说法错误. 7．（2026·山东东营·一模）（多选）一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】不妨设，再利用平均数定义、方差性质、百分位数定义与极差定义逐项计算并判断即可. 【详解】不妨设，则； 对A：，故A正确； 对B：由方差性质可得，故B错误； 对C：若为整数，则， ； 若不为整数，则，其中表示不大于的最大整数， ，故C正确； 对D：，，故D错误. 8．（2026·浙江·一模）（多选）有一组数据，则（    ） A．该组数据的极差为6 B．该组数据的中位数为5 C．该组数据的平均数为4 D．将数据1均改为3后，方差会变大 【答案】AC 【分析】直接计算数据的极差，中位数，平均数及方差，并判断可得. 【详解】数据的极差为，所以A正确；数据的中位数为，故B错误； 数据的平均数为，故C正确； 原数据的方差 . 数据1均改为3后的数据为，平均数为 . 因为，所以数据1均改为3后，方差会变小，故D错误. 故选：AC 9．（25-26高三下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）已知数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由众数､平均数､方差､第80百分位数与数据间的线性关系分析判断即可. 【详解】根据两组数据的线性关系， 结合性质可知：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 10．（2026·江西九江·一模）已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在曲线上.若的平均值与方差均为5，则的平均值为__________.（其中） 【答案】 【分析】先根据已知条件求出与的值，再结合求出即可得解. 【详解】因为的平均值为5，即，所以， 因为的方差为5，即，解得. 因为所有样本点都在曲线上， 所以， 所以， 所以的平均值为， 故答案为：. 11．（2026高三·全国·专题练习）劳动力调查是一项抽样调查．2024年的劳动力调查以第八次人口普查的最新数据为基础抽取相关住户进入样本，并且采用样本轮换模式．劳动力调查的轮换是按照“2—10—2”模式进行，即一个住户连续2个月接受调查，在接下来的10个月中不接受调查，然后再接受连续2个月的调查，经历四次调查之后退出样本．调查进行时保持每月进入样本接受第一次调查的新住户数量相同．若从第k个月开始，每个月都有的样本是接受第一次调查，的样本是接受第二次调查，的样本是接受第三次调查，的样本是接受第四次调查，则k的值为_________． 【答案】14 【分析】依次列举具体的结果分析即可反推出相应的结果. 【详解】假设从1月开始每月抽查1人，编号依次为1，2，3，4，…， 第一个月1号第一次抽查，第二个月1号第二次抽查，2号第一次抽查， 第三个月2号第二次抽查，3号第一次抽查，…， 第十四个月14号第一次抽查，13号第二次抽查，2号第三次抽查，1号第四次抽查各占． 即． 故答案为：14. 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少？ 【答案】(1) (2) (3)①理科题的平均正确率为，文科题的平均正确率为；②分 【分析】（1）借助频率和为计算即可得； （2）利用中位数定义计算即可得； （3）①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为，借助加权平均数计算即可得；②分别计算文科得分与理科得分即可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； （2）设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为； （3）①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为，则理科题平均正确率为， 优秀表现的准确率区间为， 其平均准确率为：， 则，解得， 则理科题平均正确率为； ②文科得分为，理科得分为， 则DeepSeek的平均得分为分. 13．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)学校要求按照分数从高到低选拔前90名的学生进行培训，试估计这90名学生的最低分数（计算结果由四舍五入保留一位小数）； (3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为64分和87分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 【答案】(1)， (2) (3)得分成绩区间为：故64分的同学成绩进入区间范围，87分的同学的成绩未进入到区间范围. 【分析】（1）根据频率直方图，各组的频率之和为1，求出m，利用平均数的定义求出； （2）先求出90名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数，利用百分位的定义求解； （3）先利用方差公式求出方差，再判断即可. 【详解】（1）由频率直方图总面积为1，可得： ， 解得， 根据频率分布直方图，各组中间值为：，对应频率为： ，所以： . （2）因为， 所以这90名学生的最低分数为该次校内测试分数的分位数. 又， 设这90名学生的最低分数为，所以， 所以分 （3） 所以， 所以，. 所以得分成绩区间为：故64分的同学成绩进入区间范围，87分的同学成绩未进入区间范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 统计（复习讲义） 1、掌握获取数据的基本途径及相关概念，明确普查和抽样调查的优缺点，学会用两种调查的方法解决生活中的一些简单问题. 2、理解简单随机抽样的必要性和重要性，理解简单随机抽样的目的和基本要求，掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数表法的一般步骤. 3、了解分层抽样的概念，掌握分层抽样的一般步骤和相关的数据计算，理解简单随机抽样与分层抽样的异同. 4、掌握常用的三种统计图表(扇形统计图、折线统计图和频数直方图)的功能及其特点，能针对实际问题和收集到的数据的特点,选择科学的统计图表. 5、学会用频率分布表画频率分布直方图表示样本数据，能通过频率分布表或频率分布直方图对数据作出总体统计. 6、结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义. 7、理解标准差、方差公式的基本性质，通过具体实际问题不断体会集中趋势、离散程度是如何刻画的,以及它们之间的内在联系. 8、结合实例,能用频率分布直方图估计总体分布，能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义. 一、获取数据的基本途径及相关概念 知识点1　总体和样本 名称 定义 总体 在获取数据时,把所考察对象(某一项指标的数据)的全体叫作总体 样本 从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本 个体 把组成总体的每一个考察对象叫作个体 样本 容量 样本中个体的数目叫作样本容量 知识点2　获取数据的途径 1.获取数据的途径有很多种,如统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样调查、互联网等. 2.抽样调查与普查 特点 调查方法 普查 抽样调查 优点 所取得的资料更加全面、系统 (1)迅速、及时; (2)节约人力、物力和财力,对个体信息的了解更详细 缺点 耗费大量的人力、物力和财力 获取的信息不够全面、系统 特点 调查方法 普查 抽样调查 适用范围 总体容量不大,要获取详实、系统和全面的信息 (1)大批量检验 (2)破坏性检验 (3)不必要普查等 二、抽样 知识点1　抽签法 用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤: (1)将总体中的N个个体编号; (2)将这N个号码写在形状、大小相同的号签上; (3)将号签放在同一箱中,并搅拌均匀; (4)从箱中每次抽出1个号签,连续抽取k次; (5)将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出. 知识点2　随机数表法 用随机数表法抽取样本的步骤: (1)对总体中的个体编号(每个号码位数一致); (2)在随机数表中任选一个数; (3)从选定的数开始按一定的方向读下去,若得到的号码在编号中,则取出;若得到的号码不在编号中或前面已经取出,则跳过.如此继续下去,直到取满为止; (4)根据选定的号码抽取样本. 知识点3　简单随机抽样 1.定义:一般地,从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本(n<N), 如果每个个体都有相同的机会被取到,那么这样的抽样方法称为简单随机抽样. 2.最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数表法. 方法 抽签法 随机数表法 不同点 ①抽签法比随机数表法简单; ②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况 ①随机数表法要求编号的位数相同; ②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况 相同点 ①都是简单随机抽样,并且要求被抽取样本的总体的个数有限;②都是从总体中逐个不放回地抽取 知识点4　分层抽样 1.定义:一般地,当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使样本更客观地反映总体情况,我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分,然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样,这种抽样方法叫作分层抽样,所分成的各个部分称为“层”. 2.应用范围:当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样. 知识点5　简单随机抽样与分层抽样对比 为了使样本相对总体具有很好的代表性,就必须使得总体中每个个体被抽取的概率相等.如果一个样本是按这种规则抽取的,那么称这个样本为随机样本.简单随机抽样和分层抽样两种抽样方法所获取的样本都为随机样本,它们的特点和适用范围可归纳如表所示. 类别 特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 — 总体中的个体数相对较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 分层 抽样 将总体分成几层,按各层的个体数之比抽取 各层抽样时,可以采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 三、统计图表 知识点1　扇形统计图 1.定义:用整个圆代替总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分、扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小,这样的统计图称为扇形统计图. 2.作用:扇形统计图能够直观地反映各个类别在总体中所占的比例.在扇形统计图中,每一个扇形的圆心角以及弧长,都与这一部分占总体的百分比的大小成正比. 知识点2　折线统计图 1.定义:用一个单位长度表示一定的数据,根据数量的多少描出各点,然后用线段顺次把各点连接起来,这样的统计图称为折线统计图. 2.作用:折线统计图既可以表示出项目的具体数量,又可以看出变化趋势. 知识点3　频数直方图 1.定义:在统计数据时,按照频数分布表,在平面直角坐标系中,横轴标出每个组的端点,纵轴表示频数,每个矩形的高代表对应的频数,这样的统计图称为频数直方图. 2.作用:频数直方图既能反映分布状况,又可以表示变化趋势. 知识点4　频率分布直方图 1.把横轴均分成若干段,每一段对应的长度称为组距,然后以此段为底作矩形,它的高等于该组的频率/组距,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组的频率,这些矩形就构成了直方图.我们将这种直方图称为频率分布直方图. 2.频率分布直方图的优点:更直观、形象地反映了样本的分布规律,使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式. 知识点5　频率折线图 将频率分布直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来,并将两边端点向外延伸半个组距,就得到频率折线图,简称折线图. 四、样本估计总体 知识点1　平均数 (1)均值：一般地、把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。 (2)平均数：如果给定的一组数是，，…，是则这组数的平均数为 即 。 (3)一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，则其平均数为+++……+。 (4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，j=1，2，…，k。记，则所有数据的样本平均数为。 知识点2　众数 1.一般地,我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数. 2.如果有几个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么这几个数据都是这组数据的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数. 知识点3　中位数 一般地,将一组数据按照从小到大的顺序排成一列,如果数据的个数为奇数,那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数,那么,排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数. 知识点4　极差、方差、标准差 1.极差 (1)定义:一组数据的最大值与最小值的差. (2)作用:极差较大,数据点较分散;极差较小,数据点较集中. 2.方差、标准差 假设一组数据是，，…，用表示这组数据的平均数，则为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式。我们对方差开平方，取它的算术平方根，即为这组数据的标准差。 知识点5　频率分布直方图求数字特征 1.众数是最高的矩形的底边的中点值. 2.中位数左右两侧直方图的面积相等. 3.平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和. 知识点6　百分位数 1.k百分位数的特点：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于，且至少有(100-k)%的数据大于或等于 2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤 第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步，计算 第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k· 位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步，如果 不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数。 3.常用的四分位数有25百分位数,50百分位数(即中位数)和75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中25百分位数称为下四分位数,75百分位数称为上四分位数. 题型一 获取数据的基本途径及相关概念 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）下面情况中，更适合用抽样调查的有（   ） ①某学校全体学生体质健康检测    ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查 ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查    ④调查一个县各村的粮食播种面积 ⑤调查一条河流的水质    ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 A．②③④ B．②③⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑥ 2．（25-26高一上·河南·月考）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．了解某市小麦的根部生长情况 B．了解某品牌手机的防摔功能 C．了解某省高一学生坚持晨读的情况 D．对我国最新研发的“玄龙08战斗机”的各零部件质量情况的调查 3．（25-26高二上·四川南充·月考）2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批个）口罩的质量，决定抽查其中的．在这个问题中下列说法正确的个数是（    ） ①总体是指这1000个口罩；           ②个体是每个口罩； ③样本是按的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一下·天津河西·期末）下列调查方式合适的是（   ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 题型二 简单随机抽样（随机数表） 1．（25-26高一上·陕西渭南·期末）某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民依次编号为000，001，，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号是（   ） 2145  7016  3388  2954  0761  1084  3711  6928  5074  3602  9578 4183  1572  6049  0839  2456  8109  8043  1967  5203  9845  9625 A．084 B．611 C．371 D．295 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（   ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（    ） 3221183429  7864540732  5242064438  1223435677  3578905642 8442125331  3457860736  2530073286  2345788907  2368960804 3256780843  6789535577  3489948375  2253557832  4577892345 A．328 B．457 C．253 D．007 题型三 分层抽样 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为（   ） A．27 B．36 C．54 D．81 2．（26-27高二上·云南·期末）某学校为了解学生参加跑步运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取70名学生，已知该校初中部和高中部分别有900名和1200名学生，则高中部应抽取的人数为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本． 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个； 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个． 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 4．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）某校高一年级共有500名学生参加学校组织的活动（每人只参加一项活动），其中参加“党团队一体化公益实践活动”的有125人，参加“心理健康游园活动”的有人、参加“湿地奔跑活动”的有人，现用分层抽样的方法，从中抽取100名学生了解他们的健康情况；如果已知参加“心理健康游园活动”的学生抽取了56人，则参加“湿地奔跑活动”的学生要抽取的人数为________． 题型四 扇形图、折线图及条形图的应用 1．（2026·湖南·模拟预测）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 2．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 3．（25-26高二上·四川成都·期末）为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（    ）    A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 4．（25-26高三上·河南信阳·期末）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 5．（2026·安徽安庆·一模）（多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 题型五 众数、中位数、平均数和极差的计算 1．（2025·陕西西安·模拟预测）在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）一组正数的平均数为，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知样本，，，，的平均数为12，样本，，，的平均数为16，则样本，，，，，，，，的平均数为（   ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15 4．（2026·山东聊城·一模）（多选）已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（   ） A．第一组数据的平均数为4 B．第二组数据的方差为3 C．将两组数据合并后数据的平均数是9 D．将两组数据合并后数据的方差是30 5．（25-26高二上·广东江门·月考）甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是________ 甲．平均数为3，中位数为2             乙．中位数为3，众数为2 丙．平均数为2，方差为2.4             丁．中位数为3，方差为2.8 6．（25-26高二上·湖北·月考）若一组数的众数为，平均数为，则__________. 7．（25-26高二上·广东江门·期末）已知数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数是_____. 8．（25-26高三上·山东济南·开学考试）若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为___________. 9．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______. 10．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知一组数据：2，13，10，5，7，，13的平均数为8，则该组数据的中位数为________. 题型六 方差与标准差的计算 1．（2026·广东·一模）已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2026·四川内江·二模）现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3．（2026·山东青岛·一模）若个数据的平均值为，方差为，现加入数据和，则这个数据的方差为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·一模）已知一组数据的方差为，甲同学将这组数据错看成，并求得错误数据的方差为，则正确数据的方差（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 5．（2026·四川成都·二模）（多选）已知数据的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设，得到新数据，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（    ） A．平均数是3M B．中位数是 C．方差是9P D．极差是 6．（2026·吉林白城·一模）（多选）有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知数据的平均数8，方差为2，则___________． 8．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 9．（25-26高一上·河南南阳·月考）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 10．（24-25高一下·宁夏银川·期末）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 题型七 百分位数的应用 1．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）（多选）电影南京照相馆在全国各地热映，某影院连续天的观影人数单位：百人依次为，，，，，，，，则这组数据的（    ） A．众数为 B．中位数为 C．平均数为 D．第百分位数为 3．（安徽安庆市2026届高三二模数学试题）统计某地区2025年上半年的月降水量，数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 则该地区上半年月降水量的分位数为___________． 4．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）若10名跳水运动员在一次比赛（满分：100分）中的得分情况分别为95，80，68，77，74，90，88，83，76，86，则这组数据的分位数为______． 题型八 频率分布直方图的问题 1．（25-26高三上·安徽·期末）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）重庆市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对1500名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这1500名学生期末数学考试成绩的中位数约为（   ）    A．100 B．97.5 C．95 D．92.5 3．（25-26高一下·全国·课后作业）某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是（    ） A．65 B．70 C．68分 D．66分 4．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）（多选）某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（    ） A． B．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表） C．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78 D．从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件 5．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）（多选）某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（   ） A．成绩落在区间的频率为0.3 B．这100名学生成绩的中位数为75 C．这100名学生成绩的平均数为76 D．成绩低于60分的学生人数为10人 6．（2026高三·全国·专题练习）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的众数为________，这次测试数学成绩的中位数为________（精确到0.1），这次测试数学成绩的平均数为________． 7．（25-26高二上·浙江杭州·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）． (1)求的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数（结果保留两位小数）； 基础巩固通关测 1．（24-25高二上·安徽·月考）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 2．（25-26高一上·重庆·开学考试）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．了解长寿沙田柚的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 3．（25-26高一上·山西忻州·期末）某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（    ） A．42 B．45 C．49 D．50 4．（25-26高一上·山东潍坊·期末）某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·贵州遵义·期末）某实验室从“芯片算力，功耗控制，集成度，兼容性，稳定性”五个维度，对自研芯片，进行性能测评，评分结果的雷达图如下，则下列说法中正确的是（   ） A．在“稳定性”维度，芯片的评分为4分 B．在“功耗控制”维度，芯片的评分高于芯片的评分 C．在“芯片算力”维度，芯片的评分低于芯片的评分 D．芯片的性能评分的波动性低于芯片的性能评分的波动性 6．（2026·山西朔州·一模）近年来中国微短剧市场规模呈快速上升趋势，已知2020~2025年中国微短剧市场规模（单位：亿元）依次为，则这6个数据的中位数为（    ） A．101.7 B．373.9 C．284.0 D．237.8 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 8．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（    ） A．120分，75 B．120分，20 C．115分，65 D．115分，140 9．（25-26高三下·宁夏石嘴山·开学考试）高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（    ） A．该组数据的平均数为7，众数为 B．该组数据的第60百分位数为6 C．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 10．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）某高中学校从有120名学生的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人．则下列结论正确的有 （    ） A．样本量为30 B．120名社团成员中男生有72人 C．高二与高三年级的社团成员共有85人 D．高一年级的社团成员中女生最多有48人 11．（24-25高一下·广东广州·期末）（多选）某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和12．抽取了女生30人，其平均数和方差分别为162和24．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（    ）． A． B． C． D． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）为了了解某社区居民有无收看“春节联欢晚会”，某记者分别从某社区的老、中、青三个年龄段中的160人、x人、200人中，采用分层抽样的方法进行调查，下列结论正确的是（   ） A．若抽查的样本数为30，且在老年组中抽取了8人，则 B．若老、中、青人数之比为，且在老年组中抽取了16人，则样本容量 C．若，则当抽查的样本容量为50时，在青年组中抽取了20人 D．若老、中、青人数之比为，且样本容量，则 13．（25-26高一下·全国·单元测试）某商场一年中各月份的收入，支出情况如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．支出最高值与支出最低值的比是 B．4至6月份的平均收入为50万元 C．利润最高的月份是2月份 D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 14．（2026·贵州安顺·一模）已知数据的平均值为3，则的平均值为______． 16．（2026·甘肃·一模）一组数的平均数为2，则这组数的方差为__________. 17．（2026·四川成都·二模）“十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． (1)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 18．（25-26高一上·陕西渭南·期末）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 能力提升进阶练 1．（2026·山东烟台·一模）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近天通过直播带货销售农产品的日销售额（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南焦作·月考）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南大理·月考）某工厂生产A，B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零件6000件．质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行质检，则B型号的零件被抽到的数量是（    ） A．240 B．200 C．300 D．100 4．（2026·广东佛山·二模）（多选）地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的环比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 5．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）有一组互不相等的样本数据，现添加一个新的数据，得到新的一组数据，则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是（   ） A．若平均数不变，但极差变大 B．若中位数不变，但平均数变小 C．若平均数不变，但方差变大 D．若中位数不变，但方差变小 6．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）某社团有男生名，女生名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则下列说法正确的为（   ） A．该抽样一定不是系统抽样 B．该抽样可能是随机抽样 C．该抽样不可能是分层抽样 D．男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率 7．（2026·山东东营·一模）（多选）一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江·一模）（多选）有一组数据，则（    ） A．该组数据的极差为6 B．该组数据的中位数为5 C．该组数据的平均数为4 D．将数据1均改为3后，方差会变大 9．（25-26高三下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）已知数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江西九江·一模）已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在曲线上.若的平均值与方差均为5，则的平均值为__________.（其中） 11．（2026高三·全国·专题练习）劳动力调查是一项抽样调查．2024年的劳动力调查以第八次人口普查的最新数据为基础抽取相关住户进入样本，并且采用样本轮换模式．劳动力调查的轮换是按照“2—10—2”模式进行，即一个住户连续2个月接受调查，在接下来的10个月中不接受调查，然后再接受连续2个月的调查，经历四次调查之后退出样本．调查进行时保持每月进入样本接受第一次调查的新住户数量相同．若从第k个月开始，每个月都有的样本是接受第一次调查，的样本是接受第二次调查，的样本是接受第三次调查，的样本是接受第四次调查，则k的值为_________． 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少？ 13．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)学校要求按照分数从高到低选拔前90名的学生进行培训，试估计这90名学生的最低分数（计算结果由四舍五入保留一位小数）； (3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为64分和87分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $