专题五 圆的相关证明与计算(含真实情境)-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

一战成名新中考 专题五圆的相关证明与计算（含真实情境） [2025.21;2023.24;2022.24;2021.24;2020.22;2017.23 类型①实际圆背景 2.一成名原创如图①是清末时期的文房用具纹 1.瓷板画（图①）最早可追溯到秦汉时期，是我国 铜吸墨碾，做工精细，体现了我国文化的博大精 非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中作观赏 深用途是书画创作时，通过转动吸墨碾（碾上附 用.图②为其平面示意图，A,C为⊙0上的两点， 着吸墨纸)，吸收多余墨汁.吸墨碾侧面示意图如 连接AC,AC/1(桌面)，⊙0的半径OA=26cm, 图②，已知AB=14cm,圆弧最低点C到AB的距 离为3cm AB,CD分别与直线I垂直于B,D两点，AB=CD (1)在不添加点的情况下，利用无刻度直尺和圆 =10cm,AC=26cm,过点0作0E⊥1于点E,交 AC于点F. 规作出劣弧AB的圆心O:(不写作法，保留 (1)求圆上一点到地面距离的最大值； 作图痕迹) (2)求图②中阴影部分的面积 (2)求劣弧AB的半径； (结果保留一位小数，参考数据：√5≈1.73，π≈ (3)当使用吸墨碾从点A沿AB转动到点B时， 3.14) 求圆心O移动的距离， （T取3.14，结果精确到0.1cm.参考数据： tan46.5°≈1.05，tan43.5°≈0.95) B 图① 图② 第1题图 图① 图② 第2题图 专项分层提升练·河北数学 43 3.[2023河北24题10分]装有水的水槽放置在水 类型②静态圆背景 平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O,AB 4.双半圆形一成名原创如图，在Rt△ABC中， =50cm,如图①和图②所示，MW为水面截线， ∠ABC=90°，点D为△ABC的内心，连接CD并 GH为台面截线，MN/∥GH. 延长交AB于点0，以点0为圆心，分别以OA, 计算：在图①中，已知MN=48cm,作OC⊥MW于 OB长为半径在AB上方作两个半圆，大半圆与 点C. BC交于点E,延长AB与大半圆相交 (1)求OC的长； (1)AC与小半圆的位置关系为 操作：将图①中的水槽沿GH向右作无滑动的滚 (2)判断线段AC,BC,BE之间的数量关系，并说 动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚 明理由； 动.如图②.其中，半圆的中点为Q,GH与半圆的 (3)若AB=8,AC=10,求大半圆与小半圆围成的 切点为E,连接OE交MWN于点D 半圆环的面积.（结果保留π） 探究：在图②中 (2)操作后水面高度下降了多少； (3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与 EQ的长度，并比较大小 第4题图 B(N) D H G E H 图① 图② 第3题图 44 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 5.整圆等分，点一成原创如图，⊙0的半径为6.圆与特殊平行四边形结合[2025河北21题9 4,将该圆等分成8份，连接A,A7,AA。并延长交 分]如图①，图②，正方形ABCD的边长为5.扇 于点P 形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不 (1)求证：PA,=PA,; 与点D重合，半径OE=2,点E,F分别在边AD, (2)求A4A。的长； CD上，DE=DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线段 (3)连接A2A交AA6于点B,求∠A,BA。的 OB于点M,记为EMF 度数 (1)如图①，当AE=3时，求∠EMF的度数； (2)如图②，当四边形OEMF为菱形时，求DE的 长； (3)当∠E0F=150°时，求EMF的长， A 第5题图 图① 图② 第6题图 注：2025河北21题改编题见《分层作业本》P88 专项分层提升练·河北数学 453 ∴.在Rt△BOM中，OB MB sin∠B0MQ3≈10（米）， 答：直吊臂0B的长约为10米： (2)如解图，记旋转后的点B,M的对应点分别为B',M', 延长B'M'交OM于点F, 由题意得B'M'=BM=3米，OB'=OB=10米 在Rt△B'OF中，B'F=OB'·cos∠OB'M'≈10×0.81=8.1 (米)， ∴.M'F=B'F-B'M'=8.1-3=5.1≈5（米）， .货物M上升了约5米 B 水平线6 18.17° 第2题解图 3.解：(1)：∠A0B=∠B0C=∠A0C, ·∠A0B=∠B0C=∠A0C=120°， .0B=OC=40,.∠OCB=∠0BC=30°， .·OB∥地面DF,∴.∠CFD=∠OBC=30°， 如解图①，延长A0交BC于点M,∠BOM=60° .AM⊥CF,.OM= 20C=20,AM=0A+0M=60. 过点E作EGLCF于点G,:AE∥CF,.EG=AM=60, .EF=2EG=120(米)； 0 E F 第3题解图① (2)805.【解法提示】由(1)知EF=2EG,要求EF的最大 值，即求EG的最大值，如解图②，连接BC,当OA与太阳 光线平行，即CBL太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围 最大，即EG最大，由(1)易得EG=CB=40√5，此时EF最 大，最大值为805米。 0 B E 第3题解图② 4.解：问题一：如解图①，过点A作AD L BC于点D, D 30>B 第4题解图① 由素材1知，∠B=30°，AB=200米， 参考答案与重难题 一战成名新中考 六4D=24B=100米， BD=号AB=1005=173.2(米) 电梯AC的坡度为4：3，即AD:CD=4:3, .CD=75米. ∴.BC=CD+BD≈248.2（米）， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC=√CD+AD=125(米)， ·儿童滑雪场中电梯AC的长度为125米，游客乘坐摆渡 车路线BC的长度约为248.2米； 问题二：如解图②，过点A作AM⊥BC于点M,过点D作 DN⊥AM于点N,DP⊥BC于点P, 由题知成人滑雪项目与儿童 滑雪项目电梯顶端A的高度 N 30c D 一样，.AM=100米， :∠ADN=30°， C 145°B M AN=2AD, 第4题解图② .∠DBC=45°， W=m-是a, 又AD=B,W=AD. 21 之=A+W=10 2AD=100(米)， .AD=200(2-1)米， .AD+DB=2AD=400(2-1)≈165.6（米）， 成人滑雪场中滑雪道的总长度约为165.6米. 专题五圆的相关证明与计算（含真实情境） 1.解：(1)由条件可知OF⊥AC,EF=AB=CD=10cm 如解图，连接OC. AC=26 cm,OC=0A=26 cm, AC=13cm,△A0C是等边 .AF=2 三角形，.∠0AF=60°， A B E D .0F=√5AF=13V5≈22.49(cm), 第1题解图 ·.0E=0F+EF=22.49+10=32.49(cm), .∴.圆上一点到地面距离的最大值为0E+r=32.49+26= 58.49≈58.5(cm): (2)由(1)得△A0C是等边三角形，.∠A0C=60°， S丽影=Sm形0c-S△A0c=360×26?、3 4×262-38m-1695 3 ≈61.4(cm). 2.解：(1)作图如解图①（答案不唯一），点0即为所求： (2)如解图②，连接A0,0C, 设AB交OC于点D,设⊙O的半径为r, 由题意可知，OC⊥AB, A0=DB=之4B=7cm）,LAD0=90, 在Rt△A0D中，0A=0D+AD2,即r2=(r-CD)2+49, 解析·河北数学 31 29 CD=3 cm,.'.r= cm; 3 D 第2题解图① 第2题解图② (3)如解图②.连接OB,.∠AOB=2∠AOC, 易知圆心0移动的距离等于AB的长度， 在mA40n中，0m-93= 3(cm),tan∠AOD= AD OD 1.05, .∴∠A0D≈46.5°，∴.∠A0B≈2×46.5°=93°. 29 93m× 3 B的长度为180之≈15.7(cm). 圆心0移动的距离约为15.7cm. 3.解：(1)如解图，连接0M, :0为圆心，OC⊥MN, AF- MN=48 cm, MC=1 MN=24 cm, 2 G AB=50 cm, 第3题解图 0M4B=25em, 在Rt△0MC中，0C=√OM-MC=√25-24-7(cm): (2)GH与半圆的切点为E, ∴.OE⊥GH. MN//GH. .OE⊥MN于点D :∠ANM=30°，0N=25cm, 1 25 六0D=20N= 2 -cm, ·操作后水面高度下降25-7= 2 2(cm) (3)0E⊥MW,∠AWM=30°，.∠D0B=60°， 半圆的中点为Q,.A0=B ∴.∠Q0B=90°，∴.∠Q0E=30°， EF=0E·tam∠00E=25 3(cm）, 0的长为30xmx25_250(cm). 180 6 25525m50.5-25m_25(25-m0. 36 6 6 :.EFl 4.解：(1)相切；【解法提示】如解图，作OF⊥AC于点F, ∠OFC=∠OBC=90°，.点D为△ABC的内心，.∴.∠FC0 =∠BC0,OF=OB,即OF为小半圆的半径，.AC与小 半圆相切. (2)AC=BC+BE.理由如下： 如解图，连接OE,由(1)易得CF=CB. 在Rt△OAF与Rt△OEB中. 0A=0E, (OF=OB. 32 参考答案与重 ∴.Rt△OAF≌Rt△OEB(HL),∴.FA=BE .AC=CF+FA..'.AC=BC+BE: (3)∠ABC=90°，AB=8,AC =10, .BC=6 D .AC=BC+BE...BE=AC-BC=4, 1 A 0 六S半国环=2T·0E-)T·0B 第4题解图 1 =2π(0E-0B), 又.在Rt△OBE中，OE2-OB2=BE2 六S4国环=2T·BE=2mX4=8m. 5.(1)证明：如解图①，连接A,A。,AA,. ⊙0被8等分，AA,=A1A6, ∠A,A1A6=∠A6AA,∠P=∠P, △A,PA6≌△APA,∴.PA6=PA,; 图① 图② 第5题解图 (2)解：如解图②，连接OA4,OA,OA6, 360° .⊙0被8等分，.∠A,OA=∠A,OA6= =45°， 8 .∠A,0A6=90°， 0A4=0A6=4, ∴.在Rt△0A,4。中A4。=√OA+0A=42; (3)解：如解图②，连接A,A,0A2, :∠A0A6=45°， ∠AM,A,=2∠A0A。=22.5°， 由(2)同理可得∠A,0A,=90°， 1 ∠AAB=2∠A,01=45°， ∴.∠ABA6=∠A6A4A+∠A4A,B=67.5 6.解：(1)四边形ABCD为边长为5的正方形， .AD=BC=5,∠ADC=90°， AE=3,∴.DE=2,∴.DE=DF=2, ∴.DE=DF=OE=OF=2, .四边形OEDF为正方形，∴.∠E0F=90°， 1 ∠EMF=2∠E0F=45; (2)如解图①，连接EF,交BD于点H, :四边形OEMF为菱形， ∴.OE=EM=OF=MF=2,EH⊥MD .0M=0E=0F=2. H .△0EM为等边三角形，∠OME=60°， 第6题解图① EH=ME·sin60°=-2x,=y3 :四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴.BD平分∠ADC,∠ADB=45°， .△EDH为等腰直角三角形， 题解析·河北数学 一战成名新中考 .DE=√2EH=√6： (3)如解图②，当∠E0F=150时， EMF的长=150mx2_5m 180=3 如解图③，当∠E0F=150时， Em的长=210mx2.7m 180-3 图② 图③ 综上，当LE0F=150时，Em的长为5， 第6题解图 四、压轴解答题分类培优练 专题一直线型（三角形、四边形）几何综合题 :DP//BQ... DE PE 1 L.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形 BE EQ 2 ∴.AB∥CD,AD∥BC,AB=CD. .BE= 3 BD= 3.DF=BE=20 ∴.∠FDE=∠EBG, .·FG∥AD,AD∥BC,.FG∥BC 0、√0 .四边形FGBC是平行四边形，CF=BG, 3 2 .DE=CF,∴.DE=BG DF的长度大于EF的长度 ·AB=CD,AB=BD, 2.解：(1)30； .CD=BD...DF=BE. (2)①AE=AF. (DE=BG. 证明如下：四边形ABCD为菱形，AB=BC,AB∥DC, 在△DEF和△BGE中， ∠FDE=∠EBG. ∠B=60°，△ABC为等边三角形， DF=BE. .∠BAC=∠EAF=60°，AB=AC, .△DEF≌△BGE(SAS); ∴.∠ACF=∠BAC=60°，.∠B=∠ACF (2)解：如解图， .·∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC,∠CAF=∠EAF- ①.·FG是⊙O的直径 ∠EAC=60°-∠EAC,.∠BAE=∠CAF. .∠GEF=90°， I∠BAE=∠CAF 由(I)得△DEF≌△BGE, .:在△ABE和△ACF中， AB=AC. ∴，FE=GE M N∠B=∠ACF .∠EGF=∠EFG=45°； 第1题解图 .△ABE≌△ACF(ASA),.AE=AF: ②.：四边形FGBC是平行四边形，.FG=BC=AD=2W10】 ②△ABE≌△ACF,S△AHCr=S△BE, FE=GE,..FE=CE 又：等边△ABC的边长为3，且S四边影CP=S△c+S△CP, SAANC=S△Ec+S△ABE, 示的长为}x20=。 1 2T 3 93 .S四边形BCP=S△Bc= ×32= 4 4 在Rt△EFG中，.：FG=210,∠EGF=∠EFG=45°， 95 .EF=EG=25. SaCr=S回cr-Sa4en=4一SaA, 如解图，过点D作DM⊥AB于点M. .当△AEF的面积最小时，△ECF的面积最大， 在Rt△ADM和Rt△BDM中， :∠EAF=60°，AE=AF,.△AEF为等边三角形， AD2-AM2=DB2-BM.BM=AB-AM. ∴.(2√10)2-AM2=10-(10-AM)2,解得AM=2, :=4 E DM=√AD2-AF=6, 在∠EAF运动过程中，当AE⊥BC时，AE最小，即S△4r最 过点E作EQ⊥AB于点Q,延长QE交CD于点P, 小，Sacr最大， 则PQ=DM=6. ∠FEP+∠GEQ=∠FEP+∠EFP=90°， 当E1Cf易得A=S-x(3 4 .∠GEQ=∠EFP, 275 I∠EFP=∠GEQ, 16, 在△PFE和△QEG中， ∠EPF=∠GQE. 93 9W327393 EF=GE」 -SAAEF= 41616 ∴.△PFE≌△QEG,∴.PE=QG, 在Rt△QEG中，.EG2=EQ+QG2, 即△CBF面积的最大值为16 ,93 (25)2=(6-PE)2+PE2, 解得PE=4或PE=2 (3)存在.BM的值为35-3或35-3 2 点E在FG的左侧，∴.PE=4舍去，∴.EQ=4 3.(1)证明：.·AB∥CD,AB=CD 参考答案与重难题解析·河北数学 33