专题三 三角形的证明与计算-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

一战成名新中考 专题三三角形的证明与计算 [2025.19;2019.23;2018.23;2016.21] 1.一成成名原创如图，在△ABC中，∠BAC=90°，2.图①是一个平分角的仪器，其中0D=0E,FD ∠B=30°，AC=4,D为边BC上的点（不与B,C =FE. 重合)，且AD⊥DE于D,∠DAE=∠C,AE与DE (1)如图②，将仪器放置在△ABC上，使点0与 相交于点E. 顶点A重合，D,E分别在边AB,AC上，沿AF (1)若△ABC≌△DEA,求∠BAD的度数； 画一条射线AP,交BC于点P.AP是∠BAC (2)当△ADE的内心在直线AC的右侧时，求BD 的平分线吗？请判断并说明理由： 的取值范围。 (2)如图③，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB 于点Q,若PQ=6,AC=9,△ABC的面积是 60,求AB的长 A(O E 第1题图 B 图① 图② A(O) p 图③ 第2题图 专项分层提升练·河北数学 39 3.[2025邯郸23中一模]如图①，C,0,B三点在同4.一成成名原创如图，在等边三角形ABC中，点D 一条直线上，点A在线段OC上，点D在线段OE 为三角形内一点（含边AB,AC上，不与，点B,C重 上，且OA=OD,AC=DE,连接CD,AE,CD与AE 合)，连接DC,在DC的延长线上截取CE=DC, 交于点F: 在BC的延长线上截取CF=BC.连接BD, EF,DF. (1)求证：AE=CD: (1)求证：BD=EF; (2)写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并 (2)当点D在AB或AC上时，△DEF可以是直角 说明理由； 三角形吗？如果可以，说明线段EF与AB的 (3)如图②，0C,0E两根长度相等的木棍固定在 数量关系；如果不可以，说明理由， 点0处，∠2=90°.点A在木棍0C上，点D A 在木棍OE上，AE与CD是两根皮筋，皮筋的 端点C,E固定，改变皮筋端点A,D的位置， 始终保持OA=OD,且皮筋处于绷直状态，若 ∠1增加了3°，则∠CFE (填“增加” 第4题图 或“减少”)度 E 图① 图② 第3题图 40 专项分层提升练·河北数学(2)①：当y=0时，x=1或3， M(1,0),N(3,0),则MN=3-1=2, :y1=x2-4x+c的对称轴为直线x=2, 当WN=4时，xw=22=0,=244 24, M'(0,0),N(4,0), 把N'(4,0)代入y1=x2-4x+c得c=0 同理，当M'N=5时，xw=- 1 9 2,w= 把N(号，0代入万=-4e,得0- 9 -4× 4 2 tc, 解得c=-4 9 9 4≤c≤0： ②c=1±√19. 专题三 三角形的证明与计算 1.解：(1)△ABC兰△DEA..AD=AC. :∠BAC=90°，∠B=30°，∠C=60°， △ACD为等边三角形，.∠DAC=60°， .∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-60°=30°： (2)如解图，当△ADE的内心恰好落在AC上时，设△A 的内心为F, B D C E 第1题解图 :∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4,.BC=2AC=8 ·F是△ADE的内心，∴.AF平分∠DAE LDACAF6030 .:∠ACB=60°，∴.∠ADC=180°-60°-30°=90° :.CD=AC=2..BD=BC-CD=8-2=6, 2 .'.当△ADE的内心在直线AC的右侧时，6<BD<8. 2.解：(1)AP是∠BAC的平分线，理由如下： (AD=AE, 在△ADF和△AEF中，{AF=AF, DF=EF, ∴.△ADF≌△AEF(SSS), ∠DAF=∠EAF .AP平分∠BAC: (2).AP平分∠BAC,PQ⊥AB ∴.△APC的高等于PQ, 1 P0=6Sae=2×6x9=27, Sam=Sac-San=3=号 0.AB. ∴AB=2S△r÷PQ=2×33÷6=11. 3.(1)证明：·OA=OD,AC=DE, .∴.OA+AC=OD+DE,∴.OC=OE. (0A=OD 在△AOE和△DOC中 ∠AOE=∠D0C. OE=0C, 30 参考答案与 .△AOE≌△DOC(SAS),∴.AE=CD: (2)解：∠2=∠1+∠C,理由： △A0E≌△D0C,.∠E=∠C, .…∠2=∠1+∠E,∴.∠2=∠1+∠C: (3)解：减少：6。 4.(1)证明：CE=DC,CF=BC,∠BCD=∠ECF, ∴.△BCD≌△FCE(SAS),∴.BD=EF; (2②解：可以.EB或EB或E欧=A股 ①如解图①，当点D为AB的中点时， △ABC为等边三角形，AB⊥CD,∠BDC=90° 由(I)可得△BCD≌△FCE,.∠E=∠BDC=90° :△DEBF为直角三角形，此时EF=BD=24B, ②同理，如解图①，当点D为AC的中点时，易得△DE'F 是直角三角形，EF=BD=5B: 2 ③如解图②，当点A与点D重合时， :△ABC为等边三角形，△BCD≌△FCE, .BC=CF=CD=CE=AB=FE, ∴.∠CAF=∠CFA,∠AEF=∠CFE .·∠CAF+∠CFA+∠CFE+∠AEF=180°， .2∠CFA+2∠CFE=180°， ∴.∠CFA+∠CFE=90°，即∠AFE=90°， ∴.△DEF为直角三角形，此时EF=BD=AB. 综上所述，F子或=也政F 1 A(D) 图① 图② 第4题解图 专题四锐角三角函数实际应用 1.解：(1)由题意得∠ABC=45°，∠ACB=90°，∠ADC=30°， ·在R△ABC中，AC=AB,sin∠ABC-5 2(m), AC ∴.在Rt△ADC中，AD= in∠ADc52(m), .AD-AB=52-5≈2.1(m), 答：调整后的台阶坡面会加长约2.1m: (2)在Rt△ADC中，CD=4C=56 tan∠ADc-2(m), 在R胜△ABC中，BC=AB·cos∠ABC=52(m） BD=Cn-BC-5y655.52(,5-D-2.6(m. 2 2 答：调整后的台阶多占水平地面约2.6m. 2.解：(1)由题意得，BM L OM, .·∠BOM=18.17°，BM=3米， 重难题解析·河北数学