专题九 几何最值模型-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

专题九几何最值模型（必考） 原理①利用垂线段最短求最值[2025样卷24(1)；2020.26：2019.23：2016.25] ®模型解读 如图，点P在直线l外，过点P作1的垂线PH,则点P到直线1的距离为PH,即“垂线段最短 1.[2025石家庄桥西区期末]如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC,交AC于点D,AB=4,BD= 5,若点P是BC边上的动点，则线段DP的最小值为 () A.2.4 B.3 C.4 D.5 第1题图 第2题图 第3题图 2.[2020河北26(1)题改编]如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,P为直线AB上一动点，连接PC,线 段PC的最小值是 3.[2025衡水模拟]如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为3，P为AB边上一动点，过点P作 ⊙C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 () A号 B.5 C.23 D.3 4.[2025邯郸一模节选改编]如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点P是对角线BD上的动点（不含端 点)，过点P分别作PF⊥AB于点F,PG⊥AD于点G,连接FG.线段FG的最小值为 第4题图 第5题图 原理②两点之间线段最短求最值 ®模型解读 定点A,B在直线I异侧，在直线I上找一点P,使得PA+PB的值最小 B 连接AB交直线l于点P 5.如图，正方体的棱长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿正方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程 是 ( A.√29 B.√4T C.35 D.√53 14 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 6.[2025样卷21题节选改编]如图，平面直角坐标系中，有一动点P(a,a+3),点A(1,6)先向右平移3 个单位长度再向下平移6个单位长度得到点B. (1)画出，点P所在的直线轨迹不必说明理由； (2)AP+BP的最小值为 12 0 2 4 6 8 第6题图 类型①)利用三边关系及共线求最值（原理2）[2024.25；2021.26：2018.25] 眼模型解读 如图，BP>AP,结合三角形三边关系得AP+BP≥AB≥BP-AP,则A,P,B三点共线时，AB取得最值，在A 处，取最大值，为AP+BP,在A2处，取最小值，为BP-AP. Ai P A,B 7.成名原创如图，已知OA10B,将OA绕点0顺时针旋转120°，若0A=4,OB=3,则在旋转过程中， AB的最小值是 B 第7题图 第8题图 8.[2025邢台信都区期末]已知Rt△ACB≌Rt△DFE,且∠C=90°，AB=10,BC=8,点D,F分别在BC,AC 上滑动. (1)AC= (2)点M是AB的中点，点N是DF的中点，则MN的最小值是 9.[2015河北26题节选]平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于 点O,且∠DOQ=60°，OP=2,OA=AB=1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K 一起绕着点0按逆时针方向开始旋转，设旋转角为aα(0°≤≤60°).在OQ旋转过程中，简要说明α是 多少时，点P,A间的距离最小？并指出这个最小值 D 0 第9题图 专项分层提升练·河北数学 15 类型2利用轴对称（含将军饮马、造桥选址）求线段最值（原理2） 眼模型解读 (将军饮马问题)点A,B在直线1同侧，在直线I上找一点P使得AP+PB最小，如图①，作点B关于直线 I的对称点B',连接AB'交直线I于点P,点P即为所求 图① 图② (造桥选址问题)已知a儿，点A在直线a的上方，点B在直线b的下方.在直线a,b上分别找，点M,N,使 得MW⊥a,且AM+MN+BN的值最小，如图②，作AA'⊥a,AM'=MN,连接A'B交b于点N,过点N作MN ⊥a于点M,点M,N即为所求 (将军饮马引申问题)如图③，点P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得 △PMN的周长最小. 分别作，点P关于OA, OB的对称点P',P" 。P 连接P'P分别交OA, BOB于点M,N 图③ 10.如图，平行河岸两侧各有一城镇P,Q,根据发展规划，要修建一条公路连接P,Q两城镇已知相同长度造 桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案 11.[2025邢台信都区二模]如图，牧民从生活区边QM上某点A出发，先到草地边PQ上某点B牧马，再 到小河边PM上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到QM的距离为2√2km,∠QPM=45°，若 △ABC的周长为mkm,则m的最小值是 () 草地 小河 牧民生活区 第11题图 A.32 B.4 C.42 D.4w3 12.[2025保定二模]如图，点A,B,C,D,E,F是⊙0的六等分点，连接AD,DE,G为弦DE的中点，H为 AD上一点.已知⊙O的直径为4，则△FGH的周长最小值为 D E 第12题图 16 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 类型3胡不归（原理1） 眼模型解读 题干：如图，点A为直线I上一定点，点B为直线外一定点，点P在直线1上运动 问题：确定点P,使得AP+BP(0<k<1)的值最小 解题步骤： 一寻找：找带有系数飞的线段kAP; 二构造：在点B异侧，构造以线段AP为斜边的直角三角形： ①以定，点A为顶点作∠PAC,使得sinPAC=k; ②过动，点P作垂线构造Rt△PAC; 三转化：化折为直，将AP转化为PC; 四求解：使得kAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求BD的长度. @针对训练 1B如图，在△MC中，∠A=15,MB=10,P为AC边上的-个动点（不与A,C重合），连接即，则 PB的最小值是 () P 第13题图 A.52 B.55 C.103 D.8 3 类型④隐圆[2025.23(4)②；2025样卷22(2)，24(4)门] 【具体讲解+练习见本册专题七、八P11-P13】 专项分层提升练·河北数学 17专题九几何最值模型 CNE)DP=3,由三角形三边关系得M 1.B2.4.83.D4.D5.C 6.解：(1)画图如解图： CN,∴.当C,N,M三点共线时MW的值最小，此时，MN= 年1 CM-CN=5-3=2. 8 第8题解图 第9题解图 6 第6题解图 9.解：如解图，连接AP, (2)35 由三角形三边关系得，AP≥0P-OA=2-1=1,当0，A,P三 7.1 点共线，即α=60时，等号成立， 8.(1)6;(2)2【解析】(2)如解图，连接CM,CW,由(1)知， .当a=60时，点P与点A之间的距离最小，PA的最小 AC=6,Rt△ACB≌Rt△DFE,.DF=AC=6,·点M是 值为1. 10.C11.B12.7+√313.B 4B的中点，点N是DF的中点，AB=10,BC=8一CM) 二、特色考法分类提升练 专题一函数过定点问题 4.5【解析】解法1：如解图，连接OE,:四边形ABCD是菱 例(1,3)1.(-1,0)变式1(-4，-2)变式2 形，且AC=12,BD=16,AC⊥BD,0C=6,0D=8,∠C0D (1,1)2.(1)-1;(2)(-1,0) =90°，在Rt△C0D中，CD=√0C+0D=√6+8=10， 3.解：将二次函数y=-kx2+(k-3)x+3整理得y=(-x2+x)- E是边CD的中点0E=CD=5,6P1BD.EG 3x+3, AC,..∠0GE=∠OFE=∠COD=90°，.四边形OGEF是 令-x2+x=0,解得x=0或x=1, 矩形，.FG=OE=5. 当x=0时，y=3;当x=1时，y=-3+3=0, 该二次函数图象经过的定点坐标为(0,3)，(1,0). 专题二函数中的交点问题 例1(1)(2,0)，(0,1)；(2)①0<a<1;②a<0;(3)①0<b< 2:26<0:(4)01:2K-2:(5)00<长1：22<0 第4题解图 例2(1)(-1,0)，(3,0)，(0,3)；(2)①>4或t≤0；②0<t< 解法2：E是边CD中点，EF1BD,EG1AC,LCOD= 3或1=4,3≤K4:(3)0或≤-3②-3c3或1 90°，易得GF为△0CD中位线，GF= 2CD=5. 3号 13 3120 6.22.5°7.D8.C9.A10.A11.19°12.B 13 例3(7≤k≤2：(21≤6≤4，(3)≤a≤2 13.C14.6015.B16.C17.B 例4(1)5≤k≤9：变式10<k≤9 专题五分类（情况）讨论 变式28≤k≤20(2)b≥5或b≤-7 例1D1D2C3号支2或号 1.B2.C3.4≤m≤15 例2A【思路剖析】80,100,80°或100° 4a4,22.-2》632 4.A5.3.5或12.56.√/10或√26 7.A8.r=4.8或6<r≤8 专题三 函数中的整点问题 9.解：由题意得AB=1-(-3)=4,BC=x-1,CD=6-x,当AB 例(1)3：(0,0)，(1,0)，(2,0)：(2)4：(3)1<b≤2 为底时，有BC=CD,.x-1=6-x,解得x=3.5; 1.A2.B3.A4.-4<k<-1 当AB为腰，且AB=BC时，BC=4,.x-1=4,解得x=5: 专题四辅助线作法 当AB为腰，且AB=CD时，CD=4,.6-x=4,解得x=2, .x的值为2或5或3.5. 1B2D3号 10.B11.D12.A 26 参考答案与重难题解析·河北数学