解题秘籍01 二次函数综合10大考向（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

解题秘籍01 二次函数的综合问题 （10大考向） 二次函数的综合问题是中考数学的压轴核心题型，以抛物线为载体，融合三角形、四边形、圆等图形，将代数建模与几何分析深度结合。试题常以动点为背景，围绕线段 / 角度的定值与最值、图形面积最值、特殊图形存在性、相似三角形应用等展开，重点考查数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想。设问多采用 “基础求解析式→中档表线段 / 面积→压轴探存在性 / 最值” 的梯度结构，全面检测学生的代数运算与几何推理能力，是中考高分突破的关键模块。 考向01 利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题 核心考点： 1）由抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点判断a,b,c,Δ,b2−4ac的符号。 2）分析a+b+c、4a−2b+c等特殊代数式的取值。 3）结合对称轴公式推导系数间的不等关系与等式结论。 命题定位：中考选填压轴高频考点，侧重考查数形结合与逻辑推理能力。 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 考向02利用待定系数法求二次函数解析式 核心考点： 1）灵活选用一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a(x−h)2+k、交点式y=a(x−x1)(x−x2)求解解析式。 2）结合顶点、交点、对称轴等条件列方程求解参数。 命题定位：二次函数综合题必考基础设问，常作为压轴题第(1)小问，是全题得分的基础保障。 5．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 6．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 7．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 考向03二次函数与图形面积 核心考点： 1）用割补法、铅锤法表示三角形/四边形面积，建立与点坐标的函数关系。 2）求面积的最大值/最小值，或满足特定面积条件的点坐标。 3）探究运动过程中图形面积的定值问题。 命题定位：中档过渡型核心考向，是连接基础与压轴的关键环节，侧重运算与几何转化能力。 8．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 9．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 10．（2025·山东济南·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当的横坐标为，求与的面积比； (3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 11．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 考向04二次函数与最值问题 核心考点： 1）线段最值：将军饮马模型（PA+PB最小）、垂线段最短、两点之间线段最短。 2）加权线段和最值：胡不归模型（PA+k⋅PB，0<k<1）、阿氏圆模型（PA+k⋅PB，k>0）。 3）函数建模最值：将线段/周长/面积表示为二次函数，利用顶点求最值。 命题定位：中考压轴核心区分点，侧重考查模型识别与转化化归思想。 12．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 13．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 14．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 15．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； (3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 16．（2025·四川凉山·一模）已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长； (3)如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值． 考向05二次函数与特殊三角形 核心考点： 1）等腰三角形存在性：分PA=PB、PA=AB、PB=AB三类，用两点距离公式列方程求解。 2)直角三角形存在性：分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类，用勾股定理或斜率垂直性质求解。 3)相似三角形存在性：锁定相等角，按对应边成比例分类讨论求解。 命题定位：与“特殊四边形”并列的压轴大考点，是区分高分段学生的核心题型。 17．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 19．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 20．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 考向06二次函数与特殊四边形 核心考点： 1）平行四边形存在性：利用中点坐标公式（对角线互相平分）分类讨论顶点坐标。 2）矩形/菱形/正方形存在性：在平行四边形基础上，叠加“邻边相等（菱形）”“直角（矩形）”条件。 3）梯形存在性：探究一组对边平行且不相等的情况。 命题定位：与“特殊三角形”并列的压轴大考点，侧重考查分类讨论与中点公式的应用。 21．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 22．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 24．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 考向07二次函数与圆 核心考点： 1）圆与抛物线的交点问题，结合切线性质、垂径定理分析位置关系。 2）圆上点与抛物线的最值问题，利用“圆外一点到圆的最值=点到圆心距离±半径”求解。 3）隐圆模型：定角对定边、直角对定边，将角度问题转化为圆与抛物线的交点问题。 命题定位：高频拓展压轴考向，融合圆与函数知识，侧重考查综合几何分析能力。 25．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 26．（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 27．（2025·福建泉州·模拟预测）已知：抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个单位后得到抛物线． (1)求m、n的值； (2)若A点坐标为，C为抛物线上的一个动点，以C为圆心为半径的圆交轴于M、N两点，O、D关于A点对称，作交抛物线于B， ①试探究：随C点的运动线段的长度是否发生变化？若改变请说明理由，若不变请求出的值． ②连接，随着C点的运动，B点也随之运动，当的中点落在y轴上时，求点C的坐标， ③连接、并继续探究：在点B随点C的运动过程中，点C、D、B三点是否始终保持在同一直线上？请说明你的判断，并给出证明． 考向08二次函数与角度问题 核心考点： 1）定角问题：如∠APB=45°/60°/90°，利用隐圆模型（圆周角定理）构造圆弧求解。 2）等角问题：如∠PAB=∠ABC，利用三角函数或相似三角形转化为斜率/线段比例问题。 3）角度最值问题：结合切线性质或三角函数单调性求解。 命题定位：创新压轴考向，侧重考查几何直观与模型迁移能力。 28．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 29．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 30．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 31．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 考向09二次函数的定值，整点问题 核心考点： 1）定值问题：证明线段长度、角度、面积、比值在运动过程中保持不变。 2）整点问题：求抛物线上横纵坐标均为整数的点坐标，结合整除性分析。 3）探究满足特定整数条件的点存在性。 命题定位：中档区分考向，侧重考查逻辑推理与数论分析的综合素养。 32．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 33．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 34．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 35．（23-24九年级上·福建厦门·月考）如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标： (3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论： ①为定值：②为定值． 请找出正确的结论，并求出该定值． 考向10二次函数的图形变换问题 核心考点： 1）平移、对称、旋转后的抛物线解析式求解。 2）变换后图形的交点、最值、存在性问题探究。 3）动点经变换后的轨迹问题（如旋转 90°后轨迹为圆弧）。 命题定位：综合能力考向，衔接 “图形变换” 与 “函数” 专题，是中考创新题的热点载体。 36．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 37．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 38．（2025·湖南·二模）已知抛物线． (1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； (2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）． 39．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标； (3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题秘籍01 二次函数的综合问题 （10大考向） 二次函数的综合问题是中考数学的压轴核心题型，以抛物线为载体，融合三角形、四边形、圆等图形，将代数建模与几何分析深度结合。试题常以动点为背景，围绕线段 / 角度的定值与最值、图形面积最值、特殊图形存在性、相似三角形应用等展开，重点考查数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想。设问多采用 “基础求解析式→中档表线段 / 面积→压轴探存在性 / 最值” 的梯度结构，全面检测学生的代数运算与几何推理能力，是中考高分突破的关键模块。 考向01 利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题 核心考点： 1）由抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点判断a,b,c,Δ,b2−4ac的符号。 2）分析a+b+c、4a−2b+c等特殊代数式的取值。 3）结合对称轴公式推导系数间的不等关系与等式结论。 命题定位：中考选填压轴高频考点，侧重考查数形结合与逻辑推理能力。 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①错误； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为，可得：，又因为，可知抛物线开口向上，所以，则有，由表格可知，当时，，所以可知；因为开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大，可得：；整理方程，可得：，因为抛物线有最小值且，所以当时，，又因为，所以当时，，所以方程有个不相等的实数根；当时，方程可化为，此时方程有个不相等的实数根；当时，，此时方程无实数根；因为当时，，当时，，解得：，，所以可得：，又因为，所以可得：，根据和，可得不等式，从而可得：，根据不等式的性质可得：；根据抛物线的对称性可知，若要的最小值是，则有或，从而可得：当的最小值是，时或. 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 又当时，， 由表格可知当时，， ， ， ， 抛物线的开口向上， ，，， ， 故正确； 由可知抛物线开口向上，对称轴为， ，， ， 开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大， ，故正确； 抛物线开口向上，对称轴为， 与关于对称轴对称， ， 由可知， ， ， 当时，， 把方程，整理得：， 有个根； 当时，方程为， 方程有个根； 当时，， 则有， 方程无实根，故错误； 时，， 当时，， 当时，， 可得，， ，， ， ， ， 解得：， ，故正确； 当时，， 此时抛物线过点，， 抛物线与交于点，， 时最小值为， 或，与结论不符合，故错误． 综上所述，正确结论为，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、二次方程根的个数判断、不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论． 考向02利用待定系数法求二次函数解析式 核心考点： 1）灵活选用一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a(x−h)2+k、交点式y=a(x−x1)(x−x2)求解解析式。 2）结合顶点、交点、对称轴等条件列方程求解参数。 命题定位：二次函数综合题必考基础设问，常作为压轴题第(1)小问，是全题得分的基础保障。 5．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 6．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 7．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点Q使，此时点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案； （3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； （3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形． 考向03二次函数与图形面积 核心考点： 1）用割补法、铅锤法表示三角形/四边形面积，建立与点坐标的函数关系。 2）求面积的最大值/最小值，或满足特定面积条件的点坐标。 3）探究运动过程中图形面积的定值问题。 命题定位：中档过渡型核心考向，是连接基础与压轴的关键环节，侧重运算与几何转化能力。 8．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质，轴对称的性质，垂线段，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，垂线段最短，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的交点式和待定系数法即可求解； （2）直线的关系式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，表示出，利用表示出面积，再利用二次函数图象的性质求解即可； （3）作点关于直线的对称点，求出点的坐标，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，过点作轴，交直线于点，求出直线的表达式，则可得点的坐标，再利用，求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线的关系式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的关系式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 由题设点的坐标为， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时， 则最大值为，此时点的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 作点关于直线的对称点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点， 此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长， 如图，过点作轴，交直线于点， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， 则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 9．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)，， (2)最大值为，此时点的坐标为 (3)或或，见解析 【分析】（1）先将代入求出a的值，然后求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，证明，得出，得出，从而说明当取得最大值时，也取得最大值．设，则，得出，根据二次函数最大值，求出结果即可； （3）先求出平移后的表达式为，设．分三种情况：当为对角线时，当为边长且和是对角线时，当为边长且和是对角线时，求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线交轴于点， ， 抛物线交轴于两点， ， ， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得：， 直线的表达式为． （2）解：， ， ， 如图，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点， 则， ， ， ， 当取得最大值时，也取得最大值． 设，则， ， 当时，最大，此时， 当时，面积最大，最大值为： ， 此时点的坐标为． （3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后的表达式为： ， 此抛物线的对称轴为直线． 设． ， ， ． 当为对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ，解得． 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得 此时； 当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ， 解得：， 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得：， 此时或． 同理，当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 和互相平分，且， 即，此方程无解． 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，菱形的性质，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 10．（2025·山东济南·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当的横坐标为，求与的面积比； (3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 【答案】(1) (2)25 (3)当时，S有最大值 【分析】（1），代入求出b，c的值，即得； （2）求出，得，得，即得； （3）写出，得， 得，， 得，即得当时，S有最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， ∵的横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线的解析式为，二次函数解析式为，点横坐标为， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，三角形面积比，三角形面积差，割补法求三角形面积，是解题的关键． 11．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值，的面积为4 【分析】本题考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线交点的计算，直线与直线交点的计算，联立方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，代入求解即可； （2）根据与的面积之比是，通过线段比例关系和韦达定理求解的值； （3）通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：若与的面积之比是， 则， ∵点在同一直线上， 则，即①， 联立直线与抛物线的方程得：， 整理得， ∴，②， 由①②得：，解得：， ∵点在轴左侧， ∴， ∴，即， ∴，即． （3）解：点关于轴的对称点， 直线与轴交于点，则点， 设点的坐标分别为：、， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 将点的坐标代入上式得： ， 整理得：， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 同理可得，的表达式为： ， 联立上述两式得： ， 解得：， ， 则， ， ， ∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值， ∵，到的距离为， ∴． 考向04二次函数与最值问题 核心考点： 1）线段最值：将军饮马模型（PA+PB最小）、垂线段最短、两点之间线段最短。 2）加权线段和最值：胡不归模型（PA+k⋅PB，0<k<1）、阿氏圆模型（PA+k⋅PB，k>0）。 3）函数建模最值：将线段/周长/面积表示为二次函数，利用顶点求最值。 命题定位：中考压轴核心区分点，侧重考查模型识别与转化化归思想。 12．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； （3）存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 13．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1) (2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 14．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为；      如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 15．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； (3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①，在抛物线上② 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴，， ∴， ∴的面积； （3）①由题意，作图如下： 连接，作于点， 由（2）可知：， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同①可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键． 16．（2025·四川凉山·一模）已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长； (3)如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)8 【分析】（1）根据，得到，利用待定系数法依次解答即可； (2) 设点，根据对称性质，得到，确定点，根据题意，连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且为 ，利用勾股定理，计算， 设直线的解析式为，确定解析式即可求得交点的坐标． (3) 过点E作轴于点G，根据，得， 于是，故 ，利用，故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，解答即可． 【详解】（1）解：根据， ∴， ∵在上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． （2）解：设点， ∵， ∴的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴点， ∴， ∴， ∵A，B是对称点， ∴连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 当时，， 故， ∴的周长最小时，，的周长为． （3）解：过点E作轴于点G， 根据， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为， 故， 故的最小值为8． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的性质，勾股定理，三角函数的应用，垂线段最短，熟练掌握三角函数的应用，抛物线的性质计算是解题的关键． 考向05二次函数与特殊三角形 核心考点： 1）等腰三角形存在性：分PA=PB、PA=AB、PB=AB三类，用两点距离公式列方程求解。 2)直角三角形存在性：分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类，用勾股定理或斜率垂直性质求解。 3)相似三角形存在性：锁定相等角，按对应边成比例分类讨论求解。 命题定位：与“特殊四边形”并列的压轴大考点，是区分高分段学生的核心题型。 17．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为，或，或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，    （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或．    【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 18．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 19．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 20．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 考向06二次函数与特殊四边形 核心考点： 1）平行四边形存在性：利用中点坐标公式（对角线互相平分）分类讨论顶点坐标。 2）矩形/菱形/正方形存在性：在平行四边形基础上，叠加“邻边相等（菱形）”“直角（矩形）”条件。 3）梯形存在性：探究一组对边平行且不相等的情况。 命题定位：与“特殊三角形”并列的压轴大考点，侧重考查分类讨论与中点公式的应用。 21．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 22．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 23．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 24．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 【答案】(1)； (2)①存在，点的坐标为或；② 【分析】（1）解方程可求得、的坐标，令，可求得点的坐标，即可得解； （2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可； ②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得，求出点，点的坐标，即可得的长． 【详解】（1）解：当时，，解得：，， ∵点在点的左侧 ∴，， 当时，，即． 故答案为：，． （2）解：①存在，理由如下： ∵，， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或； ②设点的坐标为，其中， ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴直线的函数表达式为； ∵直线， ∴设直线的解析式为， ∵点的坐标， ∴， ∴ ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 考向07二次函数与圆 核心考点： 1）圆与抛物线的交点问题，结合切线性质、垂径定理分析位置关系。 2）圆上点与抛物线的最值问题，利用“圆外一点到圆的最值=点到圆心距离±半径”求解。 3）隐圆模型：定角对定边、直角对定边，将角度问题转化为圆与抛物线的交点问题。 命题定位：高频拓展压轴考向，融合圆与函数知识，侧重考查综合几何分析能力。 25．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)个，理由见解析 (3)当为钝角时， 【分析】本题考查了二次函数综合，一次函数与二次函数交点问题，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据二次函数的图象对称轴为轴，过坐标原点及点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设与轴交于点，过点作轴于点，先解，进而得出是等边三角形，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质得出，求得直线的解析式为，联立二次函数解析式，即可求解； （3）先求得直线的解析式为，联立二次函数解析式得出，当以为直径的圆与轴相交时，设交点为，交点与构成的三角形为直角三角形，当在之间时，即在圆内，此时，进而根据，利用勾股定理建立方程，求得的值，进而可根据为钝角时，确定的范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为轴，过坐标原点及点 ∴ ∴ ∴二次函数解析式为： （2）解：如图，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵，点坐标为， ∴， ∴，， ∴ ∵轴， ∴ ∵射线平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 消去得，， ∵， ∴直线与二次函数的图象的公共点的个数为 （3）解：设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或 ∴ 如图， 当以为直径的圆与轴相交时，设交点为，交点与构成的三角形为直角三角形， 当在之间时，即在圆内，此时 ∵，，， ∴， 当时，时， ∴ 解得：， ∴当为钝角时，． 26．（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②的面积为2或3或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点A的坐标，进而可判断，是等腰直角三角形，然后根据的外接圆直径是，可得其外接圆的半径，再利用等积法求出r，即可解决问题； ②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，可得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。 得，解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：①令， 解得：， ∴， ∵B，C， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵, ∴， ∴当时，是等腰直角三角形，且， ∴， ∴的外接圆直径是， 则其外接圆的半径， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是， ∴直线与x轴的交点T的坐标是， 作轴于点P，则在直角三角形中，， ∴， ∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合， 当点F在的内角的平分线上即时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴E、T重合， ∵B，C， ∴直线的解析式是， 当时，， ∴点P的坐标是， ∴， ∴； 当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K， 则， 设，则， ∵，且, ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由于， ∴点F不可能在的内角的平分线上； 当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则， ∴； 综上：的面积为2或3或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键. 27．（2025·福建泉州·模拟预测）已知：抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个单位后得到抛物线． (1)求m、n的值； (2)若A点坐标为，C为抛物线上的一个动点，以C为圆心为半径的圆交轴于M、N两点，O、D关于A点对称，作交抛物线于B， ①试探究：随C点的运动线段的长度是否发生变化？若改变请说明理由，若不变请求出的值． ②连接，随着C点的运动，B点也随之运动，当的中点落在y轴上时，求点C的坐标， ③连接、并继续探究：在点B随点C的运动过程中，点C、D、B三点是否始终保持在同一直线上？请说明你的判断，并给出证明． 【答案】(1)， (2)①不变，；②或；③点C、D、B三点始终保持在同一直线上，证明见解析 【分析】（1）把抛物线化为顶点式，然后根据二次函数图象的平移规律求解即可； （2）①过C作于E，连接，设，根据两点间距离公式求出，在中根据勾股定理求出，然后根据垂径定理求出即可； ②设，过B作轴于H，证明，得出，整理得，根据的中点落在y轴上，得出，则可求出，即可求解； ③由②知，则可求出，根据待定系数法求出直线解析式为，求出直线与y轴的交点为，根据对称性求出点D的坐标，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到， ∴，； （2）解：①过C作于E，连接 设， ∵A、N在上， 则， ∴， ∵， ∴； ②设，过B作轴于H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 又的中点落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C的坐标为或； ③由②知， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴直线经过， ∵O、D关于点对称， ∴， ∴直线经过点D，即点C、D、B三点始终保持在同一直线上． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 考向08二次函数与角度问题 核心考点： 1）定角问题：如∠APB=45°/60°/90°，利用隐圆模型（圆周角定理）构造圆弧求解。 2）等角问题：如∠PAB=∠ABC，利用三角函数或相似三角形转化为斜率/线段比例问题。 3）角度最值问题：结合切线性质或三角函数单调性求解。 命题定位：创新压轴考向，侧重考查几何直观与模型迁移能力。 28．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，的坐标为， (3)的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据抛物线的对称轴为直线，得出则二次函数解析式为代入，得出，即可求解； （2）设，根据点的坐标可得，，分量种情况讨论，①当在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设关于的对称点为，则，验证可得点与点重合，得出，当在的上方时，作点关于的对称点，即，进而联立直线与抛物线解析式，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即 ∴二次函数解析式为 将代入得， 解得：， ∴二次函数关系式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，，则 ∴，， 设，则 ①当在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设关于的对称点为，则， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴点与点重合， ∴ 当在的上方时，作点关于的对称点 ∵都是等腰直角三角形， ∴在轴上， 同理可得直线解析式为 联立 解得：或 ∴ 综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标为， （3）解：如图，在上取一点，使得 ∴ 设，则 在中， ∴，即 解得： ∴ ∴ ∵， 在上取一点，使得，垂足为， ∴ ∴ 即, 如图，作关于的对称点，连接交于点 ∴ ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴的最小值为． 29．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在定点 【分析】（1）把代入，求出抛物线的解析式，令，即可求解； （2）设直线为，设点，，可得且，即可求解； （3）设直线解析式，直线与抛物线相交于点，，与抛物线解析式联立可得，，．作，，，，，．根据，可得，从而得到，进而得到，继而得到，再由直线不垂直于轴，可得，从而得到直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， ． 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ； （2）解：∵，N是抛物线顶点， ∴， 设直线的解析式为， ，， ∴，解得：， 直线的解析式为， ， 可设直线为， 设点，， 且． 解得：． （3）解：存在定点满足条件． 设直线解析式，直线与抛物线相交于点，， ， ． ，，． 作，，，，，． ， ． 即， ， ， ． ． ． ， 直线不垂直于轴， ， ， ， 直线解析式， 无论为何值，，， ∴过定点，故存在定点． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识．利用数形结合思想解答是解题的关键． 30．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 31．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 考向09二次函数的定值，整点问题 核心考点： 1）定值问题：证明线段长度、角度、面积、比值在运动过程中保持不变。 2）整点问题：求抛物线上横纵坐标均为整数的点坐标，结合整除性分析。 3）探究满足特定整数条件的点存在性。 命题定位：中档区分考向，侧重考查逻辑推理与数论分析的综合素养。 32．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 33．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2)；， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 34．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)弦的长度是定值．弦的长为6 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，垂径定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，垂足为，连接，设点的坐标为，则，利用垂径定理结合勾股定理求出的长，进而求出的长，进行判断即可； （3）求出直线的解析式，设，则且，求出，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）弦的长度是定值．理由如下： 如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：， 设点的坐标为，则． ， ∴． ， ． ， ， ∴弦的长度为定值． （3）证明：设直线的解析式为， 直线过点， ，解得：， ∴； 设，则且， ， ， ． ①当时，点在对称轴左侧，如图2， ． ， 的坐标为， ，又， 三角形是等边三角形． ②当时，在对称轴右侧，如图3， ， ， 的坐标为， ， ，又， 三角形是等边三角形． 35．（23-24九年级上·福建厦门·月考）如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标： (3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论： ①为定值：②为定值． 请找出正确的结论，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)①是定值，理由见详解 【分析】（1）根据题意，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，并求出直线的解析式为，设，根据两点之间距离公式可得，，，根据，可求出，并得直线的解析式为，联立抛物线为方程组求解即可； （3）根据题意可得，，设，可求出直线的解析式为，由此得到，同理可求出直线的解析式为，，图形结合，分类讨论：第一种情况，当时，可得，，则有；第二种情况，当时，同理，，，可求出是定值． 【详解】（1）解：已知抛物线经过两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为，点为抛物线的顶点， ∴， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为，如图所示， 设，且， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线的解析式为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； （3）解：①是定值，理由如下， 已知抛物线的解析式为，，， 令时，， 解得，，， ∴， ∵点是抛物线对称轴与轴的交点， ∴， ∵点为轴上方抛物线上一动点， ∴设， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴当时，， ∴， 同理，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴当时，， ∴， 第一种情况，当时，如图所示， ∴，， ∴，， ∴是定值； 第二种情况，当时，如图所示， 同理，，， ∴，， ∴是定值； 综上所述，①是定值． 【点睛】本题二次函数与线段的数量关系的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，坐标系中两点之间的距离公式，二次函数与二元一次方程组的计算等知识，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 考向10二次函数的图形变换问题 核心考点： 1）平移、对称、旋转后的抛物线解析式求解。 2）变换后图形的交点、最值、存在性问题探究。 3）动点经变换后的轨迹问题（如旋转 90°后轨迹为圆弧）。 命题定位：综合能力考向，衔接 “图形变换” 与 “函数” 专题，是中考创新题的热点载体。 36．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：或，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线方向或射线方向平移．沿射线方向平移，求出直线的解析式为，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得，，由平移性质可证四边形是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明为直角三角形且，根据，可得四点共圆，是在以为直径的圆上，可求中点，根据列方程即可求得的值，则题目可解； 抛物线沿射线方向，作关于点对称点，方法同上． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，正确作出辅助线． 37．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）直接由待定系数法即可求解； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型． 38．（2025·湖南·二模）已知抛物线． (1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； (2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)①；② 【分析】本题考查二次函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点的纵坐标，即可求解； （2）①证明，即可求解； ②当且和时，证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为． 当时 根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ． 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 图象“W”的解析式为：， ①当时，图象“G”的解析式为：， 设直线的解析式为， 当时， 解得：或； 点的横坐标为， 当， 解得：或； 点的横坐标为； 当时， 解得：或； 点的横坐标为； 如图，作轴，过点作轴交于点， 作轴，过点作交于点， 由各点横坐标可得：， ， ， 轴，轴， ， ， ，， ， ， ， ； ②当且时，图象“G”是解析式为：， 由①可得点的横坐标为，点的横坐标为， 当， 解得：， 点的横坐标为：； 当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点； 由各点横坐标可得：， ， ，， ， ， ； 当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点， 由各点横坐标可得：， ， ，， ， ， 则； 综上所述，用含的式子表示为； 39．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标； (3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）分别令，解方程，即可求解； （2）分别求得直线，根据得出的解析式，设，进而求得点的坐标，进而根据平分线段，则的中点在直线上，将点的坐标代入直线解析式，即可求解． （3）过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，先求得点的坐标，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线解析式，设，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，，进而求得，代入，化简后得出，即，进而即可求解． 【详解】（1）解：由， 当时，，则 当， 解得： ∵在的右边 ∴，， （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵ 设直线的解析式为 ∵在第三象限的抛物线上 设， ∴ ∴ ∴ 设的中点为，则 由，，设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∵平分线段， ∴在直线上， ∴ 解得：（舍去） 当时， ∴； （3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵点与原点关于点对称， ∴, 设直线的解析式为，直线的解析式为 联立直线与抛物线解析式可得，， 即 联立直线与抛物线解析式可得， 即 设，， ∴，，， ∴ ， ∵ ∴， 将代入得： ∴， ∴， ∴直线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $