学易金卷：高一数学下学期期中模拟卷01（江苏专用，范围：苏教版必二第9～12章）

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B D C A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AB ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为，所以，所以， 即，解得或（舍去）， 又是锐角，故．（6分） （2）因为，所以，即，，即． 因为，所以， 从而（13分） 16．（15分） 【解析】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以.（4分） （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以.（9分） （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为 （15分） 17．（15分） 【解析】（1）依题意， ， ；（4分） （2）因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即；（9分） （3）由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得，（12分） 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）在，中，由， 得，， 又中，由勾股定理得， 因， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为.（5分） （2）由（1）知，， 因此， 于是.（9分） （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得，， 设，则，（12分） ， ，由，得， ， , 于是，（15分） 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用元（17分） 19．（17分） 【解析】（1）若，即，得， 点满足，则， 在和中，，， 所以与相似，且， 所以，即， 由余弦定理得：，且，， 得，且， 所以；（4分） （2）（ⅰ）在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： ， ， ， 三式相加可得：① 在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： ， 在和内，同理：，， 三式相等：， 因为，由等比性质得：② 由①②式可证得：；（10分） （ⅱ）因为， 即， 所以， 在中， 分别由余弦定理得：，，， 三式相加整理得， ， 将代入得： 若平分，则，， 所以③ 又由余弦定理可得：④ 由③-④得： 所以， 所以.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9~12章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 3．已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 7．已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 8．已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11．已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 14．若复数满足为虚数单位，则的最大值为______． 15．已知，若对任意实数恒成立，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，． (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． 16．（15分） 已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围 17．（15分） 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 18．（17分） 某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 19．（17分） 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，且满足，求的大小． (2)若为锐角三角形． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若平分，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12._______________ 13. ___________ 14. ________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（13分） 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9~12章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 3．已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 7．已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 8．已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11．已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 14．若复数满足为虚数单位，则的最大值为______． 15．已知，若对任意实数恒成立，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，． (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． 16．（15分） 已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围 17．（15分） 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 18．（17分） 某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 19．（17分） 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，且满足，求的大小． (2)若为锐角三角形． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若平分，证明：． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 2．已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理得：， 则， 因为，所以，则， 故选：C 3．已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，由得，解得． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 5．如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 6．在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 7．已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】应用向量数量积的运算律得到，若且，数形结合求得，即可得. 【详解】由， 若且，则，且，， 又，且， 所以 ， 当时，， 所以. 故选：C 8．已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设结合三角恒等变换公式可得，，，进而结合选项分析求解即可. 【详解】由 ， 则. 由， 则，即，则，， 综上所述，，且，. 结合选项，当，时，满足上述两个式子； 当，时，满足上述两个式子； 当时，由可知，此时不满足，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用复数模的意义、乘法运算，结合共轭复数的意义逐项计算判断. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：ABC 10．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 11．已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 【答案】ABD 【分析】利用条件化简判断A，根据正弦定理及三角恒等变换判断B，根据正弦定理求判断C，根据余弦定理求出中线长判断D. 【详解】因为， 所以，即， 所以，由可知，即为钝角， 又，所以， 又为锐角，所以，故A正确； 因为，由正弦定理可得， 所以， 由和差化积公式可得， 即，即， 由可得，所以或（舍去）， 即，故B正确； 由AB可知，，所以，故， 因为，所以， 由正弦定理，，即， 解得，所以，故C错误； 由可知，， 设边的中线长为，则， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 【答案】 【分析】由题意可得，进而求得，利用可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以， 所以，所以，又， 所以. 故答案为：. 13．若复数满足为虚数单位，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】设，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，求出坐标原点到圆心的距离，即可求出的最大值. 【详解】设，因为，即， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，而表示点到原点的距离， 又，所以的最大值为. 故答案为： 14．已知，若对任意实数恒成立，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】利用余弦的二倍角公式得对任意实数恒成立，再令，将问题转化为在上恒成立，最后根据求得，并说明时，可以取到即可. 【详解】因为， 所以对任意实数恒成立， 所以，对任意实数恒成立， 令， 所以在上恒成立， 取时，，即， 当时，等价于，即恒成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，． (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． 【详解】（1）因为，所以，所以， 即，解得或（舍去）， 又是锐角，故．（6分） （2）因为，所以，即，，即． 因为，所以， 从而．（13分） 16．（15分） 已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； （2）代入可得，求得，进而得到答案； （3）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【详解】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以.（4分） （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以.（9分） （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为.（15分） 17．（15分） 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 【详解】（1）依题意， ， ；（4分） （2）因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即；（9分） （3）由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得，（12分） 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是．.（15分） 18．（17分） 某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 【详解】（1）在，中，由， 得，， 又中，由勾股定理得， 因， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为.（5分） （2）由（1）知，， 因此， 于是.（9分） （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得，， 设，则， ， ，由，得，（12分） ， , 于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用元（17分） 19．（17分） 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，且满足，求的大小． (2)若为锐角三角形． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若平分，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出的值即可； （2）（ⅰ）在内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：，针对分别在、和内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得：，即可得证；（ⅱ）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，平分，将代入，化简整理即可得证. 【详解】（1）若，即，得， 点满足，则， 在和中，，， 所以与相似，且， 所以，即， 由余弦定理得：，且，， 得，且， 所以；（4分） （2）（ⅰ）在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： ， ， ， 三式相加可得：① 在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： ， 在和内，同理：，， 三式相等：， 因为，由等比性质得：② 由①②式可证得：；（10分） （ⅱ）因为， 即， 所以， 在中， 分别由余弦定理得：，，， 三式相加整理得， ， 将代入得： 若平分，则，， 所以③ 又由余弦定理可得：④ 由③-④得： 所以， 所以.（17分） 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $