专题04位似同步冲刺讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题04位似同步冲刺讲义 【题型01 位似图形的识别】.......................................4 【题型02 确定位似中心】.........................................6 【题型03 辨析位似图形相关概念】.................................9 【题型04 求两个位似图形的相似比】..............................13 【题型05 绘制已知图形放大/缩小n倍后的位似图形】...............15 【题型06 求位似图形的对应坐标】................................19 【题型07 坐标系中求位似图形的相似比.周长必或面积比】...........22 【题型08 坐标系中绘制位似图形】................................24 【题型09 坐标系中确定位似中心】................................28 【题型10 坐标与位似图形综合应用】..............................31 【解答题5题】..................................................35 ★知识梳理 知识点01:位似图形的定义 定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。 核心特征： 1.两个图形必须是相似图形； 2.对应顶点的连线交于同一点（位似中心）； 3.对应边互相平行（或共线）。 知识点02:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点03:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点04:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 k 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点05:坐标系中的位似变换规律 位似中心 位似比 k 同向位似对应点坐标 反向位似对应点坐标 原点 O(0,0) k>0 (kx,ky) (−kx,−ky) 任意点 P(a,b) k>0 (a+k(x−a),b+k(y−b)) (a−k(x−a),b−k(y−b)) 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 常见易错点提醒 1.相似与位似的区别：相似只要求形状相同，位似还要求对应顶点连线共点、对应边平行。 2.位似中心的位置：位似中心位置不同，得到的位似图形位置也不同，可能在原图形的同侧或两侧。 3.坐标变换符号：以原点为位似中心时，反向位似的坐标要加负号，容易遗漏。 4.位似比的顺序：位似比是 “新图形：原图形”，顺序颠倒会导致比例计算错误。 5.面积比：面积比是位似比的平方，不是位似比本身。 【题型1.位似图形的识别】 【典例】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线_______，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【答案】相交于一点 【详解】解：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形． 故答案为：相交于一点 【跟踪专练1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 【跟踪专练3】如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．根据位似与相似的关系得出相似比，再由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 故选：． 【题型2.确定位似中心】 【典例】如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 【答案】B 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上． 【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4） 【答案】B 【分析】如图，连接BF交y轴于P，根据位似图形的定义可得点P为位似中心，根据点B、F坐标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求出点P的坐标． 【详解】如图，连接BF交y轴于P， ∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点， ∴点P为位似中心， ∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）， ∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1， ∴CG＝3， ∵BC∥GF， ∴△BCP∽△FGP， ∴＝＝，PC=CG-PG， 解得：GP＝1， ∴OP=OG+GP=2， ∴点P的坐标为（0，2）， 故选：B． 【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 【题型3.辨析位似图形相关概念】 【典例】如图，矩形与矩形关于点O位似，则点O、B与点______共线，（填“一定”或“一定不”或“不一定”） 【答案】一定 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，即可解题． 【详解】解：矩形与矩形关于点O位似， 点O、B与点一定共线， 故答案为：一定． 【跟踪专练1】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：与位似， ． ． 的面积为4， 故选：D． 【跟踪专练2】．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形，相似三角形的性质，过点作于点，延长交于点，由位似图形的性质可得，进而可得，即得，再根据相似三角形的性质可得，得到，再求出遮挡板水平移动后的长，进行比较即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分别为和对应边上的高， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍， ∴， 设， ∵物体和屏幕位置不变， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动， 故选：． 【题型4.求两个位似图形的相似比】 【典例】如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为___________． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，位似中心与对应点连线之比等于位似比，据此即可求解； 【详解】解：∵与的面积比， ∴与的位似比为， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了图形位似的性质，熟练掌握图形位似的性质是关键．根据图形位似的性质求解即可． 【详解】解：， ， 和关于点O位似， ， ， 的周长的周长． 故选：B． 【跟踪专练2】小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为_____． 【答案】 【分析】本题考查位似，相似的性质，连接，过点O作于点E，于点F，先判定，即可得对应高之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从而计算面积即可. 【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为， 此时正方形的面积为：， 故选C. 【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键. 【题型5.绘制已知图形放大/缩小n倍后的位似图形】 【典例】将一个多边形放大为原来的3倍.则放大后的图形可作出_____ 个.其原因是 _______ 【答案】 无数个, 所选取的位似中心不同可得到不同位置的位似图形 【详解】试题分析：位似中心确定之后，位似图形可以作出两个；位似中心不确定，位似图形可以作出无数个． 【跟踪专练1】如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了作图-位似变换，连接并延长，使得，得到的对应点，即可求解． 【详解】解：如图所示连接并延长，使得，得到的对应点为，    故选：A． 【跟踪专练2】在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是_____． 【答案】四边形 【分析】以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则，，，，，，，，，，由，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果． 【详解】∵以点O为位似中心， ∴点C对应点M， 设网格中每个小方格的边长为1， 则， ，OD=， ， ， ，OQ=， ， ， ， ∵， 则点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形， 故答案为：四边形． 【点睛】本题考查了位似变换、勾股定理，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，找出点C对应点M． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A．点 的坐标为 B． C． 与 的周长之比为 D． 与 的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形与相似图形的关系，根据位似图形的性质，位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边互相平行或在同一直线上，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 、点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与 的周长之比为，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与的面积之比为，原选项不正确，符合题意； 故选：． 【题型6.求位似图形的对应坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，则点E的对应点的坐标是________． 【答案】或 【分析】根据点的对应点与原点同侧，异侧两种情况，结合位似比计算对应点的坐标． 【详解】解：由题意，以原点为位似中心，将缩小为原来的一半，可得位似比为或， 当与在原点同侧时，位似比为， ， 的坐标为. 当与在原点异侧时，位似比为， 的坐标为. 综上，点的坐标为或． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质． 根据点D的坐标结合相似比为3作答即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形， ，即 故选：D． 【跟踪专练2】如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，以为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点，且与边交于点．若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据位似变换的性质，由矩形与矩形的位似比及点B的坐标，求出点E的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据点G在边上且位于反比例函数图象上，求出点G的坐标． 【详解】解：矩形的顶点B的坐标为， 、， 矩形与矩形的位似比为， 点E的横坐标为，纵坐标为， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 反比例函数的解析式为， 点G在边上，且点B的坐标为，点C在轴上， 点G的纵坐标为4， 又点G在反比例函数的图象上， ， 解得， 点G的坐标为． 【跟踪专练3】如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，根据所给图形得到各对应点之间的坐标变化规律是解题的关键． 首先根据与是相似比为的位似图形，可知对应点的横纵坐标均为原来的倍，即可得到答案． 【详解】解：∵，与是相似比为的位似图形，点O为位似中心， ∴的坐标是 故选：B． 【题型7.坐标系中求位似图形的相似比.周长比或面积比.】 【典例】如图，四边形的顶点为坐标原点，以为位似中心，作出四边形与四边形位似，若，的对应点为，四边形的面积为27，则四边形的面积为__________． 【答案】12 【分析】利用点A，A1的坐标可得到AO，A1O的长，可求出AO与A1O的比值，再利用位似图形面积比等于相似比的平方，就可求出四边形OA1B1C1的面积. 【详解】∵A(6，0)的对应点为A1(4，0)， ∴AO=6，A1O=4， ∴， ∵四边形OA1B1C1与四边形OABC位似， ∴，即， ∴， 故答案为：12. 【点睛】本题考查位似图形的性质，解题的关键是根据坐标求出位似比. 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知的顶点，的顶点， 的面积为4，则的面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据题意可得与的相似比为，即可求解． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， ， ∴与的相似比为， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为1． 故选：C 【跟踪专练2】如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为___________． 【答案】 【详解】此题考查了位似图形和相似的性质，熟练掌握相似形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据位似图形的性质和得到四边形和的相似比为，即可得到答案． 【分析】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，， ∴四边形和的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：. 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点．若点 的对应点为，四边形的周长为27，则四边形的周长为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据对应坐标得出位似比，位似图形的周长比等于位似比，由此可解． 【详解】解：点 的对应点为， 四边形与四边形的位似比为3， 四边形与四边形的周长比为3， 四边形的周长为27， 四边形的周长为：， 故选A． 【题型8.坐标系中绘制位似图形】 【典例】如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为______°． 【答案】答案见详解. 【分析】根据位似三角形的定义，分别找到原三角形各个顶点的对应点，连接起来，即可. 【详解】∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴以原点O为位似中心，使它与的相似比为的对应点坐标为：，，，如图所示： 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，作已知三角形的位似三角形，理解位似三角形的定义，是解题的关键，注意：本题的位似三角形有2个，画出一个即可. 【跟踪专练1】已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的△A 1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点A2的坐标． 【答案】（1）画图见解析，A1(1，－3)；（2）画图见解析；A2(－2，－6)． 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）根据关于原点对称点的坐标以及使＝，得出对应点乘以-2即可得出答案． 【详解】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，A1(1，－3)； (2)如图，△A2B2C2为所作，A2(－2，－6)． 【点睛】本题考查位似图形的性质以及关于x轴对称图形画法，根据已知得出对应点坐标是解题关键． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4）， ∴AB＝2，BC＝2， 由勾股定理得：AC＝＝， ∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似为1：2， ∴线段DF的长度为AC＝， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【题型9.坐标系中确定位似中心】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键． 连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图，连接两组点与以及与交于点， 点即为位似中心，． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心位置即可． 【详解】解：如图所示： 位似中心点P的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心位置是解题关键． 【跟踪专练3】如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接并延长与轴交于点，根据位似变换的性质，点即为位似中心，然后设，表示出、，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据点在轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长与轴交于点，则点即为位似中心，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， 又∵正方形和正方形的边、都与轴垂直， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∵点在轴负半轴上， ∴点． 故选：A． 【题型10.坐标与位似图形综合应用】 【典例】若已知点和，且平行于轴，则______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，即可求解． 【详解】解：∵点和，且平行于轴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：，例如，．当时，所有满足该条件的点围成的图形的面积为（   ） A．4 B．8 C． D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征． 根据的定义和可知或，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点组成的图形． 【详解】解：∵， ∴或． 如图， ①当时，点P满足或， 在图象上，线段即为图中正方形的右边，线段即为图中正方形的左边； ②当时，点P满足，或， 在图象上，线段即为图中正方形的上边，线段即图中正方形的下边． 则所有满足该条件的点围成的图形为边长为4的正方形， ∴所有满足该条件的点围成的图形的面积为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标，点的横坐标为2，的边与轴、轴分别交于点和点，点是线段上一点，连接．已知，则点的纵坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、一次函数解析式的求解，解题的关键是先求出直线方程以确定点的坐标，再利用面积关系推导点的纵坐标．先通过、求出直线的方程，再求出点的纵坐标，计算出的面积，再利用面积倍数关系求出的面积，最后结合的长度算出点的纵坐标． 【详解】解：设直线解析式为，代入和 ， 解得：， 故直线解析式为， 的横坐标， 代入解析式 点的横坐标为2 代入解析式 ， 解得 在直线上（） 故答案为：． 【跟踪专练3】矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，且，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点E，后根据，确定点，解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E， ∵点，点， ∴， ∵以为边在第四象限内构造矩形，且． ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：B． 【解答题】 1．已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕原点顺时针旋转后得到的，请直接写出点B的对应点的坐标为 ； (2)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出并求其面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标 (2)图见解析，14 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 本题考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 【详解】（1）如图，即为所求，点的坐标． 故答案为：； （2）如图，即为所求， 面积=四边形的面积- 2．如图，的三条边与的三条边满足，且．的面积与的面积之间有什么关系？ 【答案】与的面积比为9 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的定义和性质是解题的关键． 由条件可知和是位似图形，且位似比为，利用位似图形的性质可知，可求得结论． 【详解】解：与的面积比为9． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴相似比为3， ∴与的面积比为9． 3．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．求正方形与正方形的位似中心的坐标． 【答案】或 【分析】连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，证明，根据相似三角形的性质求出；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 四边形为正方形，点的坐标为， 点的坐标为． ， ，， ， ，即， 解得， 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标为或. 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要分情况讨论． 4．如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为． (1)在x轴下方，画出； (2)直接写出______． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键． （1）分别确定关于的位似对应点，再顺次连接即可； （2）由位似图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）由位似图形的性质可得：； 5．已知：点，试分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在轴上； (3)点在过点，且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，正确分析各点坐标特点是解题关键． （1）根据在轴上的点的横坐标为，求得的值，代入点的坐标即可求解； （2）根据在轴上的点的纵坐标为，求得的值，代入点的坐标即可求解； （3）根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等得出，求得的值，代入点的坐标即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 所以点的坐标为． （2）解：根据题意可得， 解得， 所以点的坐标为． （3）解：根据题意可得， 解得， 所以点的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04位似同步冲刺讲义 【题型01 位似图形的识别】.......................................4 【题型02 确定位似中心】..........................................5 【题型03 辨析位似图形相关概念】..................................6 【题型04 求两个位似图形的相似比】................................7 【题型05 绘制已知图形放大/缩小n倍后的位似图形】.................8 【题型06 求位似图形的对应坐标】..................................9 【题型07 坐标系中求位似图形的相似比.周长必或面积比】............10 【题型08 坐标系中绘制位似图形】.................................12 【题型09 坐标系中确定位似中心】.................................13 【题型10 坐标与位似图形综合应用】...............................14 【解答题5题】...................................................15 ★知识梳理 知识点01:位似图形的定义 定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。 核心特征： 1.两个图形必须是相似图形； 2.对应顶点的连线交于同一点（位似中心）； 3.对应边互相平行（或共线）。 知识点02:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点03:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点04:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点05:坐标系中的位似变换规律 位似中心 位似比 k 同向位似对应点坐标 反向位似对应点坐标 原点 O(0,0) k>0 (kx,ky) (−kx,−ky) 任意点 P(a,b) k>0 (a+k(x−a),b+k(y−b)) (a−k(x−a),b−k(y−b)) 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 常见易错点提醒 1.相似与位似的区别：相似只要求形状相同，位似还要求对应顶点连线共点、对应边平行。 2.位似中心的位置：位似中心位置不同，得到的位似图形位置也不同，可能在原图形的同侧或两侧。 3.坐标变换符号：以原点为位似中心时，反向位似的坐标要加负号，容易遗漏。 4.位似比的顺序：位似比是 “新图形：原图形”，顺序颠倒会导致比例计算错误。 5.面积比：面积比是位似比的平方，不是位似比本身。 【题型1.位似图形的识别】 【典例】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线_______，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【跟踪专练1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【跟踪专练3】如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【题型2.确定位似中心】 【典例】如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【跟踪专练2】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4） 【题型3.辨析位似图形相关概念】 【典例】如图，矩形与矩形关于点O位似，则点O、B与点______共线，（填“一定”或“一定不”或“不一定”） 【跟踪专练1】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【题型4.求两个位似图形的相似比】 【典例】如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为___________． 【跟踪专练1】如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【跟踪专练2】小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为_____． 【跟踪专练3】如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）    A． B． C． D． 【题型5.绘制已知图形放大/缩小n倍后的位似图形】 【典例】将一个多边形放大为原来的3倍.则放大后的图形可作出_____ 个.其原因是 _______ 【跟踪专练1】如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练2】在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是_____． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A．点 的坐标为 B． C． 与 的周长之比为 D． 与 的面积之比为 【题型6.求位似图形的对应坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，则点E的对应点的坐标是________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，以为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点，且与边交于点．若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【跟踪专练3】如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型7.坐标系中求位似图形的相似比.周长比或面积比.】 【典例】如图，四边形的顶点为坐标原点，以为位似中心，作出四边形与四边形位似，若，的对应点为，四边形的面积为27，则四边形的面积为__________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知的顶点，的顶点， 的面积为4，则的面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【跟踪专练2】如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为___________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点．若点 的对应点为，四边形的周长为27，则四边形的周长为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【题型8.坐标系中绘制位似图形】 【典例】如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为______°． 【跟踪专练1】已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的△A 1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点A2的坐标． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【题型9.坐标系中确定位似中心】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是________． 【跟踪专练1】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是______． 【跟踪专练3】如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型10.坐标与位似图形综合应用】 【典例】若已知点和，且平行于轴，则______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：，例如，．当时，所有满足该条件的点围成的图形的面积为（   ） A．4 B．8 C． D．16 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标，点的横坐标为2，的边与轴、轴分别交于点和点，点是线段上一点，连接．已知，则点的纵坐标为________． 【跟踪专练3】矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，且，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕原点顺时针旋转后得到的，请直接写出点B的对应点的坐标为 ； (2)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出并求其面积． 2．如图，的三条边与的三条边满足，且．的面积与的面积之间有什么关系？ 3．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．求正方形与正方形的位似中心的坐标． 4．如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为． (1)在x轴下方，画出； (2)直接写出______． 5．已知：点，试分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在轴上； (3)点在过点，且与轴平行的直线上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $