2026年 数学中考复习综合练习题（一）

初三数学中考复习综合练习题（一） 2025-2026学年第二学期华东师大版 一、单选题(本大题满分36分，每小题3分) 1．随着时代的进步，微信、支付宝等移动支付给人们带来很大方便，若凡凡微信收入50元，记作“”元，则他骑共享单车支付2元，记作（     ） A．元 B．48元 C．元 D．52元 2．下列结果计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．嘉嘉同学在物理课中学了密度后，想通过实验测量一枚一元硬币的密度，他找到一枚1999年的一元硬币，测得质量大约是，通过排水法测得体积大约为，计算出了密度约．将数据用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在大圆柱体中挖去一个小圆柱体，那么这个几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是（   ） A．7 B．5 C．1 D．−1 6．在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（    ）    A．P与t的函数关系式为 B．当时， C．当时， D．p随t的增大而减小 7．如图，已知直线，直角三角板的直角顶点在直线上，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长度是（    ） A． B． C． D． 9．黄山风景区目前可供游客进出的有西大门、北大门、南大门．某周末小敏和小辉相约去黄山游玩，游玩结束后，他们随机选择一个入口离开景区，则他们恰好从同一个入口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 10．如图，AB是的直径，点C在上，连接AC、BC，过点O作交于点D，点C、D在AB的异侧．若，则的度数是（    ） A．66° B．67° C．57° D．48° 11．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为，点P在运动过程中S与t之间的关系如图2所示，则当点P到达终点C时，点P的运动时间是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 12．如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（　　） A．只有乙、丙才是 B．只有甲，丙才是 C．只有甲，乙才是 D．甲、乙、丙都是 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13．因式分解为________． 14．分式方程的解为___________． 15．如图，在中，，，点是边上，将沿翻折得到，当时． （1）的值为________． （2）的长为________． 三、解答题（本大题满分75分） 16．（满分12分，每小题6分） （1）计算； （2）解不等式组：并写出它的所有整数解． 17．（满分10分） 3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由． 18．（满分10分）在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 19．（满分9分）如图，在中，，点D是边的中点，交的延长线于点E，，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，连接，求四边形的面积． 20．（满分10分）根据以下素材解决问题． 如何安装遮阳棚？ 素材1 某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图1    素材2 在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，计划安装遮阳篷的外端A到的距离为3米，与水平面的夹角为．    解决问题 任务1 确定材料宽度 求的长； 任务2 探究安装高度 当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为2米，求遮阳篷靠墙端离地高的长． （结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，） 21．（满分12分）【实践操作】 操作一：如图①，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕． 操作二：如图②，将正方形纸片的左上角沿折叠，得到点B的对应点为，交于点E． 操作三：如图③，将正方形纸片的右上角沿折叠再展开，折痕交于点M． 【问题解决】 （1）求证． （2）______·（写出具体过程） 【拓展应用】 （3）在图③中延长交于点N，则______．（写出具体过程） 22．（满分12分）如图，抛物线经过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线l上是否存在点N，使得？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转，求新抛物线与y轴交点P坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学中考复习综合练习题（一） 2025-2026学年第二学期华东师大版 参考答案 一、单选题 1．随着时代的进步，微信、支付宝等移动支付给人们带来很大方便，若凡凡微信收入50元，记作“”元，则他骑共享单车支付2元，记作（     ） A．元 B．48元 C．元 D．52元 【答案】A 【分析】本题考查了正负数在实际中的应用，正确理解题意是关键．根据正负数的意义解答即可． 【详解】解：若微信收入50元，记作“”元，则他骑共享单车支付2元，记作元． 故选：A． 2．下列结果计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘法、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂除法的运算法则. 逐一计算各选项并判断正误即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3．嘉嘉同学在物理课中学了密度后，想通过实验测量一枚一元硬币的密度，他找到一枚1999年的一元硬币，测得质量大约是，通过排水法测得体积大约为，计算出了密度约．将数据用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．如图，在大圆柱体中挖去一个小圆柱体，那么这个几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图的定义， 理解 “从正面看几何体，所看到的视图是主视图．”，理解画轮廓线时，看见的轮廓线线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】 解：从正面看到的平面图形是， 故选：B． 5．已知，则的值是（   ） A．7 B．5 C．1 D．−1 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键；因此此题可根据整体思想代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 6．在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（    ）    A．P与t的函数关系式为 B．当时， C．当时， D．p随t的增大而减小 【答案】C 【分析】求得解析式，进而根据反比例函数的图象，即可求解． 【详解】解：功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系， 设解析式为， ∵过点， ∴， ∴解析式为，故A选项正确，不合题意， 当时，，故B选项正确，不合题意， 当时，，故C选项不正确，符合题意， ∵ ∴在第一象限，p随t的增大而减小，故D选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】反比例函数的应用，关键是求得解析式． 7．如图，已知直线，直角三角板的直角顶点在直线上，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图， 故选C． 8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的周长、三角形中位线定理等知识，由平行四边形的性质得，，，结合，的周长是，求出的长，利用三角形中位线定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点， ∴， 故选：B． 9．黄山风景区目前可供游客进出的有西大门、北大门、南大门．某周末小敏和小辉相约去黄山游玩，游玩结束后，他们随机选择一个入口离开景区，则他们恰好从同一个入口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：西大门、北大门、南大门三个城门分别用1，2，3表示，由题意可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，他们恰好从同一个城门出城的结果数有3种， ∴他们恰好从同一个城门出城的概率是， 故选：D． 10．如图，AB是的直径，点C在上，连接AC、BC，过点O作交于点D，点C、D在AB的异侧．若，则的度数是（    ） A．66° B．67° C．57° D．48° 【答案】C 【分析】先求出，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 是的直径， ， ． ， ， ， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容． 11．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为，点P在运动过程中S与t之间的关系如图2所示，则当点P到达终点C时，点P的运动时间是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据函数图象，可知点表示时的面积为24，可以求出、的长，从而可以解答本题． 【详解】解：根据函数图象，可知点表示时的面积为24， ， ∴， ， ∴当点P到达终点C时，点P的运动时间是． 故选：C． 12．如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（　　） A．只有乙、丙才是 B．只有甲，丙才是 C．只有甲，乙才是 D．甲、乙、丙都是 【答案】C 【分析】根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明是平行四边形，根据乙的作图，不能判断是平行四边形． 【详解】解：甲：由作图可知为的中点， 即， 四边形是平行四边形， ， ， ∴是平行四边形； 乙：由作图可知，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴是平行四边形； 丙：四边形是平行四边形， ，， 由作图可知，, , ， 不能判断，则不能判断， 所以不能判断四边形是平行四边形， 故选C． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，作线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定并弄懂作图能使得哪些线段相等是解题的关键． 二、填空题 13．因式分解为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 14．分式方程的解为___________． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 15．如图，在中，，，点是边上，将沿翻折得到，当时． （1）的值为________． （2）的长为________． 【答案】 / / 【分析】本题考查了解三角形，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由折叠和平行、等边对等角证明角相等从而得到等腰三角形是解题关键． （1）过点A作，垂足为H，根据等腰三角形三线合一性质可得，再由勾股定理求出，由此即可求解；（2）由等腰三角形性质、折叠、平行线性质容易证明，，进而可得，即得，从而可得，，由勾股定理求出． 【详解】解：（1）如图，过点A作，垂足为H， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）由折叠可知：，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为（1），（2） 三、解答题 16．（1）计算； （2）解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】（1）（2）不等式组的解集为：；不等式组的整数解为： 【分析】本题主要考查求一元一次不等式组的整数解，以及实数的混合运算： （1）原式分别化简算术平方根，代入特殊三角形函数值，根据负整数指数幂法则，零指数幂法则以及绝对值代数意义化简各项后再进行合并即可得到答案； （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的整数解为： 17．3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由． 【答案】小明可以获得校园文创奖品，见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分．根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可． 【详解】判断：小明可以获得校园文创奖品． 理由：设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分． 依题意，得 解得 ∴在体验环节中，小明分别在“智趣挑战”和“巧手闯关”这两个项目中得到了50分和40分． ∴在正式计分时，小明在“智趣挑战”中得到了分． ∴小明的得分满足得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分． 答：小明可以获得校园文创奖品． 18．在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)八年级学生的知识竞赛成绩更好，理由见解析； (3)估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可； （3）八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数所占比例，相加即可． 【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；87.5；30． （2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级． （3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 19．如图，在中，，点D是边的中点，交的延长线于点E，，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，连接，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形． （1）证明即可得出结论； （2）由，解直角三角形求出，证明四边形是平行四边形，根据四边形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵点D是边的中点， ∴ ∵， ∴， ∵∠， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形ABCE的面积． 20．根据以下素材解决问题． 如何安装遮阳棚？ 素材1 某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图1    素材2 在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，计划安装遮阳篷的外端A到的距离为3米，与水平面的夹角为．    解决问题 任务1 确定材料宽度 求的长； 任务2 探究安装高度 当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为2米，求遮阳篷靠墙端离地高的长． （结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，） 【答案】任务1：米；任务2：米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 任务1：作于，根据余弦的定义求出即可； 任务2：如图，作于，则四边形为矩形，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：任务1：如图，作于， 在中，米，， ∵， ∴（米）； 任务2：如图，作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴米， 在中，米，， ∵， ∴（米）， ∴（米）， ∴遮阳篷靠墙端离地高的长约为米． 21．【实践操作】 操作一：如图①，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕． 操作二：如图②，将正方形纸片的左上角沿折叠，得到点B的对应点为，交于点E． 操作三：如图③，将正方形纸片的右上角沿折叠再展开，折痕交于点M． 【问题解决】 （1）求证． （2）______·（写出具体过程） 【拓展应用】 （3）在图③中延长交于点N，则______．（写出具体过程） 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． （1）连接，根据折叠性质和正方形性质即可证明； （2）延长交于点，设，设正方形的边长为，则，在中，用勾股定理可得出．设，用勾股定理可得出．即可得出，在中，即可求解． （3）根据（2）可知，，即可求解； 【详解】（1）如图，连接， 根据翻折和正方形性质得：，， ∴根据勾股定理，． ； （2）延长交于点， 设，设正方形的边长为， 则， 在中，， 即． 化简得． 同理，依题意， 根据勾股定理，， ， 设， 则， 在中，， 即， 化简得． ， 在中，． （3）根据（2）可知，． ． 22．如图，抛物线经过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线l上是否存在点N，使得？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转，求新抛物线与y轴交点P坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）直接代入A(1，0)，B(3，0)两点坐标即可求解． （2）如图１所示，先求出的面积为１，然后设出直线与轴的交点坐标，表示出，最后根据求出点的坐标． （3）将绕点顺时针旋转交原抛物线于点，即可得出直线的表达式，从而求出的坐标，进而算出的长度，最后得出点的坐标． 【详解】（1）将，代入抛物线中得： ，解得：，， 故抛物线解析式为：． （2）假设存在这样的点，设直线与轴交于点，直线与轴交于点， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 令，，得， 点的坐标为， ， ， ， ，解得：或， 点的坐标为或． ①当为，为时，直线的表达式为：， 点的坐标为． ②当为，为时，直线的表达式为：， 联立，得， 点的坐标为或． （3）如图所示，将绕点顺时针旋转交原抛物线于点， 则， 联立，解得， ， ，即点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合题，涉及面积求法，旋转性质等知识点，解题的关键是合理表示出面积，根据等量关系式求解；同时利用旋转的性质求出线段的长度，进而求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $