专题06 反比例函数（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 反比例函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 反比例函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：反比例函数的解析式 题型二：反比例函数的性质 题型三：k的几何意义 题型四：反比例函数与一次函数的综合——解不等式 题型五：反比例函数与一次函数的综合——求面积 题型六：反比例函数与一次函数的综合——动点问题 必备知识 知识1 反比例函数的概念 知识2 反比例函数的图象与性质 知识3 k的几何意义 命题预测 命题 透视 命题形式： 选择、填空、解答题全题型覆盖，小题集中于 T5-T16，解答题多分布在 T20-T23，分值占比稳定。试题难度分层清晰，基础题侧重概念性质直接应用，中高难度题结合几何图形与动态问题综合命题。 命题内容： 核心考查反比例函数解析式求解、图象与增减性、k 的几何意义三大基础考点；高频考查与一次函数综合，涵盖不等式求解、面积计算，同时融合折叠、旋转、动点问题，结合勾股定理、全等 / 相似三角形、特殊四边形性质，聚焦数形结合思想与代数几何综合应用能力的考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 反比例函数的图象与性质 T16：求k的值； T5：判断函数增减性 T9：判断函数增减性； T16：求k+折叠 T13：求解析式； T7：增减性的应用； T16：求不等式+几何图形性质； T8：增减性的应用 T9：增减性的应用； T16：求k+折叠 反比例函数与一次函数的综合 T20：三角形+解不等式； T23：几何图形中的应用 T21：面积+不等式； T23：线段+旋转求解 T20：求面积+解不等式； T14：动点问题+面积 T20：求面积+解不等式； T20：求面积 T21：点的坐标+求面积 T25：动点+特殊四边形+线段最值 命题预测 1. 考情预测 · 反比例函数：山东中考反比例函数考查将保持题型、分值稳定，基础题聚焦解析式求解、图象增减性、k 的几何意义三大核心考点；中高难度题延续与一次函数综合的高频考法，融合折叠、旋转、动点问题，结合全等 / 相似、特殊四边形性质，重点考查数形结合思想与代数几何综合应用能力，或出现规律探究类创新题型。 2. 备考建议 · 筑牢基础，吃透反比例函数核心概念与性质，熟练 k 的几何意义应用；重点攻克一次函数综合题型，强化数形结合思维；针对性训练几何变换、动点类综合题，总结解题模型，提升综合运算与逻辑推理能力。 题型一 反比例函数的解析式 以待定系数法为核心，优先通过已知点坐标代入 xy=k 快速求解；几何综合类题型，借助全等 / 相似三角形、特殊四边形性质、折叠 / 旋转的几何变换规律推导点坐标，再代入解析式求 k 值。 忽略 k≠0 的核心前提；几何计算中未结合象限判断坐标符号，导致 k 值正负错误；折叠类问题中对应边、角的等量关系找错，造成点坐标计算偏差。 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 3．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则_______ 题型二 反比例函数的性质 围绕 k 的符号判断图象象限与增减性，比较函数值大小时，先区分点所在象限，同象限用增减性比较，异象限通过函数值正负直接判断；结合自变量取值范围，精准锁定函数值的取值区间。 忽略 “在每一象限内” 的增减性前提，跨象限直接用增减性比较大小；混淆 k>0 与 k<0 对应的增减性规律；与一次函数、二次函数的增减性判断混淆。 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型三 k的几何意义 核心利用反比例函数核心结论，双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为 | k|、直角三角形面积为 1/2|k|；复杂图形中通过面积和差、线段比例关系，建立面积与 | k | 的关联求解。 忽略 k 的符号，面积计算后未结合象限确定 k 的正负；复杂图形中面积拆分错误，出现重复计算或漏算；多反比例函数共存时，混淆不同函数的 k 值与对应面积的关联。 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 3．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 题型四 反比例函数与一次函数的综合——解不等式 采用数形结合法，先联立解析式求两函数交点坐标，以交点和原点为分界点划分区间，通过观察图象上下位置关系，直接写出不等式解集；复杂不等式先化简，再结合图象求解。 忽略反比例函数 x≠0 的定义域，解集错误包含 x=0；分界点区间划分错误，出现漏解；混淆 “反比例函数图象在一次函数上方 / 下方” 对应的不等号方向。 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 2．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 3．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 题型五 反比例函数与一次函数的综合——求面积 优先采用割补法、坐标法，以坐标轴为界拆分不规则图形，利用交点坐标确定图形的底和高；可结合 k 的几何意义简化面积计算；动点类面积问题，设点坐标建立面积的代数式方程求解。 点坐标与线段长度转化错误，忽略绝对值导致长度计算为负；图形割补方式不当，出现面积重复计算或漏算；未分类讨论点的位置，造成解集漏解。 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 题型六 反比例函数与一次函数的综合——动点问题 设动点坐标，用含参数的代数式表示相关点坐标与线段长度；结合旋转、折叠的几何性质，以及全等 / 相似三角形、特殊四边形的判定与性质建立方程；最值问题转化为二次函数最值求解。 未考虑动点运动边界，参数取值范围分析不全；几何变换中对应点的坐标推导错误；二次函数求最值时，未验证顶点横坐标是否在参数取值范围内。 1．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是________．    3．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．      (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 知识1 反比例函数 1. 反比例函数的定义 形如 的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。 三种等价表达形式: ① 分式形式： ② 负指数形式：y=kx−1（k0，自变量x的指数为−1） ③ 乘积形式：xy=k（k0，常用于快速计算k值、判断点是否在反比例函数图象上） 2. 反比例函数的图象与性质 K的符号 图象所在象限 增减性 k>0 一、三象限 在每一个象限内，y随x的增大而减小 k<0 二、四象限 在每一个象限内，y随x的增大而增大 3. k的几何意义 过双曲线上任意一点P(x,y)，分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B： ① 两垂线段与坐标轴围成的矩形； ② 矩形对角线分成的两个直角三角形的面积：S△OPA​=S△OPB​=1/2∣k∣。 1．（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．（20-21八年级下·江苏苏州·月考）如果 ，那么函数与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·模拟预测）若点，，在反比例函数（m是常数）的图像上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏宿迁·三模）当时，下列函数的函数值随自变量的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东潍坊·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点，下列结论正确的是（   ） A． B．点的坐标是 C．随的增大而增大 D．当时，的最大值是 6．（2025·山东青岛·模拟预测）若和是反比例函数图象上的两点，则_________． 7．（2025·陕西渭南·一模）如图，点P是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点P作y轴的平行线，交x轴于点M．点N为y轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则k的值是_____ ． 8．（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是________． 9．（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 11．（2025·山东临沂·一模）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接． (1)求的值； (2)直接写出时的取值范围； (3)连接，当与的重合部分的面积为1时，求的面积． 12．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，，轴，交轴于点． (1)若，则 ． (2)若，则点坐标 ；当时，的取值范围 ． 14．（2025·河南许昌·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第一象限内的点C在反比例函数的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B． (1)求和的值； (2)根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 反比例函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：反比例函数的解析式 题型二：反比例函数的性质 题型三：k的几何意义 题型四：反比例函数与一次函数的综合——解不等式 题型五：反比例函数与一次函数的综合——求面积 题型六：反比例函数与一次函数的综合——动点问题 必备知识 知识1 反比例函数的概念 知识2 反比例函数的图象与性质 知识3 k的几何意义 命题预测 命题 透视 命题形式： 选择、填空、解答题全题型覆盖，小题集中于 T5-T16，解答题多分布在 T20-T23，分值占比稳定。试题难度分层清晰，基础题侧重概念性质直接应用，中高难度题结合几何图形与动态问题综合命题。 命题内容： 核心考查反比例函数解析式求解、图象与增减性、k 的几何意义三大基础考点；高频考查与一次函数综合，涵盖不等式求解、面积计算，同时融合折叠、旋转、动点问题，结合勾股定理、全等 / 相似三角形、特殊四边形性质，聚焦数形结合思想与代数几何综合应用能力的考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 反比例函数的图象与性质 T16：求k的值； T5：判断函数增减性 T9：判断函数增减性； T16：求k+折叠 T13：求解析式； T7：增减性的应用； T16：求不等式+几何图形性质； T8：增减性的应用 T9：增减性的应用； T16：求k+折叠 反比例函数与一次函数的综合 T20：三角形+解不等式； T23：几何图形中的应用 T21：面积+不等式； T23：线段+旋转求解 T20：求面积+解不等式； T14：动点问题+面积 T20：求面积+解不等式； T20：求面积 T21：点的坐标+求面积 T25：动点+特殊四边形+线段最值 命题预测 1. 考情预测 · 反比例函数：山东中考反比例函数考查将保持题型、分值稳定，基础题聚焦解析式求解、图象增减性、k 的几何意义三大核心考点；中高难度题延续与一次函数综合的高频考法，融合折叠、旋转、动点问题，结合全等 / 相似、特殊四边形性质，重点考查数形结合思想与代数几何综合应用能力，或出现规律探究类创新题型。 2. 备考建议 · 筑牢基础，吃透反比例函数核心概念与性质，熟练 k 的几何意义应用；重点攻克一次函数综合题型，强化数形结合思维；针对性训练几何变换、动点类综合题，总结解题模型，提升综合运算与逻辑推理能力。 考点一 反比例函数 题型一 反比例函数的解析式 以待定系数法为核心，优先通过已知点坐标代入 xy=k 快速求解；几何综合类题型，借助全等 / 相似三角形、特殊四边形性质、折叠 / 旋转的几何变换规律推导点坐标，再代入解析式求 k 值。 忽略 k≠0 的核心前提；几何计算中未结合象限判断坐标符号，导致 k 值正负错误；折叠类问题中对应边、角的等量关系找错，造成点坐标计算偏差。 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 3．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则_______ 【答案】 【分析】设交与点E，过点作轴于点H．利用矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等可求出，，，，，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，则可出求的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设交与点E，过点作轴于点H． 四边形是矩形，，， ，，， 点是的中点， ． 在中， ，， ， 矩形沿直线折叠， ，，， ，， ，即， 解得， ， ， ， ， ． ， ． 又， ， ，即， 解得，， ， 点的坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 题型二 反比例函数的性质 围绕 k 的符号判断图象象限与增减性，比较函数值大小时，先区分点所在象限，同象限用增减性比较，异象限通过函数值正负直接判断；结合自变量取值范围，精准锁定函数值的取值区间。 忽略 “在每一象限内” 的增减性前提，跨象限直接用增减性比较大小；混淆 k>0 与 k<0 对应的增减性规律；与一次函数、二次函数的增减性判断混淆。 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 题型三 k的几何意义 核心利用反比例函数核心结论，双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为 | k|、直角三角形面积为 1/2|k|；复杂图形中通过面积和差、线段比例关系，建立面积与 | k | 的关联求解。 忽略 k 的符号，面积计算后未结合象限确定 k 的正负；复杂图形中面积拆分错误，出现重复计算或漏算；多反比例函数共存时，混淆不同函数的 k 值与对应面积的关联。 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 3．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 反比例函数与一次函数的综合——解不等式 采用数形结合法，先联立解析式求两函数交点坐标，以交点和原点为分界点划分区间，通过观察图象上下位置关系，直接写出不等式解集；复杂不等式先化简，再结合图象求解。 忽略反比例函数 x≠0 的定义域，解集错误包含 x=0；分界点区间划分错误，出现漏解；混淆 “反比例函数图象在一次函数上方 / 下方” 对应的不等号方向。 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 2．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． （1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得： ， 一次函数表达式为． （2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可知，当时，或． （3）解：把时代入中，得， 点坐标为，即， ． 3．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 题型五 反比例函数与一次函数的综合——求面积 优先采用割补法、坐标法，以坐标轴为界拆分不规则图形，利用交点坐标确定图形的底和高；可结合 k 的几何意义简化面积计算；动点类面积问题，设点坐标建立面积的代数式方程求解。 点坐标与线段长度转化错误，忽略绝对值导致长度计算为负；图形割补方式不当，出现面积重复计算或漏算；未分类讨论点的位置，造成解集漏解。 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 (3)点C坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵， ∴观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 题型六 反比例函数与一次函数的综合——动点问题 设动点坐标，用含参数的代数式表示相关点坐标与线段长度；结合旋转、折叠的几何性质，以及全等 / 相似三角形、特殊四边形的判定与性质建立方程；最值问题转化为二次函数最值求解。 未考虑动点运动边界，参数取值范围分析不全；几何变换中对应点的坐标推导错误；二次函数求最值时，未验证顶点横坐标是否在参数取值范围内。 1．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是________．    【答案】3 【分析】设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解． 【详解】解：依题意，设，则， 则 ∴ ∵，二次函数图象开口向下，有最大值， ∴当时面积的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 3．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．      (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 【答案】(1)，图见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 图象如图所示：        （2）解：由图象可知：不等式的解集为或； （3）解：当点在轴正半轴上时：        设直线与轴交于点， ∵， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴； 当点在轴负半轴上时：         ， ∴ 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 知识1 反比例函数 1. 反比例函数的定义 形如 的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。 三种等价表达形式: ① 分式形式： ② 负指数形式：y=kx−1（k0，自变量x的指数为−1） ③ 乘积形式：xy=k（k0，常用于快速计算k值、判断点是否在反比例函数图象上） 2. 反比例函数的图象与性质 K的符号 图象所在象限 增减性 k>0 一、三象限 在每一个象限内，y随x的增大而减小 k<0 二、四象限 在每一个象限内，y随x的增大而增大 3. k的几何意义 过双曲线上任意一点P(x,y)，分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B： ① 两垂线段与坐标轴围成的矩形； ② 矩形对角线分成的两个直角三角形的面积：S△OPA​=S△OPB​=1/2∣k∣。 1．（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质．先根据题意得出矩形的面积，求得的面积，然后再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， 矩形的面积为， 的面积为， ， ，即， ． 故选：A． 2．（20-21八年级下·江苏苏州·月考）如果 ，那么函数与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了依据正比例函数与反比例函数的图像所经过的象限确定系数的符号，正确掌握各函数的图像与字母系数的关系是解题的关键． 根据正比例函数和反比例函数图像经过的象限，再对照四个选项中的图像即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数在第二，四象限内，且过原点， 函数 在第一，三象限内， 故选项 B符合题意； 故选：B． 3．（2025·山东济南·模拟预测）若点，，在反比例函数（m是常数）的图像上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．由题意可知反比例函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，再结合图象上点的坐标即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，在反比例函数的图象上，且， ∴，， ∴． 故选：C． 4．（2025·江苏宿迁·三模）当时，下列函数的函数值随自变量的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数、反比例函数以及正比例函数的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，分别分析各选项函数在时的单调性即可解答． 【详解】A．对于一次函数，其一次项系数．根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，所以在时，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B．对于反比例函数，其中．根据反比例函数 的性质，当时，在每个象限内随的增大而减小，时即在第一象限，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； C．对于二次函数，其二次项系数，对称轴为．根据二次函数的性质，当时，在对称轴右侧随的增大而增大，因为在对称轴右侧，所以在时，随的增大而增大，该选项正确，符合题意； D．对于二次函数，二次项系数，对称轴为．根据二次函数性质，当时，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，包含了对称轴左侧这部分区间，所以在时，不是单调递增的，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·山东潍坊·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点，下列结论正确的是（   ） A． B．点的坐标是 C．随的增大而增大 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而把点坐标代入可判断；利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点的坐标可判断；根据反比例函数的性质可判断；分别求出当和当时的值可判断，综上即可求解，掌握一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入，得， ∴ 把点代入，得， 解得，故选项正确； 把和代入得， ， 解得， ∴， 令，得， 解得， ∴，故选项正确； ∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每个象限中内随的增大而增大，且时，时，故选项错误； 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； ∴当时，的最大值是，故选项正确； 综上，结论正确的是， 故选：． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）若和是反比例函数图象上的两点，则_________． 【答案】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数图象与性质，由是反比例函数图象上的点，可得反比例函数为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴反比例函数为， ∵是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：． 故答案为： 7．（2025·陕西渭南·一模）如图，点P是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点P作y轴的平行线，交x轴于点M．点N为y轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则k的值是_____ ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，两点中点坐标公式，熟知反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． 由平移的性质可得，设，则，则，，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是， ，． 设，则， ，，． 点F为中点， ． 函数的图象经过点C和点F， ． 解得． ． 故答案为：6； 9．（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 【答案】(1)见解析 (2)①增大；② (3)上；2个；或 【分析】本题考查函数图象及性质，图象的平移； （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据函数图象平移规则“上加下减”解决问题即可． 【详解】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示， （2）解：观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 故答案为：； （3）解：函数的图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到， ∵当时，， ∴当时，x的取值范围是或． 故答案为：上；2个；或． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 11．（2025·山东临沂·一模）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接． (1)求的值； (2)直接写出时的取值范围； (3)连接，当与的重合部分的面积为1时，求的面积． 【答案】(1)8 (2)或 (3)6 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． （1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）根据要使得，只需的图象在的图象上方时的取值范围，再结合其交点坐标即可得出答案； （3）设与的重合部分的面积值为，设，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）令与的另一个交点为， 由反比例函数与正比例函数的性质可知， 要使得，只需的图象在的图象上方， 此时，或； （3）连接，令与交点为，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 12．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 13．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，，轴，交轴于点． (1)若，则 ． (2)若，则点坐标 ；当时，的取值范围 ． 【答案】(1) (2)；或 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，交点问题，反比例函数与结合图形，的几何意义； （1）根据的几何意义，即可求解； （2）联立正比例与反比例函数解析式，得出点、的坐标，进而根据函数图象写出不等式的解集范围． 【详解】（1）解：∵，平行于轴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 解得：或， ∴，； 根据函数图象，可得当时，的取值范围为或 故答案为：；或． 14．（2025·河南许昌·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第一象限内的点C在反比例函数的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B． (1)求和的值； (2)根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． （1）求出B点坐标，再利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出C点坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式； （3）利用A点坐标结合函数图象得出x的取值范围． 【详解】（1）解：连接， ∵与x轴，y轴相切于点D，B， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 当时，， ∴点的坐标是 ∴， ∴ 把代入得到，则， ∴ 把代入得到，， 解得， ∴ ∴， 解得， ∴， （2）由图象可知，当时，，即当时，x的取值范围为． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $