专题04 分式方程与一元二次方程（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 一元二次方程与分式方程 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 一元二次方程（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：解一元二次方程 题型二：判断一元二次方程根的情况 题型三：由根的情况求参数 题型四：根与系数的关系 题型五：一元二次方程的实际应用 题型六：一元二次方程与其他知识的综合 必备知识 知识1 解一元二次方程 命题预测 考点二 分式方程（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：解分式方程 题型二：分式方程的实际应用 必备知识 知识1 解分式方程 命题预测 命题 透视 命题形式： 命题紧扣 “新材料、新情境、新问题” 导向，以文字、图表为载体，聚焦运算、建模与逻辑推理能力考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 基础运算：解方程为固定基础考点，重点考查分式方程规范求解与验根、一元二次方程配方法、公式法、因式分解法的灵活运用，侧重运算的准确性与步骤完整性。 实际应用：方程的实际应用是核心热点，一元二次方程聚焦增长率、图形面积类问题，分式方程侧重销售采购、工程行程等生活与社会热点情境，重点考查数学建模能力。 参数问题：方程与参数问题为中档题核心考法，涵盖根据根的个数求参数范围、已知方程的解求参数或代数式值，常结合根的判别式、根与系数的关系命题，兼顾分类讨论思想的考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 解方程 T16：解分式方程 T5：配方法解方程； T12：解一元二次方程 T10：解分式方程 T16：解分式方程； T5：解一元二次方程 T7：判断根的个数； T4：解方程+特殊四边形 方程的实际应用 T6：一元二次方程的应用——增长率； T19：一元二次方程的应用——图形 T20：一元二次方程的实际应用； T22：分式方程的实际应用 T23：一元二次方程的实际应用——图形； T14：分式方程的实际应用 T22：一元二次方程的实际应用； T9：分式方程的实际应用 T20：一元二次方程的实际应用； T7：分式方程的实际应用 方程与参数 T6:已知解求式子的值； T3：已知方程根的个数求参数 T16：已知解求式子的值； T8：已知方程的根求参数 T13：已知根的情况求参数 T6：已知解求式子的值 T15：已知方程的根求参数； T12：已知方程根的个数求参数 T8：已知解求式子的值； T7:已知方程的解求参数 命题预测 1. 考情预测 · 基础考查常态化：一元二次方程的各类解法、分式方程的求解与验根为中考必考点，以基础题形式呈现，侧重运算的规范性与准确性，是基础分的核心保障。 · 核心热点固定化：方程实际应用为高频必考内容，一元二次方程聚焦增长率、图形面积问题，分式方程侧重销售采购、工程行程等场景，命题背景常结合社会热点、生活实际创新。 · 中档考查聚焦化：根的判别式、根与系数的关系结合参数问题，是中档题核心考法，侧重分类讨论、整体代入思想考查，常与代数式求值、函数知识融合命题。 · 综合创新趋势化：方程与不等式、一次函数结合的方案设计、最值问题，将成为小压轴主流考法；情境上融入传统文化、科技发展素材，强化数学建模能力考查。 2. 备考建议 夯实基础，守住必得分：熟练掌握一元二次方程的四种解法、分式方程的求解步骤，强化验根意识，规范解题步骤，确保基础运算题零失误。 聚焦热点，突破核心考点：针对增长率、工程行程、图形面积等高频应用题型，总结建模模板，找准等量关系，强化从实际情境中提炼数学模型的能力。 攻坚中档，强化思想方法：重点训练含参方程问题，掌握根的判别式、根与系数关系的应用场景，强化分类讨论思想，规避二次项系数为 0、分式方程增根等高频易错点。 强化综合，适配命题趋势：针对 “方程 + 不等式 + 函数” 的综合题型，提炼解题步骤，提升综合分析能力；熟悉新定义、规律探究类创新题型，培养知识迁移与逻辑推理能力。 题型一 解一元二次方程 公式法：适用于所有一元二次方程，先将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式，确定a、b、c的值，计算根的判别式Δ=b2−4ac，若Δ≥0，代入求根公式x=​​求解。 忽略方程类型，对含参数的方程，未确认二次项系数是否为 0，直接套用一元二次方程解法。 1．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 2．（2023·山东潍坊·中考真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键  ，显示结果为  ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为_____．（精确到） 3．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型二 判断一元二次方程根的情况 核心是利用根的判别式Δ=b2−4ac判断，步骤为： 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(≠0)，准确确定a、b、c的值； 2. 代入公式计算Δ=b2−4ac的结果； 3. 根据判别式的符号直接判断：Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ<0⇔方程没有实数根。 未将方程化为一般形式，错误确定a、b、c的符号和数值，导致Δ计算结果错误。 1．（2023·山东滨州·中考真题）一元二次方程根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 2．（2022·山东滨州·中考真题）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 3．（2021·山东滨州·中考真题）下列一元二次方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 题型三 由根的情况求参数 看方程二次项系数是否含参数，分两种情况讨论：①二次项系数为 0 时，方程为一元一次方程，判断是否符合根的要求；②二次项系数不为 0 时，方程为一元二次方程，用根的判别式求解。 忽略 “一元二次方程” 的隐含前提，直接用判别式列关系式，遗漏二次项系数a≠0的限制条件，导致参数范围出错。 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是______． 3．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 根与系数的关系 验证使用前提：先确认方程为一元二次方程（a≠0），且方程有实数根（Δ≥0），这是韦达定理应用的基础。 确定核心公式：若x1​,x2​是ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则x1​+x2​=-，x1​x2​=。 忽略韦达定理的使用前提，在方程无实数根（Δ<0）的情况下，盲目套用韦达定理计算，导致结果不符合题意。 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 2．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 3．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 题型五 一元二次方程的实际应用 ①审清题意，找准等量关系，设未知数；②根据等量关系列一元二次方程；③解方程；④检验解是否符合实际意义（如长度、价格、增长率不能为负，数量为正整数等），舍去不合理解，写答句。 增长率问题中，搞错增长期数，如两年增长误将平方写为一次方；对 “增长了” 和 “增长到” 概念混淆，导致基础量和最终量取值错误。 图形面积问题中，对小路、围栏等宽度重复计算，平移后长和宽的数值算错，导致面积等量关系列错。 销售利润问题中，搞反售价与销量的增减关系，售价上涨，销量应下降，易出现符号错误，导致销量表达式错误。 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 3．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 题型六 一元二次方程与其他知识的综合 拆解知识点：先拆分综合题涉及的模块，如几何图形、一次函数、新定义、正方体展开图等，先根据对应知识的性质，推导出核心等量关系。 转化建模：将几何性质、函数关系、新定义规则等，转化为关于未知数的一元二次方程，把综合问题拆解为基础的方程求解问题。 求解取舍：解方程后，结合跨知识点的隐含限制条件（如几何中边长为正数、函数自变量的取值范围、新定义的规则要求），对解进行筛选和取舍。 规范步骤：先写清知识点的推导过程，再列方程求解，保证逻辑连贯，步骤完整。 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 2．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 3．（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______． 知识1 解一元二次方程 1．（2025·山东淄博·一模）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．6 2．（2025·山东聊城·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 4．（2025·贵州·模拟预测）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数与x轴只有一个交点，则________． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 8．（2025·陕西渭南·一模）我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为______． 9．（2025·山东淄博·二模）先化简：，若结果等于，求出相应的的值． 10．（2025·山东济宁·模拟预测）（1）计算： （2）解一元二次方程： 11．（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 12．（2025·辽宁鞍山·一模）解方程 (1)； (2)． 13．（2025·新疆省直辖县级单位·一模）已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，若，求的值． 14．（2025·陕西西安·一模）如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    题型一 解分式方程 核心思路是化分为整，先解再验，标准步骤为： ① 定最简公分母：先对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母； ② 去分母：方程两边同时乘最简公分母，约去分母，将分式方程转化为整式方程； ③ 解整式方程：按去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤，求解整式方程； ④ 双检验：先检验整式方程的解是否使最简公分母为 0，若为 0 则是增根，原方程无解；再检验解是否使原方程左右两边相等，确认最终有效解。  去分母时漏乘不含分母的常数项 / 整式项，仅给分式项乘最简公分母，忽略整式项，导致整式方程变形错误，是该题型最高频的基础错误。  符号处理出错，去分母时，分子是多项式的未加括号，导致去括号后符号错误；或忽略分数线兼具括号的作用，变号规则使用不当，造成计算结果偏差。  忘记验根，解完整式方程后直接写解，未检验最简公分母是否为 0，把增根当成原方程的解，导致最终结果完全错误。 1．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 2．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·山东枣庄·中考真题）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型二 分式方程的实际应用 ① 审清题意：梳理题干中的已知量、未知量，明确核心等量关系，圈画数量、单价、时间、效率等关键限定条件； ② 设未知数：优先设直接未知数，若直接设元难以列等量关系，可设间接未知数，同时标注对应单位； ③ 列分式方程：根据核心等量关系，用含未知数的式子表示对应量，列出分式方程； ④ 解方程：按分式方程求解步骤，规范求出未知数的值； ⑤ 双重检验：第一步检验解是否是原分式方程的解，排除增根；第二步检验解是否符合实际生活意义，如数量、单价、时间为正数，人数为正整数等； ⑥ 规范书写答句，标注对应单位。 忽略双重检验，只检验了分式方程的解是否为增根，未检验解是否符合实际意义，保留了负数、超出取值范围、非整数的解，导致结果不符合生活实际。 1．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 3．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 知识1 解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→ 将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 1．（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 3．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 4．（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）方程的解为________． 6．（2025·山东潍坊·三模）当_____时，解分式方程会出现增根． 7．（2025·山东威海·一模）已知实数满足以下条件： ①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个． 则满足以上所有条件的整数是_____． 8．（2025·广东惠州·模拟预测）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 9．（2025·山东聊城·三模）（1）计算：； （2）解方程：． 10．（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 11．（2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程与分式方程 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 一元二次方程（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：解一元二次方程 题型二：判断一元二次方程根的情况 题型三：由根的情况求参数 题型四：根与系数的关系 题型五：一元二次方程的实际应用 题型六：一元二次方程与其他知识的综合 必备知识 知识1 解一元二次方程 命题预测 考点二 分式方程（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：解分式方程 题型二：分式方程的实际应用 必备知识 知识1 解分式方程 命题预测 命题 透视 命题形式： 命题紧扣 “新材料、新情境、新问题” 导向，以文字、图表为载体，聚焦运算、建模与逻辑推理能力考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 基础运算：解方程为固定基础考点，重点考查分式方程规范求解与验根、一元二次方程配方法、公式法、因式分解法的灵活运用，侧重运算的准确性与步骤完整性。 实际应用：方程的实际应用是核心热点，一元二次方程聚焦增长率、图形面积类问题，分式方程侧重销售采购、工程行程等生活与社会热点情境，重点考查数学建模能力。 参数问题：方程与参数问题为中档题核心考法，涵盖根据根的个数求参数范围、已知方程的解求参数或代数式值，常结合根的判别式、根与系数的关系命题，兼顾分类讨论思想的考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 解方程 T16：解分式方程 T5：配方法解方程； T12：解一元二次方程 T10：解分式方程 T16：解分式方程； T5：解一元二次方程 T7：判断根的个数； T4：解方程+特殊四边形 方程的实际应用 T6：一元二次方程的应用——增长率； T19：一元二次方程的应用——图形 T20：一元二次方程的实际应用； T22：分式方程的实际应用 T23：一元二次方程的实际应用——图形； T14：分式方程的实际应用 T22：一元二次方程的实际应用； T9：分式方程的实际应用 T20：一元二次方程的实际应用； T7：分式方程的实际应用 方程与参数 T6:已知解求式子的值； T3：已知方程根的个数求参数 T16：已知解求式子的值； T8：已知方程的根求参数 T13：已知根的情况求参数 T6：已知解求式子的值 T15：已知方程的根求参数； T12：已知方程根的个数求参数 T8：已知解求式子的值； T7:已知方程的解求参数 命题预测 1. 考情预测 · 基础考查常态化：一元二次方程的各类解法、分式方程的求解与验根为中考必考点，以基础题形式呈现，侧重运算的规范性与准确性，是基础分的核心保障。 · 核心热点固定化：方程实际应用为高频必考内容，一元二次方程聚焦增长率、图形面积问题，分式方程侧重销售采购、工程行程等场景，命题背景常结合社会热点、生活实际创新。 · 中档考查聚焦化：根的判别式、根与系数的关系结合参数问题，是中档题核心考法，侧重分类讨论、整体代入思想考查，常与代数式求值、函数知识融合命题。 · 综合创新趋势化：方程与不等式、一次函数结合的方案设计、最值问题，将成为小压轴主流考法；情境上融入传统文化、科技发展素材，强化数学建模能力考查。 2. 备考建议 夯实基础，守住必得分：熟练掌握一元二次方程的四种解法、分式方程的求解步骤，强化验根意识，规范解题步骤，确保基础运算题零失误。 聚焦热点，突破核心考点：针对增长率、工程行程、图形面积等高频应用题型，总结建模模板，找准等量关系，强化从实际情境中提炼数学模型的能力。 攻坚中档，强化思想方法：重点训练含参方程问题，掌握根的判别式、根与系数关系的应用场景，强化分类讨论思想，规避二次项系数为 0、分式方程增根等高频易错点。 强化综合，适配命题趋势：针对 “方程 + 不等式 + 函数” 的综合题型，提炼解题步骤，提升综合分析能力；熟悉新定义、规律探究类创新题型，培养知识迁移与逻辑推理能力。 考点一 一元二次方程 题型一 解一元二次方程 公式法：适用于所有一元二次方程，先将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式，确定a、b、c的值，计算根的判别式Δ=b2−4ac，若Δ≥0，代入求根公式x=​​求解。 忽略方程类型，对含参数的方程，未确认二次项系数是否为 0，直接套用一元二次方程解法。 1．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键  ，显示结果为  ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为_____．（精确到） 【答案】 【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则， 所以这个方程的正数解近似表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 3．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 题型二 判断一元二次方程根的情况 核心是利用根的判别式Δ=b2−4ac判断，步骤为： 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(≠0)，准确确定a、b、c的值； 2. 代入公式计算Δ=b2−4ac的结果； 3. 根据判别式的符号直接判断：Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ<0⇔方程没有实数根。 未将方程化为一般形式，错误确定a、b、c的符号和数值，导致Δ计算结果错误。 1．（2023·山东滨州·中考真题）一元二次方程根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 【答案】A 【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 2．（2022·山东滨州·中考真题）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【答案】A 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0， ∴方程无实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2−4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 3．（2021·山东滨州·中考真题）下列一元二次方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出各个选项中的Δ的值，然后根据Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ=0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根判断即可． 【详解】解：在x2-2x-3=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意； 在x2+3x+2=0中，Δ=b2-4ac=32-4×1×2=1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意； 在x2-2x+1=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意； 在x2+2x+3=0中，Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8＜0，即该方程无实数根，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ=0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根． 题型三 由根的情况求参数 看方程二次项系数是否含参数，分两种情况讨论：①二次项系数为 0 时，方程为一元一次方程，判断是否符合根的要求；②二次项系数不为 0 时，方程为一元二次方程，用根的判别式求解。 忽略 “一元二次方程” 的隐含前提，直接用判别式列关系式，遗漏二次项系数a≠0的限制条件，导致参数范围出错。 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 2．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解， 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 3．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 故选B． 题型四 根与系数的关系 验证使用前提：先确认方程为一元二次方程（a≠0），且方程有实数根（Δ≥0），这是韦达定理应用的基础。 确定核心公式：若x1​,x2​是ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则x1​+x2​=-，x1​x2​=。 忽略韦达定理的使用前提，在方程无实数根（Δ<0）的情况下，盲目套用韦达定理计算，导致结果不符合题意。 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 3．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【答案】/-0.125 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 题型五 一元二次方程的实际应用 ①审清题意，找准等量关系，设未知数；②根据等量关系列一元二次方程；③解方程；④检验解是否符合实际意义（如长度、价格、增长率不能为负，数量为正整数等），舍去不合理解，写答句。 增长率问题中，搞错增长期数，如两年增长误将平方写为一次方；对 “增长了” 和 “增长到” 概念混淆，导致基础量和最终量取值错误。 图形面积问题中，对小路、围栏等宽度重复计算，平移后长和宽的数值算错，导致面积等量关系列错。 销售利润问题中，搞反售价与销量的增减关系，售价上涨，销量应下降，易出现符号错误，导致销量表达式错误。 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 3．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 题型六 一元二次方程与其他知识的综合 拆解知识点：先拆分综合题涉及的模块，如几何图形、一次函数、新定义、正方体展开图等，先根据对应知识的性质，推导出核心等量关系。 转化建模：将几何性质、函数关系、新定义规则等，转化为关于未知数的一元二次方程，把综合问题拆解为基础的方程求解问题。 求解取舍：解方程后，结合跨知识点的隐含限制条件（如几何中边长为正数、函数自变量的取值范围、新定义的规则要求），对解进行筛选和取舍。 规范步骤：先写清知识点的推导过程，再列方程求解，保证逻辑连贯，步骤完整。 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 2．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 3．（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______． 【答案】16 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键． 知识1 解一元二次方程 1．（2025·山东淄博·一模）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 上式表示与之间的距离， ， 上式表示与之间的距离， 由勾股定理得， 结合三角形三边关系得的最大值是点B和点C的距离，即的最大值， 故选：B． 2．（2025·山东聊城·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 4．（2025·贵州·模拟预测）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即，， ∴一元二次方程的解是，． 故选：A． 5．（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数与x轴只有一个交点，则________． 【答案】或或 【分析】本题考查了判别式的应用，抛物线与x轴的交点问题，先理解函数与x轴只有一个交点，进行分类讨论，当时，得出，再解得或，当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点，即可作答． 【详解】解：∵函数与x轴只有一个交点， ∴当时，令则， 则 则 即 ∴ 解得或， 当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点， 综上：的值为或或0． 故答案为：或或0 7．（2025·山东青岛·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个实数根，所以二次项系数不为零，且根的判别式为非负数，由此得到不等式组，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， 解得 ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 8．（2025·陕西渭南·一模）我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于的一元二次方程； 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 9．（2025·山东淄博·二模）先化简：，若结果等于，求出相应的的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．先运用公式法进行因式分解，约分，通分，进行化简，后根据结果等于，建立关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：原式 ， 根据题意，可得，即， ． 10．（2025·山东济宁·模拟预测）（1）计算： （2）解一元二次方程： 【答案】（1）  （2）， 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据立方根定义，绝对值意义，负整数幂运算法则，特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 解得，． 11．（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键． （1）先解方程得出或，再由“邻根方程”的定义得出或，求解即可； （2）设的两根分别是，则，，，再由“邻根方程”的定义得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：解方程可得或， 由题意知，或， 解得或； （2）解：设的两根分别是， 则，，， 因为（，均为常数）为“邻根方程”， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以，满足的数量关系是． 12．（2025·辽宁鞍山·一模）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）利用公式法求解． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 其中，，， ， ， ，； （2）解：， 其中，，， ， ， ，． 13．（2025·新疆省直辖县级单位·一模）已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，整理得，再求出判别式的值，即可作答． （2）运用根与系数的关系得，，又结合进行列式计算，得出，最后根据得出符合题意，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 则， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴ ∵此方程的两个根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， 解得， 当时，，，符合， 当时，，，不符合，故舍去 ∴． 14．（2025·陕西西安·一模）如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    【答案】此时花圃的边的长为米 【分析】本题考查一元二次方程与图形面积有关的应用，先理解题意，设花圃的边的长为米，结合花圃的面积刚好为60平方米,得，解得或，即可作答． 【详解】解：设花圃的边的长为米， 依题意，得， ∵花圃的面积刚好为60平方米， ∴， 解得或， 当时，则（舍去）； 当时，则， ∴此时花圃的边的长为米． 考点二 分式方程 题型一 解分式方程 核心思路是化分为整，先解再验，标准步骤为： ① 定最简公分母：先对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母； ② 去分母：方程两边同时乘最简公分母，约去分母，将分式方程转化为整式方程； ③ 解整式方程：按去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤，求解整式方程； ④ 双检验：先检验整式方程的解是否使最简公分母为 0，若为 0 则是增根，原方程无解；再检验解是否使原方程左右两边相等，确认最终有效解。  去分母时漏乘不含分母的常数项 / 整式项，仅给分式项乘最简公分母，忽略整式项，导致整式方程变形错误，是该题型最高频的基础错误。  符号处理出错，去分母时，分子是多项式的未加括号，导致去括号后符号错误；或忽略分数线兼具括号的作用，变号规则使用不当，造成计算结果偏差。  忘记验根，解完整式方程后直接写解，未检验最简公分母是否为 0，把增根当成原方程的解，导致最终结果完全错误。 1．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 【答案】（1），数轴表示见解析；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键； （1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示为： （2） 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 2．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． 3．（2020·山东枣庄·中考真题）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 题型二 分式方程的实际应用 ① 审清题意：梳理题干中的已知量、未知量，明确核心等量关系，圈画数量、单价、时间、效率等关键限定条件； ② 设未知数：优先设直接未知数，若直接设元难以列等量关系，可设间接未知数，同时标注对应单位； ③ 列分式方程：根据核心等量关系，用含未知数的式子表示对应量，列出分式方程； ④ 解方程：按分式方程求解步骤，规范求出未知数的值； ⑤ 双重检验：第一步检验解是否是原分式方程的解，排除增根；第二步检验解是否符合实际生活意义，如数量、单价、时间为正数，人数为正整数等； ⑥ 规范书写答句，标注对应单位。 忽略双重检验，只检验了分式方程的解是否为增根，未检验解是否符合实际意义，保留了负数、超出取值范围、非整数的解，导致结果不符合生活实际。 1．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 3．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 知识1 解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→ 将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 1．（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 利用题干的规定：设，则，得到，（是正整数）中，每三个为 1 循环，循环的数为，利用此规律对每个说法进行判断即可． 【详解】解：设， 则，，，，，， ∴是正整数）中，每三个为1个循环，循环的数为， ， ， 若， ， ， ， ∴说法①正确； 若，则， ， ， ， ∴说法②正确； ， ， ， ， 解得：，经检验，的值是方程的解， 即， ∴说法③正确． 故选：A． 2．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 3．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 4．（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）方程的解为________． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，将方程去分母得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可判断得出结论． 【详解】解： 去分母得， 移项、合并同类项得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 故答案为：． 6．（2025·山东潍坊·三模）当_____时，解分式方程会出现增根． 【答案】2 【分析】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先解方程可得，再由增根的定义可得，求出m的值即可． 【详解】解：去分母得， 由分母可知，分式方程的增根是， ∴当时，，解得， 故答案为：2． 7．（2025·山东威海·一模）已知实数满足以下条件： ①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个． 则满足以上所有条件的整数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解及根据一元一次不等式组解集求参数．不等式组整理后，由有且仅有3个整数解确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，再找出符合条件的整数求和即可得答案． 【详解】解：, 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∵是整数， ∴的值可为：、， ， 去分母得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， ∴， 综上，的值为， 故答案为：． 8．（2025·广东惠州·模拟预测）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，列出方程即可． 【详解】解：设“复兴号”的速度为千米/时，则原来列车的速度为千米/时， 根据题意得，即． 故答案为：． 9．（2025·山东聊城·三模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式方程的求解，特殊三角函数的求解，算术平方根的求解等知识的求解，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）先根据乘方，算术平方根，特殊三角函数值，化简绝对值计算各项，再合并同类项即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，检验的过程进行求解即可． 【详解】解： ； （2）， 两边乘以去分母得： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 经检验，当时，， 是原分式方程的根． 10．（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 【答案】(1)间的距离为 (2)原计划单向开挖每天挖 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用．熟练掌握解直角三角形的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，，，则，根据，求解作答即可； （2）设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴， ∴， ∴间的距离为； （2）解：设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴原计划单向开挖每天挖． 11．（2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 【答案】(1)种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； (2)购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，根据用14400元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进个种书架，则购进个种书架，根据购进种书架数量不少于种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； （2）设购进个种书架，则购进个种书架， 由题意得：， 解得：， 设购买总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，， 答：购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $