04-专题四 二次函数综合题（第23题）-【一战成名新中考】2026安徽中考数学·二轮复习·专项分类提升练优质PPT课件

数学 1 2 三、压轴题分类提升练 专题四 二次函数综合题（第23题） 3 二次函数图象与性质的应用 考法1 单抛物线型（2021.22,2016.22） 1.[2021安徽22题改编]在平面直角坐标系中，点， 是 抛物线 上任意两点. （1）直接写出抛物线的对称轴； 解：抛物线的对称轴为直线 ； 思路分析：根据对称轴公式求出即可； 4 （2）若，，比较与 的大小，并说明理由； 【答案】，理由：，对称轴为直线 ， 抛物线开口向上，， 都在对称轴右侧， 当时，随的增大而增大，且 ， ； 思路分析：根据条件点 都在对称轴右侧，利用函数增减性进行解答； 5 （3）若对于，，总有，求 的取值范围. 【答案】， ， ， ， ， ， 距离对称轴更近，则 的中点在对称轴的右侧， ，解得 . 思路分析：根据二次函数图象上点的坐标特征分析 中点与对称轴的位 置关系得到不等式，解不等式即可得到 的取值范围. 6 2.[2025合肥四十五中二模]如图，点，， 在抛物线 上. 第2题图 （1）求抛物线的解析式； 解： 抛物线经过， ， 抛物线解析式为 ； 思路分析：利用交点式即可求解； 7 （2）点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点 ，求 线段长度最大时，点 的坐标. 第2题图 思路分析：求出点坐标，进而可知直线的解析式，设出点 坐标，即可知点坐标，两点间的距离即可求出线段 ，据此解答； 8 第2题图 【答案】把代入 中，可得，故 . 由待定系数法可得直线的解析式为 ， 设，则 ， 故 ， 当时，长度取最大值，此时 ； 9 （3）点是抛物线上的一个动点，在轴上是否存在点，使得以点 ， ，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请写出所有满足条件 的点 的坐标；如果不存在，请说明理由. 第2题图 思路分析：设，，当以点，， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，分为以下三类 情况：①当、 为对角线时；②当、为对角 线时；③当、 为对角线时，根据对角线的性质分 别列方程求解即可. 10 【答案】存在点，点的坐标为或或 或 .设， ， 当以点，，， 为顶点的四边形是平行四边形时，分为以下三类情况： ①当， 为对角线时， 解得 或2（舍去）， ，故 ； 第2题图 11 ②当，为对角线时， 解得或 ，或 ， 故或 ； ③当， 为对角线时， 解得 或2（舍去）， ，故 . 综上，点的坐标为或或或 . 第2题图 12 思路分析：运用待定系数法即可求解； 3.[2023安徽23题改编]如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点，与轴交于点 ，连接 . （1）求抛物线的解析式； 13 解： 抛物线经过， ， 代入，得 解得 抛物线的解析式为 ； 14 思路分析：求出直线的解析式，设， 可知点， 的坐标，进而可得关于 的函数关 系式； （2）是下方抛物线上的一动点（不与点,重合），过点分别作 轴 的平行线交于点，作轴的平行线，交轴于点，交于点 . （ⅰ）求 的最大值； 15 【答案】， ， 直线的解析式为 ， 设，则, ， ， ， ， ， , 当时，有最大值，最大值为 ； 16 思路分析：延长交轴于点，分两种情况： 当 时； 当时， 分别得出 ，建立方程即可求解. （ⅱ）如图②，连接，，是否存在点，使得线段把 的面积 分成两部分？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 17 【答案】存在点，使得线段把的面积分成两部分，点 的 坐标为或 . 如解图，延长交轴于点 ，由题意可知四边形 是矩形， 第3题解图 当 时， 由得， ， ， ， 18 ，即， ， 解得或（舍去）， ; 当 时， 同理可得，即 ， 解得或 （舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或 . 第3题解图 考法2 单抛物线+直线型（2023.23,2020.22,2019.22） 4.设抛物线与直线交于点 . （1）求， 的值及抛物线的对称轴； 解：把分别代入和 ， ， . 抛物线的对称轴为直线 ； 思路分析：把分别代入和，即可求出， ，从而求得抛物线的对称轴； 20 （2）设，是抛物线上两点，且， 在直线 上. （ⅰ）当时，求 的值； 【答案】和关于直线对称，且 ， 和 到对称轴的距离都为1，， . 将代入抛物线解析式，得 . ，将点坐标代入，可得 ； 思路分析：点和关于对称轴对称，且，从而可知点， 到对称轴的距离，可得，，将代入抛物线解析式求出 ，即可求解； 21 （ⅱ）当时，求 的取值范围. 【答案】和关于直线 对称， . ， . ，在直线 上， ，即 . 思路分析：根据对称性可知等于2倍的对称轴，再结合 ，进而可以判断 的取值范围. 22 5.[2025宣城二模]如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物 线交于，两点，点 的横坐标为1. 第5题图 （1）求直线 和抛物线的解析式； 思路分析：利用待定系数法求解析式即可； 23 第5题图 解：将点代入，得 ，解得 ， 直线的解析式为 ， 当时，， ， 将点，代入 得， 解得 抛物线的解析式为 ； 24 （2）点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点， 重合），过点 作轴的平行线，与直线交于点，连接.设点的横坐标为 . 第5题图 （ⅰ）当点在轴上方，为何值时， 是等腰三角形； 思路分析：当是等腰三角形时，判断出只有，设出点 的坐标，用 建立方程组求解即可； 25 第5题图 【答案】设，则 ， 当点在轴上方时，，， 是钝角， 轴， ， ， ， 是等腰三角形， 为顶角， ，， ， ， ，解得或 （舍去）， 当时， 是等腰三角形； 26 （ⅱ）当点在轴下方，为何值时， 的周长最大，最大值是多少？ 第5题图 思路分析：先表示出，，，然后建立的周长关于 的 函数关系式，确定出最大值即可. 27 ， ， 当时，最大，最大值为 . 第5题图 【答案】令,则，解得 ， 当点在轴下方时， ， ， ， ， 28 6.[2025黄山一模]已知抛物线与轴交于 ， 两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点 . （1）求， 两点的坐标； 解：在中，令 ，得 ， ，解得或 ， 点在点 的左侧，， ； 思路分析：在中，令可求得 的坐标； 29 （2）若直线与抛物线的对称轴交于点 . （ⅰ）若点为抛物线的顶点，求 的值； 思路分析：由直线经过点得，故 ，求出抛物线的顶点的坐标，代入 ，即可求解； 30 【答案】 直线经过点 ， ， ， 直线表达式为 ， ， 抛物线的顶点的坐标为 ， 在直线 上， ，解得（舍去）或 ， 的值为 ； 31 （ⅱ）若点在第四象限并且在抛物线的上方，记的面积为 ，记 的面积为，，求与的函数表达式，并求出 的最大值. 思路分析：设直线交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点 ， 求出，，的坐标，可知，的坐标， ， ，根据 即可求解. 32 【答案】如解图，设直线交轴于点 ，抛物线 的对称轴交轴于点 ， 第6题解图 在中，令，得，令，得 ， ， ， ， ， 在中，令,得 ， ， ， ， 33 ， ， 当时，取最大值 ， 与的函数表达式为，的最大值为 . 考法3 双抛物线型（2025.23,2024.23） 7.[2025合肥三模]已知抛物线 与抛物线 相交于点 . （1）求出 的值； 解：将点的坐标代入，得 ，解得 ； 思路分析：将点 的坐标代入函数表达式，即可求解； 35 （2）设点在抛物线上，点在抛物线 上. （ⅰ）当时，求 的取值范围； 思路分析：由,可得的取值范围，，点 ，可知 ，将点代入整理可得关于，的表达式，结合 的取值 范围即可求解； 36 当时，点 ，将点代入，得 ， 点在上， ， 整理得 ， ， 当时， ， 当时， ， ； 【答案】由（1）得抛物线的表达式为 ， 当时，，则，即 ， 37 （ⅱ）当，，三点共线时，求 的值. 【答案】设点， 点 ， 易得直线的表达式为 ， 联立直线和抛物线的表达式，得 ， 解得（舍去）或，即 ， . 思路分析：由点,的坐标求出直线的表达式，联立抛物线 的表达 式可得关于的方程，结合点 的横坐标即可求解. 38 8.[2024安徽23题改编]已知二次函数 ， ，为常数的图象分别记为,，的对称轴在 的 对称轴的右侧，且的顶点纵坐标比 的顶点纵坐标小3. （1）当，且随的增大而减小时，写出此时自变量 的取值范围； 思路分析：的顶点纵坐标的顶点纵坐标，，求出的值，通过比较 和的大小关系，再结合随 的增大而减小即可求解； 39 解：的对称轴为直线，顶点的纵坐标为顶， 的对称轴 为直线，顶点的纵坐标为顶 ， 的顶点纵坐标比 的顶点纵坐标小3， ，解得， ， 又的对称轴在 的对称轴的右侧，，， , ， ，， ， 随的增大而减小， ，的取值范围为 ； 40 思路分析：将点代入，点代入，计算，结合 即可 求解； （2）若点在上，点在 上. （ⅰ）当时，求 的最大值； 41 【答案】 点在上， ， 点在上， ， ， 把 代入，得 ， ， 当时， 有最大值，最大值为9； 42 （ⅱ）当时，无论取任何实数，始终都有成立，求 的值. 思路分析：把代入，结合 即可求解. 43 【答案】由（ⅰ）得， ， ， 把代入 ，得 ， 由条件可知，，得 ， 即 ， 无论 取任何实数，式子都成立， ， . 44 9.[2025合肥四十二中一模]已知抛物线与 轴交于 ，，与轴交于点，顶点为 . （1）求点 的坐标； 解： 抛物线经过, , 设 ， 点的坐标为 ； 思路分析：通过， 求出抛物线的表达式，再将其配方即可求解； 45 （2）把抛物线向右平移个单位长度，再向下平移 个单 位长度得到抛物线，抛物线经过点，并与轴交于另一点 ，且顶点 为 . （ⅰ）若直线恰好经过点，求 的值； 思路分析：求出点 坐标，新抛物线的表达式为 ，求出点坐标，由点、 的坐标可知直线的表达式，将点 的坐标代入即可求解； 46 【答案】由（1）可知 ， ， 平移后的抛物线的表达式为 ， 将点的坐标代入得 ，整理得 ， 的表达式为 ， ， 由点,的坐标易得，直线的表达式为 ， 将点的坐标代入，得，解得 或2； 47 思路分析：由点、可知直线 的表达式，进而可知平移后直线的表达 式，将点 的坐标代入即可求解. （ⅱ）若直线向下平移个单位长度得到的直线经过点，求 的最大值，并写出此时 的值. 48 【答案】由点、的坐标得，直线的表达式为 ， 平移后的表达式为 ， 由（ⅰ）知， , 将点的坐标代入，得 ，整理得 ， ， ， 当时，有最大值，最大值为 . 49 二次函数实际应用 考法1 利润（费用）最值问题（2018.22,2017.22,2015.22） 1.[2025达州]为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公 司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40 元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售 出10件. （1）设该款巴小虎吉祥物降价 元，则每天售出的数量是___________件； 50 （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天 的利润是630元； 解：设该款巴小虎吉祥物降价 元， 根据题意可得 ， 整理可得 ， 解得（舍去）， ， 该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； 51 （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 元，当售价为多少元 时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】设该款巴小虎吉祥物降价 元， ， ， 当时， 取得最大值，最大值为640元， 此时售价为 （元）， 答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元. 52 2.[2025南充]学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先 烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.#1 材料 一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况 下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600 人与用B型客车载客450人的车辆数相同. 材料 二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆. 优惠方案：租用A型客车辆，租车费用 元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折. 材料 三 租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆. 53 （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 解：设A型客车每辆载客量为人，则B型客车每辆载客量为 人， 根据题意得 ， 解得 ， 经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意， （人）. 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人； 54 （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】设租用A型客车辆，则租用B型客车 辆， 根据题意得， ，解得 ， 设本次研学活动学校的租车总费用为 元， 则 ， 55 ，取正整数，且 ， 当时， 取得最小值，最小值为 （元）. 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 考法2 几何图形面积问题（2015.22） 3. 某建筑公司,租用一块空地,用某种建筑材料围成一个矩形 货物仓库 ，货物仓库用同样的材料隔成四个矩形区域,并留有四个 宽的防盗门,如图所示,已知共使用了该种建筑材料,若 的长为 ,的长为 （不考虑建筑材料的厚度）. 第3题图 （1）求与的函数关系式,并求出自变量 的取值范围; 57 第3题图 解:由题意得, ， 货物仓库用同样的材料隔成四个矩形区域，并留有四个 宽的门， ,, ; 58 第3题图 （2）建筑公司通过调查得到如下数据:货物仓库每 平方米场地硬化费用为50元，建筑材料每米10元,4 个防盗门共计3900元,求货物仓库 基本造价 与的函数关系式,并求出基本造价最大时 的值; 【答案】货物仓库 的场地面积 ， ， ， 当时， ； 59 第3题图 （3）公司计划投入50万元，使建造货物仓库 的场地面积不小于 ,通过计算说明该公司的计划是否合理？若合理,求出 的长; 若不合理,请说明理由. 【答案】不合理. 理由:令, 解得, , 当或 时,总费用为50万元, 此时面积 , 该公司的计划不合理. 60 4.项目式学习根据素材回答问题.#1 素 材1 如图①，空地上有两条互相垂直的小路， ，中间有一正方形 水池，已知水池的边长为，，，且 与 的距离为，与的距离为 . 素 材2 现利用两条小路，再购置 长的栅栏在空地上围出一个花圃，要 求围起来的栅栏（图中用实线表示）与小路相互平行（或垂直）， 小路和水池部分都不需要栅栏，接口损耗忽略不计. 61 第4题图 任务1 小明同学按如图②的设计方案，若 ，则花圃的面积为 _____ .（不包含水池的面积） 208 【解法提示】， ， ， 花圃的面积为 . 62 任务2 若按如图③的设计方案，，，三点共线，点在 上，当花圃 的面积（不包含水池的面积）为时，求 的长. 63 解：如解图，延长交于点 ，设 ， ， , ， ， 花圃面积为 ， 即，解得或 （舍去）， ； 第4题解图 64 【解法提示】设花圃面积为， 由（2）得 ，即， ， 当时， 有最大值为273， 此时， 当的长是 时，围成的花圃面积最大，最大面积是 . 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图③的设计方案，当 的长 是____ 时，围成的花圃（不包含水池）的面积最大，最大面积是_____ . 11 273 65 考法3 抛物线型问题（2022.23） 5.[2022安徽23题14分]如图①，隧道截面由抛物线的一部分 和矩形 构成，矩形的一边为12米，另一边为2米．以 所在的直线为 轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系 ，规定一个单 位长度代表1米． 是抛物线的顶点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； 解：此抛物线对应的函数表达式为 ； 66 （2）在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图②、图③ 中粗线段所示，点，在轴上，与矩形 的一边平行且相 等．栅栏总长为图中粗线段，，， 长度之和，请解决以 下问题： 第5题图 （ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图②，点，在抛物线上．设点 的 横坐标为，求栅栏总长与之间的函数表达式和 的最大值； 67 【答案】 点的横坐标为，且四边形 为矩形， 点，在抛物线 上， 点的坐标为 ， ， ， 第5题图 68 ， ， 当时， 有最大值为26， 栅栏总长与之间的函数表达式为， 的最大值 为26； 第5题图 69 （ⅱ）现修建一个总长为18米的栅栏，有如图③所示的“ ”型和“ ”型两 种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 面积的最大 值，及取最大值时点的横坐标的取值范围在右侧 ． 第5题图 70 【答案】方案一：设，则 ， 矩形 的面积为 ， ， 当 时，矩形面积有最大值为27， 此时，，令，解得 ， 此时的横坐标的取值范围为 ； 第5题图 71 矩形的面积为 ， ， 当时，矩形面积有最大值为 ， 此时，令，解得 ， 此时的横坐标的取值范围为 .（两种方案写一种 即可） 第5题图 方案二：设，则 ， 6.[2025山西]综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青 蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与 实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合. 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路 线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为 .#1.2 第6题图 73 数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 ，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为 ，落地点为 .以为原点，所在直线为轴，过点与 所在水平地面垂直的直线 为 轴，建立平面直角坐标系.#1.3 第6题图 （1）请直接写出顶点 的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 74 解：由题意得抛物线顶点的坐标为 ， 设抛物线的函数表达式为 ， ，解得 ， 该抛物线的函数表达式为 ； （2）如图①，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为 ， 点的坐标为，点在轴的正半轴上.求起跳点与落地点 的水平距 离 的长； 第6题图 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线 的形状不变. 76 【答案】 抛物线的形状不变，点 ， 新的抛物线可以看作由 （1）的抛物线向上平移75个单位长度得到， 新的抛物线的函数表达式为 ， 当时， ， 解得， （舍去）， 起跳点与落地点的水平距离的长为 ； 第6题图 77 （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个 点在竖直方向上的距离不少于 ，才能安全通过.如图②，水平地面上 有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中 ， ，，.仿青蛙机器人从距离 左侧 处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放 置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳， 则刚好安全通过该障碍物.求该平台的高度 （平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面 与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）. 第6题图 78 【答案】设该平台的高度为 ，由题意，设新的函数表达式为 ，，， ，仿青蛙机器人从距离 左侧 处的地面起跳， 抛物线经过点，即 ， 把代入 ， 得， 解得 ，故该平台的高度为 . 第6题图 79 考法4 类抛物线型问题 7.[2025芜湖一模]#1 “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响 因素 材 料 一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车 所行驶的距离. 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机 动车所行驶的距离. 80 材 料 二 汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离 之 和，即 ，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度 有关，下表是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 续表 81 任务一：①利用材料二判断最适合描述，分别与 的函数关系的是___； A. 、 B. 、 C. 、 √ 82 ②请你利用当，时的两组数据，计算， 分别与 的函数关系式. 解：设，将，代入得 ， 解得 ， ， 设，将，代入得 ， 解得， ； 83 任务二： 在某条限速为 的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车， 通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为 ，请你利用任务一中 的函数关系式，判断该车是否超速？ 【答案】超速， ， 当时， ， 超速. 84 第8题图 8.【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”. 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上 运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案， 再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用. 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运 动，从小球运动开始，用频闪照相机、测速仪测量并 记录小球在木板上的运动时间（单位： ）、运动速 度（单位：）、滑行距离（单位： ）的数 据.#1.3 85 任务一：数据收集 记录的数据如下：#1.4.1 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析#1.5 （1）根据，随 的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比 例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出， 满足的函数 关系式；（不用写出自变量的取值范围） 86 解：设，将点， 代入， 得 ， 设，将点， 代入， 得解得 ； 87 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； 【答案】当时，即，解得 ， 将代入,得 . 当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑行距离为 . 88 第8题图 （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方 处有一辆电动小车，以 的速度匀速向右前方运动，若小球不能撞上小车，求 的取值范围. 【答案】当时， .解得 ， 将代入 ,解得 ， , . 89 $