03-专题三 几何综合题（第22题）-【一战成名新中考】2026安徽中考数学·二轮复习·专项分类提升练优质PPT课件

数学 1 2 三、压轴题分类提升练 专题三 几何综合题（第22题） 3 以全等三角形为核心（2025.22,2022.22,2018.23） 例1 [2025安徽22题12分]已知点在正方形内，点 在边 上，是线段的垂直平分线，连接， . （1）如图①，若的延长线经过点，，求 的长； 例1题图① 思路分析：易证， 是等 腰直角三角形. 4 例1题图① 解：是线段 的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； 5 证法1： ； 证法2： 利用隐圆，由圆内接四边形外角等于内对角可知 （2）如图②，点是的延长线与的交点，连接 . 例1题图② （ⅰ）求证： ； 思路分析： 6 证明：证法1：由题意知， ， ， ， ， ； 例1题图② 7 证法2：如解图①， ， 点，，在以点为圆心， 长为半径的圆上，在优弧上取点 ，则 ， ； 例1题解图① 8 （ⅱ）如图③，设，相交于点，连接，，，若 ， 判断 的形状，并说明理由. 例1题图③ 9 思路分析： 解 法1 作交于点，交于点 ，利用中位线性质 可得，易证 ， ，进而即可证明 的形状； 解 法2 作交于点 ， 十字全等平行线等分线段得 则 为等腰直角三角形； 10 解 法3 延长交于点，倒角得 ，则 为等腰直角三角形 续表 11 如解图②，作交于点，交于点 ， ， ，为 的中点， ， ， 是 的中位线， ， ， ， ， ， ， 解：解法1： 是等腰直角三角形，理由如下： 例1题解图② 12 为 的中点， ， ， ， 同理可证 ， ， 是等腰直角三角形. 解法2,3思路见正文思路分析 例1题解图② 证明:如解图,设与交于点 , , ， 四边形 是平行四边形,, 四边形 是菱形; 1.[2022安徽22题12分]已知四边形中,,连接,过点作 的 垂线交于点,连接 . 第1题图① （1）如图①,若,求证:四边形 是菱形; 14 第1题图② （2）如图②,连接,设,相交于点，垂直平分线段 . （ⅰ）求 的大小; 解:垂直平分 , 且,, 又且,垂直平分, ,, , ; 15 （ⅱ）若,求证: . 第1题图② 证明:由得, ， ，同理可得,在中, ， , 在与中， , , 又,,即 . 16 2.[2025芜湖三模]如图①，在正方形中，点是边 上一点，作 交于点，交于点 . 第2题图 （1）求证： ； 在和中， 证明： 在正方形中， ， ， . ; 17 （2）如图②，作 ，交边于点，交的延长线于点 ，连 接 . 第2题图 （ⅰ）求证： ； 18 证明：如解图，延长到点使，连接 ， 第2题解图 则， ， ， ， ， 又 ， ， 又， ， ， 由（1）易得， ； 19 （ⅱ）若，，求 的长. 第2题图 解：设，由可知， . ，， ， 在中， ， 即，解得 . 则， 在 中， ， 20 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在 中， ， . 第2题图 以相似三角形为核心（2023.22,2019.23） 例2 [2023安徽22题12分]在中，是斜边 的中点， 将线段绕点旋转至的位置，点在直线外，连接， . （1）如图①，求 的大小； 例2题图① 22 思路分析： 解法1 利用等腰三角形性质，三角形内角和求解 解法2 利用圆的性质求解 点，，在以为直径的 上，直径所 对的圆周角为 23 解:解法1：是 的中点， ，由旋转的性质得 ， ， ， ， ，即的大小为 ； 例2题图① 24 解法2：是的中点, ，由旋转性质得 , 点,,在以为直径的 上，如解图①, ； 例2题解图① 25 （2）已知点和边上的点满足， . （ⅰ）如图②，连接，求证： ； 例2题图② 26 思路分析： 证法1 利用中点,证明线段相等 为 的中点 证法2 利用线段垂直平分线的性质，证明线段相等 为 的中点 的中点 垂直平分 27 证法3 根据四点共圆，利用圆周角与弦之间的关系,证 明线段相等 续表 ,,, 四点共圆 28 证明：， ， ， ， 四边形 是平行四边形， , 是斜边的中点， ， 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是菱形， 例2题图② 29 证法1：如解图②，延长，相交于点 ， 解图② 为的中点，，为 的中点， ,在中，, ； 证法2：如解图③，连接 ， ， ， . 在中，为的中点， ， 垂直平分， ； 解图③ 30 证法3：如解图④,由（1）知， ， ，，， 在以为直径的 上， 四边形 是菱形， , ， ； 解图④ （ⅱ）如图③，连接，若，，求 的值. 例2题图③ 32 解 法1 利用勾股定理，三角函数求解 过点作于点 解 法2 利用相似求解，过点作于点 思路分析： 33 解 法3 利用四点共圆，圆周角、弧、弦之间的关系求解 延长交于点，连接 续表 34 解：如解图⑤，过点作于点，则 ， 在中， ， 由（ⅰ）知，四边形 是菱形， 解法1：是 的中点， ， ， ， ， ， . 解图⑤ 35 解法2：是 的中点， ， , ， ， ，, ， ， . 解图⑤ 解法3：是的中点， ， ， ，是斜边 的中点， 点，，，在以点为圆心，为直径的 上， 如解图⑥，延长交于点，连接， 则 ， 在中， ， ， 解图⑥ ， 在中， ， ， ， ，解得 （负值已舍去）， ， ， 在中， . 解图⑥ 3.[2025合肥中科大附中一模]如图①，四边形的对角线， 相交 于点，， . 第3题图① （1）在图①中，过点作交于点，求证： ； 39 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 第3题图① （2）如图②，将沿翻折得到 . 第3题图② （ⅰ）求证： ； 41 证明：如解图，过点作交于点，交于点 ， 由（1）知，， ， 是将 翻折得到的， ， ， ， ； 第3题解图 42 （ⅱ）若，，求 的长. 第3题图② 43 解：由知，， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 又， ， ，即 ， ， ， ，即， ， 第3题图② 44 由（1）知，， ， , 由（1）同理可得 ， ， ，解得 （负值已舍去）. 第3题图② 4.[2025马鞍山二模]如图，在中，，分别是边， 上的动点. （1）已知 ，交的一边于点， . （ⅰ）如图①，若点在边上，求证： ; 46 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 47 （ⅱ）如图②，若点在边上，且，，求 的长； 48 解：如解图①，过点作于点 ， 第4题解图① 易证 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 49 （2）如图③，若 ，点在边上，且 ，若 ，，求 的值. 50 解：如解图②，在的延长线上找一点，连接，使 ， 则四边形是等腰梯形， ， 第4题解图② ， ， ， ， ， ，， ， . 51 全等、相似三角形综合型（2024.22,2021.23,2020.23,2017.23,2016.23,2015.23） 例3 [2024安徽22题12分]如图①，的对角线与 交 于点，点，分别在边，上，且，点，分别是 与 ， 的交点. 例3题图① （1）求证： ； 52 思路分析：易证四边形 为平行四边形 证法1 利用“平行线型”全等证线段相等 53 证法2 利用 全等证线段相等 续表 54 例3题图① 证明： 四边形 为平行四边形， ，，， ， ， , ， 四边形是平行四边形， , ， ， 55 证法1：在与中， ， ； 证法2：, , , 在与中， ， ， ，即 ； 例3题图① 56 （2）连接交于点.连接, . （ⅰ）如图②,若,求证: ; 例3题图② 思路分析：利用对应线段成比例证明线段平行 57 证明：， ， ，， , ， ; 例3题图② 58 （ⅱ）如图③，若为菱形，且， ，求 的值. 例3题图③ 思路分析：利用平行线型相似，得出线段关系， 进而求出线段比值 59 例3题图③ 解： 为菱形,， 又， ， ， ， ,， ， ，即 ， ， ， ，， ， ， 60 ，即 ， , ， . 例3题图③ 5.[2025合肥一模]如图①，在正方形中，点，分别在边， 上， 且，点是对角线，的交点，连接，交于点， ， 交于点 . （1）求证： ； 62 证明： 四边形 是正方形， ， ， 在和中， ， ； （2）如图②，连接，， . （ⅰ）若，求证： ； 证明：由（1）知， ， ， ， ， ， ， 易证 ， ，， ， 64 ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 65 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （ⅱ）若，，求线段 的长. 解：，， ， ， ， ， ， ， 由知， ， ， . 67 6. 如图①，在正方形中，为 延长线上 一点，连接，为的中点，连接，分别交于点， . （1）求证： ； 68 在正方形中， ， ， 为 的中点， , ， 证明：证法1：如解图①，连接 ， 第6题解图① ， , ; 69 证法2：如解图②，过点作于点 ， 解图② 在正方形中， ， ， ， 为 的中点， 为 的中点， 为 的垂直平分线， ； 70 （2）如图②，为的中点，连接 . （ⅰ）若，求 的长； 71 解：解法1:如解图③，延长交的延长线于点 ， 易证， ， 设，则，， ， ，， ，， 解得， （舍去）， 即， ； 第6题解图③ 72 解法2思路：如解图④，过点作于点，连接，设 ， 易得，，，证 即可求解； 解图④ 73 （ⅱ）若，求 的值. 【答案】如解图⑤，过点作于点，连接， 过点 作于点 ， ， ， ，易证 ， ， ， 易证 ， ， 第6题解图⑤ 第6题解图⑤ 74 设， ， 在中， ， ，解得 ， 由（1）易得 ， 易证 ， ， ， 为的中点， ，为的中点， ， ， . 第6题解图⑤ $