10-专题十 曲线型最值问题（含隐圆）（10年4考）-【一战成名新中考】2026安徽中考数学·二轮复习·专项分类提升练优质PPT课件

数学 1 2 一、常考模型分类提升练 专题十 曲线型最值问题（含隐圆） （10年4考） 3 点圆、线圆最值问题 考法1 点圆最值 模型解读 已知:<m></m>的半径为<m></m>，<m></m>是平面内一定点，<m></m>是圆上一动点，确定<m></m>的最值#1.1 4 类型 定点在圆外（最常考） 定点在圆上 定点在圆内 作图 解法 提炼 方法：“一箭穿心”找最值，“近定点”取最小,“远定点”取最大. 依据：三角形三边关系，三点共线，圆中最长弦是直径 最大值 最小值 5 例1 如图，在中， ，，，是边 的中点，以点为圆心，长为半径作，是上一点，则线段 的最小值为___， 的最大值为____. 例1题图 8 18 6 【解析】当点，，三点在一条直线上时，线段 取得最值. ，是边的中点， ， ，， 线段 的最小值为， 线段的最大值为 . 例1题图 7 考法2 线圆最值 模型解读 已知:<m></m>的半径为<m></m>，圆心<m></m>到定直线<m></m>的距离为<m></m>，点<m></m>是圆上一动点， 确定点<m></m>到直线<m></m>的最值#1.1 8 类型 线圆相离 线圆相切 线圆相交 作图 解法提炼 方法：过圆心作定直线的垂线与圆相交，“近垂足”取最小， “远垂足”取最大 依据1：垂线段最短 依据2：三角形三边关系及三点共线 最大值 最小值 9 例2 如图，是的弦，是上一动点，连接 ， ，若的半径为5，，则点到 距离的最大值为___， 面积的最大值为____. 例2题图 8 32 10 【解析】如解图，连接,过点作的垂线，垂足为，延长交 于点，连接,， ， 在 中，， ， 点到 距离的最大值为8， 面积的最大值为 . 例2题解图 11 模型解读 情形1：圆心与弦上一点连线的最值 图示及辅助线： 最值：，当时，长最小， 长最大（此时点与点 重合） 考法3 利用勾股定理确定最值（2015.20） 12 例3 [2015安徽20题改编]如图，在中，直径， 是弦， ，点在上，点在上，且.当点在 上移 动时， 长的最大值为_ ___. 例3题图 13 【解析】如解图，连接，,, 在 中，， 当的长最小时， 的长最大， 此时点与点重合，， ， ， 长的最大值为 . 例3题解图 14 情形2：过直线 上一点向圆作切线,切线长的最值 图示及辅助线： 最值：当时，切线长取得最小值 15 例4题图 例4 如图，的圆心为，半径为2，是直线 上的一个 动点，过点作的切线，切点为，则 的最小值为_____. 16 【解析】如解图，连接，，设直线与轴交于点，与 轴交于点,是的切线， ， ， 当最小时，最小， 当时，最小， 直线与轴的交点的坐标为 ， 与轴的交点的坐标为，， ，， 当 时，， 的最小值为 . 例4题解图 17 考法1 定点定长（2023.22） 辅助圆最值问题 模型解读 （一）定点定长#1.1 18 例5 如图，在菱形中， ，，点在边 上，且 ，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点 处， 当点在四边形内部（含边界）时， 的长度的最小值是（ ） 例5题图 A. 2 B. C. 4 D. √ 19 【解析】如解图，根据题意可知，点在以点为圆心， 长为半径的圆 上运动，当点正好落在边上时，是等边三角形， 最短，此 时 . 例5题解图 20 （二）定弦定角 常考定弦定角模型及辅助圆作法#1.1 考法2 定弦定角（2016.10） 21 例6 如图，在正方形中，，是正方形 内一点，若 ，则 的最小值是（ ） 例6题图 A. 1 B. C. D. √ 22 【解析】如解图，取的中点，以为圆心， 长为半径作 ， 点在上. ， . 当,,在一条直线上时，有最小值. 的最小值 . 例6题解图 23 （三）四点共圆 情形1：对角互补 情形2：定线段同侧有等角 考法3 四点共圆（2021.10） 24 例7 [2025合肥二模]如图，矩形中，，，点是 边 上的一个动点，连接，的平分线交边于点，若 于点，连接，，则 的最小值是（ ） 例7题图 A. B. C. D. 5 √ 25 【解析】如解图，作于点，于点，连接， 是的平分线，， ， 、 、、四点共圆， ， ， ，， 当、、 三点共线时，有最小值，最小值是的长， 的最小值为 . 例7题解图 26 （四）最大张角 当与边相切于点时， 最大 考法4 最大张角 27 例8题图 例8 ［人教九上P124第11题、沪科九下P62综合与实践 改编］如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场 处 沿着垂直于对方球门线的方向带球射门， ， 垂足为，若米, 米，仅从射门角度大小考 虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位 置时离点 的距离为（ ） A. 4米 B. 米 C. 米 D. 5米 √ 28 思路剖析 由最佳射门位置（射门角度越大越容易进球），可知本 题为最大张角问题，假设最佳射门位置为点 ，即求 最大时的值.最大时即以 为弦的圆与 相切时. 例8题图 29 【解析】设甲最佳射门位置是点，连接，当的外接圆 与 相切于点时，最大，即射门角度最大. 过点作于 ，连接，如解图, , （米）， ， 四边形是矩形， ,, 米，米， （米）， 米， （米）， 米， 甲位于最佳射门位置时离点 的距离是 米. 例8题解图 30 1. 如图， ，点在射线上，，以 为 圆心在的上方作半径为1的半圆，点,分别是射线，半圆 上的动 点，连接，则 的最小值为_________. 第1题图 31 【解析】如解图，过点作于点，交半圆于点，此时 最 小，的最小值为 第1题解图 32 第2题图 2.如图，在中， ，，， 的半径为 2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点 为切点），则 线段 长的最小值为_ ____. 33 第2题解图 【解析】如解图，连接，，是的切线， ， 根据勾股定理知：， 当最小时， 最小， 当时，线段最短， 在中，， ，， ， ， ． 即线段 长的最小值为 . 34 第3题图 3.如图，等边中，，为上一动点，， ， 则线段 的最小值为___. 3 35 【解析】如解图，连接，取的中点，连接，，过点 作 于 是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，，， 四点共圆， ， 当的值最小时， 的值最小，根据垂线段最短可知， 当 时，，此时的值最小， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为3. 第3题解图 36 第4题图 4.如图,中， ，，， 为平面内一点， 且，过点作，与的延长线相交于点，则 面积的最大值为_ ___. 37 【解析】如解图，， ， 点在以 长为直径的的优弧上. ， ， ， ， 的最大值为的直径即的长度， ， 面积的最大值为 . 第4题解图 38 第5题图 5.如图，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当 最 大时，点 的坐标为_________. 39 【解析】如解图，以为弦作，过点作于，连接 ， ，当与轴相切，且切点为时， 最大，此时 ， 点，点， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， 由勾股定理得， 点的坐标为 . 第5题解图 40 第6题图 6.[2025安庆二模]如图，正方形的边长为4，，分别是边， 上的动点，且，连接，，交于点，连接，当 的值最 小时，点到 的距离为_ ___. 41 【解析】 四边形是正方形，， ， 又，， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 如解图，设 的中点为，连接,当点，， 三点在同一条直线上时， 有最小值，即 ，， . 过点作于点，， ， ，， . 第6题解图 42 $