7.3.1复数的三角表示式 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3.1复数的三角表示式 一、单选题 1.复数 -+： 的三角形式是( A.cos60°+isin60 B. -cos60°+isin60° C.cos120°+isin60 D.cos120°+isin120° 2.复数z=-sin琴+icos琴的辐角主值为( A.弯 B. C. D.器 3.复平面内，向量O币对应复数的共轭复数为-3-1，则O°对应复数的 辐角主值为() A.名π B.-名C.若π D.吾π 4.欧拉公式e=cos+is0是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的6取π就得 到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”。已知复数z满足2=专， 则-e的最大值为() A. B.1 C. D. 5.已知复数z0=6(c0s2+sin),复数z满足-z=1,则的最大值为 () A.7 B.6 c.45 D.65 6.设z=a+bi(abER)(为虚数单位)为复数，则下列说法正确的是()A. 若z是纯虚数，则a=0或b≠0 B.复数z模长的平方值等于复数z的平方值 C.若z的模长为1，则业+的最大值为2 D.若-=1，则0<≤2 7.复数z=1-cos6+isin6(π<6<2π)的辐角的主值为() A.号-号 B.号 C.娶-号 D.号-罗 二、多选题 8.将复数z=3+V31化为三角形式正确的是() A.z=2W3(cos号+isin若) B.z=2V5(cos-isin号) C.z=2v3 (cos+isin) D.2=2v3(cos+isin 9.已知复数,2，则下列命题中正确的是( A.层引=周 B.z+z3>0→z>-z3 C.去ER→Z1eR D.|Z2=1→Z2+克∈R 三、填空题 10.若复数z的模为2，辐角为号π，则系= 11.欧拉公式e=cosx+isix(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现 的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在 复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若 eπi表示复数z,则|z= 四、解答题 12.化下列复数为三角形式. (1)-1+V3i: (2)1-i: (3)2i 13.分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式. (1)4(cos若+isin若)； (2）2(cos号-isin号) 14.求满足方程z+3-3=V3的辐角主值最小的复数z· 7.3.1复数的三角表示式标准答案+解析 一、单选题 1.答案：D 解新复数2=-一十9先求糊r一+停- :再求辐角主值：实 部负、虚部正，对应第二象限，c0s0=-立，s血日=号，得0=120： 因此三角 形式为cos120°+isn120°。 2.答案：C 解析：先将z=一s血马+cos等变形为余弦在前、正弦在后的形式：利用诱导公 式sina=cos(号-a),cosr=sim(号+a),得： z=cos(受+)+isin(受+)=cos+isn路；器∈[0,2，故辐角主值为妥。 3.答案：D 解析：因为复数一5-i的共轭复数为-V+,即向量O市对应的复数为 z=-V3+i。 :=4=《-5+2=2 “2=2(-9+) 则z的辐角主值为琴，即O币对应复数的辐角主值为琴。 4.答案：D 解析：由欧拉公式，e9=cos0+ism0,其模长e=Vcos0+sin0=1,对应 复平面上单位圆上的点。已知☑=专，即z对应复平面上以原点为圆心、半径的 圆。2一e表示两圆上点的距离，其最大值为圆心距+两圆半径之和： k-elmx=b-d+克+1=号 5.答案：A 解析：先化简20： 20=6(cog+sim片)=6(9-i)=35-31 其模长-33+(-3-V27+9=6.2-2z=1表示z在以z0为圆心、 半径1的圆上，的最大值为业d+1=6+1=7。 6.答案：C 解析： A选项：纯虚数要求a=0且b≠0，“或”表述错误。 B选项：☑=+b,z2=(a+b=a2-b+2abi,二者不相等（除非b=0), 错误。 C选项：=1表示z在单位圆上，2+表示单位圆上点到(0，-1)的距离，最大值 为1+1=2（过圆心时取到），正确。 D选项：2-=1表示z在以(10为圆心、半径1的圆上，的范围是0≤2≤2， “0<”错误(z=0时满足2-1=1)。 7.答案：C 解析：对z=1-cos0+isin(π<日<2m变形，利用二倍角公式： 1-cos0=2stn2号，st0=2sin号c0s号，故z=2sin号(sin号+icos号)月 由 π<6<2m,得受<号<元，故sm号>0，模r=2s号；再将sim号+icos号化为 cosB+i过nB形式：st号=cos受-号)，cos号=sim(受-号)，则 z=2n引co(受-号)+sin(受-号刃：因受<号<π，故受-号e(-受，0)，需将 辐角转化为[0,2m内的主值：受-号+2n=妥-号，且受-号E(受，)， 符合 要求，故辐角主值为受一号。 二、多选题 8.答案：AD 解析： z=3+V5i=25(号+)&=2V5(cos号+isim晤)=2N5(cosg+ism2g) 所以辐角主值为晋，辐角为晋+2km(kEZ。 结合选项，令k=0可得辐角为严，B、C两种情况不存在。 故选：AD。 9.答案：ACD 解：引-=|= (ac+bdHH(bc-ad)i (ac+bd)+(bc-ad) cid a+d (c4a2 =-月，故A正确： z+z>0→2++(2-2=6>0，z4=(2+-3+4i z=(2-)}=3-4,则B不正确： 会∈R→Z1∈R显然成立，故C正确： =1,设z2=c0s8+i过in0,则 +=cos0+isin0+cosetisine cos0+isin+cose-isine=2cos0ER, 故D正确。 故选：ACD。 三、填空题 10.答案：5+i 解析：由已知： z=2(cos号+isin等) =2(-+) =-1+V3i1 所以： - -1+5 =-i43i -1 = -1 =V5+i 故答案为：5+i。 11.答案：1 解析：由欧拉公式er=cosx+isix,得z=e2学i=cos20红+n209m；复 数的模r=cos2x+sinx=1(任意由欧拉公式表示的复数，模均为1)，故 4=1。 四、解答题 12.解： z=-1+51r=-+-2,对应点(-1同在第二象限， cos0=-克，sin0=与，0=等：三角形式：2cos+iin肾） ②z=1-1r=V+(-=巨，对应点(1-在第四象限，c0s0=方， s血8=-方，日=华；三角形式：V(cos+isn4)(或 2(co-)+isim(-》,主值取妥)。 (3)z=2i=0+2ir=V0+22=2,对应点(0,2)在虚轴正半轴，辐角主值0=受： 三角形式：2(cos受+isin) 13.解： (1)模：4； 辐角主值：： 代数形式：4×号+4×1=23+2。 (2)2cos号-isin)先化为标准三角形式（正弦前为+）：2cos号+isim罗) (因co-)=cos,sim(-)=-sna,晋的负角为-晋，主值为牙)； 模：2 辐角主值：变； 代数形式：2×安-2×号1=1-51。 14.解：设z=x+yi,则2+3-V5=5,即 (x+3)°+y-°=3 表示以（-3，V3为圆心，5为半径的圆。 如图所示：当OP与圆相切于点P时，对应的复数的辐角主值最小。 易知，AB=3,OB=3,在直角△AB0中： tan∠A0B=号→LA0B=君 同理可得∠A0P=,故复数的辐角主值为： π-晋-晋=琴 且oP=|o=3,因此： z=3(cos等+isin肾)=-寻+51 ◇ 3 2 B -4-3-2-10 12