10-专题十 曲线型最值问题(含隐圆)-【一战成名新中考】2026安徽中考数学·二轮复习·专项分类提升练

一战成名新中考 专题十曲线型最值问题（含隐圆）(10年4考) 类型①点圆、线圆最值问题 >考法1点圆最值 明模型解读 已知：⊙O的半径为r,A是平面内一定点，P是圆上一动点，确定PA的最值 类型 定点在圆外（最常考） 定点在圆上 定点在圆内 动点P 动点P 动点P 作图 定点A∠ 最大P 定点A 最大P, 最小P 最大P 最小P 最小P 0 定，点A 解法 方法：“一箭穿心”找最值，“近定点”取最小，“远定点”取最大 提炼 依据：三角形三边关系，三点共线，圆中最长弦是直径 最大值 AP,=0A+r AP,=OA+r=2r AP,=OA+r 最小值 AP=0A-r AP,=0 AP=r-AO 例1如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12,BC=10,D是边BC的中点，以点D为圆心，BD长为半 径作⊙D,E是⊙D上一点，则线段AE的最小值为 ,AE的最大值为 B D 例1题图 例2题图 》考法2线圆最值 即模型解读 已知：⊙0的半径为r,圆心O到定直线m的距离为d,点P是圆上一动点，确定点P到直线m的最值 类型 线圆相离 线圆相切 线圆相交 最大P 最大P, 最大P 动，点P 动点P 动点P 作图 0 0 M 最小P Q Mm 最小，) Q最小P, 方法：过圆心作定直线的垂线与圆相交，“近垂足”取最小，“远垂足”取最大 解法 依据1：垂线段最短 提炼 依据2：三角形三边关系及三点共线 最大值 PQ大=d+r PQ最大=2r PQ最大=d+r 最小值 PQ最小=d-r PQ最小=0 PQ最小=0 例2一成名原创如图，AB是⊙0的弦，C是⊙0上一动点，连接AC,BC,若⊙0的半径为5，AB=8,则 点C到AB距离的最大值为 ,△ABC面积的最大值为 专项分类提升练·安微数学 19 >考法3利用勾股定理确定最值(2015.20) 围模型解读 例3[2015安徽20题改编]如图，在⊙0中，直径AB=6,BC 情形1：圆心与弦上一点连线的最值 是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙0上，且OP⊥ 图示及辅助线： PQ.当点P在BC上移动时，PQ长的最大值为 C(Q) 例3题图 最值：PQ=√0Q-0P=√P-0P,当 例4如图，⊙M的圆心为M(4,0),半径为2，P是直线y=x+4 OP⊥BC时，OP长最小，PQ长最大（此 上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q,则PQ的最 时点Q与点C重合) 小值为 情形2：过直线1上一点向圆作切线，切 线长的最值 ,y=x+4 图示及辅助线： M 例4题图 N NN) 最值：当ON⊥l时，切线长MN取得最 小值√0N2- 类型②辅助圆最值问题 >考法1定点定长(2023.22) 颶模型解读 例5如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=6,点E在边CD（一)定点定长 上，且DE=4,F是边AD上一动点，将△DEF沿直线EF折 等距成圆 旋转成圆 叠，点D落在点N处，当点N在四边形ABCD内部（含边 条件： 条件： OA=OB=OC 旋转△ABC 界)时，DF的长度的最小值是 ( 例5题图 折叠成圆 斜边中点 条件：点P在BC条件：AB为定 A.2 B.2√13 C.4 D.42 边上，沿AP折叠长，C为AB的中 △ABP 点，点A,B在射 线OM,ON上滑 动 20 专项分类提升练·安微数学 一战成名新中考 >考法2定弦定角(2016.10) （二)定弦定角 例6如图，在正方形ABCD中，AB=2,P是正方形ABCD内一 常考定弦定角模型及辅助圆作法 点，若∠APB=90°，则PC的最小值是 ( 90°型 45°、135°型 D 135° B 例6题图 0 60°、120°型 30°、150°型 A.1 B.√5 C.5-1 D.√5+1 P D /609 30 209 150N B 》考法3四点共圆(2021.10) (三)四点共圆 例7[2025合肥二模]如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点情形1：对角互补 E是AB边上的一个动点，连接DE,∠DEB的平分线EF交 CD边于点F,若DM⊥EF于点M,连接AM,BM,则AM+BM 的最小值是 B 情形2：定线段同侧有等角 例7题图 A.√17 B.2√5 C.√2+√/10 D.5 。考法4最大张角 (四)最大张角 例8[人教九上P124第11题、沪科九下P62综合与实践改 M 编]如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂 直于对方球门线PQ的方向带球射门，DC上PQ,垂足为C, 若PQ=8米，PC=2米，仅从射门角度大小考虑（射门角度 B N 越大越容易进球)，则甲位于最佳射门位置时离点C的距离 当⊙I与边OM相切于点C时，∠ACB 为 最大 例8题图 A.4米 B.25米 C.26米 D.5米 攻思路剖析 由最佳射门位置（射门角度越大越容易进球），可知本题为最 大张角问题，假设最佳射门位置为点M,即求∠PMQ最大时 CM的值.∠PMQ最大时即以PQ为弦的圆与CD相切时. 专项分类提升练·安微数学 21 8综合训练 1.一成名原创如图，∠ABC=60°，点0在射线BC上，OB=4,以0为圆心在BC的上方作半径为1的半 圆，点M,N分别是射线BA,半圆O上的动点，连接MN,则MN的最小值为 0 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3,0B=4,⊙0的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作 ⊙O的一条切线PC(点C为切，点)，则线段PC长的最小值为 3.如图，等边△ABC中，AB=4,P为AB上一动点，PD⊥BC,PE⊥AC,则线段DE的最小值为 B 第3题图 第4题图 4.如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=√5，D为平面内一点，且∠BDA=∠C,过点B作BE⊥BD,与 DA的延长线相交于点E,则△BDE面积的最大值为 5.如图，点P(2,0),点Q(6,0),点A为y轴正半轴上的一个动点，当∠PAQ最大时，点A的坐标为 A D O P B E 第5题图 第6题图 6.[2025安庆二模]如图，正方形ABCD的边长为4，E,F分别是边BC,CD上的动点，且BE=CF,连接 AE,BF,交于点P,连接CP,当CP的值最小时，点P到AB的距离为 22 专项分类提升练·安微数学专题七十字模型 例【问题探究】证明：，四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠C=90°，AB=BC,∠CBG+∠ABP=90°， .·AF⊥BG,.∠BAF+∠ABP=90°， .∴.∠CBG=∠BAF .△ABF≌△BCG(ASA),.AF=BG: 【知识迁移】解：如解图①，作EM⊥DC于点M,作HIN⊥ BC于点N, 则EM∥AD∥BC,HN∥AB∥DC. ∴.EM⊥HN,EM=AD=BC,HN=AB=DC 又.·EG⊥HF,.易得∠GEM=∠FHN. .Rt△EMG∽Rt△HNF, HF 3 H A D FH 例题解图① 例题解图② 【拓展应用】解：如解图②，过点D作DH⊥BC于点H. 交CE于点M,则∠DHF=∠ABC=90°， .∠CMH+∠BCE=90°， .CE⊥DF, .∴.∠PDM+∠PMD=90°. .·∠PMD=∠CMH, .∠BCE=∠PDM,即∠BCE=∠HDF Rt△CBE∽Rt△DHF,DFD, .BD=CD,∠BDC=120°， .∠DCH=30°，BC=2CH. 在Rt△CHD中，∠CHD=90°. m0盟9 .CIH=√3DH,.BC=23DH CE_25Dl=25. ·DFDH 1102 ·变式40 3 专题八折叠问题 等边30，菱形例号1752后 3 3.(1)60:(2)5+14.(1)30:(2)√3 5.(1)90°-a:(2)3√5【解析】(1).：MN⊥EF,∠BEF=a, .∠EMN=90°-a,.·在正方形ABCD中，CD∥AB, ∴.∠CNM=∠EMW=90°-a,∴.∠C'NM=∠CNM=90°-a: (2)解法1：如解图①，设PⅢ与NC交于点G,·四边形 ABCD和四边形EFGH是正方形，∴.∠A=∠D=∠GHE= 90°，GH=EH,∠AHIE+∠GHD=∠AHE+∠AEH=90°， ∠GHD=∠AEH,∴.△HDG≌△EAH(AAS),同理可证 △IHDG≌△GCF≌△FBE,∴.DH=CG=AE=4,DG=EB=8, .GH=√DG+D㎡=45，'MN⊥GH,且∠C'NM= ∠0NM易得MN垂直平分cG,PG=PG=2cG,且 NG=NG',由折叠的性质得CN=C'N,∴.CN-NG=C'N NG',即C'G'=CG=4,.△GDH沿GH折叠得到△GD'H, ∴.GD'=GD=8,.·∠HCG'=∠HD'G=90°，∴.C'G∥D'G, 参考答案与重难题 一战成名新中考 HG'C'G'1 HcD元2HG=GG=2G=25,又：PG= 2GC-/5..PH-PG+HC=35. NG D D D B'M B'M 图① 图② 第5题解图 解法2：如解图②，设HB'与EF交于点0，MN写EF交 于点Q,连接QB,QB',易证△AHE≌△BEF,.HE=EF 三45，an∠A亚=tan∠BEF=7易证an∠A证E tan∠EH0=OE1 20E=0F=25,易证△0B'0≌ △QBF,∴.Q0=QF=5,HP=EQ=0E+0Q=25+5= 35. 专题九直线型最值问题 例1D例2C例32W2例4√2例5B例6A 例7√5例82√5例965例10√13+√3 例11A例12√191.22.83.64°4.305.4W2 6.3√2+1 专题十曲线型最值问题（含隐圆） 例18,18例28.32例335例427例5A 2 例6C例7B例8B1.25-122T 5 3.3 496 5 5(0,25)645 5 专题十一 与轨迹有关的问题 [自主解答] -----1 m A M BAh →B 解图① 解图② 解图③ 例16√2+6 例2C【解析】解法1：如解图①，过E作EQ∥BC,过A作 AB的垂线交EQ于点Q,则∠B=∠AEQ=60°，∴.∠AQE =∠EFG=30°，：∠EGF=∠EAQ=90°，.△AEQ a6器器5祭c-20e ∠OBG,△AEG∽△OEF,AC-A QF QE =sin30°=1 AG 2OF,过E作EH⊥BC于点H,则EH=BE·sin60°= 45,:点F是BC上的一点，∴.QF⊥BC时，QF最小，此 时QF=EH=45AG的最小值为)QF=23. 解法2：如解图②，过E作EM L BC于点M,连接MG, 作MH⊥AB于点H,作AP⊥MG交MG的延长线于点 P:∠EMF+∠ECF=180°，：点EM、F.G四点共圆， 解析·安微数学 25