09 专项4 综合训练-【一战成名新中考】2026云南中考数学·二轮复习·专项分层提升练优质PPT课件

数学 1 2 专项4 压轴题——圆 3 1.名师原创如图，已知点是外接上一点，过点 分别作 于点，于点，，交的延长线于点 ，连接 ，，，且 . 第1题图 （1）若 ，求 的度数； 解：与是所对的圆周角， ， ； 4 （2）求证：是 的切线； 第1题图 证明：如解图①，连接并延长交于点，连接 ， 点是 上的一点， 是 的直径， ， ， 第1题解图① ， ， ， ， ， , 是 的半径，是 的切线； 5 （3）连接，，求证： . 第1题图 第1题解图② 证明：如解图②，过点作，交于点 ， 连接交于点 ， ，， ， ，，，四点共圆，，，， 四点共圆， ， ， ，，， 四点共圆， ， ， 点，， 在同一条直线上， 点与点 重合， 6 ， ， ， , ， 第1题解图② , ， ， ，即 . 2.[2025曲靖麒麟区一模]如图，，是的直径，且 于点 ，为上一点，连接交于点，延长到点，连接，使 恰好平分 . 第2题图 （1）求证：为 的切线； 证明：, , , , 平分 ， , , 又为 的半径，为 的切线； 8 （2）若的直径为12，，求 的长； 第2题图 解：的直径为12， ， ，，， ， 在中， , , , , , ； 9 （3）若，；； 三个结论，你认为哪个结论正确？请证明你的结论. 第2题图 解：②正确，证明如下： 如解图，连接 ， 为 的直径， ,由（1）知 ， , , , 第2题解图 10 四边形是 的内接四边形， ， 又， ， ， ， ， 又 ， . 第2题解图 3.[2025楚雄元谋县二模]如图，是的外接圆，为 的直 径，为劣弧的中点，连接，与交于点，并过点作 的平行 线分别交，的延长线于点， . 第3题图 （1）求 的度数； 解：为 的直径， ， ， ; 12 （2）求证：是 的切线； 第3题图 第3题解图 证明：如解图，连接交于点 ， 为劣弧 的中点， ， ， ， ， , , 是 的半径，是 的切线； 13 （3）看一看，想一想，证一证：存在一个常数，使得 . 以下三个结论，，， ，你认为哪个正确？请说明理由. 第3题图 第3题解图 解： 正确，理由如下： 如解图，连接 . 由（2）知 ， . 为 的直径， , , 14 . , , . , , ， ， ， . 又 ， , 第3题解图 , ， 由 ， 得 ， ， 存在常数,使得 成立. 第3题解图 4.[2025昆明市统测]如图，是的外接圆，是的直径， 平分，点在的延长线上，连接，，，点 是劣弧上的一个动点（不与点，重合），连接，，过点 作 于点 . 第4题图 （1）若 ，求 的度数； 解： 四边形是 的内接四边形， ， ， ； 17 （2）求证：是 的切线； 第4题图 证明： ， ， ， ， ， 是 的直径， ， ， ， ， ， 为的半径，是 的切线； 18 （3）在点的运动过程中，试探究 的值是否改变， 若改变，请说明理由；若不变，请求出该值. 第4题图 解：的值不改变， .理由如下： 如解图，在上截取，连接，， ， 平分， ， ， ， ， ， 第4题解图 19 在和 中， ， ， ， 为的中线， ， ， ， . 第4题解图 5.[2025玉溪易门县一模]如图，是的外接圆，为 的直 径，的平分线交于点，交于点，连接，过点 作 ，交的延长线于点 . 第5题图 （1）求证：直线是 的切线； 证明：如解图，连接 ， 为 的直径， . 是 的平分线， ， 第5题解图 ， ， ， ， 为 的半径， 直线是 的切线； 21 （2）求 的值； 第5题图 解：如解图，延长至点，使得，连接， ， 由（1）知， ， ， ， 四边形为 的内接四边形， . 在和 中， ，， ， 第5题解图 22 ， ， 即 ， 是等腰直角三角形， ， ； 是 的直径， 第5题解图 （3）求证： . 第5题图 第5题解图 证明：由（1）知， ， ， ， ， . ， ， ， ， 24 第5题解图 ， ，即 ， . 25 6.[2025楚雄大姚县二模]如图，四边形是的内接四边形， 是 的直径，，延长至点，使得，连接 ， 是直径上方的半圆上的任意一点，连接,, . 第6题图 （1）若 ,,求 的长； 解：是的直径，四边形是 的内接四边形， ， ， , , 又， ; 26 （2）求证：是 的切线； 第6题图 证明：如解图①，连接 ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 第6题解图① 27 ， ， ， ， ， 是的半径，是 的切线； 第6题解图① （3）多解法若点在半圆上运动，当面积 最大且 时，求 的长. 解：解法一：如解图②，过点作于点， 过点作 于 点，交的延长线于点 ， . 第6题解图② 四边形是 的内接四边形， ， 第6题图 29 在和 中， ， ， ， 由（2）知 ， , , 第6题解图② ， ， 长是定值， 当最大时，最大，即当经过点时， 最大，此时 垂直平分 ， ，，即 ， . 第6题解图② ， ， , ， ， ，解得 . 第6题解图② 7.[2025昆明官渡区一模]如图，四边形的外接圆是以 为直径的 ， .点是劣弧上任意一点（不与点， 重合），连 接，，，延长至点，使 . 第7题图 （1）求 的度数； 解： 四边形是 的内接四边形， ， 又 ， ； 33 （2）求证：直线与 相切； 第7题图 证明： ， ， ， ， ， 是的直径， ， 又 ， ， ， ， 是 的半径， 直线与 相切； 34 （3）多解法点在运动过程中， 的值是否发生变化，若不变，求出 这个值；若发生变化，请说明理由. 第7题图 解：的值不改变， . 理由如下：解法一：如解图，过点作， 交于点 ，则 ， 是 的直径， 第7题解图 ， ， ， 35 ， ， ，即 ， 在中， ， ， ， ， 第7题解图 ， ， 由（1）知 ， ， ， ，即 ， ， ，即 . 第7题解图 解法二思路：利用托勒密定理可得， ，① 中， ， ，，代入①可得 ， 即 . 第7题解图 8.[2025文山西畴县二模]如图，是的直径，点 是圆上任意一点， 过点作于点，交于点，延长至点，连接， ， ，延长与的延长线交于点 . 第8题图 （1）求证：是 的切线； 证明：如解图，连接 ， 是的直径， ， ， ， ， 第8题解图 39 ， ， ， . 是 的直径， ， ， ， ， ， 是 的半径， 是 的切线； 第8题解图 （2）若，，求 的长； 第8题图 第8题解图 解：，是 的直径， ， ， ， ， ， ， ， 41 ， ， ， ， . 由（1）知：， ； 第8题解图 （3），，请计算的值（用含 的式子表达）. 第8题图 解：是 的直径， ， ， ，， , 设，则， ， ， ， ， 43 四边形为 的内接四边形， ，， ， ， ， ， . 第8题图 9.[2025玉溪红塔区统测]如图，四边形内接于， ， ，，垂足为，是的直径，点是 上异于点 ，的一点，点在的延长线上，且，与 交于点 ，设， . 第9题图 （1）若 ，直接写出 的度数； 解：的度数为 ； 【解法提示】， ， ， . 45 （2）求证：直线是 的切线； 第9题图 证明：如解图①，连接 ， 是 的直径， ， ， 第9题解图① ，即， ， ， ， ， 是 的半径， 直线是 的切线； 46 （3）若，，以下三个结论：， ， ，你认为哪个正确？请说明理由. 第9题图 解：正确.理由如下：如解图②，在上 截取点 ，使得 ， , , 在和 中， ， ， 第9题解图② 47 ， ， , , ， ， ， 在和 中， ，化简得 ， ， ， 第9题解图② ， ， ， , ，. ， 点与点重合， . 第9题解图② 10.[2025昆明三中二模]如图①，为的直径，弦 ，连接 ，，为上一点，，连接并延长交于点 ，连接 ，在的延长线上取一点，使，连接 . 第10题图① （1）若，求 的长； 解：是的直径， ， ， ； 50 （2）求证：是 的切线； 第10题图① 证明：， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， 是 的半径，是 的切线； 51 第10题图② （3）看一看，想一想，证一证：如图②，连接， 交于点 ，若 ，以下与线段， 有关 的三个结论： ， ， ，你认为哪个正确？请说明理由. 解： 正确. 理由如下：如解图，连接 ， 是的直径，弦 ， 垂直平分 ，， ， 第10题解图 52 由（2）知，， ， ，， ， ， ， , ， ， ， ， ， . 第10题解图 11.[2025昆明西山区二模]如图，是的直径，内接于， 是的中点，连接交于点，连接交于点，过点 作 交延长线于点，连接 . 第11题图 （1）求证： ； 证明：是 的中点， ， ， ， ， ， ； 54 （2）求证：是 的切线； 第11题图 证明：如解图，连接 ， ， ， ， ， 在和 中， ， ， ， 是 的半径，是 的切线； 第11题解图 55 （3）多解法若是的中点，请探究，与 之 间的数量关系，并说明理由. 第11题图 解：，理由如下：解法一： 如解图，连接 ，是 的直径， ， ， ， 第11题解图 是 的中点，是 的垂直平分线， 点在 上， ， 56 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， . 中，， ， 第11题解图 ， ， ， 又 ， . 第11题解图 解法二思路：连接，，构造圆内接四边形 ，利用托勒密定理 也可求解. 第11题图 59 12.名师原创如图，是的直径，是的一条弦， 于点 ，交于点，于点，交于点，交于点，是 上一点，连接，过点的直线交的延长线于点，且满足 . （1）求证：是 的切线； 第12题图 60 证明： , ， ， ， , ， ， ， 是 的半径， 是 的切线； 第12题图 61 （2）若，，求 的长； 第12题图 解：如解图，连接 ， 由（1）知 ,， ， 第12题解图 ，即 ， ， ，是 的直径， ， ，是 的半径， ， ， ， ; 62 （3）连接，若，试问 的值是否为定值？如果 是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 第12题图 解：的值是定值， . 如解图，是的直径， ， ， ，即 , ， ， 第12题解图 63 第12题解图 是 上一点， ， ， 点，， 在同一条直线上， ， . 64 $