03 专项4 教材母题变式2 弧中点、对角互补、旋转模型-【一战成名新中考】2026云南中考数学·二轮复习·专项分层提升练优质PPT课件

数学 1 2 专项4 压轴题——圆 教材母题变式2 弧中点、对角互补、旋转 模型 （2025.27,2022.23） 3 一、弧中点模型 条件 结论 为 的外接圆，点为 的中点，连接 交于点 如图1， 如图2，点是半圆中点， 如图3，4， ;如图3， 如图4， 图1 图2 图3 图4 4 二、弧中点结合对角互补、旋转模型（点为 的中点） （1）等线构全等：如图5，延长到点，使得 ，则 ； 图5 5 （2）等角构相似：如图6，，作交 的延 长线于点，则 ; 图6 6 （3）角平分线作垂线构全等：如图7，过点作于点，过点 作 的延长线于点，则 . 图7 7 例1题图 例1 答题规范[2025云南27题12分·人教九上P87例4]如图，是五边形 的外接圆，是的直径，连接， ，， . （1）若，且 ，求 的度数； 解：， 是等腰三角形， 又 ， 是等边三角形， ；…………3分 8 （2）求证：直线是 的切线； 例1题图 证明：如解图①，连接， ， ， ， ， 又， ， 例1题解图① 9 ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 又是的半径， 直线是 的切线；…………7分 例1题解图① 10 例1题图 （3）多解法探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数， ， 使等式成立？若存在，请直接写出一个的值 和一个 的值，并证明你写出的的值和的值，使等式 成立；若不存在，请说明理由. 【解题突破口】①等式 有 线段平方、线段乘积，想到利用全等或相似； ②，利用比例式将， 转化到两 个三角形中； ③利用比例式将，， 转化到两个三角形中. 11 解：解法一：弧中点模型 存在, 使等式成立. 证明：如解图①，设与的交点为点， 平分 ， ， ，① ， ， 又 ， ， ， ，② 例1题解图① 【抽离模型】 12 ，， , ， ，③ 由①，②，③得： ， ， 又，, .…………12分 例1题解图① 【抽离模型】 13 解法二：对角互补模型——全等（角平分线作垂线或等边旋转法） 存在, 使等式成立. 证明：如解图②，过点作于点，的延长线于点 ， 平分，，， ， 在和 中， ， 例1题解图② 14 ，同理可证： ， 在中， ， ， ， 等式成立，, . 例1题解图② 解法二延伸1：延长到点，使得，连接，过点 作 的延长线于点 . 16 解法二延伸2：延长到点，使得，连接，过点 作 于点 . 17 解法三：对角互补模型——相似（等边旋转法） 存在, 使等式成立. 证明：如解图③，延长交于点 ， 平分， ， 又 ， ，， ， ， ， 例1题解图③ 【抽离模型】 18 四边形内接于， ， 又 ， ， ， , ， 即 ， 等式成立， , . 【抽离模型】 例1题解图③ 19 例2题图 例2 [人教九上P87例4改编]如图，是的外接圆，为 的直 径，过圆上一点作，交的延长线于点，连接,, . 求证： .#2.1 【逆向思维引导】求证 ，想到将其转化为比例式 ，等式左边即，等式右边即 ，则证明 即可.#2.1.2 . . . . 20 证明： 四边形是 的内接四边形， ， ， （圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角）， ， 例2题图 （同弧所对的圆周角相等）， ， ， ， （两角分别相等——对角互补型相似）， ， . 21 对角互补模型 【寻找模型】—基础图形 已知：四边形内接于 隐含条件： . . 22 【抽离模型】 【解决模型】 结论： 基本方法：已知对角互补，找另一对等角 题后反思 对角互补模型是关于圆内接四边形的经典模型，可涉及相似，也可涉及全 等，要学会举一反三哦！ 23 变式 多解法 [人教九上P88第5题改编]如图，四边形内接于 ，对 角线是的直径，是的切线，平分.若, ， 求 的长. 变式题图 【逆向思维引导】要求的长，观察可知需转化求解.本题对角互补 邻 边相等是经典的一类旋转模型，解题关键在于旋转（或作垂线），旋转的 角度大小是相等邻边的夹角.本题 需要证明才能得到，通过旋转 （或作垂线）可将的长转化到线段 上继而求解. . . . . 24 解：解法一:作垂线法如解图①，过点分别作于点， 交的延长线于点,则 . 是 的直径， ， 变式题解图① 四边形 是矩形， 平分 ， ， 矩形 是正方形， ， ， ， ， 25 ，， ， 设，则， ， ，，解得， ， 在中， . ， ， 如解图②，将绕公共顶点旋转使得与重合，得到 ， ,,, , ， 变式题解图② 解法二:旋转法是 的直径， ， 平分， ， ， 即 ， 四边形内接于 ， ， ， 即,, 三点共线， 在中，，即 , （负值已舍去）. 对角互补模型 【寻找模型】—基础图形 已知：四边形内接于,平分 推知： 29 【抽离模型】 方法一:作垂线法 辅助线作法：过公共顶点分别作， 的垂线 结论： . . 30 方法二:旋转法 辅助线作法：将绕公共顶点旋转使得与 重合 结论： （注:延长到点，使得，连接 异曲同工） 【总结应用】遇等腰，绕顶点，必旋转. . . 31 $