02 专项2 关键点2 特殊四边形中的面积问题-【一战成名新中考】2026云南中考数学·二轮复习·专项分层提升练优质PPT课件

数学 1 2 专项2 特殊四边形的判定与计算 关键点2 特殊四边形中的面积问题 （近6年必考，2025.18，2024.24（2），2023.22（2）， 2022.21（2），2021.20（2），2020.22（2）） 3 例3 ［新人教八上P21第2题改编］如图，，分别为 的中线和 高，的面积为5，，则 的长为___. 例3题图 5 解题关键点： ①三角形面积公式： 底×高； ②面积倍分思想：中线将 分成2个面积相等的三角形. 【解析】为的中线，， 的面积为5，，为的高， ， ， . 4 变式 如图，是的中线，平分.若，则 __. 变式题图 解题关键点：通过三角形面积公式转化求解线段比值. 【解析】如解图，过点分别作于点， 于点， 平分，， ，即 ， ，是的中线， ， . 变式题解图 5 例4 ［人教八下P60第6题改编］如图，在菱形中，对角线， 交 于点，分别延长，，使得,,连接.若 ， ，则： 例4题图 （1）菱形 的面积为____； 24 解题关键点： 思路一：底×高 两条对角线长的乘积的一半； 思路二：面积倍分思想： . 6 例4题图 【解析】 四边形是菱形，对角线，交于点， ， , ，， ，由题意， 得，在中， ， ， ； 7 （2）四边形 的面积为____； 48 例4题图 解题关键点：面积倍分思想：, ， 可得 . 【解析】，， ； 8 例4题图 （3）点到 的距离为_ __. 设问解读：求点到的距离即为求四边形以 为底边时的高. 【解析】易得四边形是平行四边形，， 点到 的距离即为四边形以为底边时的高， 设点到的距离为 ， 则，，即点到的距离为 . . . 9 类型1 判定矩形（8年3考） 第1题图 1.答题规范[2025云南24题8分]如图，在 中， ，是的中点. 延长至点，使 . 连接，.记，，的周长为 ， 的周长为，四边形的周长为 . （1）求证：四边形 是矩形； 10 第1题图 证明：是 的中点， ， ， 四边形 是平行四边形，……………………2分 ， 平行四边形 是矩形；………………………4分 11 （2）若，，求 的长. 第1题图 解：由（1）知，四边形 是矩形， ， , , 又, , ， ， 解得 ， ， ..………………………………8分 12 2.如图，在中，，，分别是边，的中点，过点 作 交延长线于点，连接， . 第2题图 （1）求证：四边形 是矩形； 证明： 点，分别是边， 的中点， 是的中位线， ， ，即 ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 平行四边形 是矩形； 13 （2）连接，若，，求 的长. 第2题图 解：如解图，过点作于点 ， 第2题解图 是的中点， ， ， 由（1）知，四边形 是矩形， ， ， ， 又， ， ， 在中， ， 在中， . 14 3.名师原创如图，四边形为平行四边形， ，，， 分别是，，的中点，连接，，，交于点 . 第3题图 （1）求证：四边形 是矩形； 证明： 四边形 为平行四边形， ， ， ，分别是， 的中点， ， ，， ， 四边形 是平行四边形， ， ，分别是， 的中点， ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 平行四边形 是矩形； 15 （2）若，，求 的长. 第3题图 解： 四边形 是矩形， ， ， ， （负值已舍去）， ，是， 的中点， ， 四边形 是矩形， ， 是 的中点， ， ， . 16 4.如图，在四边形中，对角线与相交于点，是， 的中 点，点在四边形外，且 . 第4题图 （1）求证：四边形 是矩形； 证明：如解图，连接 ，是， 的中点， 第4题解图 ，， 四边形 是平行四边形， , 在中， ， 在中， ， ， 平行四边形 是矩形； 17 第4题图 （2）若， ，求矩形 的面积. 解： 平行四边形 是矩形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， . 18 5.[2025 西双版纳景洪市二模]如图，在四边形中， ， ，点在上，且，两点关于对称，连接并延长交 于 点,与的延长线交于点，，分别为，的中点，连接， . 第5题图 （1）求证：四边形 是矩形； 证明：， ， ， ，两点关于 对称，， ， ， ,为 的中点， 是的中点， ， 19 ， , , , 又 , ， ， 为的中点, ， ， 四边形 是矩形; （2）若，，求矩形 的长和宽. 解： ， ， ， ， ， 解得 （负值已舍去）， 由（1）知，， ， 是斜边 的中点， ， ， 矩形 的长为4，宽为1. 21 6.[2024云南24题改编]如图，菱形的面积为24，对角线， 交于 点，比长2，点，，，分别在边，，， 上，连接 ，，，，， . 第6题图 （1）若，求证：四边形 是矩形； 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形 是矩形； 22 （2）若，分别为，的中点，求， 两点间的距离. 第6题图 解：连接 ，如解图， 四边形是菱形，对角线，交于点 ， 第6题解图 ，， ，， ， 比长2，即 ， ， ， ， ， ， 解得 （负值已舍去）， ， ， 23 ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 两点间的距离是5. 第6题解图 类型2 判定菱形（8年4考） 7.如图，在中，对角线与交于点，， ， . 第7题图 （1）求证：四边形 是菱形； 证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 是直角三角形，且 ， ， 平行四边形 是菱形； 25 （2）延长至点，连接交于点，延长交于点 ，若 ，求 的值. 第7题图 解：由（1）可知，四边形 是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， . 26 8.如图，在中， ，是的中点，， 是 的平分线，连接， . 第8题图 （1）求证：四边形 是菱形； 证明： ，是 的中点， ， ， ， 是 的平分线， ， ，， ， ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 平行四边形 是菱形； 27 （2）多解法 若，求 的长. 第8题图 解：解法一：由（1）可知，， 四边形 是菱形，， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， ， ， ， 在 中， . 解法二思路：同理证得四边形是菱形，可得 是等边三角形，设与交于点，易得， 的长度易求. 28 9.[新人教八上P46第18题改编]如图，在四边形中，对角线， 交 于点，，，点在上，连接， ，且 . 第9题图 （1）求证：四边形 是菱形； 证明：， ， 垂直平分 ，， ， ， ， ， ， ， 四边形 是菱形； 29 （2）若，，，求 的长. 第9题图 解：由（1）可知，四边形 是菱形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 即 的长为5. 30 10.如图，平行四边形的对角线交于点，平分，，是 的三等分点. 第10题图 （1）求证：四边形 是菱形； 证明： 四边形 是平行四边形， ，， ， ，是 的三等分点， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 平分 , ， 31 ， ， 平行四边形 是菱形， ， 平行四边形 是菱形； 第10题图 （2）若四边形 的周长为12，两条对角线的长度之和等于7，求平行 四边形的面积 . 第10题图 解： 菱形的周长为12， ， 设，，则 ， ， 由（1）知， ， 在中， ， ，即 ， 可得 ， ， 33 ， ，是 的三等分点， ， 菱形的面积是菱形 的面积 第10题图 的3倍， 平行四边形的面积 . 11.[2025广安改编]如图，，是正方形的对角线 上的两点， ，，连接，，， . 第11题图 （1）求证：四边形 是菱形； 第11题解图 证明：如解图，连接 ， 四边形 是正方形， ， ， 在和中， 35 ， ， ，为正方形 的对角线， 垂直平分 ， ， ， ， 四边形 是菱形； 第11题解图 （2）若四边形的周长为，求 的长. 第11题图 解：如解图，记与交于点 ， 四边形为正方形， ， ， ， 四边形 是菱形， ， 菱形的周长为 ， ， ， 在中， ， . 37 12.[2025昆明西山区一模]如图，在矩形中，，分别是， 的 中点，，分别是线段， 的中点. 第12题图 （1）求证：四边形 是菱形； 证明： 四边形 是矩形， ， ， 点是 的中点， ，， ， ，分别是线段，的中点，点是 的中点， ， ， 又 ， ， 四边形 是菱形； 38 （2）若，菱形的面积为24，求菱形 的周长. 第12题图 解：如解图，连接 ， 四边形是矩形，，分别是， 的中点， ， ， ， 设， ， ， 菱形 的面积为24， ， 第12题解图 39 点是 的中点， ， , （负值已舍去），， ， 菱形的周长 . 第12题解图 类型3 判定平行四边形（8年7考，在判定菱形或矩形时涉及考查） 13.如图，在四边形中，，对角线，过点 作 于点，交于点，连接 . 第13题图 （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明：， ， ， ， 四边形 是平行四边形； 41 （2）若点是的中点，，，求 的长. 第13题图 解： ， ， 点是的中点， ， ， 由（1）可知，四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 42 ， 设，则 ， 在中，，即 ， 解得 （负值已舍去）， 第13题图 ，即的长为 . 14.[2025楚雄市一模]如图，在中，，分别平分 ， 交对角线于点，，过点作，垂足为，连接， . 第14题图 （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明： 四边形 是平行四边形， ，， ， ， ，分别平分， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 四边形 是平行四边形； 44 （2）若的周长为28，，求 . 第14题图 解：如解图，过点作于点 ， 的周长为28， ， 平分，， ， ， 第14题解图 . 45 15.如图，在平行四边形中，对角线，交于点，是 的中点， 连接交于点，点在延长线上，且，连接，， . 第15题图 （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明： 在平行四边形中，对角线，交于点 ， ， ， , ， ， ， 是 的中点， ， 46 ， ， 四边形 是平行四边形； 第15题图 在和 中， （2）若，，，求 的长. 第15题图 解:由（1）知，四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在 中， . 48 类型4 判定正方形 第16题图 16.如图，在四边形中， ，是 的中点， ，连接，，过点，分别作， 交 于点 . （1）求证：四边形 是正方形； 49 证明：如解图，延长，交于点 , ， , 四边形 是平行四边形, , , ， 是的中点, , 第16题解图 50 在和 中, , ， , ， , 第16题解图 , 是等腰直角三角形, ,即是 的中点, ， , 四边形 是正方形； （2）若，，求四边形 的面积. 第16题图 解：如解图，过点作于点 ， 由（1）得，， ， 是 的垂直平分线， ， ， ，， , , ， ， ， , ， ， 第16题解图 52 ， . 第16题解图 $