专题08 角平分线相关模型（几何模型讲义）（原卷版）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题08 角平分线相关模型 角平分线是初中几何的“万能纽带”：基础题保分靠它，中档题模型靠它，压轴题构造辅助线也靠它。选择、填空、解答题几乎都会出现，单独考简单，综合考很难。常和全等、相似、等腰、圆、坐标系、面积、最值捆绑出现。本专题就角平分线的性质、角平分线与平行线的结合、角平分线与垂线的结合进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 15 ‌ 角平分线的性质‌指的是角平分线上的点到角两边的距离相等，见角分线，作双垂，即过角平分线上一点向两边作垂线，利用“角平分线上的点到角两边距离相等”，直接得到一组等边，配合公共边或直角构造全等。 角分线，遇平行，等腰三角形马上成。若一条角平分线与对边的一条平行线相交，则平行线截出的三角形必为等腰三角形。这是几何题中转移线段的利器。一旦识别出这个结构，就能立刻将“平行线”转化为“等腰边”，从而建立新的等量关系。 角分线，加垂线，延长补出等腰见（角平分线遇到垂线，三线合一自然现）。当题中同时给出“角平分线”和“垂线”时，极大可能暗示三角形是等腰三角形，要立刻想到“三线合一”的结论。在非等腰三角形中，从角平分线上一点向任一边作垂线，是经典辅助线做法，目的是利用“角平分线上的点到角两边距离相等”来构造全等。 1.（2026春•南宁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝6，则DE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2.（2025•安宁市校级模拟）已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 3.（2025秋•嘉兴期中）如图，已知△ABC的面积为8cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为　　 cm2． 4.【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过D点作DG∥AC交BC于G，进而解决了该问题．（不需证明） 【探究】如图③，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图④，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF，∠GEF＝90°，则GF的长为　　 ． 5.（2025•新宾县校级模拟）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形ABCD中，若∠ABC+∠ADC＝180°，则∠BAD+∠BCD＝180°，且∠FAD＝∠BCD．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来作辅助线解决相关问题： 问题1：含90°的互补四边形． 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，且BD平分∠ABC． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作DE⊥BC．垂足为E，DF⊥BA，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证△ADF≌△CDE，进一步证得四边形BEDF为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含120°的互补四边形． （1）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，BD平分∠ABC，则下列结论中正确的是 　　 （填序号）． ①AD＝CD；②AB+BC＝BD；③若BD＝1，则． （2）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，BD平分∠ABC，猜想AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α，BD平分∠ABC，且BD＝1，求四边形ABCD的面积．（用含有α的三角函数表示） 1）角平分线的性质： 条件：过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题； 已知：P是∠AOB平分线上的一点，过点P作PM⊥OA于点M，过点P作PN⊥OB于点N，则①PM=PN；②OM=ON；③∠MPO=∠NPO；④∠OMP=∠ONP. 2）截长法 条件：在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等）； 已知：点D是∠AOB平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且OE=OF，连接DE、DF，则△OED≌△OFD. 证明：∵点D是∠AOB平分线上的一点， ∴∠AOC=∠BOC； 又∵OE=OF，OD=OD， ∴△OED≌△OFD. 3）角平分线+平行线 条件：过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形； 已知：点D是∠AOB平分线上的一点，过点D作DE∥OB，则△OED是等腰三角形，即OE=DE. 证明：∵点D是∠AOB平分线上的一点， ∴∠1=∠2； ∵DE∥OB， ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴OE=DE 4）三线合一 条件：从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形。 已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD. 证明：∵OE平分∠AOB ∴∠AOE=∠FOE ∵DE⊥OE， ∴∠DEO=∠FEO； 又∵OE=OE； ∴△OED≌△OEF； ∴DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD 例1（2026•博兴县一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． （1）求∠BOC的度数； （2）过点O作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．若AC＝2，BC＝3，求△ADE的周长． 例2（2025秋•鄞州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长． 例3（2025秋•西湖区校级期中）如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，OC平分∠ACD．求证： （1）点O为BD的中点； （2）AB+CD＝AC． 例4（2024•南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 60° 2 4 4 图② 1 45° 2 图③ 1 30° 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB•AC之间的数量关系：　 ． 【变式思考】 （2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB•AC之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 例5（2024•淮安）综合与实践 【问题初探】（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若AD是△ABC的角平分线，则线段AB、AC、BD、CD有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图1，作 DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N． ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴　 ． ∵S△ABDAB•DM， S△ACDAC•DN， ∴． 再用另一种方式表示△ABD 与△ACD 的面积，即可推导出结论…… 小勇的思路和方法： 如图2，作CE∥AB，交AD的延长线于点E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵CE∥AB， ∴∠BAD＝∠E． ∴∠CAD＝∠E． ∴AC＝CE ． 再通过证明△CDE∽△BDA 得到比例式，从而推导出结论…… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段AB、AC、BD、CD的数量关系是 ． 【变式拓展】（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，求的值．请你完成解答． 【迁移应用】（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段EF上作一点P，使EPFP．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【综合提升】（4）如图5，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝α（α＜90°），点D在AC边上，CD＝1，点E在BD的延长线上，连接EC，∠BEC＝β（β＜α），请直接写出BD•DE的值（用含α，β的式子表示）． 1．（2026•榆阳区校级开学）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AC于点E．若BC＝8，CE＝4，则△CDE的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 2．（2024•青海）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024•绵阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 4．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 5．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE＝EF，AB∥EF，连接DE，DE⊥AD，S△AEC：S△ACF＝3：8，AB＝14，CE的值为（　　） A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 6．（2025•邗江区校级模拟）如图，在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠ACB与∠ABD的角平分线交于点E，连接AE．若要求∠BAE的度数，只需要知道下列哪个角的度数（　　） A．∠ABC B．∠ACB C．∠BAC D．∠AEB 7．（2025秋•泌阳县期末）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 8．（2025秋•江阴市校级月考）如图，△ABC的面积为4cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 9．（2025•武冈市校级模拟）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，若AB：BC：AC＝3：2：1，则△PAB、△PBC、△PAC的面积之比为（　　） A．1：2：3 B．3：2：1 C．9：16：36 D．36：16：9 10．（2025春•宁波期中）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 11．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝16，BC＝12，则AF的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 12．（2025•罗湖区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 13．（2025秋•龙岗区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AF为△ABC的角平分线，分别过点C、B作AF的垂线，垂足分别为E、D．则的值为（　　） A． B． C． D． 14．（2025•滨州）如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O．若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为　 　 ． 15．（2025•芜湖三模）如图，△ABC的2个内角∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点I． （1）设∠A＝α，则∠BIC＝　 　.（用含α的式子表示） （2）过I的直线分别交AB，AC于D，E两点，△ADE，△ABC的面积分别记为S△ADE，S△ABC．若，△ABC的周长为8，则AD+AE的值为　 　． 16．如图，△ABD中，∠A＝60°．点B为线段DE的中点，EF⊥AD，交AB于点C，若AC＝BC＝3，则AD＝　 　 ． 17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AC上一点，且∠DEC+∠BAC＝180°，连结EB，若，S△ABC＝24，则AC的长为　 　 18．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 19．（2025秋•城区期末）如图，∠BAD＝140°，AB＝AD，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论：①BC＝DC；②△ADF≌△ABE；③BE+DF＝EF；④EF平分∠AEC，其中正确的结论有　　 　 ． 20．（2025春•广州期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠ACB，AD平分∠BAC交BC于点D，BM⊥AD于点M，若AB＝5，AC＝11．则线段AM的长是 　 　 ． 21．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O．下列结论：①AE＝BF且AE⊥BF；②S△AOB＝S四边形DEOF；③AD＝OE；④连接OC，当E为边DC的中点时，tan∠EOC值为，其中正确的结论有　 　 ． 22．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 23．（2025秋•大庆校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线． （1）求∠AFC的度数； （2）若AD＝6，CE＝4，求AC的长． 24．如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EH⊥AD交AD延长线于点H． （1）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEH． （2）若AB＝m，AC＝n，∠ACB﹣∠DEH＝60°，求EH的长（用m、n的代数式表示）． 25．如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC． （1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由； （2）若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积． 26．（2025•朝阳区校级三模）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形DECF是正方形． 27．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，在▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，点F在线段AD上，DF＝DC，连接CF交BE于点P． （1）求证：AF＝DE； （2）若∠A＝120°，CF＝8，求BE的长． 28．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是线段BC上的一个动点． （1）如图，若M与C重合，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE与CD的数量关系，并说明理由． （2）若M在线段BC上且不与B，C重合，D在线段AB上，且，过B作BE⊥MD，垂足E在MD的延长线上，则BE与DM的数量关系是什么？画图并说明理由． 29．（2025秋•团风县期中）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE， （1）求证：DE∥AC； （2）若DE＝EF，试判断△AEF的形状，并说明理由． 30．（2025•武汉模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC． （1）求证：DB＝DE； （2）在BC上取一点F，连接EF，添加一个条件，使四边形BDEF为菱形，直接写出这个条件． 31．如图，已知点A，B为直线MN外两点，且在MN异侧，连接AB，分别过点A作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D，点F是线段BD上一点，连接CF交AB于点E． （1）下列条件： ①点F是DB的中点； ②点E是AB的中点； ③点E是CF的中点． 请从中选择一个能证明AC＝BF的条件，并写出证明过程； （2）若AC＝BF，且AC＝5，BD＝13，CE＝6，求CD的长． 32．（2025春•临淄区期末）图中△ABC和△ADE是两个等边三角形，其中AB＝6，AD＝3，如图①， （1）将两三角形按图1放置（点A，D，C在同一条直线上），连接线段BD，CE，求线段CE的长； （2）将△ADE绕点A逆时针旋转α，如图2所示，直线BD，CE相交于点F，连接AF．求证：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE； （3）以图1的位置为起点，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜360°），当点B，D，E恰好在一条直线上时，直接写出线段CE的长度． 33．（2025•平塘县一模）问题提出 如图（1），D是Rt△ABC边BC上一点，将△ACD沿AD翻折至△AED，延长DE交Rt△ABC斜边AB于点F，若，探究的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当点E与点F重合时，直接写出的值； （2）再探究一般情形，如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 （3）将图（1）特殊化，如图（3），当AE平分∠BAC时，若CD＝1，直接写出DF的长． 34．全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在△ABC中，已知∠B＝∠C，可证AB＝AC，小聪同学的作法是作BC边上的高线AD．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，点E为边AC上一点，点F为边AB延长线上一点，连结EF与边BC交于点D，若点D恰为线段EF中点，试探究线段CE与线段BF的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和中线，过点E作EF⊥AD与线段AD的延长线交于点G，与边AB的延长线交于点F，已知△ABC的面积是30，线段AF的长为8，求△AED的面积． 35．（2025秋•盐城期末）【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…． （1）如图，AD是△ABC的角平分线，小刚同学发现 线段AB、AC、BD、CD之间的关系为：AB：AC＝BD：CD． 下面是小刚的思路和方法，请完成填空： 思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点D分别作DE⊥AB垂足为E，作DF⊥AC垂足为F，利用“等面积法”即可得到结论． 证明：过点D作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，过点A作AG⊥BC交BC于点G， ∵AD是△BAC的平分线， ∴DE＝①DF ， ∵，， ∴（②AC ） 同理：，， ∴ ∴AB：AC＝BD：DC． 请完成填空：①DF ，②AC ； （2）【理解应用】填空：如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，则CD长度为　　 ； （3）【灵活运用】如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝5，AB＝12，则DE的长为　　 ； （4）【深度思考】 如图，△ABC中，BC边上的高AD交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，若AE＝15，CE＝20，且∠BAD+2∠CAD＝180°，求AD的长． 36．（2025•沂水县校级模拟）（1）【问题背景】 如图，PC是△PAB的角平分线，求证：PA•BC＝PB•AC．社团成员进行了探索研究，小明和小红提出两种不同的证明思路： 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA于点D，作CE⊥PB于点E，利用“等面积法”． 【问题解决】 请根据小明或小红的思路，将两人的证明补充完整．（任选一种即可） （2）【深度思考】 如图2，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．当BD＝3时，AF的长为　 　 ． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 角平分线相关模型 角平分线是初中几何的“万能纽带”：基础题保分靠它，中档题模型靠它，压轴题构造辅助线也靠它。选择、填空、解答题几乎都会出现，单独考简单，综合考很难。常和全等、相似、等腰、圆、坐标系、面积、最值捆绑出现。本专题就角平分线的性质、角平分线与平行线的结合、角平分线与垂线的结合进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 15 ‌ 角平分线的性质‌指的是角平分线上的点到角两边的距离相等，见角分线，作双垂，即过角平分线上一点向两边作垂线，利用“角平分线上的点到角两边距离相等”，直接得到一组等边，配合公共边或直角构造全等。 角分线，遇平行，等腰三角形马上成。若一条角平分线与对边的一条平行线相交，则平行线截出的三角形必为等腰三角形。这是几何题中转移线段的利器。一旦识别出这个结构，就能立刻将“平行线”转化为“等腰边”，从而建立新的等量关系。 角分线，加垂线，延长补出等腰见（角平分线遇到垂线，三线合一自然现）。当题中同时给出“角平分线”和“垂线”时，极大可能暗示三角形是等腰三角形，要立刻想到“三线合一”的结论。在非等腰三角形中，从角平分线上一点向任一边作垂线，是经典辅助线做法，目的是利用“角平分线上的点到角两边距离相等”来构造全等。 1.（2026春•南宁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝6，则DE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据角平分线的性质即可得出BD＝DE＝6． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∠B＝90°， ∴BD＝DE＝6， 故选：B． 2.（2025•安宁市校级模拟）已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 【分析】先根据题中已知条件判定四边形AEDF是平行四边形，然后再推出一组邻边相等． 【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD， ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴EA＝ED， ∴四边形AEDF为菱形． 3.（2025秋•嘉兴期中）如图，已知△ABC的面积为8cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为　　 cm2． 【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积． 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP＝∠EBP， 又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°， 在△ABP与△BEP中， ∴△ABP≌△BEP（ASA）， ∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC＝S△PCE， 设△ACE的面积为m， ∴S△ABE＝S△ABC+S△ACE＝8+m ∴S△PBCS△ABES△ACE＝4cm2． 故答案为：4． 4.【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过D点作DG∥AC交BC于G，进而解决了该问题．（不需证明） 【探究】如图③，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图④，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF，∠GEF＝90°，则GF的长为　　 ． 【分析】【探究】分别延长DC、AE，交于G点，根据已知条件可以得到△ABE≌△GCE，由此得到AB＝CG，又AB∥DC，∠BAE＝∠EAF，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明AF＝GF，即可得出结论． 【应用】延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG＝CM＝1，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题． 【解答】【探究】解：AB＝AF+CF． 如图1，分别延长DC、AE，交于G点， ∵AB∥DC， ∴∠B＝∠GCE，∠BAE＝∠EGC， ∵E为BC边的中点， ∴BE＝CE， ∴△ABE≌△GCE（AAS）， ∴AB＝CG， 又∵AB∥DC， ∴∠BAE＝∠G 而∠BAE＝∠EAF， ∴∠G＝∠EAF， ∴AF＝GF， ∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF． 【应用】解：如图2，延长GE交CB的延长线于M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CM， ∴∠AGE＝∠M， 在△AEG和△BEM中， ， ∴△AEG≌△BEM（AAS）， ∴GE＝EM，AG＝BM＝1， ∵EF⊥MG， ∴FG＝FM， ∵BF， ∴MF＝BF+BM＝1， ∴GF＝FM1． 故答案为：． 5.（2025•新宾县校级模拟）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形ABCD中，若∠ABC+∠ADC＝180°，则∠BAD+∠BCD＝180°，且∠FAD＝∠BCD．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来作辅助线解决相关问题： 问题1：含90°的互补四边形． 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，且BD平分∠ABC． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作DE⊥BC．垂足为E，DF⊥BA，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证△ADF≌△CDE，进一步证得四边形BEDF为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含120°的互补四边形． （1）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，BD平分∠ABC，则下列结论中正确的是 　　 （填序号）． ①AD＝CD；②AB+BC＝BD；③若BD＝1，则． （2）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，BD平分∠ABC，猜想AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α，BD平分∠ABC，且BD＝1，求四边形ABCD的面积．（用含有α的三角函数表示） 【分析】（1）过点D作DE⊥BC，DF⊥BA，垂足分别为E，F，利用全等三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质等知识即可证明结论都成立； （2）过点D作DE⊥BC，DF⊥BA，垂足分别为E，F，构造全等三角形结合解直角三角形即可证明结论； （3）过点D作DE⊥BC，DF⊥BA，垂足分别为E，F，构造全等三角形结合解直角三角形即可得到答案． 【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，DF⊥BA，垂足分别为E，F， ∴∠DFA＝∠DEC， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠BAC+∠C＝180°， ∵∠BAC+∠DAF＝180°， ∴∠C＝∠DAF， 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（AAS）， ∴AD＝CD，AF＝CE， 故①正确； ∵∠ABC＝120°，BD平分∠ABC， ∴， ∴∠BDF＝∠BDE＝30°， ∴， ∴BF+BE＝BD，BF＝BE ∵BF+BE＝AB+AF+BE＝AB+CE+BE＝AB+BC， ∴AB+BC＝BD 故②正确； 若BD＝1， 则BE，DE， ∴S△BEDBE•DE， ∵∠BED＝∠BFD＝90°， ∴△BED和△BFD是直角三角形， 在Rt△BED和Rt△BFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△BFD（HL）， ∴S△BFD＝S△BED， ∵△DAF≌△DCE， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△DCE+S△BED＝S△ABD+S△DAF+S△BED＝S△BFD+S△BED， 故③正确． 故答案为：①②③； （2）；理由如下： ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°． 过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F．如图3， ∴∠DEC＝∠DFA＝90°． ∵∠ABC＝60°，∠ADC＝120°， ∠ADC＝180°． ∵∠DCE+∠BCD＝180°， ∴∠A＝∠DCE． ∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC， ∴DF＝DE． 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CE， 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝30°， ∴． 同理可得， ∴， ∴AB+BC＝BF+AF+BE﹣CE＝BE+BF， ∴； （3）过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F．如图4， ∵∠ABC+∠ADC＝α+180°﹣α＝180°， ∴∠BAD+∠BCD＝180°． ∵∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠BAD＝∠DCE． ∵∠DFA＝∠DEC＝90°，BD平分∠ABC， ∴DF＝DE． 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝2S△BDE， 在Rt△BDE中，BD＝1，， ∴，． ∴， ∴． 1）角平分线的性质： 条件：过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题； 已知：P是∠AOB平分线上的一点，过点P作PM⊥OA于点M，过点P作PN⊥OB于点N，则①PM=PN；②OM=ON；③∠MPO=∠NPO；④∠OMP=∠ONP. 2）截长法 条件：在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等）； 已知：点D是∠AOB平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且OE=OF，连接DE、DF，则△OED≌△OFD. 证明：∵点D是∠AOB平分线上的一点， ∴∠AOC=∠BOC； 又∵OE=OF，OD=OD， ∴△OED≌△OFD. 3）角平分线+平行线 条件：过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形； 已知：点D是∠AOB平分线上的一点，过点D作DE∥OB，则△OED是等腰三角形，即OE=DE. 证明：∵点D是∠AOB平分线上的一点， ∴∠1=∠2； ∵DE∥OB， ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴OE=DE 4）三线合一 条件：从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形。 已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD. 证明：∵OE平分∠AOB ∴∠AOE=∠FOE ∵DE⊥OE， ∴∠DEO=∠FEO； 又∵OE=OE； ∴△OED≌△OEF； ∴DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD 例1（2026•博兴县一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． （1）求∠BOC的度数； （2）过点O作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．若AC＝2，BC＝3，求△ADE的周长． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝90°，又由BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，即可求得∠BOC； （2）由平分及平行的条件可得DE＝BD+EC，利用勾股定理可求AB，从而可得周长为AB+BC，即可求解． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴， ∴， ＝45°， ∴∠BOC＝135°； （2）∵DE∥BC， ∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB， 由（1）得，∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO， ∴BD＝DO，EC＝OE， ∵DE＝OD+OE， ∴DE＝BD+EC， ∵在 Rt△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠A＝90°， ∴， ∴． 例2（2025秋•鄞州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长． 【分析】根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长． 【解答】解：如图，在AB上取一点F，使AF＝AD，连接CF． ∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC＝∠DAC， ∵AC＝AC， ∴△AFC≌△ADC（SAS）， ∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC， ∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA， ∴∠DCA＝∠BCF， 即∠DCE＝∠BCF， ∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC， ∴△DCE∽△BCF， ∴，∠DEC＝∠BFC， ∵BC＝5，CF＝CD＝2， ∴CE， ∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°， ∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴△EAD∽△DAC， 又∵AD＝2AE， ∴， ∴AC＝2AD＝4AECE4． 例3（2025秋•西湖区校级期中）如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，OC平分∠ACD．求证： （1）点O为BD的中点； （2）AB+CD＝AC． 【分析】（1）过点O作OH⊥AC于H，然后根据角平分线的性质进行证明即可； （2）延长AO交CD延长线于点E，先根据已知条件证明△AOB≌△EOD，从而证明AB＝DE，然后再证明△AOC≌△EOC，从而证明AC＝CE，最后根据CE＝CD+DE进行证明即可． 【解答】证明：（1）过点O作OH⊥AC于H， 又∵OB⊥AB，OA平分∠BAC， ∴OB＝OH， 又∵OH⊥CA，OD⊥CD， CO平分∠ACD， ∴OH＝OD， ∴OB＝OD，即点O为BD的中点； （2）如图，延长AO交CD延长线于点E， ∵点O为BD的中点， ∴BO＝DO， ∵∠ODC+∠ODE＝180°， ∴∠ODE＝∠ABD＝90°， 在△AOB和△EOD中， ， ∴△AOB≌△EOD（ASA）， ∴AB＝DE， ∵∠D＝∠ABD＝90°， ∴∠D+∠ABD＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵OA平分∠BAC，OC平分∠ACD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠AOC＝∠EOC＝90°， 在△AOC和△EOC中， ， ∴△AOC≌△EOC（ASA）， ∴AC＝CE， ∵DE+CD＝CE， ∴AB+CD＝CE， ∴AB+CD＝AC． 例4（2024•南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 60° 2 4 4 图② 1 45° 2 图③ 1 30° 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB•AC之间的数量关系：　 ． 【变式思考】 （2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB•AC之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【分析】（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，再运用解直角三角形即可求得答案； （2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，运用等腰三角形性质可得DF＝DE，利用S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即可求得答案； （3）根据题目要求画图，设∠A＝α，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得α＝36°，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，利用S△BMN＝S△BEM+S△BEN，即可求得答案． 【解答】解：（1）如图③， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， 在Rt△ABD中，AB， ∴AC＝AB， 两腰之和为AB+AC，两腰之积为AB•AC， 猜想：AB+AC＝2AB•AC•cosα， 证明：如图， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， 在Rt△ABD中，AB， ∴AB+AC，AB•AC， ∴AB+AC＝2AB•AC•cosα； 故答案为：，，，AB+AC＝2AB•AC•cosα； （2）AB•AC＝AB+AC． 证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G， 则DE＝AD•sin∠BAD＝1×sin30°， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE， 在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠BAC＝AC•sin60°AC， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴AB•ACAB•AC•， ∴AB•AC＝AB+AC； （3）补全图形如图所示： 设∠A＝α， ∵BD＝AD， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α， ∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC＝2α， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝2α， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°， 如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G， ∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN， ∴BM•NGBM•EFBN•EH， ∵∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴BM•BN•sin72°＝（BM+BN）•EH， ∴， ∵sin∠CBD＝sin36°， ∴EH＝BE•sin36°， ∴， 如图，设CD＝m，则AD＝BD＝BC＝1﹣m， ∵∠A＝∠CBD，∠ACB＝∠BCD， ∴△ABC∽△BDC， ∴，即， ∴m2﹣m+1＝0， ∴m1，m2， ∵1﹣m＞0， ∴m＜1， ∴m， ∴CD，BC＝1， ∵CE＝CD， ∴∠CED＝∠CDE＝72°， ∴∠DCE＝36°， ∴∠BCE＝∠CBE＝36°， ∴BE＝CE＝CD， 过点A作AH⊥BC于H，过点C作CK⊥AB于K，则BH＝CHBC， ∴AH， ∴sin72°， ∵CK•AB＝BC•AH，即CK×1， ∴CK， ∴sin36°， ∴2， 即2为定值． 例5（2024•淮安）综合与实践 【问题初探】（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若AD是△ABC的角平分线，则线段AB、AC、BD、CD有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图1，作 DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N． ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴　 ． ∵S△ABDAB•DM， S△ACDAC•DN， ∴． 再用另一种方式表示△ABD 与△ACD 的面积，即可推导出结论…… 小勇的思路和方法： 如图2，作CE∥AB，交AD的延长线于点E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵CE∥AB， ∴∠BAD＝∠E． ∴∠CAD＝∠E． ∴AC＝CE ． 再通过证明△CDE∽△BDA 得到比例式，从而推导出结论…… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段AB、AC、BD、CD的数量关系是 ． 【变式拓展】（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，求的值．请你完成解答． 【迁移应用】（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段EF上作一点P，使EPFP．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【综合提升】（4）如图5，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝α（α＜90°），点D在AC边上，CD＝1，点E在BD的延长线上，连接EC，∠BEC＝β（β＜α），请直接写出BD•DE的值（用含α，β的式子表示）． 【分析】（1）根据题干思路补全即可得解； （2）有特殊角先构造直角三角形，然后再分别解两个直角三角形即可得解； （3）①作30°角：先作等边三角形EFG，再作∠GEF的角平分线，交GF于点Q； ②构造相似：再作QO＝QE，交EF的延长线于点O，易证△OQF∽△OEQ，且相似比为； ③作圆：以O为圆心，ON为半径作圆，则P为圆与线段EF的交点． （4）与第二问基本思路一致，只不过将具体角度换成α和β了，分别表示出BD和DE即可得解． 【解答】解：（1）小智的思路补全：∵△ABD和△CBD是同高的， ∴， ∴； 小勇的思路补全：∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠E， ∴△BDA∽△CDE， ∴， ∵CE＝AC， ∴； 故答案为：DM＝DN；AC＝CE；； （2）如图，过C作CM⊥AD于点M，BN⊥AD交AD的延长线于点N，则∠CMD＝∠BND＝90°， 设AB＝AC＝2a， 在Rt△ABN中，∠BAD＝45°， ∴sin45°， ∴BNa＝AN， 在Rt△ACM中，∠CAD＝60°， ∴sin60°， ∴CMa， ∵∠CMD＝∠BND＝90°，∠BDN＝∠CDM， ∴△BDN∽△CDM， ∴； （3）法一：如图所示， 作法提示：①作30°角：先作等边三角形EFG，再作∠GEF的角平分线，交GF于点Q； ②构造相似：再作QO＝QE，交EF的延长线于点O，易证△OQF∽△OEQ，且相似比为； ③作圆：以O为圆心，OQ为半径作圆，则P为圆与线段EF的交点． 作法二：如图所示，点P即为所求， 作法提示：①以EF为斜边作等腰直角三角形， ②以AE为边作等边三角形AEG，边AG交EF于点P，则点P即为所求； 证明提示：设PM＝a，则PF，PN＝AM， ∴PE， ∴PEPF； （4）解法一：延长CA到F，使得∠BFC＝∠E＝β， ∵∠BDF＝∠CDE ∴△DCE∽△DBF， ∴， ∴BD•DE＝FD•DC， ∵CD＝1， ∴BD•DE＝FD， 过点B作BG⊥AC于G， 在Rt△BAG中，AB＝5，∠BAG＝α， ∴AG＝AB•cosα＝5cosα，BG＝AB•sinα＝5sinα， 在Rt△BFG中，∠F＝β， ∴FG， ①当0＜cosα时，点G在线段AD上（不含A点）， 此时DG＝AD﹣AG＝3﹣5cosα， ∴BD•DE＝FD•DC＝FD＝FG+DG5cosα+3； ②当cosα＜1时，点G在线段AD的延长线 上， 此时DG＝AG﹣3＝5cosα﹣3， ∴BD•DE＝FD•DC＝FD＝FG﹣DG5cosα+3； 综上所述，BD•DE5cosα+3． 解法二：①当cosα＜1时， 如图，作BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N， 在Rt△ABM中，∠BAC＝α，AB＝5， ∴BM＝AB•sinα＝5sinα， AM＝AB•cosα＝5cosα， ∵AC＝4，CD＝1， ∴AD＝AC﹣CD＝3， ∴DM＝5cosα﹣3， 在Rt△BDM中，BD2＝BM2+DM2， 即BD2＝（5sinα）2+（5cosα﹣3）2＝34﹣30cosα， ∴BD， ∵S△CBD， ∴BD•CN＝CD•BM， 两边同时平方得CN2•（34﹣30cosα）＝12×（5sinα）2， ∴CN2， ∴CN， 在Rt△CDN中，CD2＝DN2+CN2， 代入得DN2＝1， ∴DN， 在Rt△CNE中，∠E＝β， EN， ∴DE＝EN﹣DN， ∴BD•DE（）|5cosα﹣3|5cosα+3． ②当0＜cosα时，此时DM＝AD﹣AM＝3﹣5cosα，DE＝EN+DN， 同理可得BD•DE5cosα+3． ． 综上所述，BD•DE5cosα+3． 1．（2026•榆阳区校级开学）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AC于点E．若BC＝8，CE＝4，则△CDE的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【分析】利用角平分线的性质得到BD＝DE，再通过证明三角形全等得到AB＝AE，最后根据三角形周长的定义求出△CDE的周长． 【解答】解：∵∠B＝90°，DE⊥AC，AD是△ABC的角平分线， ∴BD＝DE， 在Rt△ABD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴AB＝AE， ∴C△CDE＝CD+DE+CE＝CD+BD+CE＝BC+CE＝8+4＝12． 故选：A． 2．（2024•青海）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】过P作PE⊥AO于E，由角平分线的性质推出PE＝PD＝2，即可得到点P到OA的距离是2． 【解答】解：过P作PE⊥AO于E， ∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB， ∴PE＝PD＝2， ∴点P到OA的距离是2． 故选：C． 3．（2024•绵阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】过D作DF⊥AB于F，根据AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，得DE＝DF，由△ABD的面积为5，AB＝5，可得DF＝2，故DE＝2． 【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， ∵△ABD的面积为5， ∴AB•DF＝5， ∵AB＝5， ∴DF＝2， ∴DE＝2； 故选：B． 4．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题． 【解答】解：∵FC∥AB， ∴∠DAE＝∠FCE， 在△DAE与△FCE中， ， ∴△DAE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝CF， ∵CF＝3， ∴AD＝CF＝3， 又∵AB＝5， ∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2， 故选：B． 5．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE＝EF，AB∥EF，连接DE，DE⊥AD，S△AEC：S△ACF＝3：8，AB＝14，CE的值为（　　） A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 【分析】延长AD与FE交于点G，利用平行线的性质可得∠BAD＝∠G，∠B＝∠DCG，再利用线段的中点定义可得BD＝DC，从而利用AAS可得△ABD≌△GCD，然后利用全等三角形的性质可得AB＝CG＝14，AD＝DG，从而可得DE是AG的垂直平分线，进而可得AE＝EG，最后利用等量代换可得EF＝EG，再根据已知可得，从而可得，进而可得，即可解答． 【解答】解：延长AD与FE交于点G， ∵AB∥EF， ∴∠BAD＝∠G，∠B＝∠DCG， ∵点D为BC的中点， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△GCD（AAS）， ∴AB＝CG＝14，AD＝DG， ∵AD⊥DE， ∴DE是AG的垂直平分线， ∴AE＝EG， ∵AE＝EF， ∴EF＝EG， ∵S△AEC：S△ACF＝3：8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴EC＝3， 故选：D． 6．（2025•邗江区校级模拟）如图，在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠ACB与∠ABD的角平分线交于点E，连接AE．若要求∠BAE的度数，只需要知道下列哪个角的度数（　　） A．∠ABC B．∠ACB C．∠BAC D．∠AEB 【分析】作EH⊥BD于点H，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交CA的延长线于点G，根据角平分线的性质，推出EF＝EG，进而得到AE平分∠BAG，得到∠BAE∠BAG（180°﹣∠BAC），即可得出结果． 【解答】解：作EH⊥BD于点H，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交CA的延长线于点G， ∵∠ACB与∠ABD的角平分线交于点E， ∴EH＝EF，EH＝EG， ∴EF＝EG， ∴AE平分∠BAG， ∴∠BAE∠BAG（180°﹣∠BAC）， ∴只需要知道∠BAC的度数即可求出∠BAE的度数． 故选：C． 7．（2025秋•泌阳县期末）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝6，BC＝4，即可推出BD的长度． 【解答】解：延长BD与AC交于点E， ∵∠A＝∠ABD， ∴BE＝AE， ∵BD⊥CD， ∴BE⊥CD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ECD， ∴∠EBC＝∠BEC， ∴△BEC为等腰三角形， ∴BC＝CE， ∵BE⊥CD， ∴2BD＝BE， ∵AC＝6，BC＝4， ∴CE＝4， ∴AE＝AC﹣EC＝6﹣4＝2， ∴BE＝2， ∴BD＝1． 故选：A． 8．（2025秋•江阴市校级月考）如图，△ABC的面积为4cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 【分析】延长AP交BC于点D，根据角平分线和垂直构造全等模型可证△BAP≌△BDP，从而可得AP＝PD，进而可得△BPD的面积△ABD的面积，△CPD的面积△CAD的面积，然后根据三角形面积的和差关系可得△PBC的面积△ABC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABD， ∴∠ABP＝∠DBP， ∵BP⊥AP， ∴∠BPA＝∠BPD＝90°， ∵BP＝BP， ∴△BAP≌△BDP（ASA）， ∴AP＝PD， ∴△BPD的面积△ABD的面积，△CPD的面积△CAD的面积， ∵△ABC的面积为4cm2， ∴△PBC的面积＝△BPD的面积+△CPD的面积 △ABD的面积△CAD的面积 （△ABD的面积+△CAD的面积） △ABC的面积 4 ＝2（cm2）， 故选：B． 9．（2025•武冈市校级模拟）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，若AB：BC：AC＝3：2：1，则△PAB、△PBC、△PAC的面积之比为（　　） A．1：2：3 B．3：2：1 C．9：16：36 D．36：16：9 【分析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到PD＝PE＝PF，设PD＝PE＝PF＝t，根据三角形面积公式得到，，结合题意，即可求解． 【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图， 设△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3， ∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P， ∴PD＝PF，PD＝PE（角平分线的性质）， ∴PD＝PE＝PF， 设PD＝PE＝PF＝t， ∵根据三角形的面积公式得，，， AB：BC：AC＝3：2：1， 所以△PAB、△PBC、△PAC的面积之比为3：2：1， 故选：B． 10．（2025春•宁波期中）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 【分析】先延长CD交AB于点F，根据已知条件证明△ADF≌△ADC，再根据全等三角形的性质求出AF，DC＝DF，进而求出BF，证明点D为CF中点，利用三角形中位线定理求出答案即可． 【解答】解：延长CD交AB于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝∠ADF＝90°， ∵AD＝AD， ∴△ADF≌△ADC（ASA）， ∴AF＝AC＝6cm，DF＝DC， ∴FB＝AB﹣AF＝10﹣6＝4cm， 点D为CF的中点， ∵点E为BC的中点， ∴DE为△CFB的中位线， ∴， 故选：A． 11．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝16，BC＝12，则AF的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】连接AE、BE，过点E作EG⊥BC于点G，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质证明AE＝BE，EF＝EG，从而通过全等三角形证明AF＝BG，CF＝CG，设CF＝CG＝x，列出方程，求出x，从而求出AF． 【解答】解：如图所示：连接AE、BE，过点E作EG⊥BC于点G， ∵D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°， ∴∠ACE＝∠ECG， 又∵EF⊥AC，EG⊥BC， ∴EF＝EG，CF＝CG， 在Rt△AEF和Rt△BEG中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL）， ∴AF＝BG， 设CF＝CG＝x， ∵AF＝AC﹣CF＝16﹣x，BG＝BC+CG＝12+x， ∴16﹣x＝12+x， 解得x＝2， ∴AF＝16﹣2＝14， 故选：D． 12．（2025•罗湖区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 【分析】过D点作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DA，然后利用三角形的面积公式求S1：S2的值． 【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DE＝DA， ∴． 故选：B． 13．（2025秋•龙岗区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AF为△ABC的角平分线，分别过点C、B作AF的垂线，垂足分别为E、D．则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过F作FG⊥AB于G，连接CD，证明△CEF∽△BDF得出，设EF＝k，则，证明△CFD∽△AFB，△ACE∽△ABD，得出，设AE＝x，则，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后表示出AF，求出AF与FD的比值即可． 【解答】解：过F作FG⊥AB于G，连接CD， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵AF平分∠CAB， ∴FG＝CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°，即△FBG为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∵∠CEF＝∠BDF＝90°，∠AFC＝∠BFD， ∴△CEF∽△BDF， ∴， 设EF＝k，则， ∵∠ACF＝∠BDF＝90°，∠AFC＝∠BFD， ∴△AFC∽△BFD， ∴， ∴， ∵∠AFB＝∠CFD， ∴△CFD∽△AFB， ∴∠CDF＝∠ABF＝45°， ∵∠CED＝90°， ∴△CED为等腰直角三角形，即CE＝DE， ∵AD为∠CAB的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD，且∠AEC＝∠ADB＝90°， ∴△ACE∽△ABD， ∴， ∴， ∵△CEF∽△BDF， ∴， 设AE＝x，则， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 14．（2025•滨州）如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O．若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为　7　 ． 【分析】作OP⊥BA交BA的延长线于点P，OQ⊥BC交BC的延长线于点Q，OR⊥AC于点R，因为△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，所以OP＝OQ＝OR，由点O到BC的距离为3.5，得OP＝OQ＝3.5，而AB＝4，则S△ABOAB•OP＝7，于是得到问题的答案． 【解答】解：作OP⊥BA交BA的延长线于点P，OQ⊥BC交BC的延长线于点Q，OR⊥AC于点R， ∵△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O， ∴OP＝OR，OQ＝OR， ∴OP＝OQ， ∵点O到BC的距离为3.5， ∴OP＝OQ＝3.5， ∵AB＝4， ∴S△ABOAB•OP4×3.5＝7， 故答案为：7． 15．（2025•芜湖三模）如图，△ABC的2个内角∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点I． （1）设∠A＝α，则∠BIC＝　　 .（用含α的式子表示） （2）过I的直线分别交AB，AC于D，E两点，△ADE，△ABC的面积分别记为S△ADE，S△ABC．若，△ABC的周长为8，则AD+AE的值为　　 ． 【分析】（1）首先求出∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，然后由角平分线求出，，进而求解即可； （2）如图，连接AI，作IF⊥AB于点F，IG⊥BC于点G，IH⊥AC于点H，首先根据角平分线的性质定理得到IF＝IG＝IH，然后表示出，，然后结合求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点I， ∴，， ∴∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB ； 故答案为：． （2）如图，连接AI，作IF⊥AB于点F，IG⊥BC于点G，IH⊥AC于点H， 由条件可知IF＝IG＝IH， ∴， ． ∵， ∴， 由条件可知． 故答案为：． 16．如图，△ABD中，∠A＝60°．点B为线段DE的中点，EF⊥AD，交AB于点C，若AC＝BC＝3，则AD＝　　 ． 【分析】由已知条件∠A＝60°，EF⊥AD，AC＝3，可求AFAC，作BG∥AD交EF于点G，结合AC＝BC，易证△ACF≌△BCG，进而求得BG＝AF，易证△BEG∽△DEF，根据相似三角形的性质，结合点B为线段DE的中点，可推出，所以DF＝2BG＝23，即可求AD的长． 【解答】解：如图，作BG∥AD交EF于点G， ∵∠A＝60°，EF⊥AD，AC＝3， ∴AFAC， ∵BG∥AD， ∴∠A＝∠CBG，∠AFC＝∠BGC， 又∵AC＝BC， ∴△ACF≌△BCG（AAS）， ∴BG＝AF， ∵BG∥AD， ∴△BEG∽△DEF， ∴， ∵点B为线段DE的中点， ∴， ∴DF＝2BG＝23， ∴AD＝AF+DF3． 故答案为：． 17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AC上一点，且∠DEC+∠BAC＝180°，连结EB，若，S△ABC＝24，则AC的长为 　　 【分析】延长ED到F，使DF＝DE，连接BF、AF、CF，作BM⊥AC于M，作FN⊥AC于N，证明△CDE和△BDF全等，得出四边形CEBF为平行四边形，四边形AEFB为等腰梯形，再证明∠FAC＝∠BEA，设出三角形AFN三边，利用三角形ACF面积求出AC即可． 【解答】解：延长ED到F，使DF＝DE，连接BF、AF、CF， 作BM⊥AC于M，作FN⊥AC于N， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠CDE＝∠BDF， ∴△CDE≌△BDF（SAS）， ∴CE＝BF，∠DCE＝∠DBF， ∴CE∥BF， ∴四边形CEBF为平行四边形， ∴BE＝CF， ∵∠DEC+∠BAC＝180°，∠DEC+∠AEF＝180°， ∴∠BAC＝∠AEF， ∴四边形AEFB为等腰梯形， ∴AF＝BE， ∴AF＝CF， ∵FN⊥AC， ∴AN＝CN，∠FCA＝∠FAC， ∵∠FCA＝∠BEA， ∴∠FAC＝∠BEA， ∴cos∠FAN， 设AN＝12x，AF＝13x， ∴FN＝5x，AC＝24x， ∵S△ABC＝24，即•24x•5x＝24， ∴x， ∴AC＝24x． 故答案为：． 18．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 　30　 ． 【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠D， 在△BAF和△EDF中， ， ∴△BAF≌△EDF（AAS）， ∴S△BAF＝S△EDF， ∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF＝S△ACD•AC•AD6×10＝30． 故答案为：30． 19．（2025秋•城区期末）如图，∠BAD＝140°，AB＝AD，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论：①BC＝DC；②△ADF≌△ABE；③BE+DF＝EF；④EF平分∠AEC，其中正确的结论有　①③　 ． 【分析】先连接AC，根据已知条件证明△ABC≌△ADC，得到BC＝DC，判断①的正误； 根据DF与BE不一定相等，无法证明△ADF与△ABE全等，判断②的正误； 延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，再证明△ABG≌△ADF，从而证明∠EAG＝∠EAF，AG＝AF，再证明△EAG≌△EAF，得到EF＝EG，BE+DF＝BE+BG＝EG＝EF，从而判断③的正误即可； 用反证法，假设EF平分∠AEC，得到∠AEF＝∠CEF，再根据∠AEF+∠AEG+∠CEF＝180°，得到∠CEF＝∠AEF＝∠AEG＝60°，从而判断④的正误即可． 【解答】解：如图1所示：连接AC， ∵AB⊥CB，AD⊥CD， ∴∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴BC＝DC， 故结论①正确，符合题意； ∵DF与BE不一定相等， ∴△ADF与△ABE不一定全等， 故结论②错误，不符合题意； 如图2所示：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG， ∵AD⊥CB，AD⊥CD， ∴∠ABG＝∠D＝90°， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，∠G＝∠AFD，AG＝AF， ∵∠BAD＝140°，∠EAF＝70°， ∴∠EAG＝∠BAE+∠BAG＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝70°， ∴∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴∠G＝∠AFE，∠AEB＝∠AEF，EG＝EF， ∴∠AFD＝∠AFE，BE+DF＝BE+BG＝EG＝EF， 故③的结论正确，符合题意； 若EF平分∠AEC，则∠AEF＝∠CEF， ∵∠AEF＝∠AEG，∠AEF+∠AEG+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝∠AEF＝∠AEG＝60°， ∵根据已知条件无法得到这样的角度关系， 故结论④错误，不符合题意； 综上可知：正确的结论有①③， 故答案为：①③． 20．（2025春•广州期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠ACB，AD平分∠BAC交BC于点D，BM⊥AD于点M，若AB＝5，AC＝11．则线段AM的长是 　4　 ． 【分析】延长BM交AC于点E，先利用角平分线+垂直构造△AMB≌△AME，再利用全等三角形的性质可得BM＝ME，AB＝AE＝5，∠ABE＝∠AEB，从而可得EC＝6，然后根据三角形的外角性质可得∠AEB＝∠EBC+∠ACB，从而可得∠ABE+∠EBC＝3∠ACB，进而可得∠EBC＝∠ACB，再根据等角对等边可得EB＝EC＝6，从而可得BM＝EM＝3，最后利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：延长BM交AC于点E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵BM⊥AD， ∴∠AMB＝∠AME＝90°． ∵AM＝AM， ∴△AMB≌△AME（ASA）， ∴BM＝ME，AB＝AE＝5，∠ABE＝∠AEB， ∵AC＝11， ∴EC＝AC﹣AE＝11﹣5＝6， ∵∠AEB是△BEC的一个外角， ∴∠AEB＝∠EBC+∠ACB， ∵∠ABC＝3∠ACB， ∴∠ABE+∠EBC＝3∠ACB， ∴∠AEB+∠EBC＝3∠ACB， ∴∠EBC+∠ACB+∠EBC＝3∠ACB， ∴2∠EBC＝2∠ACB， ∴∠EBC＝∠ACB， ∴EB＝EC＝6， ∴BM＝EMBE＝3， ∴AM4， 故答案为：4． 21．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O．下列结论：①AE＝BF且AE⊥BF；②S△AOB＝S四边形DEOF；③AD＝OE；④连接OC，当E为边DC的中点时，tan∠EOC值为，其中正确的结论有 　①②④　 ． 【分析】①根据正方形中的十字架模型找出全等三角形，利用对应边相等，对应角相等推出结论； ②根据全等三角形面积相等，再减去共同的面积后面积仍相等推出结论； ③过点E作EM⊥AB，交于点M，连接OM，判断形成的三角形是否可以是以点E为顶点的等腰三角形，推出结论； ④利用平行线+线段中点构造全等三角形，解出其中的直角三角形，得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°． ∵CE＝DF， ∴AF＝DE． 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（SAS）． ∴AE＝BF，故①正确． ∵△ABF≌△DAE， ∴∠AFB＝∠AED． ∵∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠AFB+∠DAE＝90°， ∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故①正确． ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF＝S△ADE． ∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，故②正确． 如图过点E作EM⊥AB，交于点M，连接OM， 在正方形ABCD中， ∠BAD＝∠ADE＝∠AME＝90°， ∴四边形ADEM为矩形， AD＝EM， 在△OME中， ∵∠EOM为钝角， ∴△EOM不是以点E为顶点的等腰△， ∴OE≠EM， 即AD≠OE， 故③错误． 如图，连接OC，延长AE使AE＝EG，交BC延长线于点G，过点C作CH⊥AG交于点H， ∵E是边DC的中点， ∴ED＝EC， 在△ADE和△GCE中， ， ∴△ADE≌△GCE（SAS）， 所以∠ECG＝∠EDA＝90°＝∠BCE， ∴点B、C、G共线， ∴∠G＝∠GAD 设边AD＝DC＝2a， ∴AF＝DE＝a， tan∠GAD， ∴tan∠CGA， AEa， ∴AG＝2AE＝2a， ∵CG＝AD， ∴CG＝2a， 在△CEG中，CHa，HGa， 在△AOF中，AOa， ∴OH＝AG﹣HG﹣AOa， 在Rt△CHO中，tan∠EOC， 故④正确． 故答案为：①②④． 22．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论； （2）设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8可求出x＝2.5，故得EF＝2.5，然后S△ABE＝1/2AB•EF可得出答案． 【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图： ∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40°， 即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC； （2）解：设EG＝x， 由（1）得：EF＝EH＝EG＝x， ∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8， ∴AD•EGCD•EH＝15， 即：4x+8x＝30， 解得：x＝2.5， ∴EF＝x＝2.5， ∴S△ABEAB•EF7×2.5． 23．（2025秋•大庆校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线． （1）求∠AFC的度数； （2）若AD＝6，CE＝4，求AC的长． 【分析】（1）由题意∠BAC+∠BCA＝120°，根据∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180120°，即可解决问题； （2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG．只要证明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD＝∠AFG＝60°，∠GFC＝∠CFE＝60°，再证明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG＝CE＝4，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线， ∴∠FAC∠BAC，∠FCA∠BCA， ∵∠B＝60° ∴∠BAC+∠BCA＝120°， ∴∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180°120°＝120°； （2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG． ∵AE、CD分别为△ABC的角平分线 ∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE， ∵∠AFC＝120°， ∴∠AFD＝∠CFE＝60°， 在△ADF和△AGF中， ， ∴△ADF≌△AGF（SAS）， ∴∠AFD＝∠AFG＝60°， ∴∠GFC＝∠CFE＝60°， 在△CGF和△CEF中， ， ∴△CGF≌△CEF（ASA）， ∴CG＝CE＝4， ∴AC＝AG+GC＝10． 24．如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EH⊥AD交AD延长线于点H． （1）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEH． （2）若AB＝m，AC＝n，∠ACB﹣∠DEH＝60°，求EH的长（用m、n的代数式表示）． 【分析】（1）作直线EH分别交AB、AC的延长线于点F、G，构造全等三角形进一步求解即可； （2）过点C作CQ∥AB交FG于点Q，构造等边三角形化简整理即可求解． 【解答】解：（1）作直线EH分别交AB、AC的延长线于点F、G， ∵AH⊥FG，AH平分∠FAG，AH＝AH， ∴△AFH≌△AGH（ASA）， ∴∠AFH＝∠AGH， ∵∠ACB＝∠AGH+∠DEH，∠AFH＝∠B+∠FEB＝∠B+∠DEH， ∴∠ACB＝（∠B+∠DEH）+∠DEH， ∴∠ACB﹣∠B＝2∠DEH； （2）过点C作CQ∥AB交FG于点Q． ∵∠ACB﹣∠DEH＝60°，∠ACB﹣∠B＝2∠DEH， ∴∠B+∠DEH＝60°，即∠B+∠FEB＝∠AFG＝60°． ∵△AFH≌△AGH（ASA）， ∴∠AFG＝∠G＝60°，△AFG 为等边三角形． ∵CQ∥AB，BE＝CE，∠FEB＝∠QEC， ∴∠B＝∠ECQ，∠CQG＝∠AFG＝∠G＝60°，△CQG 为等边三角形，△BFE≌△CQE， ∴BF＝CQ＝CG，， ∵AF+AG＝AB﹣BF+AC+CG＝AB+AC＝m+n， ∴， ∵， ∴. 25．如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC． （1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由； （2）若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积． 【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA＝∠EAD，可得AE＝DE，即可证明； （2）根据∠BAC＝90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可． 【解答】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是： ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠EAD， ∵DE∥AB， ∴∠EDA＝∠FAD， ∴∠EDA＝∠EAD， ∴AE＝DE， ∴平行四边形AFDE是菱形； （2）∵∠BAC＝90°， ∴四边形AFDE是正方形， ∵AD， ∴AF＝DF＝DE＝AE2， ∴四边形AFDE的面积为2×2＝4． 26．（2025•朝阳区校级三模）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形DECF是正方形． 【分析】过点D作DH⊥AB于点H，则∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°，由此得四边形DECF是矩形，再根据角平分线性质得DE＝DH＝DF，然后根据正方形的判定即可得出结论． 【解答】证明：过点D作DH⊥AB于点H，如图所示： ∵DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∵BD平分∠ABC，AD平分∠BAC，DE⊥BC，DF⊥AC，DH⊥AB， ∴DE＝DH，DH＝DF， ∴DE＝DF， ∴矩形DECF是正方形． 27．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，在▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，点F在线段AD上，DF＝DC，连接CF交BE于点P． （1）求证：AF＝DE； （2）若∠A＝120°，CF＝8，求BE的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，进而利用平行线的性质和角平分线的定义得出∠ABE＝∠AEB，进而解答即可； （2）根据平行四边形的性质得出∠D＝60°，进而利用等边三角形的判定与性质得出CD＝8，进而利用含30°角的直角三角形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵∠ABC的角平分线BE交AD于点E， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵DF＝DC， ∴AE＝DF， ∴AE﹣EF＝DF﹣EF， 即AF＝DE； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠A+∠D＝180°，∠D＝∠ABC， ∵∠A＝120°， ∴∠D＝∠ABC＝60°， ∵CD＝DF， ∴△DCF是等边三角形， ∴DC＝CF＝8， ∴AB＝8， 由（1）可知，AB＝AE＝8，∠ABE∠ABC＝30°， 过A点作AG⊥BE于G， ∴BE＝2BG， ∵∠ABE＝30°，∠AGB＝90°，AB＝8， ∴AG＝4，BG＝4， ∴BE＝8． 28．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是线段BC上的一个动点． （1）如图，若M与C重合，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE与CD的数量关系，并说明理由． （2）若M在线段BC上且不与B，C重合，D在线段AB上，且，过B作BE⊥MD，垂足E在MD的延长线上，则BE与DM的数量关系是什么？画图并说明理由． 【分析】（1）延长CA交BE延长线于N点，根据∠1＝∠2，CE⊥CN，可得BE＝ENCN再证明△BAN≌△CAD可得CD＝CN即可解决； （2）过M作MN∥AC交BE延长线于N点，交AB于Q点，证明△BQN≌△MQD，方法与（1）类似． 【解答】解：（1）2BE＝CD， 理由：延长CA交BE延长线于N点， ∵CD平分∠ACB， ∴∠1＝∠2， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAN＝90°，∠1+∠5＝90°， ∴∠BAN＝∠BAC＝90°， ∵BE⊥CD， ∴∠4+∠3＝90°， ∵∠4＝∠5， ∴∠1＝∠3， ∵AB＝AC， ∴△BAN≌△CAD（ASA）， ∴CD＝CN， ∵∠1＝∠2，CE⊥CN， ∴BE＝ENCN， ∴CN＝2BE， ∴CD＝2BE； （2）2BE＝DM， 理由：过M作MN∥AC交BE延长线于N点，交AB于Q点， ∴∠ACB＝∠BMN，∠BAC＝∠BQM＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠B＝BMQ， ∴BQ＝QM， ∵， ∴，， ∴∠BMD＝∠NMQ， 同理可得：∠NBQ＝∠NMD， ∵∠BQN＝∠MQD＝90°， ∴△BQN≌△MQD（ASA）， ∴DM＝BN， ∵∠BMD＝∠NMQ，ME⊥BN， ∴BE＝NEBN， ∴BN＝2BE， ∴DM＝2EB． 29．（2025秋•团风县期中）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE， （1）求证：DE∥AC； （2）若DE＝EF，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AE＝ED，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证DE∥AC，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得∠AOE＝∠AOF＝90°，然后利用ASA证明△AEO≌△AFO，从而可得AE＝AF，再根据等量代换可得AE＝EF＝AF，即可解答． 【解答】（1）证明：∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）解：△AEF是等边三角形， 理由：∵EF是AD的垂直平分线， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， ∵AO＝AO，∠EAD＝∠CAD， ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴AE＝AF， ∵AE＝DE，DE＝EF， ∴AE＝EF， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形． 30．（2025•武汉模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC． （1）求证：DB＝DE； （2）在BC上取一点F，连接EF，添加一个条件，使四边形BDEF为菱形，直接写出这个条件． 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠DBE＝∠DEB，然后根据等角对等边即可证明结论； （2）根据菱形的判定定理即可解答． 【解答】（1）证明：∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠DBE＝∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE． （2）解：如图：在BC上取一点F，使得BF＝DE， 连接EF，则四边形BDEF为菱形，理由如下： ∵DE∥BC，BF＝DE， ∴四边形BDEF为平行四边形， ∵DB＝DE， ∴四边形BDEF为菱形． 31．如图，已知点A，B为直线MN外两点，且在MN异侧，连接AB，分别过点A作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D，点F是线段BD上一点，连接CF交AB于点E． （1）下列条件： ①点F是DB的中点； ②点E是AB的中点； ③点E是CF的中点． 请从中选择一个能证明AC＝BF的条件，并写出证明过程； （2）若AC＝BF，且AC＝5，BD＝13，CE＝6，求CD的长． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，由选择已知条件，证明△ACE≌△BFE即可； （2）由（1）可知△ACE≌△BFE，求出DF和CF，再利用勾股定理进行解答即可． 【解答】解：（1）选择②③， 选②时：∵BD⊥MN，AC⊥MN， ∴BD∥AC， ∴∠ACE＝∠BFE，∠B＝∠A， ∵E是AB中点， ∴AE＝BE， 在△ACE和△BFE中， ， ∴△ACE≌△BFE（AAS）， ∴AC＝BE； 选③时：∵BD⊥MN，AC⊥MN， ∴BD∥AC， ∴∠ACE＝∠BFE，∠B＝∠A， ∵点E是CF中点， ∴CE＝EF， 在△ACE和△BFE中， ， ∴△ACE≌△BFE（AAS）， ∴AC＝BF； （2）∵△ACE≌△BFE，AC＝5，BD＝13，CE＝6， ∴BF＝AC＝5，EF＝CE＝6， ∴DF＝BD﹣BF＝8，CF＝CE+EF＝12， ∵∠BDC＝90°， ∴． 32．（2025春•临淄区期末）图中△ABC和△ADE是两个等边三角形，其中AB＝6，AD＝3，如图①， （1）将两三角形按图1放置（点A，D，C在同一条直线上），连接线段BD，CE，求线段CE的长； （2）将△ADE绕点A逆时针旋转α，如图2所示，直线BD，CE相交于点F，连接AF．求证：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE； （3）以图1的位置为起点，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜360°），当点B，D，E恰好在一条直线上时，直接写出线段CE的长度． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC＝6，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝60°，进而可得点D为AC的中点，由等边三角形三线合一性质可知BD⊥CD，再利用勾股定理求出BD＝3，易根据SAS证明△ABD≌△ACE，则BD＝CE； （2）分别过点A作AM⊥CE于点M，AN⊥BD于点N，由等边三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，由等角加同角相等可得∠BAD＝∠CAE，则可通过SAS证明△ABD≌△ACE，得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，利用三角形内角和定理和对顶角相等可得∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠BFC，于是∠BAC＝∠BFC＝60°，易通过AAS证明△ACM≌△ABN，得到AN＝AM，进而可知AF为∠BFE的平分线，得到∠AFB＝∠AFE＝60°，以此即可求解； （3）当点B，D，E恰好在一条直线上时，作过点A作AH⊥BE于点H，根据勾股定理分别求出AH，BH，进而可求出不同情况下线段BD的长度，由（1）同理证明△ABD≌△ACE，则BD＝CE，即可求解． 【解答】（1）解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC＝6，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴CD＝AC﹣AD＝6﹣3＝3， ∴点D为AC的中点，AD＝CD＝3， ∴BD⊥CD， 在Rt△ABD中，BD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）证明：如图，分别过点A作AM⊥CE于点M，AN⊥BD于点N， ∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠BFC， ∴∠BAC＝∠BFC＝60°， ∵AM⊥CE，AN⊥BD， ∴∠AMC＝∠ANB＝90°， 在△ACM和△ABN中， ， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴AN＝AM， 又∵AM⊥CE，AN⊥BD， ∴AF为∠BFE的平分线， ∴∠AFB＝∠AFE∠BFE（180°﹣∠BFC）60°， ∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE； （3）解：当点B，D，E恰好在一条直线上时，如图，过点A作AH⊥BE于点H， ∵△ADE等边三角形，AD＝3， ∴DH， 在Rt△ADH中，AH， 在Rt△ABH中，BH， ∴BD＝BH﹣DH， 由（1）同理可得：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD； 当点B，D，E恰好在一条直线上时，如图，过点A作AH⊥BD于点H， 同理可得：DH，BH， 此时，BD＝BH﹣DH， 由（1）同理可得：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD． 综上，线段CE的长度为或． 33．（2025•平塘县一模）问题提出 如图（1），D是Rt△ABC边BC上一点，将△ACD沿AD翻折至△AED，延长DE交Rt△ABC斜边AB于点F，若，探究的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当点E与点F重合时，直接写出的值； （2）再探究一般情形，如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 （3）将图（1）特殊化，如图（3），当AE平分∠BAC时，若CD＝1，直接写出DF的长． 【分析】（1）根据折叠的性质得到AC＝AF，从而根据题干得出，再利用sinB求解即可； （2）利用折叠产生角平分线，再过点F构造平行线，从而产生等腰三角形，这样就将转化成了，再利用平行线分线段成比例和已知条件即可求解； （3）看见角平分线+垂线即可联想到构造全等三角形，延长FD交AC延长线于点G，从而得到EF＝EG，再根据CD＝1，设参表示出DF和DG，然后构造“8字型”相似建立方程即可得解． 【解答】（1）解：∵折叠， ∴AC＝AF， ∵， ∴， ∴sinB， ∴； （2）证明：过F作FG∥BC交AD于点G，则∠FGD＝∠ADC， ∵折叠， ∴∠ADF＝∠ADC， ∴∠FDG＝∠FGD， ∴FD＝FG， ∴； （3）如图，延长FD交AC延长线于点G，过F作FH⊥BC于点H， ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE＝∠CAE， ∵折叠， ∴∠AED＝∠ACD＝90°，CD＝DE＝1， ∴∠AEF＝∠AEG＝90°， ∵AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（ASA）， ∴EF＝EG， 设DF＝x，EF＝x﹣1＝EG， ∴DG＝EG﹣DE＝x﹣2， 由（2）知， ∴BDx， ∴BCx+1， ∵FH∥AC， ∴， ∴CHBC， ∴DH＝CH﹣CD， ∵∠FDH＝∠CDG，∠FHD＝∠GCD＝90°， ∴△FDH∽△GDC， ∴，即， 整理得5x2﹣16x+2＝0， 解得x（负值舍去）， ∴DF． 34．全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在△ABC中，已知∠B＝∠C，可证AB＝AC，小聪同学的作法是作BC边上的高线AD．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，点E为边AC上一点，点F为边AB延长线上一点，连结EF与边BC交于点D，若点D恰为线段EF中点，试探究线段CE与线段BF的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和中线，过点E作EF⊥AD与线段AD的延长线交于点G，与边AB的延长线交于点F，已知△ABC的面积是30，线段AF的长为8，求△AED的面积． 【分析】（1）根据等腰三角形等边对等角得到∠B＝∠C，再利用全等三角形即可得证； （2）作平行线利用中点证△BFD≌△GED，得到BF＝EG，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考上述方式构造全等，利用等线段的转化找△AED的面积和△ABC面积得关系． 【解答】（1）证明：过A作AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AD＝AD，∠B＝∠C， ∴△ADB≌△ADC（AAS）， ∴AB＝AC； （2）解：CE＝BF， 理由：过E作EG∥AB交BC于G， ∴∠F＝∠DEG，∠FBD＝∠EGD， ∵点D恰为线段EF中点， ∴DF＝DE， ∴△BFD≌△GED（AAS）， ∴BF＝EG， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠EGC＝∠ECG， ∴EG＝CE， ∴CE＝BF； （3）如图延长FE交AC于点H，过B作BM∥AC， ∵AD是角平分线， ∴∠FAG＝∠HAG， ∵AD⊥EF， ∴∠AGD＝∠AGF， ∵AG＝AG， ∴△AGF≌△AGH（SAS）， AF＝AH，∠AHG＝∠AFG， 由（2）中证明方法可知△CHE≌△BME（AAS）， ∴CH＝BM，∠CHE＝∠BME， ∴∠AHG＝∠BMF＝∠AFG， ∴BM＝BF， ∵AF＝8， ∴设BF＝x，则BM＝CH＝x，AB＝8﹣x， ∴AC＝AH+CH＝8+x， ∴S△ABCAB•AC＝30， 即（8﹣x）（8+x）＝60， 解得x＝2， ∵AE是△ABC的中线， ∴AE＝BEBC， ∴∠EAB＝∠ABE， ∴∠EAD+45°＝∠BEF+45°， ∴∠EAD＝∠BEP， ∵∠AGE＝∠BPE＝90°， ∴△AEG≌△EBP（AAS）， ∴EG＝BP， ∵∠F＝45°， ∴BP＝PF＝PM＝EG， ∴ED：EB＝EG：EP＝1：4， ∴S△AEDS△AEBS△ABC． ∴△AED的面积为． 35．（2025秋•盐城期末）【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…． （1）如图，AD是△ABC的角平分线，小刚同学发现 线段AB、AC、BD、CD之间的关系为：AB：AC＝BD：CD． 下面是小刚的思路和方法，请完成填空： 思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点D分别作DE⊥AB垂足为E，作DF⊥AC垂足为F，利用“等面积法”即可得到结论． 证明：过点D作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，过点A作AG⊥BC交BC于点G， ∵AD是△BAC的平分线， ∴DE＝①DF ， ∵，， ∴（②AC ） 同理：，， ∴ ∴AB：AC＝BD：DC． 请完成填空：①DF ，②AC ； （2）【理解应用】填空：如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，则CD长度为　　 ； （3）【灵活运用】如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝5，AB＝12，则DE的长为　　 ； （4）【深度思考】 如图，△ABC中，BC边上的高AD交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，若AE＝15，CE＝20，且∠BAD+2∠CAD＝180°，求AD的长． 【分析】（1）根据解题过程进行解答即可； （2）过点D作DE⊥AB于点E，根据勾股定理求出，证明△ACD≌△AED（AAS），得出DC＝DE，AE＝AC＝4，设DE＝DC＝x，则BD＝BC﹣DC＝3﹣x，根据勾股定理得出（3﹣x）2＝12+x2，求出x的值即可； （3）根据勾股定理得出，根据折叠得出∠CAD＝∠EAD，AE＝AC＝5，根据解析（1）可得：，求出即可； （4）延长BA，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，过点E作EP⊥AF于点P，EM⊥CF于点M，EN⊥BC于点N，证明△ACD≌△ACF（AAS），得出∠ACD＝∠ACF，AF＝AD，证明FE平分∠AFC，得出，设AF＝3x，CF＝4x，求出，从而得出5x＝35，求出x＝7，即可得出答案． 【解答】（1）证明：过点D作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，过点A作AG⊥BC交BC于点G， ∵AD是△BAC的平分线， ∴DE＝DF， ∵，， ∴， 同理：，， ∴ ∴AB：AC＝BD：DC． 故答案为：①DF；②AC； （2）解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示： 则∠AED＝∠BED＝90°， 由勾股定理可得，， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD与△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴DC＝DE，AE＝AC＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1， 设DE＝DC＝x，则BD＝BC﹣DC＝3﹣x， ∵BD2＝BE2+DE2， ∴（3﹣x）2＝12+x2， 解得：， ∴． 故答案为：； （3）解：由勾股定理可得，， 根据折叠可得：∠CAD＝∠EAD，AE＝AC＝5， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解：延长BA，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，过点E作EP⊥AF于点P，EM⊥CF于点M，EN⊥BC于点N，如图所示： ∵∠BAD+∠CAD+∠CAF＝180°，∠BAD+2∠CAD＝180°， ∴∠CAD＝∠CAF， ∵AD⊥BC，CF⊥BF， ∴∠ADC＝∠AFC＝90°， 在△ACD与△ACF中， ， ∴△ACD≌△ACF（AAS）， ∴∠ACD＝∠ACF，AF＝AD， ∴AC平分∠DCF，EM⊥CF，EN⊥BC， ∴EM＝EN， ∵BE平分∠ABC，EP⊥AF，EN⊥BC， ∴EP＝EN， ∴EP＝EM， ∴FE平分∠AFC， 根据解析（1）可得：， 设AF＝3x，CF＝4x， ∴， ∵AC＝AE+CE＝15+20＝35， ∴5x＝35， 解得：x＝7， ∴AD＝AF＝3x＝3×7＝21． 36．（2025•沂水县校级模拟）（1）【问题背景】 如图，PC是△PAB的角平分线，求证：PA•BC＝PB•AC．社团成员进行了探索研究，小明和小红提出两种不同的证明思路： 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA于点D，作CE⊥PB于点E，利用“等面积法”． 【问题解决】 请根据小明或小红的思路，将两人的证明补充完整．（任选一种即可） （2）【深度思考】 如图2，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．当BD＝3时，AF的长为　6　 ． 【分析】（1）小明思路：过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，则可得△ACP∽△BCD，根据相似三角形的性质可得，则AP•BC＝BD•AC．再关联PC是△PAB的角平分线和BD∥PA，可得PB＝BD，进而可得PA•BC＝PB•AC． 小红的思路：过点C分别作CD⊥PA于点D，作CE⊥PB于点E，过点P作PF⊥BC于点F．根据角平分线的性质可得CD＝CE．利用面积法可得PB•CE＝BC•PF，PA•CD＝AC•PF，将两式相比，可得，进而可得PA•BC＝PB•AC． （2）因为AD为∠BAC的平分线，由（1）中的结论可得，求得CD＝2．由EF是AD的垂直平分线可得AF＝DF，则可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠B＝∠FAC．再结合∠AFB＝∠CFA，可得△FBA∽△FAC，则可得，即，进而可求得AF＝6． 【解答】（1）证明：小明的思路： 如图，过点B作BD∥AP交PC的延长线于点D． ∵BD∥AP， ∴∠APC＝∠D． 又∵∠ACP＝∠BCD， ∴△ACP∽△BCD， ∴， ∴AP•BC＝BD•AC ∵PC是△PAB的角平分线， ∴∠APC＝∠BPC， ∴∠BPC＝∠D， ∴PB＝BD， ∴PA•BC＝PB•AC． 小红的思路： 如图，过点C分别作CD⊥PA于点D，作CE⊥PB于点E，过点P作PF⊥BC于点F． ∵PC是△PAB的角平分线， ∴CD＝CE． ∵，，，， ∴PB•CE＝BC•PF①，PA•CD＝AC•PF②， 得，， 则， ∴PA•BC＝PB•AC． （2）解：∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠DAC． ∴， ∵AB＝6，AC＝4，BD＝3， ∴， ∴CD＝2， ∵AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA． ∵∠FAD＝∠FAC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD， ∴∠B＝∠FAC． ∵∠AFB＝∠CFA， ∴△FBA∽△FAC， ∴， ∴， ∴AF＝6． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $