专题01 平面向量（7大考点期中真题汇编，黑吉辽蒙专用）高一数学下学期人教A版

专题01 平面向量 7大高频考点概览 考点01平面向量基本概念及线性运算 考点02平面向量基本定理及坐标表示 考点03平面向量数量积定义 考点04平面向量数量积模长问题 考点05平面向量数量积夹角与垂直问题 考点06平面向量数量积投影问题 考点07平面向量数量积几何意义与极化恒等式 地 城 考点01 平面向量基本概念及线性运算 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 2．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)若点D在的边上，且，M是的中点，，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期中)等于（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·吉林长春农安县·期中)如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中)已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（    ） A．9 B． C．7 D． 二、多选题 8．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）关于向量，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 三、填空题 10．(24-25高一下·内蒙古乌海第一中学·期中)如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____ 四、解答题 11．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.    (1)若，求的值； (2)若，求的最小值. 地 城 考点02 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（   ） A．1或 B． C．或 D． 3．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学·期中)已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·吉林省白城市·期中)已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）已知向量，，且，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．8 6．(24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高一下·吉林省白城市·期中)已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 四、解答题 9．(24-25高一下·吉林省松原市·期中)在平面直角坐标系xOy中，，，． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数m的值． 地 城 考点03 平面向量数量积定义 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知三点，则等于（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一下·吉林·期中）已知向量，，若·=||·||，则实数的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．2 3．（24-25高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知向量和的夹角为，且，，则（   ） A．3 B． C． D．13 4．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知四边形为平行四边形，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且.若，则（    ） A．6 B．8 C． D． 二、多选题 6．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知向量，则（   ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则与的夹角为 三、填空题 8．（24-25高一下·吉林·期中）在菱形中，是的中点，若，则 __________ . 四、解答题 9．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知向量与的夹角为，且， (1)求的值． (2)在三角形中，，且，求 10．（24-25高一下·吉林·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值. 地 城 考点04 平面向量数量积模长问题 三、填空题 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 2．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 3．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知向量满足，，且，则________. 四、解答题 4．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知向量与的夹角为60°，＝1，． (1)求及； (2)求. 地 城 考点05 平面向量数量积夹角与垂直问题 一、单选题 1．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．3 2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）已知，且与垂直，则等于 A． B．± C．± D．± 4．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）已知向量， ，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 6．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知向量，满足，． (1)若，求； (2)若，求当k为何值时，． 7．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求m的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 8．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知向量，，. (1)求； (2)求与的夹角. 9．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）已知，，且与的夹角为120°，求： (1)； (2)与的夹角． 10．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量，满足，且，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 11．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）设A，，，为平面内的四点，且. (1)若，求点的坐标； (2)设向量，若与夹角为钝角，求实数的范围. 地 城 考点06 平面向量数量积投影问题 一、单选题 1．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A．1 B． C． D． 三、填空题 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_______． 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________. 5．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则______. 四、解答题 6．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 7．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知平面向量． (1)若，求与的夹角； (2)若，求向量在向量上的投影向量． 地 城 考点07 平面向量数量积几何意义与极化恒等式 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知菱形 边长为， 则 （    ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25高一下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 三、填空题 6．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为_________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01平面向量 目目 考点01 平面向量基本概念及线性运算 一、单选题 1.D 2.A. 3.D 4.C. 5.B. 6.A 7.B 二、多选题 8.AB 9.BCD 三、填空题 0.+号6 四、解答题 1.【详解】（①）解：因为PC=28驴 所以亚-孤+P-西+C=+a+C-号+4C 因为0是线段p的中点，所以0=P=背丽+名C, 6 设=x,则有40-背征+C, 6 因为CQE三点共线，所以+。1，解得x即6 5B, 所以B-,所以6子 5 （2)解：因为丽=正+丽=花+入征=1+刘征，同理可得4C=1+川F, 由1)可知，0-号兮西+若c,所以0-1正+1号正， 6 3 6 1/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为E,O,F三点共线，所以3 1+2++世=1，即22+u=3 6 *22*-片并-慢哥- 所以入μ32μ 当且仅当4=2：即u=3反-3-6=2时取等号， 2 1+1 3+2W2 所以入“的最小值为3， 目目 考点02 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1.B 2.A 3.B. 4.C 5.A 6.C 二、多选题 7.BCD 8.AC 四、解答题 9.【详解】(1)由0C=x01+05,有8-)=1,2+(-2,3到， x-2y=8, [x=2, 有2x+3y=-5,解得y=-3, 故x=2,y=-3: (2)由B=(-3,1,m0A+0c=m1,2+(8-5到=(m+8,2m-5) 又由4B1八m01+0C,有(m+8)x1-(-3列×2m-5列=0， 解得m=1,故m=1 219 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 平面向量数量积定义 一、单选题 1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 二、多选题 6.ABD 7.BC 三、填空题 8.1. 四、解答题 9.【详解】4)2a--10即4回-4dcos45+=10,故-22-6=0，故 -36+2=0,因为>0故=35 (2)因为D-20C,放0-写0+号C, 放D8c-（传B+号Cac-丽 23, 即AD.BC=32 10.【详解】()由题意知，厅=历+F-+8C=a+c 又际=函8C,所以=写，故*y=片- 236 (2)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系. 319 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则D(0,6,E30),40,0),F6,2,DE=(3,6,AF=(6,2 由于∠EMF就是DE,AF 的夹角 M 的余弦值为 ∴.cos∠EMF= DE·AF 18-12 2 .∴.∠EMF B DE AF V9+36V36+410 10 目目 考点04 平面向量数量积模长问题 三、填空题 1.5 2. 3.3 四、解答题 4.【详解】(1)由题设=5+1=2，则a-6=6cos0=1×2c0s60°=1. (2)由a-26=ā-2b=a2-4a-6+46 =12-4×1×2×c0s60°+4×22=13， 所以反-2=B 目目 考点05 平面向量数量积夹角与垂直问题 一、单选题 1.C. 2.D 3.B. 4.C. 三、填空题 5.m2(2 4/9 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四、解答题 6.【详解】()根据题意，a-6a1cos60=1x2x)=l, 2 所以a+=V++2a-万=P+22+2=V万 (2)因为a-j1a,即a-6a=0, 即a-a-6=0,则a-6=1, 由a-6列1(a+25 得ā+26a-6=a2-262+(2k-后-万=k-8+(2k-)=3张-9=0 解得k=3, 所以当k=3时，（ā-61（ā+26 7.【详解】1)由向量a=(2,-0,6=6),得2a-6=(42)-6,5)=0-7), 所以2ā-b=VP+(-7)=52 =(-1,m)a+c=(2,-1)+(-1,m)=(1,m-1) (2)向量 ,则 8 由(a+c1历，得3(m-)=1x5,解得m= , 8 所以m的值为3： (3)ā+五=(2，-)+3,5)=(5,4)，设与a+6垂直的向量“=（化》 则5r+4y=0,取x=4,得i=4,-),则=V4+(5=4】 45 与向量共线的单位向显为荷+4-)=女后， 1 所以与6有省的位的限的整东{行司度有高】 45 519 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.【详解】(4)a-利=3+=2， 故a-=a-}=a-2ab+6=4, 故3-2a-6+1=4,解得a-6=0, 故a+=a+6°=a+2a-6+万-3+0+1=4， 所以6+-2： (2)cos0= (a+ba-a2-6_3-1_1 a+8a-2x242, 又6e0,小，放0-子 9.【详解】4)因为=4，月=2，且a与5的夹角为120， 所以a6=同同cos120=4x2x(2=4, 所以(2a-=4i2-4i-万+=4a-4a6+5=64+16+4=84, 所以2a-列=-v(2a-b=v84=22 (2)因为i(a+=a2+a-6=-4=16-4=12 a+=Va+b=Va2+2ab+6=+2a-6+-Vi6-8+4=12=2W5, 所以osGi+5=a石+b2_5 1d-a+64×252, 因为a,a+6e0,列 30° 所以与a+币的夹角为30. 10.【详解】（1)因为a+2-位-26)=2，所以-46=2，即a416=2, 6/9 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又ak 6,所以卡1， (2)因为51a-2D,所以5-(a-2而=0，即a-6-2刘5非0，所以a:6=2, 所以cos0 a.6_6 ab3· （3)a-36)-a-30)=2-3r2+3到a-6+952=-62+15-6 由题意知a-3b-(a-36)>0且向量0-36与a-36不同向共线， 所以6+151-6>0 当向量a-3b与a-36同向共线时，a-36=(a-36列>0)，即得1=从，-31=-3k, 解得1=k=1(负值舍去). 所以60+151-6>0 ≠1 且 1 解得2下1<2 2日t1,即实数1的取值范围为21U0,2) 1.【详解】(1)设点D》,则AB=山，-5)CD=x-4,y-) 1=x-4 x=5 由AB=CD,得(1，-5)=(x-4,y-1),即-5=y-1,解得y=-4, (5,-4) 所以点D的坐标为 (2)依题意，u=B=1,-),万=BC=(2,3) 则ka-b=k-2-5k-3),a+30=(1,4 由如-6与日+36夹角为纯角，得a-可(a+汤<0，且a-5与+36不共线， 7(k-2)+4(-5k-3)<0 1 所以4k-2)≠7-5k-3)，解得k>-2且k≠-3， 719 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以实数的范围是(-2U(-子+) 目目 考点06 平面向量数量积投影问题 一、单选题 1.D 2.B 三、填空题 51 3.4’4 4.3 5.2-5,-2+2 四、解答题 6.【详解】(1)a-6=acos(a,)=2x1xcos元-1 (2)因为a+2=0+46+4a-6=2+4+4=10, 所以a+2=10 (3)-在，方向上的投影向量为 -6.6=6=万=10) 7.【详解】(1)由题设+6=0-2)+0，)=(2，x-2),又a+61a, 所以a+6a=(2,x-2)l,-2)=2+4-2x=0,则x=3,故5=(1,3)， a6-06o-年.ms 所以位动-要 （2)由a+列11e,则2x5-)=4×(c-2,可得r=3,则5=1,3)， 8/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a65高6-(g3 所以向量。在向量方上的投影向量1b11b110 目目 考点07 平面向量数量积几何意义与极化恒等式 一、单选题 1.B. 2.C 3.C 4.B 二、多选题 5.ABD 三、填空题 6号 919 专题01 平面向量 7大高频考点概览 考点01平面向量基本概念及线性运算 考点02平面向量基本定理及坐标表示 考点03平面向量数量积定义 考点04平面向量数量积模长问题 考点05平面向量数量积夹角与垂直问题 考点06平面向量数量积投影问题 考点07平面向量数量积几何意义与极化恒等式 地 城 考点01 平面向量基本概念及线性运算 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义，向量相等，向量共线的概念分析各个选项即可得到答案. 【详解】对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确. 故选：D 2．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算可求. 【详解】 ， 故， 故选：A. 3．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解. 【详解】由已知为线段上一点， 设，， 则， 又， 则， 所以， 则，解得， 故选：D. 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)若点D在的边上，且，M是的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质，由向量的线性运算，可得答案. 【详解】 由为的中点，则， 由，则， 由图可知，则， 可得，所以. 故选：C. 5．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期中)等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算化简即可. 【详解】． 故选：B. 6．(24-25高一下·吉林长春农安县·期中)如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 由题可知，所以， 即. 故选：A 7．(24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中)已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（    ） A．9 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据三点共线可求的关系式，再结合基本不等式可求的最小值. 【详解】因为为的中点，故， 而三点共线，故存在实数，使得， 所以，而不共线， 故，所以， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：B. 二、多选题 8．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）关于向量，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】依据向量加法的三角形法则可判断A，依据向量的概念可判断BC，依据平行向量的概念可判断D. 【详解】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确； 当时，，B正确； 若和无法比较大小，C错误； 当时，与可能不共线，D错误. 故选：AB. 9．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：，A错误； 若是的中点，则， 由三点共线可设，则， ∴， ∴，得，B，C正确； 设，则， ∵三点共线，∴，得，D正确； 故选：BCD. 三、填空题 10．(24-25高一下·内蒙古乌海第一中学·期中)如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____ 【答案】 【分析】先根据相似三角形求出点P在线段上的具体位置，再根据平面向量的加减法几何运算，用平面向量基底表示出目标向量即可. 【详解】 如图所示，作中点，连接，是得三等分点，则， 在中点为中点，点为中点，所以， 所以，因为，可得， 所以， 由， 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.    (1)若，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，根据向量的线性运算法则，得到，根据是线段的中点，得到，根据三点共线，求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到和，结合三点共线，求得，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以，所以. （2）解：因为，同理可得， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 地 城 考点02 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据共线定理有，再由平面向量基本定理列方程组可得. 【详解】∵向量，不共线，且向量，，与反向， ∴存在实数使， 于是． 整理得． 由于向量，不共线，所以有， 整理得，解得或． 又因为，所以，故． 故选：B． 2．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（   ） A．1或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】分由三点共线，可得与共线，根据共线向量坐标表示求解. 【详解】因为三点共线，所以与共线， 则，解得或. 故选：A 3．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学·期中)已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】由题意得，则， , 所以的坐标为． 故选:B. 4．(24-25高一下·吉林省白城市·期中)已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标. 【详解】点，，则，于是， 所以点的坐标为. 故选：C 5．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）已知向量，，且，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得. 故选：A 6．(24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，所以． 故选：C 二、多选题 7．(24-25高一下·吉林省白城市·期中)已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BCD 【分析】利用基底的定义，逐项分析判断. 【详解】对于A，，A不可以； 对于B，假定与共线，则， 则且，矛盾，向量和不共线，B可以； 对于C，不能由表示出，即向量和不共线，C可以； 对于D，假定与共线，则， 则且，矛盾，向量和不共线，D可以. 故选：BCD 8．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】分析两个向量是否共线，不共线的两个向量可以作为基底. 【详解】B中与共线，D中与共线，A、C中两向量不共线， 故选：AC. 四、解答题 9．(24-25高一下·吉林省松原市·期中)在平面直角坐标系xOy中，，，． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量坐标化的线性运算即可得到关于的方程组，解出即可； （2）首先计算得，再利用向量共线得到关于的方程，解出即可. 【详解】（1）由，有， 有解得 故； （2）由，， 又由，有， 解得，故． 地 城 考点03 平面向量数量积定义 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知三点，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的坐标表示进行线性运算和数量积运算即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：C 2．（24-25高一下·吉林·期中）已知向量，，若·=||·||，则实数的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．2 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算公式（其中为与的夹角），结合已知条件得出两向量夹角的值，进而判断两向量的关系，再根据向量平行的坐标表示列出方程求解的值. 【详解】由向量数量积运算公式可得： 因为和均不为，所以. 又因为，所以，即与同向，那么与共线. 已知，，且与共线，则有： 即，整理得.解得或. 当时，，，此时，两向量反向，不符合题意，舍去. 当时，，，此时，两向量同向，符合题意. 实数的值为. 故选：B. 3．（24-25高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知向量和的夹角为，且，，则（   ） A．3 B． C． D．13 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积公式和运算律求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A 4．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知四边形为平行四边形，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的运算律，得，即可求解. 【详解】因为，则， 又，则，， 所以， 又，，所以， 故选：C. 5．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且.若，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，由点是的中点，， 得，， 则 ，解得. 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由两个平面向量平行、垂直的坐标公式计算可分别判断A项、B项，由平面向量的模、数量积的坐标公式计算可分别判断C项、D项. 【详解】因为向量，， 若，则，所以，故A正确； 若，则，所以，故B正确； 若，解得，故C错误； 若，则，所以，故D正确； 故选：ABD. 7．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知向量，则（   ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则与的夹角为 【答案】BC 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，数量积的坐标运算，模的坐标表示，以及向量夹角的公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】因为向量，， 对于A中，若与垂直，可得，解得，所以A不正确； 对于B中，若，可得，解得，即， 则，所以B正确； 对于C中，若，可得，则， 所以，所以C正确； 对于D中，若，可得，则， 此时，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题 8．（24-25高一下·吉林·期中）在菱形中，是的中点，若，则 __________ . 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理及向量的线性运算将题中的向量用，表示出来，根据向量数量积的运算律，化简整理整体代换即可求解. 【详解】    在菱形中，由平面向量的加法法则可知：. ∵是的中点，∴. 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知向量与的夹角为，且， (1)求的值． (2)在三角形中，，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边平方，结合数量积公式化简求解即可； （2）以，为基底化简，再根据数量积公式求解即可 【详解】（1）即，故，故，因为故 （2）因为，故， 故， 即 10．（24-25高一下·吉林·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则可得； （2）建立以点为原点的平面直角坐标系，由坐标计算向量的夹角可得. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系. 则. 由于就是的夹角. 的余弦值为. 地 城 考点04 平面向量数量积模长问题 三、填空题 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 【答案】 【分析】利用向量数量积求模即可. 【详解】． 故答案为: . 2．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 【答案】 【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以 . 故答案为：. 3．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知向量满足，，且，则________. 【答案】 【分析】 根据复数模长公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 四、解答题 4．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知向量与的夹角为60°，＝1，． (1)求及； (2)求. 【答案】(1)2，1； (2). 【分析】（1）利用模长坐标公式求，再由数量积的定义求； （2）应用向量数量积的运算律求即可. 【详解】（1）由题设，则 （2）由 ， 所以. 地 城 考点05 平面向量数量积夹角与垂直问题 一、单选题 1．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量， 则， 因为，可得 ， 解得. 故选：C. 2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两向量垂直的坐标运算求解. 【详解】由， 得=0, 得； 又，故 ， ，故 ， ， 代入得：， . 故选：D 3．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）已知，且与垂直，则等于 A． B．± C．± D．± 【答案】B 【详解】试题分析：根据与垂直，可得，整理可得即，所以，选B. 考点：平面向量垂直的判定与性质. 4．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）已知向量， ，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】，，则， 即，解得. 故选：C. 三、填空题 5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据平面向量的夹角为钝角，得出两向量的数量积小于0，且不共线；由此求出的取值范围． 【详解】向量，，且与的夹角为钝角， 所以，且与不共线； 所以，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 6．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知向量，满足，． (1)若，求； (2)若，求当k为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的运算律，求解作答； （2）利用垂直关系的向量表示求解作答. 【详解】（1）根据题意，， 所以； （2）因为，即， 即，则， 由， 得， 解得， 所以当时，. 7．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求m的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量的模的坐标公式求出； （2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值； （3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案. 【详解】（1）由向量，，得， 所以. （2）向量，则， 由，得，解得， 所以m的值为. （3），设与垂直的向量， 则，取，得，则， 与向量共线的单位向量为， 所以与垂直的单位向量的坐标或. 8．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知向量，，. (1)求； (2)求与的夹角. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）求出，利用向量数量积运算法则得到，故，求出模长； （2）利用向量夹角余弦公式得到，得到. 【详解】（1）， 故， 故，解得， 故， 所以； （2）， 又，故. 9．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）已知，，且与的夹角为120°，求： (1)； (2)与的夹角． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据数量积的定义及运算律先求出的值，再计算的值. （2）根据数量积的定义及运算律先算出和的值，再根据夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以， 所以， 所以. （2）因为， ， 所以， 因为， 所以与的夹角为. 10．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量，满足，且，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的数量积运算来求向量的模； （2）利用向量的数量积运算来求夹角即可； （3）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以， （2）因为，所以，即，所以， 所以. （3）， 由题意知且向量与不同向共线， 所以， 当向量与同向共线时，，即得， 解得（负值舍去）. 所以，且， 解得，且，即实数的取值范围为. 11．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）设A，，，为平面内的四点，且. (1)若，求点的坐标； (2)设向量，若与夹角为钝角，求实数的范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量的坐标表示，列式求解. （2）利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示，列式求出范围. 【详解】（1）设点，则,, 由，得，即，解得， 所以点的坐标为. （2）依题意，，， 则，， 由与夹角为钝角，得，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的范围是. 地 城 考点06 平面向量数量积投影问题 一、单选题 1．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】由，得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D 2．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 三、填空题 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据已知求出.结合已知推得，求出，然后即可根据投影向量得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为， 所以， 解得或（舍去）， 所以，， 所以，向量在向量方向上的投影向量为，坐标为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________. 【答案】 【分析】由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】设向量与的夹角为， 由题意可得， 则，又，则. 故答案为： 5．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则______. 【答案】/ 【分析】根据题意，计算出 ，再利用投影向量的定义及模长公式即得. 【详解】因为，，所以， ， 所以P点坐标为， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 6．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】(1)1 (2) (3). 【分析】（1）根据向量数量积的定义计算即可； （2）根据向量数量积的运算律，直接平方计算即可； （3）根据投影向量的计算公式即可得到答案. 【详解】（1）. （2）因为， 所以. （3）在方向上的投影向量为. 7．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知平面向量． (1)若，求与的夹角； (2)若，求向量在向量上的投影向量． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知及向量垂直的坐标表示列方程求得，再应用向量夹角的坐标运算求夹角即可； （2）由已知及向量平行的坐标表示列方程求的，根据投影向量的定义求向量在向量上的投影向量. 【详解】（1）由题设，又， 所以，则，故， 所以，而， 所以. （2）由，则，可得，则， 所以向量在向量上的投影向量. 地 城 考点07 平面向量数量积几何意义与极化恒等式 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知菱形 边长为， 则 （    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的数量积的定义计算即可., 【详解】菱形边长为，所以的夹角为， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C 4．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：B 二、多选题 5．（24-25高一下·吉林省白城市·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】易得及的大小关系，即可判断A；易得当取得最小值时，点在上时，进而可判断B；根据数量积的几何意义可得当点在边上时，取得最大值，即可判断C；设，再根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断D. 【详解】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知， 当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时， 当点在上时，设，则 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时， 在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设， 则 ， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 6．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可. 【详解】   如图示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、 不妨设 则 ∴ ∴的最小值为，当且仅当时取得. 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $