专题02 正弦定理、余弦定理（8大考点期中真题汇编，黑吉辽蒙专用）高一数学下学期人教A版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 正弦定理、余弦定理 目目 考点01 正弦定理 一、 单选题 1.C 2.C 二、多选题 4.ACD 5.BCD 三、填空题 6.3 目目 考点02 余弦定理 一、单选题 1.D. 2.D. 3.D 4.B 5.B 二、填空题 6.0:242525+2 三、解答题 7.【详解】(1)由已知及正弦定理得sinA:sinB:sinC=a:b:c=2:l:√2， 又b=√2，a=2V2,c=2. (2)由余弦定理可得cosC-+-c_22+N2-23 2ab 2×2W2×√24 1/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 三角形周长与面积问题 一、单选题 1.B 二、多选题 2.AD 三、解答题 3.【详解】(1)解：因为c=cosC ,可得ccos A=2 bcosC-a cosC, 2b-a cos A c cos A+a cosC 2bcosC, 由正弦定理得sin C cos A+sin AcosC=2 sin BcosC,即sin(C+A)=2 sin B cosC, 又因为C+A=π-B,可得sin(C+A)=sinB,所以sinB=2 sin B cosC, 因为8e0,x),可得sinB>0,所以cosC=, Γ2 又因为C∈(0，m),所以C=亚 3 (2)解：因为△ABC的面积SBc=V5,可得-ab sin C=V5,可得ab=4, 又因为c=1,由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC, 可得a2+b2-ab=1,所以a2+b2=5, 则(a+b)2=a2+b2+2ab=5+2×4=13,所以a+b=V13, 所以△ABC的周长为a+b+c=V13+1 4.【详解】(1)由c2+ab=(a+b)2,得a2+b2-c2=-ab, 在△4BC中，由余弦定理，得cosC=+b-C.- 2ab 2 ,又0<C<π， 所以C=2π 3 (2)由54c)b5nC=5。=85,解得a=4,b=2a=8, 2 2 由余弦定理，得c2=a2+b2-2 abcosC=42+82-2×4×8x(←=112，解得c=4V万， 所以△ABC的周长为12+4√万 ,【详解】)由题意得SD=)AB·AD:sin∠BAD=)D二)AD=7 由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADC0s∠BAD=25,.BD=5. 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)在△ABD中，由余弦定理得c0s∠ADB=4D+BD-AB_4, 2AD·BD 5,..sin∠ADB=32 AD /BC,∴.∠CBD=∠ADB,∴.Sin∠CBD= cos∠CBD=4, 3 在△BCD中，：∠BDC=135°，.∠CBD+∠DCB=45°， CD BD 由正弦定理 sin∠CBD sin∠BCD BD·sin∠CBD 3 CD= sin∠BCD sin45°-∠CBD 3 =15√2 2 (cos∠CBD-sin∠CBD) △8CD的面积为SaDC-BD-sin∠BDC= 2 6.【详解】(1)由V3 asinC=c(1-cos4及正弦定理得V3 sin AsinC=sinC(1-cos4), 因为0<C<π，所以sinC≠0，所以V3sinA=1-cosA, 所以、5如4+o=1.所以2m4+爱-1，所以m4:) 因为0<A<,所以买<A+天<，所以4+-5匹，所以A=2 6 66 66 3 (2)①由bcosC+cc0sB=V0,可得bx+a-c+c 2ab+cx 2+a2-b=o, 2ac 所以a=√10； ②由4S=b+c,可得4×二×bcsin A=b+c, 2 1 由Q)知A=3,则4 -xbex =b+c 2 所以√3bc=b+c, 又由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becosA, 所以10=b2+c2+bc=(b+c2-bc, 所以10=36e-bc,解得6c=2或c=-号 （舍去)， 所以△ABC的面积为二x bcsin A=】 3 2 目目 考点04 三角形解的个数问题 一、 单选题 3/12 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 1.C 2.C 3.B 二、多选题 4.AC 三、填空题 5.2(或3) 目目 考点05 三角形形状问题 一、单选题 1.A 2.B 二、多选题 3.AC 4.BCD 5.ABD 三、解答题 6.【详解】(1)在△ABC中，已知a2=b2+c2-bc,即b2+c2-a2=bc, 由余弦定是写4：公远-，面04长，所以4号 2bc 2因为S-ho-百-5，历以c-8, 2 22 又a2=b2+c2-2 bccosA=(b+c-3bc=16-6=10, 所以a=√0 (3)由a2=b2+c2-bc及a2=bc,得(b-c2=0,则b=c,由(1)知A= 3 所以△ABC为正三角形 目目 考点06 范围最值问题 一、单选题 1.B 二、多选题 4/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2.ACD 三、解答题 3.【详解】(1)解：(a-b+c(a-b-c)+ab=0, a2+b2-c2=b,即a+b2-c21 2ab 2 ,cosC=2 1 3’·simc=5 又：0<C<元，C= 2 hesin C-3ec0s4+3acosC,sinc 2 .sin B.c. -=3(sin C cos A+sin A cos C)=3sin(A+C)=3sin B, :0<B<π，即sinB≠0， 2c=3,解得c=2V5. b c25 (2)解：由正弦定理得，sinA sinB sinC√3 =4 2 a=4sin A,b=4sin B, a+b=4sin A+4sin B, :A+B+C=,C=,:B=2-A 3 则a+b-4如446m经4 =4(sin 4+ 6 2cos4+sin d) =6sin 4+23 cos A =45sm4+8, :△ABC为锐角三角形， 4+） 45sm4+(6,4. 即a+be(6,4V5]. 5/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 4.【详解】(1)因为2cosA(ccos B+bcosC)=a, 由正弦定理得2cosA(sin Ccos B+sin Bcos C)=sinA, 又因为B+C=π-A,所以sin Ccos B+sin B cos C=sin(B+C)=sinA, 所以2 cos Asin A=sinA, 因为△ABC为锐角三角形，可得A∈(0，)，所以sinA>0, 所以cosA=7,可得A-乃 3 a b (2)由正弦定理可得sinA sin B sinC√3 =25 2 所以b=2V3sinB,c=2V3sinC, 则b+c-25cm8+nG-2WsaB+sm吾--=250sm8+(5 cos B+sin B)] -25(如8+5s=6ng45. 6 0<B< 2 因为△ABC为锐角三角形，可得 。2-B< '解得<8<， 0 6 2 3 可得8+e写3，所以m8+e(9小则6sn8+爱eB5.。 6 6 即b+ce(3V3,6],所以△ABC的周长a+b+ce(3V3+3,9], 所以△ABC的周长的取值范围为(3V3+3,9]. 5.【详解】q)因为asin4+C=bsind,由正弦定理得sin4sim π-BY sin B sin A, 2 、2 故sin Acos-2 BB」 B=2sin-cos-sin 4, 2 2 B 在ABC中，0<AK0<B<,所以SmA>0,0<g<,则co9>0了 2 可得血号分所以号吾所以8号 c b 3 (2)由正弦定理可得2=insinc"si =2(R为△ABC外接圆的半径)， 2 所以a=2sinA,c=2sinC, 6/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 因为8子则4+C-红， 2-A, 3 所以2a-c=4sinA-2sin 5-4小=3sm4-5cow4=25m4-} 0<A< 2 因为△ABC为锐角三角形，则{ 0cC=<'解得< 6 3 则4-0引 2+tanC、sin-C C C 6.【详解】(1)因为an4牛B+anS=an- osπ-C+tan 2 C cos 2 sin 2 2 2 2 2 C COS- sin- cos 2 2 Cos2C 2= 1 1 CC C。C= sin。cos 2 2 sin cos -sin C 2 22 2sinc 所以 1 4,所以血C=行，因为△1BC为锐角三角形，所以C-着： (2)因为4+B+C=x,C=天，所以B=5弧-A, 6 6 2 b 自业弦定理”一二得smA中4疗 sin A sin B 所以6= cos 4+3sin 4=+1 sin A sinA tan A 所以s-nc-2x6对[5+4》 0<A< 2 由 可得子<A受，所以mA>5,所以0<<5 Aπ 3 tan A 3 6 2 23 7.【详解】(1)在△ABC中，向量m=(2cosB,sinC),n=(cosC,-2sinB),由m·n=-V3, 得2 cosBcoC-2sin8sinC=2c0s(B+C)=-2c0sA=-5,解得cos4=5 7/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 而0<A<元，所以A=交 6 2由1)知，4=若而a=2 由余弦定理得4=a2=b2+c2-2 becos A≥2bc-V3bc=(2-V3)bc,当且仅当b=c时取等号， 因此0<bc≤ 2- =42+5,3esn4=ce02+, 所以△ABC面积的取值范围为(0,2+√5] 目目 考点0☑ 中线、角平分线、高线问题 一、单选题 1.D 二、多选题 2.AD 三、填空题 3.而 22 四、解答题 4.【详解】(1)因为beosc=a+ -csinB 3 所以由正弦定理得sin BcosC=sinA+ 3 3 sin CsinB, 所以sin-sinx-(B+C]+5 sin CsinB, 所以sin8cosC=sin(B+C)+ 3 -sin CsinB 所以sinsC=sin BeosC+cos BsinC+y5、 -sin CsinB, 3 所以cos sin C+5、 -sin CsinB=0, 因为sinC≠0，所以cosB+5 sinB=0, 所以tanB=-V3, 因为B∈(0，，所以B=2 3； (2)因为角B的角平分线交AC于点D, 所以∠CBD=∠ABD=∠ABC= 2 3 8/12 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 因为BD=V3,所以由SABC=SBCD+S.ABD,得 asincsin 2acsin3 32 32 3 所以ac=V3(a+c), 由余弦定理得h=a+C2-2 accos,,所以(a+c}-ac=36 所以(a+c)2-V3(a+c)-36=0,解得a+c=4√3或a+c=-3V3(舍去)， 所以ac=12,解得a=c=2√3， 所以BC=BA, 因为角B的角平分线交AC于点D,所以BD⊥AC, 因为EC=2EA,所以DE=1, 所以5ac1xv55 2 C D E 5.【详解】(1)因为2sin24+C=2sin2-B=2cos -=c0sB+1, 2 2 1+c0s2B=1+2c0s2B-1=2c0s2B, 所以c05B+1=2c0s28,解得c0sB=1或c0sB=-2, 1 因为B∈(0，，所以B=2π， 3: (2)由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B得28=4+c2-2×2c× 解得c=-6或c=4,因为c>0,所以c=4, 由8D=8A+BC)得BD=(⑧+ac+2 -osB), 所以5丽-e2+2+2acow写-6+42x4x2(引-3. 所以BD=V5 6【详解】D由题知a-6+Yc?6个 4 4 =3ac,即a2-b+c2=42a6 3-ac, 由2acos8=g-+e2-49ac,解得osB-2 3 3 9/12 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 3 (2)由外接圆面积 9亚得外接圆半径r=2' 由(1)cosB=2W2 ,所以sinB=3' 1 由正弦定理得 。=2r=3,解得b=1, sin B 由余弦定理得1=a2+c2-2acc0sB,即1=a2+c2_4y -ac z 2ac- 4v -ac, 3 3 化简得ac≤ 9+6W2 2 ,当且仅当a=c时等号成立. 所以ac的最大值为9+6V2 2 (3)因为BD是△ABC的角平分线，则∠ABC=2LABD=2∠CBD, 所以△Bc的面积S=oesin ABC-x3yx{。 2432 si /CD+snD. 所以a+e294c5,周0* 6 2 8 8sin∠ABC, 2 由os乙4BC=25.所以2snC-125,解得nC.E1(负值舍去. 3 2 3 2√6 综上，a+c= 3+3v2 7【都】0由正我定理得5动+52-6c+5,即公+e-云-c 由余弦定理得cos4=6+c2-a23 2bc =5 得咖1 (2)由c0s4=3, 4 5 由(1)可得b2+c2=20+5bc≥2bc,得bc≤25， 当且仅当b=c=5时，等号成立， 所以S -besin4csI0,故△4BC面积的最大值为D (3)如图，设LDAM=a(0<u<A). M D 在aAMD中，MD=AMsina=3sina. 10/12 专题02 正弦定理、余弦定理 8大高频考点概览 考点01正弦定理 考点02余弦定理 考点03三角形周长与面积问题 考点04三角形解的个数问题 考点05三角形形状问题 考点06范围最值问题 考点07中线、角平分线、高线问题 考点08在实际生活中的应用 地 城 考点01 正弦定理 一、单选题 1．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用正弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理，得，解得， 故选：C. 2．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）在△ABC中，，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得到方程结合题设数据即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 所以，又因为， 所以角，所以，故或， 当时，，当时，， 故选：C 3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，，则______． 【答案】 【分析】利用正弦定理边化角，计算可得，可求. 【详解】因为，所以由正弦定理可得． 又，所以，故．又因为，所以． 故答案为：. 二、多选题 4．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知△ABC的内角的对边分别是，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若△ABC是锐角三角形，则 D．若，则△ABC是钝角三角形 【答案】ACD 【分析】对于A在中若，则，利用正弦定理即可判断，对于B由在单调递减，即可判断，对于C若△ABC是锐角三角形，则，即，利用正弦函数的单调性即可判断，对于D若，即，利用正弦函数的单调性得即可判断. 【详解】对于A：在中，若，则，由正弦定理有，故A正确； 对于B：由在单调递减，，所以，故B错误； 对于C：若△ABC是锐角三角形，则，所以， 又在单调递增，所以，故C正确； 对于D：若，则，又在单调递增， 所以，所以,所以是钝角三角形，故D正确； 故选：ACD. 5．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）在锐角△ABC中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据已知条件结合正弦定理边化角得到，利用三角形内角关系及两角和的正弦公式整理式子得到，判断A选项；根据，即三角形形状得到关于角的不等式，解不等式即可确定角的取值范围，即可判断B；根据化为，利用基本不等式即可求最值，即可判断C；由已知条件将边化成角，再根据角的范围即可求出的范围，即可判断D. 【详解】由正弦定理及，得， 即，， 整理得，又，， 所以，故，，A错误； 由，得，又△ABC为锐角三角形， 所以解得，B正确； （当且仅当，即时取等号），C正确； 由，得，由正弦定理得： 即， 所以 . 又，所以，故，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 6．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔第一中学·期中)如图，在四边形中 ，．，， 则_______． 【答案】3 【分析】根据给定条件，由正弦定理直接求解即可. 【详解】在△ABC中，，，，， ， 由正弦定理得，得到，所以. 故答案为： 地 城 考点02 余弦定理 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）在△ABC中，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】在△ABC中，直接利用余弦定理求解 【详解】在△ABC中，由余弦定理得：， 所以， 故选：D. 2．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）在△ABC中，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用余弦定理列方程，求解即得. 【详解】由余弦定理，， 即，解得. 故选：D. 3．(24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，再利用余弦定理即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 由余弦定理可得. 因为，所以， 故选：D. 4．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理化角为边化简可得，再结合余弦定理求即可. 【详解】由正弦定理和，可得， 所以，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以. 故选：B. 二、填空题 6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______． 【答案】/；/ 【分析】连接，由已知结合余弦定理可得，，可填第一空；设，在中，有，利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式化简求解可填第二空. 【详解】连接，中，，， 由余弦定理得， 则，所以是等腰三角形，所以， 所以； 设，在中，， 所以是等腰三角形，在中，有， 所以，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以的最大值是. 故答案为：；. 三、解答题 7．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求a，c的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解， （2）由余弦定理结合同角关系即可求解. 【详解】（1）由已知及正弦定理得， 又，． （2）由余弦定理可得． ． 地 城 考点03 三角形周长与面积问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则△ABC的周长为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式求出，再利用二倍角的正弦及正弦定理求出，进而利用正弦定理、余弦定理求出即可. 【详解】在△ABC中，由，得，而，则， 由，得，由正弦定理得， 则，，由正弦定理得， 由余弦定理得，整理得， 而，解得，所以的周长为18. 故选：B 二、多选题 2．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)在△ABC中，，，，则（    ） A． B． C．△ABC的面积为 D．△ABC外接圆的直径是 【答案】AD 【分析】根据三角函数的性质求出，再利用余弦定理求出，接着根据正弦定理求出外接圆直径，然后求出，最后根据三角形面积公式求出三角形面积，再结合大边对大角判断角的范围，从而对各选项进行判断. 【详解】已知，因为是三角形内角，即， 根据三角函数平方关系，可得： 根据余弦定理， 已知，，，代入可得：， 所以. 根据正弦定理，可得， 将，，代入可得： ，所以选项正确. 因为，根据大边对大角可知，又因为， 且是三角形内角，所以，那么， 同时，所以选项错误. 根据三角形面积公式，将，，代入可得： ，所以C选项错误. 根据正弦定理（为外接圆半径）， 可得外接圆直径，所以选项正确. 故选：AD. 三、解答题 3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，△ABC的面积，求△ABC的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解； （2）由，求得，结合余弦定理，得到，进而求得△ABC的周长. 【详解】（1）解：因为，可得， 即， 由正弦定理得，即， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以. （2）解：因为△ABC的面积，可得，可得， 又因为，由余弦定理， 可得，所以， 则，所以， 所以△ABC的周长为. 4．(24-25高一下·内蒙古包头第一中学·期中)在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求出三角形周长. 【详解】（1）由，得， 在△ABC中，由余弦定理，得，又， 所以. （2）由，解得，， 由余弦定理，得，解得， 所以△ABC的周长为. 5．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）如图，在四边形中，的面积为． (1)求的长； (2)若，求的面积． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）先根据的面积，利用三角形的面积公式，求出，再利用余弦定理求. （2）在中，先利用正弦定理求的长，再利用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由题意得， 由余弦定理得． （2）在中，由余弦定理得， ， 在中，， 由正弦定理 ， 的面积为． 6．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在△ABC中，角的对边分别是，且. (1)求. (2)设△ABC的面积为，且. ①求的值； ②求△ABC的面积. 【答案】(1) (2)①；②△ABC的面积为 【分析】（1）由正弦定理结合辅助角可求出，进而可求出角A的大小； （2）①利用余弦定理即可求出的值. ②由三角形的面积公式，结合余弦定理可求得的值，进而可求面积. 【详解】（1）由及正弦定理得， 因为，所以，所以， 所以．所以，所以， 因为，所以，所以，所以． （2）①由，可得， 所以； ②由，可得， 由（1）知，则， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，解得或（舍去）， 所以△ABC的面积为. 地 城 考点04 三角形解的个数问题 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林省松原市·期中)在△ABC中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（    ） A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 【答案】C 【分析】利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解. 【详解】由正弦定理，得，解得. 因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解. 故选：C. 2．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得. 【详解】依题意，，即，由，得， 所以的取值范围是. 故选：C 3．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）已知△ABC的内角的对边分别为，且△ABC有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件△ABC有两解，计算求参. 【详解】因为△ABC有两解， 得，得． 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（   ） A．若△ABC不存在，则a的取值范围为 B．若存在唯一△ABC，则a的取值范围为 C．若存在两个符合条件的△ABC，则a的取值范围为 D．若△ABC为锐角三角形，则a的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出，再利用正弦定理逐项分析判断. 【详解】在△ABC中，由及正弦定理， 得，而，则， 由正弦定理得， 对于A，由△ABC不存在，得，解得，A正确； 对于B，当时，，，△ABC唯一，B错误； 对于C，存在两个符合条件的△ABC，则且，解得，C正确； 对于D，当时，，则，，△ABC为钝角三角形，D错误. 故选：AC 三、填空题 5．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，，若△ABC有两解，则的一个可能整数值为_______ . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理可得，由△ABC有两解可得，根据不等式的性质即可求解. 【详解】由正弦定理及题中条件可得. ∵△ABC有两解，∴，即， ∴，即. ∴的一个可能整数值为（或）. 故答案为：（或）. 地 城 考点05 三角形形状问题 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理边角互化，再结合两角差的正弦公式即可得解. 【详解】 由正弦定理得，a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin (A－B)＝0， 由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形． 故选：A. 2．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角所对的边分别为，若，则△ABC一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即，因，则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：B. 二、多选题 3．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）对于△ABC有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则△ABC为钝角三角形 B．在△ABC中，若，则△ABC必是等腰三角形 C．在锐角△ABC中，不等式恒成立 D．若，且△ABC有两解，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】A将化为，再利用正弦定理和余弦定理化简；B利用角的范围以及正弦函数图象即可；C利用以及正弦函数的单调性；D画出图形，数形结合. 【详解】，则，利用正弦定理可得，再由余弦定理可得，故角为钝角，故A正确； ，则，由可得或，即或，故B错误； 锐角有，因，则，由于在上单调递增，则，故C正确； 由图可知，欲使有两解，则，故D错误. 故选：AC 4．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（      ） A．若，则△ABC为等腰三角形 B．若，， ，则△ABC有两解 C．若，则△ABC为钝角三角形 D．若，则 【答案】BCD 【分析】本题需要逐项分析，根据每个选项 所给的条件，具体分析得出结论. 【详解】对于A：，由正弦定理得，即， 由于A、B为三角形的内角，∴或， 即或，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B：∵，，，由正弦定理得，，即， ， ， ， 若 ，B是锐角，则 ， C是钝角， 若 ，B是钝角， ，C是锐角， 故B有两角，故B正确； 对于C：若，∵， ， ， ∴，，中必有一个值为负， 即A，B，C中必有一个为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故C正确； 对于D：，由正弦定理得：， 即，即， ∵，∴，即，∵，∴，故D正确； 故选：BCD． 5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是（    ） A．若，则△ABC一定是等腰三角形 B．若，则△ABC是等腰或直角三角形 C．若，则△ABC一定是等腰三角形 D．若，且，则△ABC是等边三角形 【答案】ABD 【解析】A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断； B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断； C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断； D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果. 【详解】A．因为，所以， 所以，所以，所以，所以△ABC为等腰三角形，故正确； B．因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以或， 所以△ABC为等腰或直角三角形，故正确； C．因为，所以，所以， 所以，所以，所以或， 所以△ABC为等腰或直角三角形，故错误； D．因为，所以，所以或（舍），所以， 又因为，所以且，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以，所以△ABC为等边三角形，故正确. 故选：ABD. 三、解答题 6．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，△ABC的面积为，求的值； (3)若，判断△ABC的形状. 【答案】(1)； (2)； (3)△ABC为正三角形. 【分析】（1）已知条件利用余弦定理可求得角的大小； （2）由面积公式求得，又，代入余弦定理求的值； （3）将代入已知等式中得，又，可得△ABC的形状. 【详解】（1）在△ABC中，已知，即， 由余弦定理得，而，所以. （2）因为，所以， 又，     所以. （3）由及，得，则，由（1）知， 所以△ABC为正三角形. 地 城 考点06 范围最值问题 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在锐角△ABC中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由余弦定理化简所求式，再利用换元法令结合复合函数的单调性可得. 【详解】因为，， 则，化简可得， 所以， 令，则， 因为，由正弦定理可得， 又在三角形中，， 由上两式可得，即， 又在锐角三角形中，所以， 所以，解得， 即，则， 又，则，所以， 所以目标表达式可化为，易得在时为递增函数， 所以， 又， 所以的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 2．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．△ABC周长的最大值为 D．△ABC面积的最大值 【答案】ACD 【分析】由已知结合正弦定理可检验A、B；结合余弦定理及基本不等式可检验C；结合三角形面积公式可检验D. 【详解】由正弦定理，，代入数据解得，故A正确； 由余弦定理，， 解得或，故B错误； 由余弦定理：， 因为， 当且仅当时，，故三角形的周长的最大值为， 故C正确； △ABC面积， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、解答题 3．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，． (1)求c； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得出，再利用正弦定理，两角和的正弦公式及诱导公式，将转化为，即可求出答案； （2）利用正弦定理，将转化为，再根据三角形内角和得出，代入，根据两角差的正弦公式及辅助角公式得出，再由△ABC为锐角三角形得出角的范围，即可的取值范围． 【详解】（1）解：， ，即，， 又，，， ， ， ，即， ，解得． （2）解：由正弦定理得，， ，， ， ， ， 则 ， △ABC为锐角三角形， ， ， ， ， 即． 4．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中)锐角三角形△ABC的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据△ABC为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为△ABC为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为△ABC为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以△ABC的周长， 所以△ABC的周长的取值范围为. 5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）△ABC的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. （2）由正弦定理可得（为△ABC外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为△ABC为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求△ABC的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换将式子变形即可求解； （2）由正弦定理可得，根据面积公式结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为 ， 所以，所以，因为△ABC为锐角三角形，所以； （2）因为，，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由可得，所以，所以， 所以，即. 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知角A，B，C是△ABC的三个内角，向量，，且. (1)求A； (2)若，求△ABC面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数量积的坐标运算、逆用和角的余弦公式求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围，再利用三角形面积公式求出范围. 【详解】（1）在△ABC中，向量，，由， 得，解得， 而，所以. （2）由（1）知，，而， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因此，， 所以△ABC面积的取值范围为. 地 城 考点07 中线、角平分线、高线问题 一、单选题 1．（24-25高一下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为. 若为边上的点，且 ，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为， 即，解得. 故选：D. 二、多选题 2．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）在△ABC中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】AD 【分析】对A，利用余弦定理和勾股定理逆定理得到，再利用二倍角的余弦公式即可判断A；对B，直接根据即可求出；对C，利用三角形面积公式即可证明角平分线定理；对D直接利用三角形面积公式即可判断. 【详解】对A，由余弦定理得，即， 所以，又，为三角形内角， 所以，，解得（负舍）. 在中，，故A正确； 对B，在中，，代入，解得.故B错误； 对C，，解得，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 3．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在△ABC中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________． 【答案】/ 【分析】设，利用三角形面积得到方程，求出，结合二倍角的正弦公式求出，从而计算出，利用三角形边上的中线的向量表示，利用平面向量数量积公式求出向量的模长即可． 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以， 因为，点为线段的中点， 所以， ， ， 故答案为：． 四、解答题 4．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 5．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，D为AC边的中点，求BD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合三角恒等变换化简可得，解方程即可求解； （2）由余弦定理可得，再根据，两边完全平方即可求解. 【详解】（1）因为， ， 所以，解得或， 因为，所以； （2）由余弦定理得， 解得或，因为，所以， 由得， 所以， 所以. 6．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知． (1)求； (2)若△ABC外接圆面积为，求的最大值； (3)若，且△ABC的角平分线，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知得，由余弦边角关系即可求值； （2）由正弦定理求外接圆半径，由（1）得，进而求得，应用余弦定理、基本不等式求最值，注意等号成立条件. （3）利用等面积法得，由二倍角余弦公式求，即可求结果. 【详解】（1）由题知，即， 由，解得． （2）由外接圆面积为得外接圆半径， 由（1），所以， 由正弦定理得，解得， 由余弦定理得，即， 化简得，当且仅当a＝c时等号成立． 所以ac的最大值为． （3）因为BD是△ABC的角平分线，则， 所以△ABC的面积， 所以，则， 由，所以，解得（负值舍去）， 综上，． 7．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知△ABC的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若△ABC的垂心为（在△ABC的内部），直线与交于点，且，当最大时，求． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求； （2）由(1)中的结论可求得，根据结合，运用均值不等式的结论可求面积的最大值； （3）根据为△ABC的垂心求得，利用正弦定理求得，，结合辅助角公式可求其取最大值时的值. 【详解】（1）由正弦定理得，即． 由余弦定理得． （2）由，得． 由（1）可得，得， 当且仅当时，等号成立， 所以．故△ABC面积的最大值为10． （3）如图，设． 在中，． 在中，由， 得． 在中，， 由正弦定理得，得， 所以， 其中． 当时，取得最大值，此时， 得． 地 城 考点08 在实际生活中的应用 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求答案. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理可得，即， 因为点C测得塔顶A的仰角为，所以. 故选：C 2．（24-25高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知、两地的距离为，、两地的距离为，现测得，则、两地的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用余弦定理即可. 【详解】在△ABC中，, 所以： , 所以 故选：D 3．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（    ） A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得，则， 在中，，则， 在中，，则，又， 因此，， 所以碧津塔高约为38.23米. 故选：B 4．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】结合图形的几何特征，利用正弦定理、余弦定理求解出结果即可. 【详解】，， ，，， ， 在中，米. 在中，由正弦定理得米. 在中，由余弦定理得： ， 米. 故选：D. 二、填空题 5．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）如图，某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知点M，N分别在AB，BC上，，则最长为______m． 【答案】140 【分析】根据余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】在中， 由余弦定理，得， 所以． 在中， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以． 故答案为： 三、解答题 6．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：） 【答案】海里/时，北偏东 【分析】设为两船的相遇位置，画出满足题目条件的△ABC，设乙船速度为海里/时，根据图形运用余弦定理可得到的关系式，从而求出；再结合正弦定理，计算算出的大小即可得到乙船的航行方向. 【详解】设为两船的相遇位置，画出满足题目条件的△ABC，设乙船速度为v海里/时，如图. 在中，由余弦定理可知：， 即，解得. 又由正弦定理可知， ∴，∴， 即乙船应按北偏东的方向，以21海里/时的速度航行. 7．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 正弦定理、余弦定理 8大高频考点概览 考点01正弦定理 考点02余弦定理 考点03三角形周长与面积问题 考点04三角形解的个数问题 考点05三角形形状问题 考点06范围最值问题 考点07中线、角平分线、高线问题 考点08在实际生活中的应用 地 城 考点01 正弦定理 一、单选题 1．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）在△ABC中，，则（   ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，，则______． 二、多选题 4．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）已知△ABC的内角的对边分别是，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若△ABC是锐角三角形，则 D．若，则△ABC是钝角三角形 5．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）在锐角△ABC中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 三、填空题 6．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔第一中学·期中)如图，在四边形中 ，．，， 则_______． 地 城 考点02 余弦定理 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）在△ABC中，，则（    ） A． B． C． D．7 2．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）在△ABC中，，则（    ） A． B． C． D．或 3．(24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______． 三、解答题 7．（24-25高一下·内蒙古包头市第一中学·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求a，c的值； (2)求的值． 地 城 考点03 三角形周长与面积问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则△ABC的周长为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 二、多选题 2．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)在△ABC中，，，，则（    ） A． B． C．△ABC的面积为 D．△ABC外接圆的直径是 三、解答题 3．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，△ABC的面积，求△ABC的周长. 4．(24-25高一下·内蒙古包头第一中学·期中)在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长. 5．（24-25高一下·吉林省松原市宁江区·期中）如图，在四边形中，的面积为． (1)求的长； (2)若，求的面积． 6．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在△ABC中，角的对边分别是，且. (1)求. (2)设△ABC的面积为，且. ①求的值； ②求△ABC的面积. 地 城 考点04 三角形解的个数问题 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林省松原市·期中)在△ABC中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（    ） A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 2．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）已知△ABC的内角的对边分别为，且△ABC有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（   ） A．若△ABC不存在，则a的取值范围为 B．若存在唯一△ABC，则a的取值范围为 C．若存在两个符合条件的△ABC，则a的取值范围为 D．若△ABC为锐角三角形，则a的取值范围为 三、填空题 5．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，，若△ABC有两解，则的一个可能整数值为_______ . 地 城 考点05 三角形形状问题 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角所对的边分别为，若，则△ABC一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 二、多选题 3．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）对于△ABC有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则△ABC为钝角三角形 B．在△ABC中，若，则△ABC必是等腰三角形 C．在锐角△ABC中，不等式恒成立 D．若，且△ABC有两解，则的取值范围是 4．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（      ） A．若，则△ABC为等腰三角形 B．若，， ，则△ABC有两解 C．若，则△ABC为钝角三角形 D．若，则 5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是（    ） A．若，则△ABC一定是等腰三角形 B．若，则△ABC是等腰或直角三角形 C．若，则△ABC一定是等腰三角形 D．若，且，则△ABC是等边三角形 三、解答题 6．（24-25高一下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，△ABC的面积为，求的值； (3)若，判断△ABC的形状. 地 城 考点06 范围最值问题 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在锐角△ABC中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）在△ABC中，角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．△ABC周长的最大值为 D．△ABC面积的最大值 三、解答题 3．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，． (1)求c； (2)求的取值范围． 4．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中)锐角三角形△ABC的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 5．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市第一中学·期中）△ABC的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围. 6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求△ABC的面积S的取值范围． 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知角A，B，C是△ABC的三个内角，向量，，且. (1)求A； (2)若，求△ABC面积的取值范围. 地 城 考点07 中线、角平分线、高线问题 一、单选题 1．（24-25高一下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为. 若为边上的点，且 ，则（    ） A．4 B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）在△ABC中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 三、填空题 3．（24-25高一下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）在△ABC中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________． 四、解答题 4．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）在△ABC中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 5．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，D为AC边的中点，求BD的长． 6．（24-25高一下·内蒙古乌海市第一中学·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知． (1)求； (2)若△ABC外接圆面积为，求的最大值； (3)若，且△ABC的角平分线，求． 7．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知△ABC的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若△ABC的垂心为（在△ABC的内部），直线与交于点，且，当最大时，求． 地 城 考点08 在实际生活中的应用 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江省哈尔滨市道外区·期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知、两地的距离为，、两地的距离为，现测得，则、两地的距离为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林省长春市农安县·期中）碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（    ） A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52 4．（24-25高一下·吉林省松原市·期中）如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 5．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）如图，某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知点M，N分别在AB，BC上，，则最长为______m． 三、解答题 6．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：） 7．（24-25高一下·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学·期中）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $