专题12 空间几何体的表面积与体积（压轴题5大类型专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题12 空间几何体的表面积与体积 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 2 类型二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 6 类型三、棱柱、棱锥、棱台的体积 9 类型四、圆柱、圆锥、圆台、球的体积 14 类型五、其他几何体的表面积与体积 18 压轴专练 24 1、表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 2、体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 类型一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先由正四面体的表面积求出其中一个正三角形的面积，再求出正三角形的边长即为棱长. 【详解】因为正四面体的表面积为，所以正四面体的其中一个正三角形面的面积是，设正四面体的棱长为， 则正三角形面的面积，所以 故选：C 2．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（   ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】A 【分析】求得斜高，结合表面积公式求解即可. 【详解】如图，是正四棱锥的高，所以， 是斜高，由可得， 所以，在中，， ，所以，所以， 所以， 所以． 故选：A. 5．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【分析】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 6．（24-25高一下·安徽·月考）乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（    ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据台体的几何性质求出台体的表面积结合每平方厘米需要涂料计算求解. 【详解】如图，盘子侧面等腰梯形的高为，底面面积为， 侧面六个等腰梯形的面积之和为， 所以每个盘子需要刷涂料的面积， 所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料. 故选:B. 类型二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 1．（24-25高一下·广西北海·期末）以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得圆柱的底面半径，高，从而可根据侧面展开图是矩形，可求出其侧面积 【详解】以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径，高，故其侧面积为. 故选：D. 2．（23-24高一下·山西大同·期中）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆柱的表面积公式计算即可求解． 【详解】设圆柱的底面半径为，母线为，则， 所以，所以， 故选：B． 3．（24-25高一下·广东惠州·期末）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长即可求解母线长，最后利用侧面积公式即可得到答案. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图扇形的圆心角为， 则， 因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长， 所以，即，所以. 则该圆锥的侧面积为 故选：A. 4．（2026高一下·全国·专题练习）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【详解】设圆台较小底面的半径为，则另一底面的半径，由该圆台母线长为7，侧面积为， 得，所以. 5．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为 ，高为h， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高等于底面半径 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 故选：B. 6．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的长度，再利用圆台侧面积公式进行求解. 【详解】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为， 因为，，所以，，    ，，. 故选：D. 类型三、棱柱、棱锥、棱台的体积 1．（24-25高一下·内蒙古兴安·期中）直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式计算得解. 【详解】在直三棱柱中，， ，， 所以该棱柱的体积. 故选：C 2．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为，结合锥体体积公式求棱锥的体积，再求正方体体积，由此可得结论. 【详解】设正方体的棱长为，则棱锥的体积， 又正方体的体积， 所以． 故选：D. 3．（2025高一·全国·专题练习）在正四面体中，设，则四面体的体积等于（    ）. A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意将正四面体补形成边长为1的正方体，从而可求解. 【详解】如图，把正四面体补形成边长为1的正方体， 则四面体的体积为， 故四面体的体积为，故C正确. 故选：C.    4．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，那么这个正三棱锥的体积是（   ） A．9 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据正三棱锥的结构特征结合体积公式运算求解. 【详解】如图所示三棱锥为正三棱锥，过作平面，垂足为点， 可得为的外心，由正弦定理可得， 又，所以， 所以三棱锥的体积为. 故选：A. 5．（24-25高一下·广东广州·期末）正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（    ）． A．28 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用侧棱长结合勾股定理可求出棱台的高，结合台体体积公式，即可求出体积. 【详解】 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3， 如图可得正四棱台的高， 由棱台体积公式可得， 故选：D. 6．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据棱锥及棱柱的体积公式计算求解. 【详解】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为， 底面ABC为正三角形，侧面为正方形， 则 ． 故选:A． 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为6m，下底面边长为8m，侧面积为，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台体侧面积求斜高，再由斜高求台体的高，最后利用台体体积公式求体积即可. 【详解】 取上、下底面中心分别为，取一个侧面等腰梯形的上、下中点分别为， 连接，由底面是正六边形性质可得：， 由上底面边长为，下底面边长为，可得， 则， 再由侧面积为，可得， 根据勾股定理得， 所以正六棱台的体积为 ， 故选：B. 8．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据棱锥与棱柱的体积公式，结合图形，可得答案. 【详解】取的中点为，连接，如下图： 易知三棱柱的体积是三棱柱的一半， 由图可知三棱锥与三棱柱同底等高， 则三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一， 即四棱锥的体积是三棱柱体积的三分之二， 综上可得四棱锥的体积是是三棱柱的三分之一， 即. 故选：A. 类型四、圆柱、圆锥、圆台、球的体积 1．（24-25高一下·湖南郴州·期末）某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知圆锥底面半径，高为等边三角形的高为，再利用锥体体积公式即可求解. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形， 所以圆锥底面半径，高为等边三角形的高为， 则圆锥的体积. 故选：C. 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，设球的半径为，则圆锥的底面半径是，再设圆锥的高为， 则有，解得， 所以圆锥的高与底面半径之比为． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则，或， 或， 或. 5．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出截面圆的半径，进而得到球的半径，得到球的体积. 【详解】平面截球的截面为圆，设圆的半径为，则，解得， 又点到平面的距离为3，则球的半径为， 所以球的体积为 故选：D 6．（24-25高一下·河北·月考）用一个边长为的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆柱与圆锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得圆柱和圆锥的底面圆半径及高，据此可得体积之比. 【详解】由题可得圆柱高为，底面圆周长为，则底面圆半径为， 则圆柱体积为：； 由题可得圆锥母线长为，底面圆周长为，则底面圆半径为， 则圆锥高为：，故圆锥体积为：， 则体积比为：. 故选：C 7．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆台的性质求出母线长度，结合勾股定理求出高，再利用体积公式求解即可. 【详解】由题意得圆台的上、下底面半径分别为1和2， 因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环， 所以圆台的母线长度为， 设圆台的高为，由勾股定理得， 由圆台的体积公式得体积为，故A正确. 故选：A 8．如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设锥尖的半径为，高为，根据题意得到和，从而得到，再计算圆台侧面积即可. 【详解】设锥尖的半径为，高为， 则锥尖的体积为，解得. 又因为， 所以. 所以圆台侧面积. 故选：A 9．（24-25高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲、乙两个圆锥的母线长均为，底面半径分别为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和为可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可得解． 【详解】设甲、乙两个圆锥的母线长均为，底面半径分别为， 则，所以①， 因为侧面展开图的圆心角之和为， 所以，即②， 由①②解得， 所以甲圆锥的高，乙圆锥的高， 所以． 故选：C． 类型五、其他几何体的表面积与体积 1．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用组合体体积减去圆柱体体积就可得结果. 【详解】    计算正方体体积：， 计算上下两个圆柱的体积：， 再计算内空圆柱的体积：， 最后可得组合体体积： 故选：A 2．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 3．（23-24高一下·湖南张家界·期末）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（    ） （参考数据：，，，）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得半球的半径、圆柱的底面半径和母线长以及圆台的两底面半径和高，再分别利用球、圆柱、圆台的体积公式即可求出结果. 【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示： 因为半球的半径为，圆柱的底面半径为，母线长为，圆台的两底面半径分别为和，高为， 所以， ， ， 所以浮空艇的体积为： ， 故选：A.    4．九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然，正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体积相等．若正方体的棱长为6，则“牟合方盖”的体积为（    ）    A．144 B． C．72 D． 【答案】A 【分析】先求得正方体的内切球的体积，再由已知得出牟合方盖的体积，可求得答案. 【详解】正方体的棱长，则其内切球的半径，内切球的体积． 由于截面正方形与其内切圆的面积之比为， 设牟合方盖的体积为，则， 从而牟合方盖的体积． 故选：A 5．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为．三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为（    ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】根据图形求出相关线段长，判断截面形状，逐一计算其面积，求和即得. 【详解】由题意得，，， 从而，所以， 所以，，， ，，， 所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为: ． 故选：A. 6．（24-25高一下·浙江·期中）如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锥体体积公式通过转化法求多面体的体积. 【详解】设点到平面的距离为，由题意可知， 因为底面是平行四边形，所以， 又因为为棱的中点，所以点到平面的距离为， 所以， 因为为棱的中点，所以    ， 因为，分别是所在棱的中点，所以且， 所以四边形为梯形，设，梯形的高为， 所以，， ， ， 故选：C 7．（24-25高一下·河北·月考）已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意有四棱锥与四棱锥重叠部分为一个三棱柱加上一个四棱锥，作出图形，结合棱柱和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】如图： 四棱锥与四棱锥重叠部分为五面体， 又该正方体的体积为，即，解得， 所以，， 所以， 点到平面的高， 又该五面体由一个三棱柱和一个四棱锥组成，如图， 所以该五面体的体积为 ， 故选：C. 1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据侧面积相等列方程求得底面半径，进而求得圆锥的表面积. 【详解】设两者的底面半径为r，则由侧面积相等可得，解得， 故圆锥的表面积. 故选：C 2．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，求解即可. 【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高， 则圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 则，故B正确. 故选：B. 3．已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有即可得，再求高，进而得圆锥的体积即可求解. 【详解】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有， 又，所以， 故选：B. 4．（24-25高一下·天津·期中）若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（    ）倍 A．9 B．27 C．81 D．729 【答案】B 【分析】由球的表面积和体积公式可知，球的表面积之比为半径比的平方，体积比为半径比的立方. 【详解】设扩大前后球半径分别为， 由表面积之比为，得， 则体积之比为. 故选：B. 5．（24-25高一下·河北·期末）若圆锥甲和等边圆柱乙（轴截面是正方形的圆柱）的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆锥与圆柱的底面半径与高，利用体积公式与侧面积公式计算即可得. 【详解】设圆锥甲的底面圆半径为，高为，圆柱乙的底面圆半径为，高为， 则，， 又，则，圆锥的母线， . 故选：D. 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，是体积为2的棱柱，则四棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥与棱柱的体积关系求解． 【详解】∵， ∴， 故选：D． 7．已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设确定圆台上下底面半径及高，再应用圆台的体积公式求体积. 【详解】由题设，圆台上下底面半径分别为，高， 所以圆台的体积. 故选：C 8．（24-25高一下·山西·期中）半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二十四等边体边长为，其中有个面为正方形，个面为正三角形， 再求其表面积. 【详解】根据题意，正方体截得的二十四等边体边长为， 其中有个面为正方形，个面为正三角形， 其表面积为. 故选：B 9．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案. 【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米， 下圆台的高为厘米， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米. 故选：D 10．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】D 【分析】根据题意作出正四棱锥，借助于求得斜高长，即可计算侧面积. 【详解】 如图，是四棱锥的高，于点，连接，则， 因正方形的边长为4，则， ， 故正四棱锥的侧面积为. 故选：D. 11．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据侧面积公式求出母线长，利用勾股定理求高，在根据圆台体积公式计算即可. 【详解】圆台的侧面展开图是个扇环，设圆台的母线为， 则，所以 所以圆台的高， 则圆台的体积等于， 故选：B. 12．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积. 【详解】 延长与交于点．由，，得，． 因为所对的圆心角为直角，所以，． 所以该梅花砖雕的侧面积， 扇环的面积为， 则该梅花砖雕的表面积． 故选：C． 13．已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可. 【详解】设点到平面的距离为，四边形的面积为， 显然有，所以， 因此剩余部分几何体的体积为， 故选：C 14．石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 【答案】C 【分析】根据球的几何性质确定求缺的高以及圆台的高，再根据球缺与圆台的体积公式即可得组合体石墩的体积. 【详解】如图，为整个几何体的高度，设为球心，分别为圆台上下底面圆心， 则，，， 所以，则球缺的高， 则圆台的高， 故石墩的体积为 . 故选：C. 【点睛】方法点睛：组合体体积常见解法 （1）补形法：将不规则的几何体补成常规几何体，利用大几何体体积减去小几何体体积得答案，适用于大小几何都能直接求解的； （2）切割法：将不规则的几何体分割成若干个常规几何体，将所有切割部分的小几何体体积合起来得答案，适用于不规则几何都能分割成常规几何的. 15．（24-25高一下·广东深圳·期末）如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用解等腰梯形可求得棱台的高，从而利用台体体积公式即可求解. 【详解】因为是正四棱台，，， 侧面以及对角面为等腰梯形， 故，， ，所以， 所以该四棱台的体积为， 故选：B. 16．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，分别是上、下底面中心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点，求出棱台的斜高，从而求出其侧面积. 【详解】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点， 在中，， ， 所以， 所以． 故选：B 17．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 18．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面为矩形，面，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】运用等体积法可得，进而可得，然后根据组合体的体积结合题意可得和的关系，即可. 【详解】因为面 ，且底面为矩形， 所以， 所以， 所以， 所以，整理得，即， 故选：B 19．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆锥侧面积公式以及体积公式计算即可求得. 【详解】根据题意可知上、下两部分几何体分别为小圆锥和圆台， 设小圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 原来的大圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 因此小圆锥的侧面积为，大圆锥的侧面积为； 又上下两个几何体的侧面积之比为， 所以，由相似比可得， 即可得，即， 所以小圆锥和原圆锥的体积比为； 因此小圆锥和圆台的体积比为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用已知侧面积之比为得出小圆锥与大圆锥的表面积比值，进而计算出半径和高的比值，代入体积公式计算可得结果. 20．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体、圆柱、球的表面积相等设出相应的量，然后用相同的量表示出它们的体积，比较即可. 【详解】设正方体的棱长为，等边圆柱底面圆的半径为，球体的半径为， 所以正方体的表面积为， 等边圆柱的表面积为， 球的表面积为， 因为，即， 由，， 所以正方体的体积为， 等边圆柱的体积为， 球的体积为， 因为， 所以， 故选：C. 21．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 22．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】如图所示，    该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 由于是两个相同的直三棱柱，所以 . 所以 . 故选：D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 空间几何体的表面积与体积 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 2 类型二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 4 类型三、棱柱、棱锥、棱台的体积 5 类型四、圆柱、圆锥、圆台、球的体积 6 类型五、其他几何体的表面积与体积 8 压轴专练 10 1、表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 2、体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 类型一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 2．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（   ） A．12 B．24 C．32 D．48 5．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 6．（24-25高一下·安徽·月考）乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（    ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A． B． C． D． 类型二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 1．（24-25高一下·广西北海·期末）以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西大同·期中）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东惠州·期末）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一下·全国·专题练习）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 5．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 类型三、棱柱、棱锥、棱台的体积 1．（24-25高一下·内蒙古兴安·期中）直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 2．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）在正四面体中，设，则四面体的体积等于（    ）. A．1 B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，那么这个正三棱锥的体积是（   ） A．9 B． C．7 D． 5．（24-25高一下·广东广州·期末）正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（    ）． A．28 B． C． D． 6．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为6m，下底面边长为8m，侧面积为，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 类型四、圆柱、圆锥、圆台、球的体积 1．（24-25高一下·湖南郴州·期末）某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河北·月考）用一个边长为的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆柱与圆锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（  ）    A． B． C． D． 9．（24-25高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（   ） A． B． C． D． 类型五、其他几何体的表面积与体积 1．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（   ）    A． B． C． D． 2．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 3．（23-24高一下·湖南张家界·期末）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（    ） （参考数据：，，，）    A． B． C． D． 4．九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然，正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体积相等．若正方体的棱长为6，则“牟合方盖”的体积为（    ）    A．144 B． C．72 D． 5．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为．三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为（    ） A． B． C．12 D． 6．（24-25高一下·浙江·期中）如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·河北·月考）已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高一下·天津·期中）若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（    ）倍 A．9 B．27 C．81 D．729 5．（24-25高一下·河北·期末）若圆锥甲和等边圆柱乙（轴截面是正方形的圆柱）的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，是体积为2的棱柱，则四棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 7．已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25高一下·山西·期中）半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（    ） A． B．8 C． D．32 11．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（    ） A． B． C． D． 12．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 13．已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 14．石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 15．（24-25高一下·广东深圳·期末）如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 16．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 18．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面为矩形，面，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（    ）    A．1 B． C． D． 19．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 22．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $