专题07 解直角三角形的实际应用（题型专练）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07解直角三角形的实际应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 测量物体高度 题型02 测量两点间距离 题型03 坡度与坡角问题 题型04 航海与航天问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 测量物体高度 典例引领 【典例01】小华在公园里放风筝，当风筝位置相对不变时，他在点处测得风筝的仰角为，他向前走了后，在点处测得风筝的仰角变为．已知小华的眼睛离地面高度为，且风筝线始终保持笔直拉紧状态，求此时风筝离地面的实际高度．（精确到） 参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作的延长线于点，设，分别解和，可得，，再根据列出方程求出的值，进而即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴此时风筝离地面的实际高度为 【典例02】随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，点O，C在同一水平线上，无人机从点O竖直上升到点A，在点A测得点C的俯角为，A，C两点的距离为． (1)求无人机从点O到点A的上升高度；（结果精确到） (2)若无人机从点A处继续竖直上升到达点B处，求B，C两点之间的距离．（结果精确到）（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与俯角、仰角有关的解直角三角形的应用及勾股定理的应用，理解题意，正确求解是解题的关键； （1）由正弦函数关系即可求解； （2）在中，由勾股定理求得，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，且， ∴， 答：无人机从点O到点A的上升高度为； （2）解：在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 答：B，C两点之间的距离为． 方法透视 考向解读 核心考查利用仰角、俯角测量物体高度（如大树、建筑物、山峰），常结合两种场景：① 无障碍物（直接构造单个直角三角形）；② 有障碍物（构造两个直角三角形，利用公共边或差量求解）。考向特点是“场景典型，建模清晰”，难度中等，重点考查仰角、俯角的定义，以及三角函数的选择，容易因忽略观测点高度、计算失误、步骤不规范丢分 方法技能 核心建模：将实际测量场景转化为直角三角形，明确仰角（视线在水平线上方与水平线的夹角）、俯角（视线在水平线下方与水平线的夹角），牢记“仰角、俯角对应的直角边的关系”。 分场景解题：① 无障碍物（单点测量）② 有障碍物（两点测量） 易错点规避：混淆仰角与俯角；忽略观测点自身高度，导致物体高度计算遗漏；三角函数选择错误（如已知斜边和对边，误用余弦）；计算时未先化简再代入数值，或三角函数值记忆错误（如sin30°、tan60°的取值）。 变式演练 【变式01】如图，无人机在A点测得飞行物B的仰角和水平地面上的小明同学C的俯角均为，且米，小明在C处测得飞行物B的仰角为．求飞行物B的高度．(结果精确到0.1米)参考数据：，，，，，． 【答案】飞行物B的高度约为36.9米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点A作于点D，过点A作于点E，则四边形是矩形．在中，解直角三角形求得．设，用含x的式子表示出其他线段的长，利用等量关系列方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，过点A作于点E， , 则四边形是矩形． ∴, 由题意可得，． 在中，，， ∴． 设，则，， 在中，， ∵， ∴． 解得， ∴． 答：飞行物B的高度约为36.9米 【变式02】百年蚌埠，美誉珠城，缘起于古采珠之地．如图1，蚌埠市张公山南门前“珍珠女”巨型雕塑的设计就是借鉴了蚌埠“珍珠城”的美称．珍珠女为汉白玉加工而成，双手捧持珍珠，站在形似水浪的底盘上，动态优美，充满青春气息．身高米的小明同学，想测量珍珠顶的总高度，站在B点仰头正好平视到珍珠顶，向前走了米后，站在C点仰头正好平视到珍珠顶．帮小明算算珍珠女雕塑的总高度大约是多少（精确到米）．（参考数据：） 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．设珍珠顶为点M，小明站在C点处头顶为点D，过点A作交于点E，则，且点D在上，设米，分别在和中，用x表示出的长，再由，求出x的值即可． 【详解】如图，设珍珠顶为点M，小明站在C点处头顶为点D，过点A作交于点E，则，且点D在上， 由题意可知米，米，， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得：， ∴总高度米， 答：珍珠女雕塑的总高度大约是米 【变式03】为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼）前面的楼的高度．如图，他首先在间的点M处架了测角仪，测得楼楼顶D的仰角为已知米，测角仪距地面米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼楼顶D的仰角为，米，请求出楼的高度．（参考数据：，，）． 【答案】25米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，如图，过点N作于点G，延长，，交于点H，交于点，由题意，得四边形是矩形，，，则米．在中，，所以， （米），设米，则米．在中，，列方程可得结论． 【详解】解：如图，过点N作于点G，延长，，交于点H，交于点． 则四边形是矩形，，，米，米， （米）， 在中，， ， 在中，（米）， 设米， 在中，，即， 解得， 则（米）， 楼的高度为25米 题型02 测量两点间距离 典例引领 【典例01】在很多景区，我们都可以看到类似图①这种凉亭，供游人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点A到地面的距离．如图②，已知，，且，两点到地面的距离相等，，两点间的距离为，当太阳光恰好能照射到石桌中心点处，此时太阳光与桌面的夹角为．已知石桌位于凉亭正中心即，，三点共线，高度为，，为凉亭柱子与地面的交点，，，，，，在同一竖直平面内，求凉亭顶点到地面的距离．结果精确到，参考数据：，，， 【答案】凉亭顶点到地面的距离约为 【详解】解：如图，连接，交于点， 则，， ， ， ，， 在中，， 在中，， ． 答：凉亭顶点到地面的距离约为 【典例02】某国发生8.1级地震，我国积极组织抢险队前往地震灾区与抢险工作．如图，某探测队在地面两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在的位置C的深度． （结果精确到1米，其中：） 【答案】生命迹象所在位置C的深度约为3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，过C点作的垂线交的延长线于点D，通过解得到，在中利用锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：作交延长线于D， 设米． 在中，， 所以， 所以， 在中，， 由， 解得：． 即生命迹象所在位置C的深度约为3米 方法透视 考向解读 核心考查利用方位角、俯角测量不可直接到达的两点间距离（如河流两岸、海上两点、建筑物两端），常构造单个或两个直角三角形，结合方位角确定角度。考向特点是“方位角辨析是关键”，难度中等，重点考查方位角的定义（上北下南左西右东，夹角从正方向开始计算），容易因方位角判断错误、三角形构造不当丢分 方法技能 方位角处理：先根据题干描述，画出方位图，明确观测点、观测方向，确定直角三角形的内角（方位角与直角的转化，如“北偏东30°”，则与正北方向夹角30°，与正东方向夹角60°）。 解题思路：① 可直接到达的两点：构造Rt△ABC，已知一个锐角和一条边，用三角函数求未知边（距离）；② 不可直接到达的两点（如A、B两点被河流阻隔）：在岸边取一点C，构造Rt△ACD和Rt△BCD，使∠C=90°，测量CD长度和两个方位角，用三角函数表示AD、BD，再结合勾股定理或差量关系求AB。 易错点规避：方位角判断错误（如混淆“北偏东”与“东偏北”）；未准确构造直角三角形，导致角度对应错误；计算距离时，未统一单位（如题干中距离用米，角度三角函数值用小数，需注意单位一致） 变式演练 【变式01】某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点G，作于点F，解求，再由，求出，然后根据等腰求出，最后由计算即可． 【详解】解：过点A作于点G，作于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 答：阴影的长为 【变式02】拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为 【变式03】如图是一种机器零件的左视图的大致图形，测得，，，，求点到直线之间距离的长．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】点到直线之间的距离的长约为． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，考查计算能力，关键是构建直角三角形． 如图，过点作于点，则，过点C作于点，则，构建直角三角形，然后根据直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：如图，分别过点作交的延长线于点， 作于点， 则四边形是矩形， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 则， 在中，， ， ， ， 放点到直线之间的距离的长约为 题型03 坡度与坡角问题 典例引领 【典例01】某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题．分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G．设，则，根据的坡度， 可得，，，从而得到．在中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】解：分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G． 由题意知，． 的坡度， ， 可设，则． 的坡度， ，，， ，解得， ． 在中，， ． 答：改造后的路基底宽长约为 【典例02】小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【答案】居民楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此得出，过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，分别在 和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵斜坡的坡比， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由题意得：， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ∴居民楼的高度约为 方法透视 考向解读 核心考查坡度（坡比）与坡角的关系，结合修路、堤坝、斜坡等实际场景，求斜坡长度、斜坡高度、水平宽度，或计算工程量。考向特点是“概念关联紧密”，难度中等，重点考查坡度与坡角的定义，以及三角函数的转化，容易因坡度公式混淆、坡角与三角函数对应错误丢分 方法技能 核心概念：坡度（坡比）i=斜坡的垂直高度h：斜坡的水平宽度l（i=h:l，无单位）；坡角α是斜坡与水平面的夹角，即坡度是坡角的正切值，牢记“i=tanα”这一核心关系。 解题步骤：① 明确坡度、坡角、垂直高度、水平宽度、斜坡长度的关系；② 已知坡度求坡角，或已知坡角求坡度；③ 结合勾股定理，求未知量；④ 若涉及斜坡改造，需根据新坡度计算新的水平宽度或垂直高度，对比差值。 易错点规避：混淆坡度与坡角的定义（误将坡度当作坡角的正弦或余弦）；坡度的表示形式错误（如i=1:2，误写成i=2:1）；计算斜坡长度时，误用三角函数（如用正弦求斜边，而非勾股定理或余弦） 变式演练 【变式01】如图是一个铁路与公路交接处，为了不影响各自的交通，现使用了下穿涵洞，穿过涵洞后是一段斜坡路面．已知涵洞顶端点与涵洞路面垂直高度，涵洞路面与斜坡路面交于点．点，，在同一个水平面上，斜坡的坡角． (1)求点到斜坡路面的垂直距离的长；（结果精确到，参考数据：，，） (2)如图2，一辆货车长为，若以的长作为限制通行高度，是否合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)不合理，理由见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的三角函数的应用及实际问题中的限高合理性判断，熟练掌握三角函数计算是解题关键． （1）根据题意可得，由三角函数即可求解的长； （2）不合理．货车过涵洞，车的高度的最大值为的值，，即以的长作为限制通行高度不合理． 【详解】（1）解：根据题意，得：， ，， ， 在中，，， ， 点到斜坡路面的垂直距离的长约为． （2）解：不合理，理由如下： 货车过涵洞，车的高垂直于，即车的高度的最大值为的值， 又在中，， 以的长作为限制通行高度不合理 【变式02】某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】古树的高度为米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点，过点作，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，解直角三角形，求出的长，根据，进行计算即可． 【详解】解：延长交于点，过点作，由题意，得：， 则四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵斜坡的坡度i为，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由题意，得：， ∴， ∴； 答：古树的高度为米 【变式03】数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求点D到地平线的距离； (2)求大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到地平线的距离为4米 (2)大树的高度是20米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于点H，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （2）过点D作于点G，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米然后利用仰角，俯角及正切即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， 由题意知：米，斜面的坡比为， ， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， ， ，即米， 点到地平线的距离为4米； （2）解：如图2，过点作于点，设米， 由（1）得：米， 米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， 在中，， ， ，经检验：是原方程的解， （米）， 答：大树的高度是20米 题型04航海与航天问题 典例引领 【典例01】如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得，再解求得即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 因此，探险小队行进的距离为 【典例02】某天10∶00海警于A处测得北偏东方向距离为73海里的B处有一艘不明船只正在沿北偏东方向航行，海警立即派出一艘快艇沿北偏东方向航行，并于当天15∶20在C处成功拦截该不明船只．求快艇前往C处的平均速度．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】46海里/小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，在中，，在中，，求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：过点C作交的延长线于点D， ∴， 设，在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴． ∵5小时20分钟小时， ∴平均速度为（海里/小时）． 答：快艇前往C处的平均速度约为46海里/小时 方法透视 考向解读 核心考查方位角、仰角、俯角在航海（如轮船航行、暗礁规避）、航天（如无人机观测）中的综合应用，常构造多个直角三角形，结合行程问题（路程=速度×时间）求解。考向特点是“综合性强，场景复杂”，难度中等偏上，重点考查多个直角三角形的联动，以及方位角、行程的结合，容易因场景分析不清晰、方程建立错误丢分 方法技能 场景拆解：先根据题干描述，画出航海/航天示意图，标注观测点、航行方向、速度、时间、方位角/仰角/俯角，将复杂场景拆解为多个直角三角形，找到各三角形的公共边或关联边。 核心思路：① 先根据行程问题，计算出航行的路程，作为直角三角形的已知边；② 利用方位角确定直角三角形的内角，结合三角函数表示出未知边；③ 若涉及多个三角形，设公共边为x，列方程求解，或利用勾股定理、三角函数联动求解。 易错点规避：忽略航行时间与路程的转化；方位角判断错误，导致三角形内角计算错误；多个直角三角形联动时，找不到关联边，无法建立等式；计算时，三角函数值代入错误或步骤不完整 变式演练 【变式01】某部队在海上开展演训．如图所示，战舰甲和乙同时从点出发，战舰甲航行到点时，战舰乙航行到点，其中点在点的北偏东方向上，点在点的南偏东方向上，已知，之间的距离为10海里，，求此时战舰甲、乙之间的距离（即的长）．（精确到0.1海里，参考数据：） 【答案】11.3海里 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，先求出，然后分别解求出，再由即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：， ∴， ∴， 在中，，， ∴在中，， ∴（海里） 答：战舰甲、乙之间的距离11.3海里 【变式02】如图，某一海域有4个海岛，，，，海岛在海岛的正东方向．经测量，海岛位于海岛北偏东方向上，海岛位于海岛南偏东方向上，海岛位于海岛北偏东方向上，且海岛位于海岛南偏东方向上，海岛和海岛之间的距离为40海里．求海岛和海岛之间的距离．(结果保留根号) 【答案】海里 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，运用数形结合思想是解题的关键．过点B作，垂足为E．在等腰中，利用求出和，再在含30度的中，求出，从求出，再证明也是含30度的直角三角形，根据的长度求出即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为E． 在中，，海里， ∴(海里)， (海里)． 在中，， ∴(海里)， ∴海里． 由题意，得，， ∴， ∴． 在中，， 海里， 答：海岛和海岛之间的距离为海里 【变式03】我军舰在点A的北偏东方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西的方向上，点Ｃ在点B的北偏西，点A，C之间相距海里，求点B，C之间的距离．（结果保留海里）参考数据：，， 【答案】点B，C之间的距离为海里 【分析】本题考查了方位角问题，掌握以上知识是解答本题的关键； 作于点D，根据题意可得，，然后在中，可得，最后在中，根据三角函数即可求解； 【详解】作于点D，如图： ， 由题意知，，， 在中，，， ∴（海里）， 在中，， ， ∴（海里）， 答：点，之间的距离为海里 题●型●训●练 一、单选题 1．小华在公园里测量一棵古树的高度，他站在离树根8米远的地方，测得树顶的仰角为，已知小华的眼睛离地面米，那么古树的高度约为（参考数据：）（    ） A．5.1米 B．6.2米 C．7.1米 D．8.1米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，线段的长表示古树的高度，线段的长表示小华的眼睛离地面的距离，线段的长表示小华离树根的距离，过点作于E，证明四边形是矩形，得到米，米，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，线段的长表示古树的高度，线段的长表示小华的眼睛离地面的距离，线段的长表示小华离树根的距离，过点作于E， 由题意得，米，米，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，米， ∴米， ∴古树的高度约为米， 故选：B． 2．董铺水库位于合肥市西北近郊，是一座以合肥城市防洪为主，结合城市供水、郊区农菜灌溉及发展水产养殖等综合利用的大型水库，如图，水库某段横截面迎水坡的坡度，若坡高，则坡面的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：坡度坡角问题，勾股定理，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求出，熟记坡度的概念是解题的关键． 【详解】解：∵水坡的坡度， ∴， ∵坡高， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在A处观测到楼H在北偏东60°方向上，行驶1小时后到达B处，此时观测到楼H在北偏东30°方向上，那么该车继续行驶（　　）分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置． A．60 B．30 C．15 D．45 【答案】B 【分析】过点作，则点距离最近，解直角三角形求出即可． 【详解】：如图，过点作，则点距离最近， 由题意得：， ， ， 设速度为，则， ， 时间， 故行驶时间为时=分钟． 故选B 【点睛】本题考查了解直角三角形以及方向角的应用，从题目中提取数学模型是解题关键． 4．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（    ）. A．4＋米 B．4＋米 C．4＋4sin40°米 D．4＋4cot40°米 【答案】B 【分析】原来树的长度是（PB＋PA）的长．已知了PA的值，可在Rt△PAB中，根据∠PBA的度数，通过解直角三角形求出PB的长． 【详解】解：Rt△PAB中，∠PBA＝40°，PA＝4； ∴PB＝PA÷sin40°＝； ∴PA＋PB＝4＋． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形的边角关系进行求解是解题的关键． 5．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为(     ) A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ C．atanα+atanβ D． 【答案】C 【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atanα，BD＝atanβ，得出CD＝BC+BD＝atanα+atanβ即可． 【详解】在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝， ∴BC＝atanα，BD＝atanβ， ∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ， 故选C． 【点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键． 二、填空题 6．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为，看这栋楼底部C的俯角β为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为________．    【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，作于点D，利用三角函数分别解和即可． 【详解】解：如图，作于点D，则，    在中，， ， 在中，， ， ， 即这栋楼的高度为， 故答案为：． 7．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，． （1）扶手前端到地面的距离为______； （2）手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为10cm，，，，坐板的宽度为______． 【答案】 【分析】（1）过D作交于G，过C作交于K，根据与地面夹角及三角函数即可得到答案； （2）过E作交于Q，根据得到，设为x，表示出根据三角函数即可得到答案； 【详解】 （1）    解：过D作交于G，过C作交于K， ∵、所在直线与地面的夹角分别为， ∴，， ∵，， ∴，， ∵前后车轮半径均为， ∴扶手前端到地面的距离为： ， 故答空1为 ； （2）解：过E作交于Q， ∵， ∴， ∵，，设为x， ∴，， 由三角函数得， ， 解得：， ∴， 故答案为 ； 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 8．如图是一种机器零件的示意图，其中AB⊥BE，CD⊥BE，测得AB＝5cm、CD＝3cm、∠CED＝45°，∠ACE＝175°，求零件外边缘ACE的长l＝______（结果保留1位小数，参考数据：＝1.414，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 【答案】7.4cm 【分析】过点作于点，在中求得，在中求得的长相加即可． 【详解】解：过点作于点， 中，， ，， ， ， ， 中，， ， 的长 ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造三角形，难度不大． 三、解答题 9．下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度 项目背景 合肥渡江战役纪念馆胜利塔作为重要的红色文化地标，其高度是一项关键数据．为了让大众更深入地了解胜利塔，某中学数学兴趣小组开展了测量胜利塔高度的实践活动 测量工具 测角仪 测量示意图      测量过程 1．在距离胜利塔底部一定距离的地面C处放置测角仪，测角仪高度为，测得胜利塔顶部A的仰角为 2．在与C处水平距离为的地面E处放置另一测角仪，测角仪EF高度同样为，测得胜利塔顶部A的仰角为 请根据表中的测量数据，计算胜利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】胜利塔的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D、F分别作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形和四边形都是矩形，则可得到，即点G与点H重合，再解和求出的长，最后根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D、F分别作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，即点G与点H重合， 设， 在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：胜利塔的高度约为． 10．如图是合肥某商场的扶梯示意图．已知为，为，，求长（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解和，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， 在中，， ． 故的长为 11．如图1是三星堆遗址出土的陶盉（），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为多少？（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】该陶盉管状短流口距地面的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是正确的做出辅助线． 过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，，求出进而求解即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：， 答：该陶盉管状短流口距地面的高度约为． 12．数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，可得四边形为矩形，在中，，则，解，可得，再由即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：楼房高度约为． 13．综合与实践 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． (1)求A，C两点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，勾股定理，根据实际问题构建数学模型是解题的关键． （1）连接，过点B作，由等腰三角形三线合一可得，，再利用三角函数解求出即可； （2）先证，再用勾股定理解求出，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点B作，垂足为点E， 因为， 所以，， 在中，因为， 所以， 所以， 所以，，两点之间的距离为． （2）解： 因为， 所以， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以, 所以的长为, 答：待建环山路的长度为． 14．如图，这是小伟同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管，，试管倾斜角为，实验时，导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且垂直，平行（点C，D，N，F在同一条直线上）．经测量得，，，，请求出铁架杆与水槽之间的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】铁架杆与水槽之间的水平距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，作于点，先在中，解直角三角形可得的长，再根据矩形的判定与性质可得的长，然后解直角三角形可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∵试管倾斜角为， ∴， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∵，平行， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∵垂直，，， ∴在中，， ∴， 答：铁架杆与水槽之间的水平距离约为． 15．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 16．如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ (1)的度数 (2)点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）过点P作交延长线于T，证明，解求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解；如图所示，过点P作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：点P距离地面的高度约为． 17．某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如图1所示，它的侧面示意图可看作图2，其中为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕点A，C转动，测得，．若托板和支撑杆绕支点转动，调节角度，使，，求此时电脑托板的最高点D离底板的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】电脑托板的最高点D离底板的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题关键是构造出直角三角形求解． 先说明四边形是矩形，从而可利用矩形的性质得出，． 再利用正切求出，然后利用直角三角形的性质求出，再利用正弦求出，从而可利用线段的求出． 【详解】解：如图，过点D作于点M，过点C作于点N，过点C作于点R，则四边形是矩形， ，． 在中，，， 在中，． ，， ． 答：此时电脑托板的最高点D离底板的距离约为． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07解直角三角形的实际应用 内●容●导●航 第部分题型破译微观解剖，精细教学 行典明引领 匠方法透视 年变式演练 题型01测量物体高度 题型02测量两点间距离 题型03坡度与坡角问题 题型04航海与航天问题 第二部分题型训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 ◆题型01测量物体高度 ◆典例领· 【典例01】小华在公园里放风筝，当风筝位置相对不变时，他在点A处测得风筝的仰角为23.8°，他向前走 了20m后，在点B处测得风筝的仰角变为36.9°.已知小华的眼晴离地面高度为1.5m,且风筝线始终保持笔 直拉紧状态，求此时风筝离地面的实际高度.（精确到0.1m) 参考数据：sin23.8°≈0.40，c0s23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，c0s36.9°≈0.80， tan36.9°≈0.75. 23.8B36.9° ∴此时风筝离地面的实际高度为21.3+1.5=22.8m 【典例02】随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，点O,C在同一水平线上，无人机从 点O竖直上升到点A,在点A测得点C的俯角为36.9°，A,C两点的距离为20m. 1/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 36.9 (1)求无人机从点O到点A的上升高度OA;(结果精确到1m) (2)若无人机从点A处继续竖直上升4m到达点B处，求B,C两点之间的距离.（结果精确到0.1m)(点O ,A,B,C在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，√2≈1.41，√5≈1.73) 》方法透视 考向 核心考查利用仰角、俯角测量物体高度（如大树、建筑物、山峰），常结合两种场景： 解读 ①无障碍物（直接构造单个直角三角形）；②有障碍物（构造两个直角三角形，利用 公共边或差量求解)。考向特点是“场景典型，建模清晰”，难度中等，重点考查仰角、 俯角的定义，以及三角函数的选择，容易因忽略观测点高度、计算失误、步骤不规范丢 分 方法 核心建模：将实际测量场景转化为直角三角形，明确仰角（视线在水平线上方与水平线 的夹角)、俯角（视线在水平线下方与水平线的夹角），牢记“仰角、俯角对应的直角 技能 边的关系”。 分场景解题：①无障碍物（单点测量）②有障碍物（两点测量） 易错点规避：混淆仰角与俯角；忽略观测点自身高度，导致物体高度计算遗漏；三角函 数选择错误（如已知斜边和对边，误用余弦)；计算时未先化简再代入数值，或三角函 数值记忆错误（如sin30°、tan60°的取值）。 ◆变式演练◆ 【变式01】如图，无人机在A点测得飞行物B的仰角和水平地面MN上的小明同学C的俯角均为36.9°，且 AC=25米，小明在C处测得飞行物B的仰角为76.1°.求飞行物B的高度BH·(结果精确到0.1米)参考数 据：sin36.9°≈0.60，c0s36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin76.1°≈0.97，c0s76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0. 2/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 489 M k6. -N 答：飞行物B的高度BH约为36.9米 【变式02】百年蚌埠，美誉珠城，缘起于古采珠之地.如图1，蚌埠市张公山南门前“珍珠女”巨型雕塑的设 计就是借鉴了蚌埠“珍珠城”的美称.珍珠女为汉白玉加工而成，双手捧持珍珠，站在形似水浪的底盘上，动 态优美，充满青春气息.身高(AB)1.8米的小明同学，想测量珍珠顶的总高度，站在B点仰头30°正好平视 到珍珠顶，向前走了4.6米后，站在C点仰头60°正好平视到珍珠顶.帮小明算算珍珠女雕塑的总高度大约 是多少（精确到0.1米）.（参考数据：√2≈1.414，V3≈1.732） B C 图1 图2 答：珍珠女雕塑的总高度大约是5.8米 【变式O3】为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼AB)前面的楼CD的高度.如图， 他首先在AC间的点M处架了测角仪，测得楼CD楼顶D的仰角为45°已知AM=4米，测角仪距地面 MN=1米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼CD楼顶D的仰角为37°，AP=4米，请求出楼CD 的高度.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75). D B N A M ·楼CD的高度为25米 ◆题型02测量两点间距离剩 ◆典例引领◆ 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例01】在很多景区，我们都可以看到类似图①这种凉亭，供游人休憩，小明想利用太阳光线与地面的 夹角来测量凉亭项点A到地面的距离.如图②，已知∠BAC=120°，AB=AC,且B,C两点到地面的距 离相等，B,C两点间的距离为2.8m,当太阳光恰好能照射到石桌中心点E处，此时太阳光与桌面的夹角 为53°.已知石桌位于凉亭正中心（即A,E,D三点共线），高度DE为0.5m,M,N为凉亭柱子与地面 的交点(A,B,C,D,E,M,N在同一竖直平面内)，求凉亭顶点A到地面的距离.（结果精确到 0.1m,参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√5≈1.73) C B 太阳光 E M D N地面 7777777777777777 图① 图② 答：凉亭顶点A到地面的距离约为3.2m 【典例02】某国发生8.1级地震，我国积极组织抢险队前往地震灾区与抢险工作，如图，某探测队在地面 A,B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米， 求该生命迹象所在的位置C的深度.（结果精确到1米，其中： sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，√5≈1.7) 25 60 B、 -.C 即生命迹象所在位置C的深度约为3米 。方法透视 向 核心考查利用方位角、俯角测量不可直接到达的两点间距离（如河流两岸、海上两点、 解读 建筑物两端)，常构造单个或两个直角三角形，结合方位角确定角度。考向特点是“方 位角辨析是关键”，难度中等，重点考查方位角的定义（上北下南左西右东，夹角从正 方向开始计算)，容易因方位角判断错误、三角形构造不当丢分 方法 方位角处理：先根据题干描述，画出方位图，明确观测点、观测方向，确定直角三角形 4/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 技能 的内角（方位角与直角的转化，如“北偏东30°”，则与正北方向夹角30°，与正东 方向夹角60°)。 解题思路：①可直接到达的两点：构造Rt△ABC,已知一个锐角和一条边，用三角函数 求未知边（距离）；②不可直接到达的两点（如A、B两点被河流阻隔）：在岸边取 点C,构造Rt△ACD和Rt△BCD,使∠C-90°，测量CD长度和两个方位角，用三角函数 表示AD、BD,再结合勾股定理或差量关系求AB。 易错点规避：方位角判断错误（如混淆“北偏东”与“东偏北”)；未准确构造直角三 角形，导致角度对应错误；计算距离时，未统一单位（如题干中距离用米，角度三角函 数值用小数，需注意单位一致) ◆变式演练 【变式01】某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷AB长为 5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求 阴影CD的长.（参考数据：sinl6°≈0.28，cos16°≈0.96，tanl6°≈0.29）. B 16 Q 45° D 答：阴影CD的长为2.2m 【变式02】拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩 形BCDE,BC的长度为60Cm,两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上.如图1，当拉杆伸 出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°，如图2，当拉杆伸出两节(AM,MB)时，AC与地面 夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同，求每节拉杆的长度. 3 in53°专in37°an53Pam37°h 图1 图2 故每节拉杆的长度为30cm 【变式03】如图是一种机器零件的左视图的大致图形，测得∠BDC=30°，∠A=75°，CD=16cm,BD⊥AC 5/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,AB=28cm,AE=25cm,求点E到直线CD之间距离EF的长.（结果精确到0.1，参考数据： sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27，V3≈1.73) D 放点E到直线CD之间的距离EF的长约为37.7cm ◆题型03坡度与坡角问题 ◆典例领◆ 【典例01】某铁路路基的横断面是四边形ABCD,其中AD∥BC,路基顶宽AD=8m,路基底宽BC=32m ,斜坡AB的坡度i=3:5,斜坡CD的坡度i=1:1,因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡CD进行加固，使 得改造后的坡角（∠E)减小8°，求改造后的路基底宽BE长.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75) B 答：改造后的路基底宽BE长约为35m 【典例02】小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度AB.在居民楼前方有一斜坡，坡长 CD=15米，斜坡的坡比i= 。,小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角 为30°，求楼高AB.（点A,B,C,D在同一平面内，结果精确到0.1，√2≈1.414，√3≈1.732) 30°D ▣ 602 6/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :居民楼的高度AB约为23.9m 。方法透视 考锏 核心考查坡度（坡比）与坡角的关系，结合修路、堤坝、斜坡等实际场景，求斜坡长度 解读 斜坡高度、水平宽度，或计算工程量。考向特点是“概念关联紧密”，难度中等，重点 考查坡度与坡角的定义，以及三角函数的转化，容易因坡度公式混淆、坡角与三角函数 对应错误丢分 方法 核心概念：坡度（坡比）i=斜坡的垂直高度h斜坡的水平宽度1(i=h:1,无单位)； 坡角a是斜坡与水平面的夹角，即坡度是坡角的正切值，牢记“i=tana”这一核心关 技能 系。 解题步骤：①明确坡度、坡角、垂直高度、水平宽度、斜坡长度的关系；②已知坡度 求坡角，或已知坡角求坡度；③结合勾股定理，求未知量；④若涉及斜坡改造，需根 据新坡度计算新的水平宽度或垂直高度，对比差值。 易错点规避：混淆坡度与坡角的定义（误将坡度当作坡角的正弦或余弦）；坡度的表示 形式错误（如i=1:2,误写成i=2:1);计算斜坡长度时，误用三角函数（如用正弦求 斜边，而非勾股定理或余弦) ◆变式演练 【变式01】如图是一个铁路与公路交接处，为了不影响各自的交通，现使用了下穿涵洞，穿过涵洞后是一 段斜坡路面.己知涵洞顶端点A与涵洞路面垂直高度AB=5m,涵洞路面BM与斜坡路面BC交于点B,点 M,B,D在同一个水平面上，斜坡BC的坡角∠CBD=14°. 铁路 铁路 涵洞路面 水平线 涵洞路面 水平线 M D M P BE- 图1 图2 (1)求点A到斜坡路面BC的垂直距离AE的长；（结果精确到0.1m,参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97， tan14°≈0.25) (2)如图2，一辆货车长P9为10m,若以AE的长作为限制通行高度，是否合理？请说明理由. :以AE的长作为限制通行高度不合理 【变式02】某古村落的斜坡AD上有一棵古树P9,斜坡的坡度i为1：2.4，古树底端Q到坡底A点的距离 AQ为2.6米.为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌MN,古树 PQ和古树信息牌MN均与地面BV垂直.某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成53°角时，古树PQ落 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在信息牌上的影子EN长为3米，请帮助他们计算出古树P2的高度.（结果精确到0.1，参考数据： sin53°≈0.8，c0s53°≈0.6，tan53°≈1.3) .5392P M E 答：古树P9的高度为10.8米 【变式3】数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB 的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走4V10m到达斜坡上的点D处， 在点D处测得大树顶端A的仰角为26.5°.己知斜坡C℉的坡比为i=1:3（点E,C,B在同一水平线上)， J26.50 D 45° E C B (1)求点D到地平线BE的距离； (2)求大树AB的高度.（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50） 答：大树AB的高度是20米 ◆题型04航海与航天问题剩 ◆典例引领 【典例01】如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距6km的补给点B, C.一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东26°方向行进至D处，此时在补给点B,C处分别测得 ∠ABD=45°，∠C=37°，求探险小队行进的距离AD,(结果取整数，参考数据：sin26°≈0.44， c0s26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 8/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 北 →东 269 45037 B C 因此，探险小队行进的距离AD为20km 【典例02】某天10：00海警于A处测得北偏东15°方向距离为73海里的B处有一艘不明船只正在沿北偏东 75°方向航行，海警立即派出一艘快艇沿北偏东60°方向航行，并于当天15：20在C处成功拦截该不明船只. 求快艇前往C处的平均速度.（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73，√6≈2.45） B A 东 答：快艇前往C处的平均速度约为46海里/小时 。方法透视 考向 核心考查方位角、仰角、俯角在航海（如轮船航行、暗礁规避）、航天（如无人机观测 解读 中的综合应用，常构造多个直角三角形，结合行程问题（路程=速度×时间）求解。考 向特点是“综合性强，场景复杂”，难度中等偏上，重点考查多个直角三角形的联动， 以及方位角、行程的结合，容易因场景分析不清晰、方程建立错误丢分 方法 场景拆解：先根据题干描述，画出航海/航天示意图，标注观测点、航行方向、速度、 时间、方位角/仰角/俯角，将复杂场景拆解为多个直角三角形，找到各三角形的公共边 技能 或关联边。 核心思路：①先根据行程问题，计算出航行的路程，作为直角三角形的已知边；②利 用方位角确定直角三角形的内角，结合三角函数表示出未知边：③若涉及多个三角形， 设公共边为X,列方程求解，或利用勾股定理、三角函数联动求解。 易错点规避：忽略航行时间与路程的转化；方位角判断错误，导致三角形内角计算错误： 多个直角三角形联动时，找不到关联边，无法建立等式；计算时，三角函数值代入错误 或步骤不完整 ◆变式演练· 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式01】某部队在海上开展演训.如图所示，战舰甲和乙同时从点A出发，战舰甲航行到点B时，战舰 乙航行到点C,其中点B在点A的北偏东70°方向上，点C在点A的南偏东32方向上，已知A,C之间的 距离为10海里，∠ACB=42°，求此时战舰甲、乙之间的距离（即BC的长）·（精确到0.1海里，参考数 据：sin42°≈0.67，c0s42°≈0.74，tan42°≈0.90，V3≈1.73) 北 709 东 42 答：战舰甲、乙之间的距离11.3海里 【变式02】如图，某一海域有4个海岛A,B,C,D,海岛C在海岛A的正东方向.经测量，海岛D位 于海岛A北偏东60°方向上，海岛B位于海岛A南偏东45°方向上，海岛C位于海岛B北偏东60°方向上，且 海岛C位于海岛D南偏东30°方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里，求海岛A和海岛D之间的距 离AD·(结果保留根号) D 北 西一 →东 309 600 南 45 60° B 答：海岛4和海岛D之间的距离4D为106+30V2)海里 【变式03】我军舰在点A的北偏东35°方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军 在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行.己知点A在点B的南偏西65°的方向上，点C在点B的北偏西52 ,点A,C之间相距20海里，求点B,C之间的距离.（结果保留0.1海里）参考数据：sin63°≈0.89， c0s63°≈0.45，tan63°≈1.96 10/17