专题06 统计与概率（题型专练）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06统计与概率 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 数据的收集与整理 题型02 统计量的计算与分析 题型03 用样本估计总体 题型04 随机事件与概率的概念 题型05 概率的计算与实际应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 数据的收集与整理 典例引领 【典例01】某学校将为初一学生开设共门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）： 选修课 人数 40 60 100 根据图表提供的信息，下列结论错误的是（    ） A．这次被调查的学生人数为400人 B．扇形统计图中部分扇形的圆心角为 C．被调查的学生中喜欢选修课、的人数分别为80，70 D．喜欢选修课的人数最少 【答案】D 【分析】本题考查了统计图表、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键．先根据喜欢选修课B的人数为60且占总人数的百分比为，求得被调查的总人数，进而求得喜欢选修课A和D的人数分别占总人数的百分比，从而求得喜欢选修课E的人数占总人数的百分比，再利用乘以占总人数的百分比即可求得圆心角；最后通过比较占总人数的百分比大小即可解答． 【详解】解：A、∵喜欢选修课B的人数为60且占总人数的百分比为， ∴被调查的总人数为（人），故A正确，不符合题意； B、喜欢选修课A的人数占总人数的百分比是， 喜欢选修课D的人数占总人数的百分比是， ∴喜欢选修课E的人数占总人数的百分比是， ∴扇形统计图中部分扇形的圆心角为，故B正确，不符合题意； C、喜欢选修课E的人数为（人）， 喜欢选修课F的人数是（人），故C正确，不符合题意； D、∵喜欢选修课A的人数占总人数的百分比最小， ∴可知喜欢选修课A的人数最少，故D错误，符合题意． 故选：D． 【典例02】“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（    ） A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B．2023年低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元 【答案】B 【分析】本题考查了条形统计图与折线统计图，根据统计图逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、2021至2026年低空经济市场规模逐年上升，说法正确，不符合题意； B、2022年低空经济市场规模增量（亿元）， 2023年低空经济市场规模增量（亿元）， 2024年低空经济市场规模增量（亿元）， 2025年低空经济市场规模增量（亿元）， 所以2025年低空经济市场规模增量最多，选项说法错误，符合题意； C、从2024年开始低空经济市场规模增长率变小，说法正确，不符合题意； D、2026年低空经济市场规模约亿元，将突破万亿元，说法正确，不符合题意； 故选：B． 方法透视 考向解读 中考每年必考，多以小题形式出现，偶尔作为解答题第一问铺垫，核心考查数据的收集方法（普查、抽样调查）、统计图的识别与补充（条形统计图、折线统计图、扇形统计图）、数据的分组整理。考向特点是“基础直观，侧重辨析”，难度偏低，重点考查学生对统计图表的解读能力，容易在“普查与抽样调查的选择”“扇形统计图的圆心角计算”上丢分 方法技能 普查与抽样调查的选择：① 普查（全面调查）：适用于范围小、数据少、要求精准的场景，优点是结果准确，缺点是耗时耗力；② 抽样调查：适用于范围大、数据多、具有破坏性的场景，优点是高效便捷，缺点是结果有误差，注意抽样需具有代表性和广泛性。 统计图的解读与补充：① 条形统计图：直观反映各组数据的具体数量，核心是“读准数据、补全条形”，注意横轴、纵轴的单位和刻度；② 折线统计图：直观反映数据的变化趋势，重点关注“增减变化规律”；③ 扇形统计图：直观反映各组数据占总体的百分比，核心是“百分比与圆心角的转化”（圆心角=360°×对应百分比），补充数据时需先求总体数量（总体=某组数量÷对应百分比）。 易错点规避：混淆普查与抽样调查的适用场景；计算扇形统计图圆心角时，误将百分比当作度数；补全统计图时，忽略数据的单位和刻度，导致数据填写错误。 变式演练 【变式01】如图是婷婷同学某天作息时间的扇形统计图，得到下列信息，错误的是（  ） A．婷婷这天的娱乐时间占全天的 B．婷婷这天的课业学习时间最多 C．婷婷这天的体育活动时间比娱乐时间长小时 D．婷婷这天睡了小时 【答案】B 【分析】本题考查扇形统计图，能从图中提取相关信息是解题的关键．根据扇形统计图逐一计算判断即可． 【详解】解：A、婷婷这天的娱乐时间占全天的，A选项正确，不符合题意； B、婷婷这天的课业学习占全天的，，则婷婷这天的睡眠时间最多，B选项错误，符合题意； C、婷婷这天的体育活动时间比娱乐时间长（小时），C选项正确，不符合题意； D、婷婷这天睡了（小时），D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式02】人口老龄化已成为世界性的重要议题．按照国际通行的标准，当一个国家或地区60岁及以上人口达到总人口数的，则意味着这个国家或地区进入老龄化社会，达到为中度老龄化社会，达到为重度老龄化社会．下图展示了2013年至2023年我国60岁及以上人口数量及其占全国总人口比重．下列说法不正确的是（   ） A．我国2023年尚未进入重度老龄化社会 B．2013年至2023年我国60岁及以上人口数量在逐年递增 C．2022年60岁及以上人口比重比2017年高 D．面对人口老龄化的现状，我国需要不断完善养老服务体系，促进“银发”经济发展 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图与条形统计图，根据统计图逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 我国2023年60岁及以上人口比例为，未达到，尚未进入重度老龄化社会，故该选项正确，不符合题意； B. 2013年至2023年我国60岁及以上人口数量在逐年递增，故该选项正确，不符合题意； C. 2022年60岁及以上人口比重比2017年高，故该选项不正确，符合题意； D. 面对人口老龄化的现状，我国需要不断完善养老服务体系，促进“银发”经济发展，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式03】某校为了解七年级1200名新生的上学方式，随机对该年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车）进行了调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，则下列判断错误的是（    ） A．调查的学生中步行上学的有8名 B．扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是 C．该校七年级学生中骑车上学的约有360名 D．扇形统计图中骑车的学生人数所占的圆心角是 【答案】D 【分析】本题考查利用条形统计图和扇形统计图综合判断，能从统计图中提取相关信息进行计算是解题的关键． 【详解】解：A. 调查的学生中步行上学的有名，正确； B. 扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是，正确； C. 该校七年级学生中骑车上学的约有名，正确 D. 扇形统计图中骑车的学生人数所占的圆心角是，错误； 故选D． 题型02 统计量的计算与分析 典例引领 【典例01】每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动， 为了解师生的心理健康状况，对全体1000名师生进行了心理测评，随机抽取若干名师生的测评分数进行了数据整理与分析，将收集的数据进行分组并评价等级，得到下面的统计表和扇形统计图（不完整），依据统计信息回答问题． 分数x 90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60 人数 5 a 5 2 b 等级 A B C D E (1)本次抽样的样本容量为 ；统计表中的a＝ ， (2)心理测评等级为C等的师生人数所在扇形的圆心角度数为 【答案】(1)20；7； (2)90°； 【分析】（1）根据D组人数以及百分比求出总人数，再求出a即可； （2）根据圆心角= 360°×百分比计算即可； 【详解】（1）总人数（人）， ， 故答案为：20，7； （2）， 故答案为：90°； 【典例02】为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表． 组别 分数段 人数 A 2 B 5 C a D 12 请根据上述信息解答下列问题： （1）本次调查属于_________调查，样本容量是__________； （2）表中的__________，样本数据的中位数位于___________组； （3）补全条形统计图； 【答案】（1）抽样，35；（2）16，C;（3）见解析； 【分析】（1）根据调查的方式，样本容量的定义解答即可； （2）样本容量减去A、B、D组人数即可得出a，根据中位数的定义确定样本数据的中位数位于C组； （3）根据(2)的结果补全条形统计图即可； 【详解】（1）本次调查属于抽样调查，样本的容量是35， 故答案为：抽样，35； （2）， 根据中位数的定义，样本数据的中位数位于C组， 故答案为：16，C； （3）由（2）得，C组的人数为 16，补全条形统计图如下： 【点睛】本题考查了抽样调查，样本的容量，用样本估计总体，频数分布表和频数分布直方图的综合，解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，用频数分布表中某部分的频数除以它的频率求出样本容量，进而求解其它未知的量． 方法透视 考向解读 中考必考，多以解答题形式出现，核心考查平均数（算术平均数、加权平均数）、中位数、众数、方差的计算与意义，以及根据统计量分析数据的集中趋势和波动大小。考向特点是“计算为主，侧重应用”，难度中等，是必得分点，但容易因加权平均数的权重计算、中位数的排序、方差公式混淆丢分，尤其加权平均数是安徽中考的高频考查点 方法技能 核心统计量计算：① 算术平均数，适用于数据无权重的情况；② 加权平均数（安徽中考高频）：，权重可以是人数、次数、百分比，重点是“找准权重，精准计算”；③ 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排序后，中间的数（数据个数为奇数）或中间两个数的平均数（数据个数为偶数），排序是关键；④ 众数：一组数据中出现次数最多的数，可多个 统计量的意义与应用：① 平均数、中位数、众数反映数据的集中趋势（平均数易受极端值影响，中位数不受极端值影响，众数反映数据的普遍情况）；② 方差（）反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，方差越大，数据波动越大，常结合实际场景（如成绩、产量的稳定性）考查。 易错点规避：计算加权平均数时，混淆数据与权重；求中位数时，未先排序；计算方差时，漏除数据个数n，或误将平均数计算错误；忽略众数可以有多个的情况 变式演练 【变式01】为了了解男生报考中考体育测试项目的意向，某校从九年级各班男生随机抽取若干人组成调查样本，根据收集整理到的数据绘制成以下不完全统计图．根据以上信息，解答下列问题： 项目 男生体育测试项目 类 1000米  1分钟跳绳 立定跳远 类 1000米  立定跳远 实心球 类 1000米  实心球 1分钟跳绳 （1）该校采用的调查方式是____________，被调查的样本容量是__________； （2）请补充完整图中的条形统计图和扇形统计图； 【答案】（1）抽样调查，100；（2）见解析； 【分析】（1）根据题意可得调查方式，根据B类的人数25人占总体的25%进行计算样本总人数； （2）根据（1）中所求数据，即可得出C类人数，以及各类在扇形统计图中所占的百分比，从而补全统计图； 【详解】解：（1）该小组采用的调查方式是：抽样调查， 被调查的样本容量是：25÷25%=100， 故答案为：抽样调查，100； （2）C类人数：100-40-25=35人， C类所占百分比：×100%=35%， A类所占百分比：1-35%-25%=40%， 补全统计图如图所示： 【点睛】本题考查了条形图与扇形图综合应用，培养学生从统计图中获取信息的能力，绘图的技能，本试题突出考查学生在学习数学和运用数学解决问题过程中最为重要的也是必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能．强化对数学通性通法的考查 【变式02】为丰富学生的课余生活，某校开展了、、、四类社团活动，为了解学生参加各类社团活动的情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，得到两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为______． （2）请补全条形统计图；在扇形统计图中类社团活动所对应的圆心角度数为______． 【答案】（1）200；（2）统计图见解析，144°； 【分析】（1）用D类社团的人数除以所占百分比可得样本容量； （2）分别求出B类和C类人数，可补全统计图，再用360乘以A类社团的百分比可得圆心角； 【详解】解：（1）由图可知：D类社团人数为20人，占10%， ∴20÷10%=200人， ∴本次调查的样本容量为200； （2）200×20%=40人， 200×30%=60人， 补全统计图如下： ∴A类社团活动所对应的圆心角为360×40%=144°； 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键 【变式03】在中国共产党成立100周年之际，某中学开展党史学习教育活动，为了了解学生学习情况，随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题： (1)本次抽取调查的学生共有_________人扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为________． (2)若该校有100名学生，估计得分超过80的有多少人? (3)A等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好好抽到一男一女的概率． 【答案】(1)50；108° (2)56 【分析】（1）由B等级的人数和所占百分比求出本次抽取调查的学生人数，即可解决问题； （2）用样本估计总体即可得出结论； 【详解】（1）解：（1）（人）， ∴本次抽取调查的学生共有50人，      ∵C等级的人数为15， ∴对应圆心角为； 故答案为：50，108°； （2） ∴若该校有100名学生，估计得分超过80的有56人； 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 题型03 用样本估计总体 典例引领 【典例01】某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是______； (2)请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据； (3)求科学制作社团对应的扇形的圆心角度数； (4)请你估计全校有多少名学生报名参加篮球社团活动． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3) (4)600 【分析】（1）根据样本容量频数所占百分数，合理选择计算即可． （2）计算出国学社的学生数，完善统计图即可． （3）根据扇形统计图的意义计算即可． （4）利用样本估计总体的思想计算即可． 【详解】（1）解：本次抽样调查的样本容量是 ． （2）解：参与国学社的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：参与科学制作社团所在扇形的圆心角度数为． （4）解：（名）， 答：全校有600名学生报名参加篮球社团活动． 【典例02】某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成20道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 A B C D E 答对题数 20 人数 10 15 25 根据以上信息，完成下列问题： (1)统计表中的______，______ (2)求扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数？ (3)已知该校共有1800名学生，若答对题数不小于16个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 【答案】(1)30，20 (2) (3)450人 【分析】（1）由B组的人数为人，所占的比是，可求出参与的总人数，即样本容量，用样本容量乘以D组所占的百分比即可求出的值，再让样本容量减去其他组的人数即可求出的值． （2）C组所占圆心角的度数，看C组所占整体的百分比，用去乘这个百分比即可． （3）用样本估计总体，样本中优秀人数所占的百分比去估计总体，总人数乘以这个百分比即可． 【详解】（1）解：根据题意，抽取学生总人数为：， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）解：根据题意可得“C组”所对应的圆心角的度数是， 故答案为：． （3）解：根据题意可得名学生中优秀的人数有：（人）， ∴1800名学生中，优秀的学生人数为：（人）． 方法透视 考向解读 中考常考，多以解答题形式出现，核心考查通过样本的统计量（平均数、百分比、众数）估计总体的相关量，结合抽样调查、统计图综合考查。考向特点是“逻辑简单，侧重计算”，难度中等，核心是“样本具有代表性”，是连接统计图表与实际应用的关键，容易因样本与总体的对应关系混淆、计算失误丢分 方法技能 核心思路：用样本的“比例”“平均数”估计总体的对应量，核心公式：总体数量=样本数量÷样本中某组的百分比；总体某组数量=总体数量×样本中该组的百分比；总体平均数≈样本平均数。 解题步骤：① 从统计图或题干中提取样本数据（如样本总数、某组的数量或百分比）；② 计算样本中某组的比例或平均数；③ 用样本比例/平均数乘以总体数量，得到总体的估计值；④ 检验结果是否符合实际意义（如人数、件数为整数）。 易错点规避：忽略“样本必须具有代表性和广泛性”，若样本不具有代表性，估计结果无效；计算时，混淆样本总数与总体总数；未对估计结果进行整数处理，导致答案不符合实际。 变式演练 【变式01】某校组织九年级男生进行掷实心球测试，并随机抽取了部分男生掷实心球的成绩进行整理，按成绩（单位：米）分成了5组．A组：；B组：；C组：；D组：；E组：，并绘制出了如下两幅不完整的统计图，其中A组测试成绩为5.78，5.35，5.61，5.46，6.12．根据中考规定为合格，为优秀． 根据以上信息，解决下列问题： (1)此次调查的样本容量为______；请补全频数直方图． (2)这部分男生成绩的中位数落在______组，扇形统计图中B组对应的圆心角为______度． (3)该校九年级大约有600名男生参加了测试，请估计按照中考要求掷实心球合格的人数． 【答案】(1)50，见解析 (2)C， (3)552 【分析】（1）用A组人数除以其所占百分比即可求出样本容量；用样本容量乘以C组所占百分比求出C组人数，然后用样本容量减去其余各组人数求出E组人数，最后补图即可； （2）将50人成绩由低到高排序即可得到中位数所在组，然后根据图表，直接计算C组圆心角的角度即可； （3）用600乘以合格率即可． 【详解】（1）解：样本容量为， C组人数为（人）， E组人数为（人）， 补图如下： （2）解：由（1）知，这50人男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人， ∴成绩的中位数落在C组， B组对应的圆心角为：； （3）解：∵A组测试成绩为5.78，5.35，5.61，5.46，6.12，其中6.12的成绩是合格的，而其余各组成绩均超过5.8， ∴合格率， ∴估计按照中考要求掷实心球合格的人数为 【变式02】某校为了解本校3000名初中生对安全知识掌握情况，随机抽取了60名初中生进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制了如下不完整的频数统计表和频数分布直方图： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 6 第2组 10 第3组 a 第4组 b 第5组 12 请结合图表完成下列各题： (1)频数表中的_____，_____； (2)将频数分布直方图补充完整： (3)若测试成绩不低于90分定为“优秀”，你估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的大约有多少人？ 【答案】(1)18，14 (2)作图见详解 (3)600人 【分析】（1）结合频数分布直方图可得出的人数，再用总抽取人数减去各组的人数即可得到的人数； （2）由（1）知，，在频数分布直方图中对应的小组画出高度为18的直条即可； （3）先求得抽取的60名学生中“优秀”的人数为的小组频数占样本容量比例，即频率，再根据样本中“优秀”的比例来估计总体中“优秀”等级的估计人数． 【详解】（1）解：由频数分布直方图可知，的人数为18，即， 的人数为：（人），即， 故答案为：18，14． （2）解：由（1）知，， 如图所示，频数分布直方图为所求： （3）解：由题意知，测试成绩不低于90分的频率为：， ∴估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的人数为：（人）， 即估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的人数大约有600人 【变式03】某校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛，学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组，为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成以下不完整的统计图表，根据所给信息，解答下列问题： (1)表中m的值为 ，并补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数； (3)若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 【答案】(1)，见解析 (2) (3)估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是1200人 【分析】本题考查了扇形统计图与补全频数分布直方图，画条形统计图，求扇形统计图的圆心角，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用B组人数除以占比，得出被调查的总人数，再列式计算求出m的值，最后补全频数分布直方图，即可作答． （2）理解题意，E组人数除以被调查的总人数,再，得出E组所对应的圆心角的度数，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，被调查的总人数为（人）， 则， 补全频数分布直方图如下： （2）解：由（1）得被调查的总人数为人， 则E组所对应的圆心角的度数为； （3）解：由（1）得被调查的总人数为人， 则（人）， 答：估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是1200人 题型04随机事件与概率的概念 典例引领 【典例01】下列事件： ①在一个标准大气压下，水加热到会沸腾；②篮球队员在罚球线上投篮一次，投中；③三角形中任意两边之和大于第三边；④经过有交通信号灯的路口，遇到红灯． 其中，必然事件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查必然事件的定义、三角形三边的性质，需根据必然事件（一定发生的事件）的概念逐一判断每个事件的类型，统计必然事件的个数后选择对应选项即可． 【详解】∵必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件 ①在一个标准大气压下，水加热到会沸腾，这是符合规律的必然现象，属于必然事件； ②篮球队员在罚球线上投篮一次，投中，结果不确定，属于随机事件； ③三角形中任意两边之和大于第三边，这是三角形的基本性质，一定成立，属于必然事件； ④经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，结果不确定，属于随机事件； ∴必然事件有2个； 故选：C． 【典例02】任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了事件的分类．事件“他们最终选择任丘植物园游玩”可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处游玩，选择任丘植物园是可能发生的，但不是必然事件，故该事件为随机事件． 故答案为：随机． 方法透视 考向解读 中考必考，多以小题形式出现，核心考查随机事件、必然事件、不可能事件的判断，概率的意义（0≤P≤1），以及简单概率的计算（古典概型）。考向特点是“概念辨析，侧重基础”，难度偏低，是必得分点，但容易因事件类型判断错误、概率的取值范围混淆丢分 方法技能 事件类型判断：① 必然事件：一定发生的事件，概率P=1；② 不可能事件：一定不发生的事件，概率P=0；③ 随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率0<P<1，核心是“结合生活实际判断”。 概率的意义：概率表示事件发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性越大，反之越小，注意“概率为1的事件不一定是必然事件，概率为0的事件不一定是不可能事件”，但安徽中考不考查此类极端情况，只需掌握基础意义即可。 易错点规避：混淆随机事件、必然事件、不可能事件的概念；误认为概率为1的事件一定发生，概率为0的事件一定不发生；忽略概率的取值范围（0≤P≤1），出现概率大于1或小于0的错误。 变式演练 【变式01】指出下列事件分别属于什么事件（必然事件、不可能事件、随机事件）： (1)打开电视机，正在播放动画片． (2)在一个装有红球和黑球的袋中摸出一个白球． (3)三角形三个内角的和等于． 【答案】(1)随机事件 (2)不可能事件 (3)必然事件 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． （1）根据事件发生的可能性大小即可． （2）根据事件发生的可能性大小即可． （3）根据事件发生的可能性大小即可． 【详解】（1）解：打开电视机时，屏幕上播放的节目是不确定的，可能是动画片，也可能是其他节目，所以是随机事件． （2）解：袋中只有红球和黑球，没有白球，因此不可能摸出白球，属于不可能事件． （3）解：根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和一定等于，这是必然事件 【变式02】在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (2)当n为何值时，这个事件必然发生？ 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查了事件的分类，理解必然事件的定义是解题的关键． （1）这个事件不可能发生，摸球数小于个，即可求解； （2）这个事件必然发生，摸球数大于个，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 当或时，不可能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件不可能发生； （2）解：由题意得 当或或时，一定能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件必然发生 【变式03】某中学为了解七年级学生对课后延时服务项目的参与情况，随机抽取50名学生进行问卷调查，课后延时服务项目分为以下四类：A．艺术素养、B．体育锻炼、C．科技探究、D．作业辅导．现将调查结果整理成如下不完整的统计表： 项目 A B C D 人数 15 10 5 频率 0.3 0.1 (1)请补全统计表中的空缺数据（直接填写在表中）； (2)从参与调查的学生中随机抽取1人，抽到的学生恰好参与项目B是_________事件（从“随机”“必然”“不可能”选一个填入）； (3)若该校七年级共有400名学生，试估计选择项目A的学生人数． 【答案】(1)见解析 (2)随机 (3)120名 【分析】本题考查了根据数据描述求频率、频数，样本估计总体，事件的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出项目B的人数，再根据频率等于频数除以总数进行列式，分别求出项目的频率，即可作答． （2）根据随机事件的定义进行分析，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 如图所示： 项目 A B C D 人数 15 20 10 5 频率 0.3 0.4 0.2 0.1 （2）解：依题意，从参与调查的学生中随机抽取1人，抽到的学生恰好参与项目B是随机事件 故答案为：随机； （3）解：（名） 答：估计选择项目A的学生有120名 题型05概率的计算与实际应用 典例引领 【典例01】某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 【答案】(1)， (2)0.1 (3)这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元 【分析】（1）用频数11除以总数100即可求出频率m，用总数400乘以频率0.095即可求出频数n； （2）根据频率估计概率得0.1； （3）先用300除以概率0.1得到鱼塘中大约有3000条鱼，再列式即可求出总价值． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据频率估计概率得随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为0.1； （3）解：（条）， （元）． 答：这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元 【典例02】在学习频率与概率的相关知识时，小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．游戏规则和试验的部分结果如下图： 试验次数n 100 200 400 1000 3000 5000 10000 两位玩家平局的试验频数m 32 70 144 335 1004 1670 3328 两位玩家平局的试验频率（精确到0.001） 0.320 0.350 0.360 0.335 0.335 0.334 0.333 (1)根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是_____．（精确到0.001） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】(1)0.333 (2)见解析 【分析】本题考查了概率的求法、树状图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据表格即可解题； （2）根据树状图即可求出概率． 【详解】（1）解：由表格可知，随着试验次数增加，“两位玩家平局”的概率逐渐接近， ∴估计“两位玩家平局”的概率是； 故答案为：0.333； （2）解：如图， 一共有9种等可能的结果，其中平局的情况有3种， ∴． 方法透视 考向解读 中考每年必考，多以解答题（18-19题）形式出现，核心考查古典概型（列举法、树状图、列表法）、几何概型（安徽中考偶尔考查）的概率计算，以及概率在游戏公平性、预测事件发生次数中的应用。考向特点是“步骤规范，侧重应用”，难度中等，是必得分点，但容易因列举不全面、树状图/列表法书写不规范、游戏公平性判断错误丢分 方法技能 古典概型计算（安徽中考核心）：① 核心公式：；② 列举方法选择：a. 列举法：适用于结果数较少的情况；b. 列表法：适用于两步试验，直观不重复、不遗漏；c. 树状图：适用于两步及以上试验，清晰呈现所有可能结果。 几何概型计算（偶尔考查）：核心是“面积比”，重点是“准确计算区域面积”。 实际应用：① 游戏公平性判断：分别计算双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平，可提出修改方案；② 预测事件发生次数：事件发生的预测次数=总试验次数×该事件的概率，结果需结合实际，取整数。 易错点规避：列举结果时，重复或遗漏；树状图/列表法书写不规范；计算概率时，混淆“事件A发生的结果数”与“所有可能的结果数”；判断游戏公平时，仅比较结果数，未计算概率 变式演练 【变式01】在一个不透明的盒子里装有若干个相同的红球，为了估计盒子里红球的数量，九(1)班学生分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入盒子中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．如表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)①表中的 ； (结果保留三位小数)； ②根据上表估计，摸到白球的概率是 (结果保留一位小数)； (2)试估算这个不透明的盒子中红球的个数． 【答案】(1)①，；②； (2)估算这个不透明的盒子中红球有个 【分析】（1）①根据频率频数样本总数，即可求解； ②利用频率估计概率可得摸到白球的概率； （2）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数． 【详解】（1）解：①，； 故答案为：，； ②根据上表估计，摸到白球的概率是； 故答案为：； （2）解：由题意得，摸到白球的概率为， 因此球的总个数为：个， 红球个数为：个， 所以估算这个不透明的盒子中红球有个 【变式02】某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 800 1000 落在“文创”区域的次数 60 122 240 295 604 落在“文创”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)假如你转动该转盘一次，你获得“文创”的概率约是_____（结果精确到0.1） (2)在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率和用树状图或列表法求概率． （1）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率得“文创”的概率约是； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“文创”的概率约是； 故答案为：； （2）解：树状图如下： 共有9种等可能情况，其中甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的情况有3种， 故甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为． 【变式03】一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外无其他差别，小明做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，获得数据如下表所示： 摸球的次数 50 100 200 500 1000 1500 摸到黑球的次数 22 42 78 199 399 601 摸到黑球的频率 0.440 0.420 0.390 0.398 0.399 0.401 (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是___________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为___________个； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，求小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】(1)0.4，20 (2)25个 【分析】本题主要考查频率与概率的关系，概率公式的应用，解分式方程，读懂题意，能根据概率公式建立方程是做题的关键． （1）根据大量重复试验中事件发生的频率可近似看作事件发生的概率，即可解答； （2）设小明后来放进了个黑球，根据题意列出方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意和表格可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定到0.4左右，故摸到黑球的频率接近0.4， 估计摸一次球能摸到黑球的概率是0.4， 袋中黑球的个数约为（个）． 故答案为：0.4，20． （2）解：设小明后来放进了个黑球，则袋中球的总数为个，黑球的个数为个， 根据题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 小明后来放进了个黑球． 题●型●训●练 一、单选题 1．奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过列表法列出所有两位字母不同的密码组合，总共有种等可能的结果；再依据“系统自动排除以开头或以结尾的密码”的排除规则，从所有组合中筛选出符合条件的有效密码，统计其数量；最后根据概率公式，计算出密码不被系统排除的概率． 【详解】解：列举出所有等可能的结果如下： - - - - 由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是”且“第二位不是”共有7种有效密码， ∴他设置的密码不会被系统排除的概率是． 2．计算一组数据，，8，，，的方差为，则数据7，8，4，6，5，6的方差为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析两组数据的数量关系：第二组数据的每个数都是第一组对应数据的；根据方差的性质，若一组数据中的每个数据都变为原来的倍，则方差变为原来的倍，这里，因此方差变为原来的，也可通过直接计算两组数据的方差验证结果． 【详解】解：方法一：∵第二组数据的每个数都是第一组对应数据的，根据方差性质：若一组数据中每个数据变为原来的倍，方差变为原来的倍，这里， ∴第二组数据的方差为． 方法二：∵， ， ， ， 而， ∴第二组数据的方差为． 3．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．在一个不透明的布袋里装有5个标号分别为“宫”、“商”、“角”、“徵”、“羽”的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小微先从布袋里随机取出一个小球，记下标注的音阶后不放回，然后再随机取出一个，则取出的音阶恰好是“商”和“羽”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出树状图，得到共有20种等可能的结果，其中取出的音阶是“商”和“羽”的结果有2种，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：画树状图如图， 由树状图可得共有20种等可能的结果，其中取出的音阶是“商”和“羽”的结果有2种， ∴P(取出的音阶恰好是“商”和“羽”) ． 4．某班七个合作学习小组人数如下：4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（　　） A．5，5 B．6，5 C．6，5和6 D．6，5和7 【答案】D 【分析】本题考查平均数中位数和众数的定义，先根据平均数求出x的值，再将数据从小到大排序，根据定义求出中位数和众数即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数为6，共有7个数据， ∴这组数据的总和为 ， ∴， 将这组数据从小到大排列为：4，5，5，6，7，7，8， ∵7个数据的中位数是排序后第4个数据，∴中位数为6， ∵5和7都出现2次，出现次数最多，∴众数为5和7， 故选：D． 5．某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【答案】A 【分析】先计算题目中事件的频率，根据用频率估计概率得到该事件概率约为，再计算各选项事件的概率，选出概率最接近的选项即可. 【详解】解：∵试验总次数为次，该结果出现次， ∴频率为， 可得该事件的概率约为； 对各选项逐一计算概率： A选项： ∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张， ∴抽到红桃的概率为，符合要求； B选项：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求； C选项： ∵共张纸片，其中奇数纸片有张， ∴抽到奇数的概率为，不符合要求； D选项： ∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种， ∴点数为的概率为，不符合要求， 6．如图是年我国主要可再生能源发电装机容量（亿千瓦）统计图． 根据上述信息，下列推断合理的是（    ）（填写序号）． ①年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大；②年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定；③年，我国水电发电装机容量一直高于风电发电装机容量． A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【详解】解：① 年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大， 从统计图可以看出，太阳能发电装机容量的增长幅度远大于水电、风电，故①正确，符合题意； ②年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定， 水电的柱状图高度变化很小，而风电和太阳能的柱状图高度变化明显，故②正确，符合题意； ③年，我国水电发电装机容量低于风电发电装机容量， 观察年的柱状图，风电的高度已经超过水电，故③错误，不符合题意； 综上所述，推断合理的是①②． 7．下列说法正确的是（   ） ①用一个平面去截一个圆锥，截面的形状可能是一个三角形；②的系数是；③春节档某部电影大年初一当天的票房是定量数据；④若，则点是的中点． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】解：过圆锥顶点且垂直于底面的平面去截圆锥，截面形状为三角形，∴①说法正确 ∵单项式的系数是，∴②说法错误 ∵票房是用数值表示的数据，属于定量数据，∴③说法正确 ∵当点不在线段上时，即使，点也不是的中点，∴④说法错误 综上，正确的是①③． 8．阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；根据题意画出树状图，可得共有9种等可能的结果，其中阿嘉比小杨大的情况有6种，然后利用概率公式得出答案． 【详解】解：由题意知：阿嘉盖住的牌中的数字为2，4，5， 小杨盖住的牌中的数字为1，3，4， 画树状图如图： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中阿嘉比小杨大的情况有6种， 所以阿嘉比小杨大的机率为， 故选：B． 二、填空题 9．从中随机抽取一个根式，与是同类二次根式的概率是_____． 【答案】 【分析】先将题目给出的二次根式化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义得到符合条件的根式个数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：，， 因此四个根式化简后为，，，， 其中与是同类二次根式的有，，，共个， 所有等可能的抽取结果共种，与是同类二次根式的概率是． 10．学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 11．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，并绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是_____． 【答案】/108度 【分析】先由A类别户数及其所占百分比求得总户数，再由各类别户数之和等于总户数求出B类别户数，继而用乘以B类别户数占总户数的比例即可得． 【详解】解：∵被调查的总户数为（户）， ∴B类别户数为（户）， 则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是． 12．甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示： ： 设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】＜ 【分析】由扇形图得出甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上个数的具体分布情况，再判断出“引体向上”个数分布较为稳定的班级即可解答． 【详解】解：由扇形图知，甲班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有5人，6个的有5人，7个的有5人，8个的有5人；乙班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有6人，6个的有4人，7个的有4人，8个的有6人， ∴甲班男生“引体向上”个数分布较为均匀、稳定， ∴． 13．从，1，2中取两个不同的数，分别记为a 和b，则a，b是方程的两个根的概率是_________． 【答案】 【分析】先解一元二次方程得到其两根，再列举出从三个数中任取两个不同数的所有有序等可能结果，最后依据概率公式计算对应概率． 【详解】解：解方程得，， 从，，中任取两个不同的数分别记为和，所有有序等可能结果为，，，，，，共6种， 其中满足，是方程的两个根的结果为，，共2种， 所以a，b是方程的两个根的概率是． 三、解答题 14．为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动（竞赛满分为100分），为了解九年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了50名参赛学生的成绩，整理并绘制出如下统计表． 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 8 65 10 75 14 85 18 95 根据上述信息，解答下列问题： (1)所抽取参赛学生成绩的中位数落在_____组； (2)求所抽取的参赛学生的平均成绩； (3)估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】(1)C (2)分 (3)512名 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）求出每组的总得分，然后求和后除以参与调查的学生人数即可得到答案； （3）用800乘以样本中达到80分及以上的学生人数的占比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一共抽取了50名学生的成绩， ∴把这50名学生的成绩按照从低到高排列，中位数为第25名的成绩和第26名的成绩的中位数， ∵， ∴中位数落在C组； （2）解：分， ∴所抽取的参赛学生的平均成绩为分； （3）解：名， 答：估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数为512名． 15．我国淡水资源相对缺乏，节约用水成为大家共识．为了解某小区家庭用水情况，八年级数学社团在小学段期间随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），根据调查结果绘制成的统计图表如下． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 6 B 21 C m D n E 3 根据上述信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)本次调查数据的中位数落在______组内； (3)若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于5.0吨的家庭数有多少？ 【答案】(1)， (2) (3)去年月均用水量小于吨的家庭数有个 【分析】（1）用家庭总数乘以组用水量所占百分比，可求出m值，用总数减去其他家庭数量即可求出n的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用乘以月均用水量小于吨的家庭所占比例即可得答案． 【详解】（1）解：∵扇形统计图中，组用水量占， ∴， ∴． （2）解：∵组有个家庭，组有个家庭，且中位数是第个数据与第个数据的平均数， ∴中位数一定落在组内． （3）解：月均用水量小于吨的家庭为（个）， 答：去年月均用水量小于吨的家庭数有个． 16．在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)八年级学生的知识竞赛成绩更好，理由见解析； (3)估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可； （3）八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数所占比例，相加即可． 【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；87.5；30． （2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级． （3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 17．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，则转出的数字是的概率为______； (2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键． （1）根据扇形圆心角的度数与总圆心角的度数关系来计算转出特定数字的概率； （2）通过列表法列出所有可能的结果，再找到满足数字之和为正数的结果，最后根据概率公式计算所求概率． 【详解】（1）解：由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为，2个“”所占的扇形圆心角为， 则转动转盘一次，转出的数字是“”的概率为； （2）解：由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“”的可能性相同，均为， 转动转盘两次，列表如下： 1 3 1 3 共有9种情况，其中这两次分别转出的数字之和为正数的情况有6种， 因此，这两次分别转出的数字之和为正数的概率为． 18．生命在于运动，运动使人健康．某中学为了解学生每周末在家运动的时长t（单位：小时），从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（组：；组：；组：；组：，其中每周末运动时长不少于3小时为达标），并绘制了统计图，如图．根据以上信息，解答下列问题： 学生每周在家运动时长频数分布直方图 (1)若该校有学生1800人，试估计该校学生每周末在家运动时长不足2小时的人数； (2)学校准备从每周末运动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生分享运动体会，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率； (3)根据统计图中的数据，请对该学校学生每周末在家运动时长达标情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】(1)630人 (2) (3)建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间 【分析】（1）用1800乘以学生每周末在家运动时长不足2小时的人数所占比即可； （2）根据题意画树状图法求概率即可； （3）求出达标率，建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间（合理即可）． 【详解】（1）解：（人），   答：估计该校学生每周末在家运动时长不足2小时的有630人； （2）解：树状图如下， 共有12种等可能结果，其中一男一女的情形有8种， ∴选中的两人刚好是一男一女的概率为； （3）解：达标率：， ∴该学校学生每周末在家运动时间达标率仅为，达标率较低，建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间． 19．河北省作为历史文化与自然景观大省，旅游资源丰富．莉莉计划假期游览河北，准备从3个人文景点（A西柏坡纪念馆；B承德避暑山庄；C山海关景区）中随机选取一个，再从2个自然景点（D白洋淀湿地；E野三坡风景区）中随机选取一个． (1)莉莉从人文景点中选中B承德避暑山庄的概率为_______； (2)嘉嘉说：“莉莉选中A西柏坡纪念馆和D白洋淀湿地的概率为．”请你通过计算判断嘉嘉的说法是否正确． 【答案】(1) (2)不正确；理由见解析 【分析】（1）根据概率公式直接计算即可； （2）画出相应的树状图，然后即可求得莉莉选中A西柏坡纪念馆和D白洋淀湿地的概率． 【详解】（1）解：∵共有3个人文景点（A西柏坡纪念馆；B承德避暑山庄；C山海关景区）， ∴莉莉从人文景点中选中B承德避暑山庄的概率为； （2）解：不正确，理由： 如图， 共有6种等可能的结果．选中A西柏坡纪念馆和D白洋淀湿地的结果有1种， 选中A西柏坡纪念馆和D白洋淀湿地的概率为． 嘉嘉的说法不正确． 20．2025年11月9日，十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地联合举行，点燃了全国人民运动的激情．我校抽样调查评选出了学生比较喜爱的球类运动分别是以下四类：（篮球），（羽毛球），（乒乓球），（足球）．如图是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图． (1)本次统计的总份数为_____份，补全条形统计图； (2)扇形统计图中类所对应的圆心角度数为_____°； (3)本次调查比较喜爱的球类运动（乒乓球）类中有4位同学是乒乓球明星樊振东的粉丝，其中2名男生，2名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】(1)；见解析 (2) (3) 【分析】（1）用条形统计图中的份数除以扇形统计图中的百分比可得本次统计的总份数；用本次统计的总份数分别减去，，类的份数，可得条形统计图中类的份数，补全条形统计图即可； （2）用乘以类的份数所占的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到两名性别相同的学生的结果数，再利用概率公式可得出答案； 【详解】（1）解：本次统计的总份数为（份）； 条形统计图中类为（份）； 补全条形统计图如下： （2）解：扇形统计图中类所对应的圆心角度数为． （3）解：根据题意，画树状图为： 由树状图知，共有种等可能的结果，其中两名性别相同的学生结果数为， 所以恰好抽到两名性别相同的学生的概率为． 21．为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2025年9月22日环保部门对某城市居民日常出行使用交通工具方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车或电动车”所在的扇形的圆心角是．居民日常出行使用交通工具方式情况的条形统计图居民日常出行使用交通工具方式情况的扇形统计图， 请根据以上信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)如果绿色出行是指“骑自行车或电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，若该城市有50万人口，估计该城市中选择绿色出行的共有多少万人； (3)若参与问卷调查的人中，选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助画树状图或者列表的方法，求恰好选到1男1女的概率． 【答案】(1)见解析 (2)，万人 (3) 【分析】（1）由“坐公交车”的人数除以其所占的百分比，然后再求出“骑自行车或电动车”和“其他”的人数，最后补全条形统计图即可； （2）利用“骑自行车或电动车”和“坐公交车”的人数除以总调查人数，得到绿色出行的频率，再用该城市的50万人乘以选择绿色出行的频率即可解答； （3）先根据题意画出树状图，确定所有等可能结果数以及恰好选到1男1女的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：调查人数为（人）， “骑自行车或电动车”的人数为（人）， “其他”的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：绿色出行在所有交通方式中的频率为 该城市中选择绿色出行的共有（万人）； 答：绿色出行在所有交通方式中的频率为；估计该城市中选择绿色出行的共有万人． （3）解：根据题意，画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好选到1男1女的结果有12种， 则（恰好选到1男1女）， 答：恰好选到1男1女的概率为． 【点睛】正确从统计图中获取所需信息以及根据题意画出树状图是解题的关键． 22．今年的5.4青年节，我校隆重举行了“红心向党，勇担使命”演讲比赛，李老师收集了所有参赛选手的成绩后，把成绩(满分分)分成四个等级(， ，，)进行统计，并绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据信息作答： (1)参赛选手总数有 人； ；所对应的扇形圆心角的大小为 °； (2)补全条形统计图； (3)等级是1个女选手和3个男选手，要从其中选出2人进行演讲再培训，求选中两人恰好是一男一女的概率(用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来)． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)，画图见解析 【分析】（1）先根据等级的人数和其在扇形图中所占的百分比，求出参赛选手的总数；再用总数减去、、三个等级的人数，得到等级的人数，进而算出等级所占的百分比，得到的值；最后用乘以等级人数占总数的比例，求出等级对应的扇形圆心角． （2）根据（1）算出的等级人数，在条形统计图中绘制出高度为该人数的矩形，从而补全条形统计图． （3）用树状图法列出从4人中任选2人的所有等可能结果，再从中找出恰好是一男一女的结果数，最后用“符合条件的结果数÷所有等可能结果数”求出相应的概率． 【详解】（1）解：从两个统计图中可知，等级有人，占比， ∴参赛选手总数为(人)． ∵等级人数为(人)， ∴，即． ∵等级有人， ∴所对应扇形圆心角为； （2）解：由（1）知等级有人，补全条形统计图如下： （3）解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中选出的两人恰好是一男一女的结果数有6种， 所以选出的两人恰好是一男一女的概率为． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06统计与概率 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 数据的收集与整理 题型02 统计量的计算与分析 题型03 用样本估计总体 题型04 随机事件与概率的概念 题型05 概率的计算与实际应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 数据的收集与整理 典例引领 【典例01】某学校将为初一学生开设共门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）： 选修课 人数 40 60 100 根据图表提供的信息，下列结论错误的是（    ） A．这次被调查的学生人数为400人 B．扇形统计图中部分扇形的圆心角为 C．被调查的学生中喜欢选修课、的人数分别为80，70 D．喜欢选修课的人数最少 【典例02】“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（    ） A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B．2023年低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元 故选：B． 方法透视 考向解读 中考每年必考，多以小题形式出现，偶尔作为解答题第一问铺垫，核心考查数据的收集方法（普查、抽样调查）、统计图的识别与补充（条形统计图、折线统计图、扇形统计图）、数据的分组整理。考向特点是“基础直观，侧重辨析”，难度偏低，重点考查学生对统计图表的解读能力，容易在“普查与抽样调查的选择”“扇形统计图的圆心角计算”上丢分 方法技能 普查与抽样调查的选择：① 普查（全面调查）：适用于范围小、数据少、要求精准的场景，优点是结果准确，缺点是耗时耗力；② 抽样调查：适用于范围大、数据多、具有破坏性的场景，优点是高效便捷，缺点是结果有误差，注意抽样需具有代表性和广泛性。 统计图的解读与补充：① 条形统计图：直观反映各组数据的具体数量，核心是“读准数据、补全条形”，注意横轴、纵轴的单位和刻度；② 折线统计图：直观反映数据的变化趋势，重点关注“增减变化规律”；③ 扇形统计图：直观反映各组数据占总体的百分比，核心是“百分比与圆心角的转化”（圆心角=360°×对应百分比），补充数据时需先求总体数量（总体=某组数量÷对应百分比）。 易错点规避：混淆普查与抽样调查的适用场景；计算扇形统计图圆心角时，误将百分比当作度数；补全统计图时，忽略数据的单位和刻度，导致数据填写错误。 变式演练 【变式01】如图是婷婷同学某天作息时间的扇形统计图，得到下列信息，错误的是（  ） A．婷婷这天的娱乐时间占全天的 B．婷婷这天的课业学习时间最多 C．婷婷这天的体育活动时间比娱乐时间长小时 D．婷婷这天睡了小时 【变式02】人口老龄化已成为世界性的重要议题．按照国际通行的标准，当一个国家或地区60岁及以上人口达到总人口数的，则意味着这个国家或地区进入老龄化社会，达到为中度老龄化社会，达到为重度老龄化社会．下图展示了2013年至2023年我国60岁及以上人口数量及其占全国总人口比重．下列说法不正确的是（   ） A．我国2023年尚未进入重度老龄化社会 B．2013年至2023年我国60岁及以上人口数量在逐年递增 C．2022年60岁及以上人口比重比2017年高 D．面对人口老龄化的现状，我国需要不断完善养老服务体系，促进“银发”经济发展 【变式03】某校为了解七年级1200名新生的上学方式，随机对该年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车）进行了调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，则下列判断错误的是（    ） A．调查的学生中步行上学的有8名 B．扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是 C．该校七年级学生中骑车上学的约有360名 D．扇形统计图中骑车的学生人数所占的圆心角是 题型02 统计量的计算与分析 典例引领 【典例01】每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动， 为了解师生的心理健康状况，对全体1000名师生进行了心理测评，随机抽取若干名师生的测评分数进行了数据整理与分析，将收集的数据进行分组并评价等级，得到下面的统计表和扇形统计图（不完整），依据统计信息回答问题． 分数x 90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60 人数 5 a 5 2 b 等级 A B C D E (1)本次抽样的样本容量为 ；统计表中的a＝ ， (2)心理测评等级为C等的师生人数所在扇形的圆心角度数为 【典例02】为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表． 组别 分数段 人数 A 2 B 5 C a D 12 请根据上述信息解答下列问题： （1）本次调查属于_________调查，样本容量是__________； （2）表中的__________，样本数据的中位数位于___________组； （3）补全条形统计图； 【点睛】本题考查了抽样调查，样本的容量，用样本估计总体，频数分布表和频数分布直方图的综合，解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，用频数分布表中某部分的频数除以它的频率求出样本容量，进而求解其它未知的量． 方法透视 考向解读 中考必考，多以解答题形式出现，核心考查平均数（算术平均数、加权平均数）、中位数、众数、方差的计算与意义，以及根据统计量分析数据的集中趋势和波动大小。考向特点是“计算为主，侧重应用”，难度中等，是必得分点，但容易因加权平均数的权重计算、中位数的排序、方差公式混淆丢分，尤其加权平均数是安徽中考的高频考查点 方法技能 核心统计量计算：① 算术平均数，适用于数据无权重的情况；② 加权平均数（安徽中考高频）：，权重可以是人数、次数、百分比，重点是“找准权重，精准计算”；③ 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排序后，中间的数（数据个数为奇数）或中间两个数的平均数（数据个数为偶数），排序是关键；④ 众数：一组数据中出现次数最多的数，可多个 统计量的意义与应用：① 平均数、中位数、众数反映数据的集中趋势（平均数易受极端值影响，中位数不受极端值影响，众数反映数据的普遍情况）；② 方差（）反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，方差越大，数据波动越大，常结合实际场景（如成绩、产量的稳定性）考查。 易错点规避：计算加权平均数时，混淆数据与权重；求中位数时，未先排序；计算方差时，漏除数据个数n，或误将平均数计算错误；忽略众数可以有多个的情况 变式演练 【变式01】为了了解男生报考中考体育测试项目的意向，某校从九年级各班男生随机抽取若干人组成调查样本，根据收集整理到的数据绘制成以下不完全统计图．根据以上信息，解答下列问题： 项目 男生体育测试项目 类 1000米  1分钟跳绳 立定跳远 类 1000米  立定跳远 实心球 类 1000米  实心球 1分钟跳绳 （1）该校采用的调查方式是____________，被调查的样本容量是__________； （2）请补充完整图中的条形统计图和扇形统计图； 【点睛】本题考查了条形图与扇形图综合应用，培养学生从统计图中获取信息的能力，绘图的技能，本试题突出考查学生在学习数学和运用数学解决问题过程中最为重要的也是必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能．强化对数学通性通法的考查 【变式02】为丰富学生的课余生活，某校开展了、、、四类社团活动，为了解学生参加各类社团活动的情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，得到两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为______． （2）请补全条形统计图；在扇形统计图中类社团活动所对应的圆心角度数为______． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键 【变式03】在中国共产党成立100周年之际，某中学开展党史学习教育活动，为了了解学生学习情况，随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题： (1)本次抽取调查的学生共有_________人扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为________． (2)若该校有100名学生，估计得分超过80的有多少人? (3)A等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好好抽到一男一女的概率． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 题型03 用样本估计总体 典例引领 【典例01】某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是______； (2)请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据； (3)求科学制作社团对应的扇形的圆心角度数； (4)请你估计全校有多少名学生报名参加篮球社团活动． 【典例02】某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成20道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 A B C D E 答对题数 20 人数 10 15 25 根据以上信息，完成下列问题： (1)统计表中的______，______ (2)求扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数？ (3)已知该校共有1800名学生，若答对题数不小于16个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 方法透视 考向解读 中考常考，多以解答题形式出现，核心考查通过样本的统计量（平均数、百分比、众数）估计总体的相关量，结合抽样调查、统计图综合考查。考向特点是“逻辑简单，侧重计算”，难度中等，核心是“样本具有代表性”，是连接统计图表与实际应用的关键，容易因样本与总体的对应关系混淆、计算失误丢分 方法技能 核心思路：用样本的“比例”“平均数”估计总体的对应量，核心公式：总体数量=样本数量÷样本中某组的百分比；总体某组数量=总体数量×样本中该组的百分比；总体平均数≈样本平均数。 解题步骤：① 从统计图或题干中提取样本数据（如样本总数、某组的数量或百分比）；② 计算样本中某组的比例或平均数；③ 用样本比例/平均数乘以总体数量，得到总体的估计值；④ 检验结果是否符合实际意义（如人数、件数为整数）。 易错点规避：忽略“样本必须具有代表性和广泛性”，若样本不具有代表性，估计结果无效；计算时，混淆样本总数与总体总数；未对估计结果进行整数处理，导致答案不符合实际。 变式演练 【变式01】某校组织九年级男生进行掷实心球测试，并随机抽取了部分男生掷实心球的成绩进行整理，按成绩（单位：米）分成了5组．A组：；B组：；C组：；D组：；E组：，并绘制出了如下两幅不完整的统计图，其中A组测试成绩为5.78，5.35，5.61，5.46，6.12．根据中考规定为合格，为优秀． 根据以上信息，解决下列问题： (1)此次调查的样本容量为______；请补全频数直方图． (2)这部分男生成绩的中位数落在______组，扇形统计图中B组对应的圆心角为______度． (3)该校九年级大约有600名男生参加了测试，请估计按照中考要求掷实心球合格的人数． ∴估计按照中考要求掷实心球合格的人数为 【变式02】某校为了解本校3000名初中生对安全知识掌握情况，随机抽取了60名初中生进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制了如下不完整的频数统计表和频数分布直方图： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 6 第2组 10 第3组 a 第4组 b 第5组 12 请结合图表完成下列各题： (1)频数表中的_____，_____； (2)将频数分布直方图补充完整： (3)若测试成绩不低于90分定为“优秀”，你估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的大约有多少人？ 即估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的人数大约有600人 【变式03】某校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛，学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组，为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成以下不完整的统计图表，根据所给信息，解答下列问题： (1)表中m的值为 ，并补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数； (3)若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 答：估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是1200人 题型04随机事件与概率的概念 典例引领 【典例01】下列事件： ①在一个标准大气压下，水加热到会沸腾；②篮球队员在罚球线上投篮一次，投中；③三角形中任意两边之和大于第三边；④经过有交通信号灯的路口，遇到红灯． 其中，必然事件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例02】任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 方法透视 考向解读 中考必考，多以小题形式出现，核心考查随机事件、必然事件、不可能事件的判断，概率的意义（0≤P≤1），以及简单概率的计算（古典概型）。考向特点是“概念辨析，侧重基础”，难度偏低，是必得分点，但容易因事件类型判断错误、概率的取值范围混淆丢分 方法技能 事件类型判断：① 必然事件：一定发生的事件，概率P=1；② 不可能事件：一定不发生的事件，概率P=0；③ 随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率0<P<1，核心是“结合生活实际判断”。 概率的意义：概率表示事件发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性越大，反之越小，注意“概率为1的事件不一定是必然事件，概率为0的事件不一定是不可能事件”，但安徽中考不考查此类极端情况，只需掌握基础意义即可。 易错点规避：混淆随机事件、必然事件、不可能事件的概念；误认为概率为1的事件一定发生，概率为0的事件一定不发生；忽略概率的取值范围（0≤P≤1），出现概率大于1或小于0的错误。 变式演练 【变式01】指出下列事件分别属于什么事件（必然事件、不可能事件、随机事件）： (1)打开电视机，正在播放动画片． (2)在一个装有红球和黑球的袋中摸出一个白球． (3)三角形三个内角的和等于． （3）解：根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和一定等于，这是必然事件 【变式02】在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (2)当n为何值时，这个事件必然发生？ 故这个事件必然发生 【变式03】某中学为了解七年级学生对课后延时服务项目的参与情况，随机抽取50名学生进行问卷调查，课后延时服务项目分为以下四类：A．艺术素养、B．体育锻炼、C．科技探究、D．作业辅导．现将调查结果整理成如下不完整的统计表： 项目 A B C D 人数 15 10 5 频率 0.3 0.1 (1)请补全统计表中的空缺数据（直接填写在表中）； (2)从参与调查的学生中随机抽取1人，抽到的学生恰好参与项目B是_________事件（从“随机”“必然”“不可能”选一个填入）； (3)若该校七年级共有400名学生，试估计选择项目A的学生人数． 项目 A B C D 人数 15 20 10 5 频率 0.3 0.4 0.2 0.1 答：估计选择项目A的学生有120名 题型05概率的计算与实际应用 典例引领 【典例01】某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 答：这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元 【典例02】在学习频率与概率的相关知识时，小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．游戏规则和试验的部分结果如下图： 试验次数n 100 200 400 1000 3000 5000 10000 两位玩家平局的试验频数m 32 70 144 335 1004 1670 3328 两位玩家平局的试验频率（精确到0.001） 0.320 0.350 0.360 0.335 0.335 0.334 0.333 (1)根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是_____．（精确到0.001） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 方法透视 考向解读 中考每年必考，多以解答题（18-19题）形式出现，核心考查古典概型（列举法、树状图、列表法）、几何概型（安徽中考偶尔考查）的概率计算，以及概率在游戏公平性、预测事件发生次数中的应用。考向特点是“步骤规范，侧重应用”，难度中等，是必得分点，但容易因列举不全面、树状图/列表法书写不规范、游戏公平性判断错误丢分 方法技能 古典概型计算（安徽中考核心）：① 核心公式：；② 列举方法选择：a. 列举法：适用于结果数较少的情况；b. 列表法：适用于两步试验，直观不重复、不遗漏；c. 树状图：适用于两步及以上试验，清晰呈现所有可能结果。 几何概型计算（偶尔考查）：核心是“面积比”，重点是“准确计算区域面积”。 实际应用：① 游戏公平性判断：分别计算双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平，可提出修改方案；② 预测事件发生次数：事件发生的预测次数=总试验次数×该事件的概率，结果需结合实际，取整数。 易错点规避：列举结果时，重复或遗漏；树状图/列表法书写不规范；计算概率时，混淆“事件A发生的结果数”与“所有可能的结果数”；判断游戏公平时，仅比较结果数，未计算概率 变式演练 【变式01】在一个不透明的盒子里装有若干个相同的红球，为了估计盒子里红球的数量，九(1)班学生分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入盒子中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．如表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)①表中的 ； (结果保留三位小数)； ②根据上表估计，摸到白球的概率是 (结果保留一位小数)； (2)试估算这个不透明的盒子中红球的个数． 所以估算这个不透明的盒子中红球有个 【变式02】某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 800 1000 落在“文创”区域的次数 60 122 240 295 604 落在“文创”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)假如你转动该转盘一次，你获得“文创”的概率约是_____（结果精确到0.1） (2)在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率． 【变式03】一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外无其他差别，小明做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，获得数据如下表所示： 摸球的次数 50 100 200 500 1000 1500 摸到黑球的次数 22 42 78 199 399 601 摸到黑球的频率 0.440 0.420 0.390 0.398 0.399 0.401 (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是___________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为___________个； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，求小明后来放进了多少个黑球？ 题●型●训●练 一、单选题 1．奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（   ） A． B． C． D． - - - - 2．计算一组数据，，8，，，的方差为，则数据7，8，4，6，5，6的方差为 A． B． C． D． 3．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．在一个不透明的布袋里装有5个标号分别为“宫”、“商”、“角”、“徵”、“羽”的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小微先从布袋里随机取出一个小球，记下标注的音阶后不放回，然后再随机取出一个，则取出的音阶恰好是“商”和“羽”的概率是（    ） A． B． C． D． 4．某班七个合作学习小组人数如下：4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（　　） A．5，5 B．6，5 C．6，5和6 D．6，5和7 5．某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 6．如图是年我国主要可再生能源发电装机容量（亿千瓦）统计图． 根据上述信息，下列推断合理的是（    ）（填写序号）． ①年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大；②年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定；③年，我国水电发电装机容量一直高于风电发电装机容量． A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 7．下列说法正确的是（   ） ①用一个平面去截一个圆锥，截面的形状可能是一个三角形；②的系数是；③春节档某部电影大年初一当天的票房是定量数据；④若，则点是的中点． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 8．阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．从中随机抽取一个根式，与是同类二次根式的概率是_____． 10．学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 11．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，并绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是_____． 12．甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示： ： 设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则_______．（填“”“”或“”） 13．从，1，2中取两个不同的数，分别记为a 和b，则a，b是方程的两个根的概率是_________． 三、解答题 14．为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动（竞赛满分为100分），为了解九年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了50名参赛学生的成绩，整理并绘制出如下统计表． 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 8 65 10 75 14 85 18 95 根据上述信息，解答下列问题： (1)所抽取参赛学生成绩的中位数落在_____组； (2)求所抽取的参赛学生的平均成绩； (3)估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数． 15．我国淡水资源相对缺乏，节约用水成为大家共识．为了解某小区家庭用水情况，八年级数学社团在小学段期间随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），根据调查结果绘制成的统计图表如下． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 6 B 21 C m D n E 3 根据上述信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)本次调查数据的中位数落在______组内； (3)若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于5.0吨的家庭数有多少？ 16．在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 17．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，则转出的数字是的概率为______； (2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 1 3 1 3 18．生命在于运动，运动使人健康．某中学为了解学生每周末在家运动的时长t（单位：小时），从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（组：；组：；组：；组：，其中每周末运动时长不少于3小时为达标），并绘制了统计图，如图．根据以上信息，解答下列问题： 学生每周在家运动时长频数分布直方图 (1)若该校有学生1800人，试估计该校学生每周末在家运动时长不足2小时的人数； (2)学校准备从每周末运动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生分享运动体会，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率； (3)根据统计图中的数据，请对该学校学生每周末在家运动时长达标情况作出评价，并提出一条合理化建议． 19．河北省作为历史文化与自然景观大省，旅游资源丰富．莉莉计划假期游览河北，准备从3个人文景点（A西柏坡纪念馆；B承德避暑山庄；C山海关景区）中随机选取一个，再从2个自然景点（D白洋淀湿地；E野三坡风景区）中随机选取一个． (1)莉莉从人文景点中选中B承德避暑山庄的概率为_______； (2)嘉嘉说：“莉莉选中A西柏坡纪念馆和D白洋淀湿地的概率为．”请你通过计算判断嘉嘉的说法是否正确． 20．2025年11月9日，十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地联合举行，点燃了全国人民运动的激情．我校抽样调查评选出了学生比较喜爱的球类运动分别是以下四类：（篮球），（羽毛球），（乒乓球），（足球）．如图是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图． (1)本次统计的总份数为_____份，补全条形统计图； (2)扇形统计图中类所对应的圆心角度数为_____°； (3)本次调查比较喜爱的球类运动（乒乓球）类中有4位同学是乒乓球明星樊振东的粉丝，其中2名男生，2名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率． 21．为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2025年9月22日环保部门对某城市居民日常出行使用交通工具方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车或电动车”所在的扇形的圆心角是．居民日常出行使用交通工具方式情况的条形统计图居民日常出行使用交通工具方式情况的扇形统计图， 请根据以上信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)如果绿色出行是指“骑自行车或电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，若该城市有50万人口，估计该城市中选择绿色出行的共有多少万人； (3)若参与问卷调查的人中，选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助画树状图或者列表的方法，求恰好选到1男1女的概率． 22．今年的5.4青年节，我校隆重举行了“红心向党，勇担使命”演讲比赛，李老师收集了所有参赛选手的成绩后，把成绩(满分分)分成四个等级(， ，，)进行统计，并绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据信息作答： (1)参赛选手总数有 人； ；所对应的扇形圆心角的大小为 °； (2)补全条形统计图； (3)等级是1个女选手和3个男选手，要从其中选出2人进行演讲再培训，求选中两人恰好是一男一女的概率(用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来)． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $