专题05 方程与不等式综合（题型专练）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05方程与不等式综合 内●容●导●航 第部分题型破译微观解剖，精细教学 仔典例明引领 自方法透视 妇变式演练 题型01一元一次方程的解法与应用 题型02二元一次方程组的解法与综合应用 题型03一元二次方程的解法与根的判别式 题型04分式方程的解法与应用 题型05一元一次不等式（组）的解法与应用 第二部分题型训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01一元一次方程的解法与应用 ◆典例领◆ 【典例01】解方程： 3x-2-1=5=4x 3 6 【典例02】码头到货100t,现有甲、乙两装卸作业组同时开始卸货，甲组卸货at,需要时间为(3a+)小时； 乙组卸货bt,需要时间为(2b+3)小时.问当他们一起卸完所有的货物时，甲组卸货多少吨？ 》方法透视 狗 核心考查一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）， 以及简单实际应用（如行程问题、工程问题、计费问题）。考向特点是“基础单一，侧 解读 重规范”，难度偏低，是必得分点，但容易因去分母漏乘、移项不变号、实际应用中数 量关系找错丢分。 方法 核心解法规范（安微中考重点考查步骤）：①去分母：两边同乘所有分母的最小公倍 数，注意“每一项都要乘”，包括不含分母的项；②去括号：括号前是负号，括号内 1/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 技能 各项要变号；③移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号；④ 合并同类项：整理为ax=b(a≠0)的形式；⑤系数化为l:两边同除以a,注意符号判 断。 实际应用技巧：核心是“找等量关系”，先梳理题干中的数量关系（如行程问题：路程 =速度×时间；工程问题：工作量=工作效率×工作时间)，设未知数（优先设直接未知 数，复杂问题设间接未知数)，列方程求解，最后检验答案是否符合实际意义（如时间、 人数不能为负数)。 易错点规避：去分母漏乘常数项；移项不变号；系数化为1时，符号判断错误；实际应 用中，忽略题干中的限制条件，导致答案不符合实际。 ◆变式演练 【变式01】若关于x的方程m=x+5的解与2(2x+刂=3r+的解相同，求m的值， 2 【变式02】在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2 个等边三角形底面组成.硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）： A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 现有21张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法. (1)用含x的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是 ,裁剪出的底面的个数是 (要 求：代数式要化为最简形式) (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【变式03】【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第135页探究1的部分内容。 探究1：销售中的盈亏 (1)一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，这两件衣服的进价 分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 (填“盈利”、“亏损”或“不盈不亏”) 【解决问题】： (2)七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件700元的价格购进了200件，并以每件1100元 的价格销售了一部分，为回笼资金.商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价40%销售，并全部销 售完毕.已知这批羽绒服总利润是53600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 2/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02二元一次方程组的解法与综合应用、 ◆典例领 【典例01】解二元一次方程组： 倒=3x-2 3x+y=8 [x-3y=5 【典例02】对于任意实数x、y,定义新运算：x#y=2x-y,x⊕y=2x+y.例如：x=1,y=2时， x#y=2×1-2=0,x⊕y=2×1+2=4. (1)若x#y=4,x⊕y=8,求x、y的值； x#y=4-m (2)若关于x、y的方程组 (m为常数)的解也满足方程x+y=3,求m的值. x⊕y=5m 方法透视 向 中考常考，多以解答题(16-17题)形式出现，核心考查二元一次方程组的解法（代入 消元法、加减消元法)，以及与实际应用、代数式求值、几何问题的综合。考向特点是 解读 “解法固定，侧重综合”，难度中等，是基础得分点，常结合行程、工程、利润、几何 边长计算等场景考查，需注意方程组的解的意义和实际应用的检验。 方法 解法选择：①代入消元法：适用于其中一个方程能快速用一个未知数表示另一个未知 数的情况；②加减消元法：适用于两个方程中同一未知数的系数互为相反数或成倍数 技能 关系，加减前可根据系数特点，将方程两边同乘适当的数，使系数相等或互为相反数。 综合应用核心：①与代数式求值结合：先解方程组，再将解代入代数式求值，或利用 整体代入法；②与几何结合：根据几何图形的边长、面积关系列方程组，求解线段长 度；③实际应用：找到两个等量关系，列二元一次方程组，检验答案是否符合实际。 易错点规避：加减消元时，符号出错（如方程两边同乘负数，各项要变号）；代入消元 时，代入不彻底；忽略方程组的解的检验（尤其是实际应用中）。 ◆变式演练◆ 3/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式01】(1)解方程组： 34 3x-4y=2 (2)关于x、y的方程组 x-y=-4 x+2y=1+2m’ 若原方程组的解也是二元一次方程2x+y=7的一个解，求m的 值 【变式02】苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降， 但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高.所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎， 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废.轮胎报废的时候磨损程度为1. ()该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为}，后轮胎的磨损为一： (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮 胎的磨损程度为1.请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【变式03】2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两 种货车运输物资.调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5 辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品。 (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货 车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次.若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说 明理由， >题型03一元二次方程的解法与根的判别试、 ◆典例引领· 【典例01】解方程：x-1=x-1(x+3). 解得=1，x2=-2 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例02】关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.求k的取值范围；如果k是符合条件的最大整数， 且一元二次方程m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值、 方法透视 中考每年必考，多以解答题(17-18题)形式出现，核心考查一元二次方程的解法（直 接开平方法、配方法、公式法、因式分解法)、根的判别式（△=b2-4ac)的应用、根 解读 与系数的关系（韦达定理）。考向特点是“解法灵活，侧重综合”，难度中等偏上，是 拉开分差的关键，常结合分式、几何问题、二次函数综合考查，需重点突破含参问题。 方法 解法选择（适配安徽中考）：①因式分解法：优先使用，适用于能快速因式分解的方 程；②直接开平方法：适用于形如(x+a)2=b(b≥0)的方程；③配方法：安徽中考偶 技能 尔考查，适用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程，或需要利用顶点式解题的 场景：④公式法：万能方法，适用于所有一元二次方程，牢记求根公式X=4正 2a (a≠0)，计算时注意符号和根号内的取值。 根的判别式应用：①判断方程根的情况（△>0：两个不相等的实数根；△=0：两个相 等的实数根；△<0：无实数根)；②含参问题（重点）：根据根的情况求参数的取值 范围（如方程有实数根，需△≥0，同时注意二次项系数a≠0）；③检验方程是否有实 数根，避免无效解题。 韦达定理应用：常用于代数式求值，无需解方程，简化计算；注意：使用韦达定理的前 提是方程有实数根（△≥0） ◆变式演练 【变式01】选择适当的方法解方程： (1)x2-3x-4=0 (2)3x-5-x(3x-5=0 解得：x,= 3=1. 【变式02】定义：设x,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，其中x>x2.若1<x-x2<2,则称 这个方程为“俏方程” (1)方程x2+5x+6=0 “俏方程”（用“是”或“不是”填空）： (2)若关于x的方程x2+x+2m-4=0是“俏方程”。 ①不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为 ②求m的取值范围. 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式03】对于实数m,n,定义一种运算※”为：m※n=mn+n. (1)求4※6的值； (2)如果关于x的方程a※x※x=。有两个相等的实数根，求实数a的值. 题型04分式方程的解法与应用 ◆典例领 【制01解方程：号1产 【典例02】湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴：自2016年创办以来，14支市 州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠 的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力， 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场.小 张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有 30分钟.于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的 时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍. (1)求小张跑步的平均速度； (2)如果小张在家取票和寻找“共享单车"共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由. “小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场 。方法透视 向 中考常考，多以解答题(16-17题)形式出现，核心考查分式方程的解法（去分母转化 为整式方程)、增根的判断与处理、实际应用（如行程、利润、浓度问题）。考向特点 解读 是“步骤繁琐，侧重易错点规避”，难度中等，容易因漏乘最简公分母、忽略增根、实 际应用中数量关系找错丢分，是二轮复习的重点突破点。 方法 核心解法规范（必记步骤）：①去分母：两边同乘最简公分母（各分母的最简公因式） 注意“每一项都要乘”，将分式方程转化为整式方程；②解整式方程：按一元一次或 技能 一元二次方程的解法求解；③检验（关键步骤，安微中考必查）：将解得的未知数的 值代入最简公分母，若公分母不为0，是原方程的解；若公分母为0，是增根，需舍去。 增根问题处理：增根是分式方程转化为整式方程的解，但使原分式方程的分母为0，需 牢记“增根一定满足整式方程，且使最简公分母为0”，可用于求含参分式方程的参数 取值（如已知分式方程有增根，先求增根，再代入整式方程求参数）。 实际应用技巧：与一元一次方程、二元一次方程组的实际应用思路一致，重点是找等量 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 关系，注意“分式方程的解必须使分母不为0，且符合实际意义”，避免出现增根或无 效答案。 ◆变式演练◆ 【变式01】解方程： (1)2 4 2x-14x2-1 23ri6r-2. 【变式2】在学习“分式方程的应用”时，王老师给出了如下的例题，小明和小颖两名同学都列出了对应的方 程 例：某县城修一条通往市区的快速通道，有甲、乙两个工程队一起施工.已知甲队修路 1200m与乙队修路1800m所用的时间相等，且甲队每天比乙队少修60m,求乙队每天修 路的长度， 小明： 12001800 18001200 小颖： =60 x x+60 y y 根据以上信息，解答下列问题： (1)①小明同学所列方程中的x表示： 列方程所依据的等量关系是： ②小颖同学所列方程中的y表示： 列方程所依据的等量关系是： (2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题。 【变式03】周末骑自行车去郊游成了新的时尚.某骑行社团欲团购一批自行车，己知每辆A型自行车的价 格是每辆B型自行车价格的1.2倍，用6000元单独购买A型自行车的辆数比单独购买B型自行车的辆数少 1辆.求每辆B型自行车的价格 甲同学所列的方程为6000_6000-1，乙同学所列的方程为 000_6000 ×1.2 x1.2x yy+1 (1)甲同学所列方程中的x表示 乙同学所列方程中的y表示 (2)请你选择其中一位同学的方法完整地解答这个问题. “.每辆B型自行车的价格是1000元 ◆题型05一元一次不等式（组）的解法与应用 ◆典例领◆ 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x-(5-2x)>1 【典例01】明明在解一元一次不等式组 时，发现“口”里的常数看不清楚，但知道这个不等式 x+☐>0 组的解集为x>2.若用字母Q表示“o”里的常数，试求字母a的取值范围. 【典例02】如图(1)，A,B两地间的公路长360km,其中有一段长10km的施工道路MN,M距离A地200 km·甲、乙两辆轿车分别从A,B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发20mi·在非施工道路 (其限速情况如图(2)所示)，甲车始终以100km/h的速度行驶，乙车始终以'km/h的速度行驶；在施工 道路，两车均以40km/h的速度行驶. 120 60 100 60 100 60 图(1) 图(2) (1)若V=90. ①甲车出发2h时，甲车行至 处，乙车行至处；（填""“N"或“MN的中点”） ②甲车行至MN的中点时，乙车行驶的时间为h (2)已知两车在P处相遇 ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上(P不与M,N重合)，直接写出V的取值范围. 》方法透视 考向 中考每年必考，多以小题（选择题、填空题）或解答题(18题)形式出现，核心考查 解读 元一次不等式（组）的解法、解集的表示（数轴表示）、整数解的确定、实际应用（如 方案设计问题)。考向特点是“解法固定，侧重应用”，难度中等，是必得分点，但容 易因不等式两边同乘（除）负数时不变号、解集表示错误、整数解遗漏丢分。 方法 不等式（组）解法规范：①一元一次不等式：步骤与一元一次方程类似（去分母、去 括号、移项、合并同类项、系数化为1)，核心区别是“系数化为1时，若两边同乘（除 技能 负数，不等号方向必须改变”；②一元一次不等式组：先分别解每个不等式，再找解 集的公共部分，牢记解集口诀（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处 8/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 找)。 解集表示与整数解：①数轴表示：空心圆圈表示不包含该点(<、>)，实心圆点表示 包含该点（≤、≥），方向与不等号一致；②整数解：先确定不等式组的解集，再找 出其中的整数，注意“端点值是否包含”，避免遗漏 实际应用：核心是“根据题干限制条件列不等式（组），求整数解，确定方案”，如利 润最大化、耗材最省等问题，需注意变量的实际意义（如人数、件数为正整数），最后 筛选出符合题意的方案。 ◆变式演练· x-2 ≥2a 【变式01】已知关于x的不等式组 3 3x-a<11 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围. (2)若这个不等式组无解，求α的取值范围. 【变式02】已知关于x的不等式组 x-2z2a 3 3x-a<11 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围。 (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围. 【变式03】已知x>0,符号[x表示大于或等于x的最小正整数，如：[0.3]=1，[3.6=4，[5]=5 (1)填空： 一；[6.01=一：若[x=3,则x的取值范围是一 (2)某市的出租车收费标准规定如下：3km以内（包括3km)收费12元，超过3km后，每行驶1km,加收2元 (不足km的按1km计算)，用x表示所行的公里数，y表示行x公里应付车费，则乘车费可按如下的公式 计算： 当0<x≤3（单位：千米）时，y=12(元)； 当x>3(单位：千米)时，y=(元)（用符号[x来取整） (3)某乘客乘车后付费26元，求该乘客所行的路程x(km)的取值范围. 故该乘客所行的路程(km的取值范围：9<x≤10 题●型●训●练 一、单选题 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.若关于x的方程2-3x-9 0有实数根，则实数k的取值范围是() A.k=0 B.k≥-1且k≠0 C.k2-1 D.k>-1 2.若关于x的一个一元一次不等式组的解集为a<r<b(a、b为常数且a<b),则称a+也为这个不等式组 2 2x>x+m 1 的“解集中点”.若关于x的不等式组 的解集中点大于方程3x+。 x-4<m 3 =2x+3的解且小于方程 2x+6=4x的解，则m的取值范围是() A.0<m<1 B.m<0 C.m>1 D.-2<m<1 3.下列属于二元一次方程组的是() 1 y= A. x+y=5 B. x-2 x2+y2=1 y=1 [+y=1 35=1 C. 35 D. x y x-y=0 x-y=0 4.从前有座山，山上有座庙，庙里有60个和尚吃了60个馒头，大和尚一人吃2个，小和尚2人吃一个， 大和尚和小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，下列所列方程正确的是() x+y=60 x+y=60 x+y=60 x+y=60 A. B. 2x+2y=60 2x+=60 C. D. 2 +2y=60 x+y=60 22 5.某汽车生产企业上半年生产电动和燃油两种类型的汽车若干辆.已知电动汽车的数量比两种汽车总数的 一半多11万辆，燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆.设电动汽车为x万辆，燃油汽车为 y万辆.根据题意可列出的方程组是() x=(x+y-11 1 x=(x+y)+11 3 A. 3 1 y=2x+)+2 y=2x+列-2 C. s=+列 D. 1 y=3x+川-2 1 =3x+川+2 6.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停.己知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票 股价的平均增长率为x,则x满足的方程是()· A1+-8B1+-g 11 C.1+2x= 10 D.1+2x= 10 10 9 10/13 专题05方程与不等式综合 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程的解法与应用 题型02 二元一次方程组的解法与综合应用 题型03 一元二次方程的解法与根的判别式 题型04 分式方程的解法与应用 题型05 一元一次不等式（组）的解法与应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01一元一次方程的解法与应用 典例引领 【典例01】解方程： 【答案】 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可． 【详解】解：去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤． 【典例02】码头到货100t，现有甲、乙两装卸作业组同时开始卸货．甲组卸货at，需要时间为小时；乙组卸货，需要时间为小时．问当他们一起卸完所有的货物时，甲组卸货多少吨？ 【答案】甲组卸货40.4t 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键； 设甲组卸货xt，需要时间小时，乙组卸货t，需要时间小时，根据他们一起卸完所有的货物，甲和乙用的时间相等即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲组卸货xt，由题意得． ， ． 答：甲组卸货40.4t． 方法透视 考向解读 核心考查一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），以及简单实际应用（如行程问题、工程问题、计费问题）。考向特点是“基础单一，侧重规范”，难度偏低，是必得分点，但容易因去分母漏乘、移项不变号、实际应用中数量关系找错丢分。 方法技能 核心解法规范（安徽中考重点考查步骤）：① 去分母：两边同乘所有分母的最小公倍数，注意“每一项都要乘”，包括不含分母的项；② 去括号：括号前是负号，括号内各项要变号；③ 移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号；④ 合并同类项：整理为ax=b（a≠0）的形式；⑤ 系数化为1：两边同除以a，注意符号判断。 实际应用技巧：核心是“找等量关系”，先梳理题干中的数量关系（如行程问题：路程=速度×时间；工程问题：工作量=工作效率×工作时间），设未知数（优先设直接未知数，复杂问题设间接未知数），列方程求解，最后检验答案是否符合实际意义（如时间、人数不能为负数）。 易错点规避：去分母漏乘常数项；移项不变号；系数化为1时，符号判断错误；实际应用中，忽略题干中的限制条件，导致答案不符合实际。 变式演练 【变式01】若关于的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先分别求出两个方程的解，再根据两个方程的解相同得出关于的一元一次方程，最后解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵两个方程的解相同， ∴， 解得． 【变式02】在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）： A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 现有21张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． (1)用含的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是___________，裁剪出的底面的个数是___________．（要求：代数式要化为最简形式） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1)， (2)30 【分析】（1）由张用方法，有张用方法，分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出侧面的总数即可求解． 【详解】（1）解：裁剪时张用方法，则裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； （2）解：由题意得：， 解得：， 盒子的个数为：， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 【变式03】【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第135页探究1的部分内容． 探究1：销售中的盈亏 （1）一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是________元和________元，卖这两件衣服总的是________（填“盈利”、“亏损”或“不盈不亏”） 【解决问题】： （2）七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了件，并以每件元的价格销售了一部分，为回笼资金．商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】（1）48，80，亏损， （2）件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是，根据利润=售价-进价，列出关于、的一元一次方程； （1）根据两件衣服的盈利亏损情况找出数量关系．设盈利25%的那件衣服的进价是元，亏损25%的那件衣服的进价是元，根据利润=售价-进价，即可分别得出关于、的一元一次方程，解之即可得出、的值，再用总售价-总进价即可得出结论． （2）设降价前共售出m件，则降价后共售出件，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设盈利25%的那件衣服的进价是元， 根据进价与利润的和等于售价列得方程， 解得， 设另一件亏损衣服的进价为元，它的商品利润是元， 列方程， 解得． 那么这两件衣服的进价是元，而两件衣服的售价为120元． ∴元 所以，这两件衣服亏损8元 故答案为：48；80；亏损． （2）设降价前共售出m件，则降价后共售出件， 根据题意得 解得． 答：降价前共售出140件． 题型02二元一次方程组的解法与综合应用 典例引领 【典例01】解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组整理为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 【典例02】对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 方法透视 考向解读 中考常考，多以解答题（16-17题）形式出现，核心考查二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法），以及与实际应用、代数式求值、几何问题的综合。考向特点是“解法固定，侧重综合”，难度中等，是基础得分点，常结合行程、工程、利润、几何边长计算等场景考查，需注意方程组的解的意义和实际应用的检验。 方法技能 解法选择：① 代入消元法：适用于其中一个方程能快速用一个未知数表示另一个未知数的情况；② 加减消元法：适用于两个方程中同一未知数的系数互为相反数或成倍数关系，加减前可根据系数特点，将方程两边同乘适当的数，使系数相等或互为相反数。 综合应用核心：① 与代数式求值结合：先解方程组，再将解代入代数式求值，或利用整体代入法；② 与几何结合：根据几何图形的边长、面积关系列方程组，求解线段长度；③ 实际应用：找到两个等量关系，列二元一次方程组，检验答案是否符合实际。 易错点规避：加减消元时，符号出错（如方程两边同乘负数，各项要变号）；代入消元时，代入不彻底；忽略方程组的解的检验（尤其是实际应用中）。 变式演练 【变式01】（1）解方程组：． （2）关于、的方程组，若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组的问题，熟练掌握运算法则，利用消元法进行计算是解题的关键． （1）利用加减消元法即可求解． （2）将两个方程相加便可求得，根据得出，即可求解． 【详解】解：（1）， 由①式得：③ 得， 解得： 将代入③得， 解得： 所以原方程组的解为． （2）依题意， 得： ∵ ∴ 解得：． 【变式02】苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2)万公里 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据后轮胎行驶6万公里时报废，可得出该种汽车每行驶1万公里时后轮胎的磨损为； （2）根据“原前轮胎行驶x万公里的磨损”+“交换为后轮胎后行驶y万公里的磨损”和“原后轮胎行驶x万公里的磨损”+“交换为前轮胎后行驶y万公里的磨损”，得到方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵该种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废， ∴该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为， 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴， 即前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 【变式03】2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件，1辆大货车一次满载运输400件 (2)够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． （1）设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车辆，大货车辆，列出方程，然后根据、均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品． （2）解：该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下： 设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得： 又，均为正整数， 当，；当，； 或 共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 题型03一元二次方程的解法与根的判别式 典例引领 【典例01】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． 先移项，再提公因式进行解方程即可． 【详解】解： 或， 解得，． 【典例02】关于的一元二次方程有实数根．求的取值范围；如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】；的值为 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；利用前面的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：， 根据题意得， 解得； ∵是符合条件的最大整数， ∴， 方程变形为， 解得：， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 方法透视 考向解读 中考每年必考，多以解答题（17-18题）形式出现，核心考查一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式（Δ=b²-4ac）的应用、根与系数的关系（韦达定理）。考向特点是“解法灵活，侧重综合”，难度中等偏上，是拉开分差的关键，常结合分式、几何问题、二次函数综合考查，需重点突破含参问题。 方法技能 解法选择（适配安徽中考）：① 因式分解法：优先使用，适用于能快速因式分解的方程；② 直接开平方法：适用于形如(x+a)²=b（b≥0）的方程；③ 配方法：安徽中考偶尔考查，适用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程，或需要利用顶点式解题的场景；④ 公式法：万能方法，适用于所有一元二次方程，牢记求根公式（a≠0），计算时注意符号和根号内的取值。 根的判别式应用：① 判断方程根的情况（Δ>0：两个不相等的实数根；Δ=0：两个相等的实数根；Δ<0：无实数根）；② 含参问题（重点）：根据根的情况求参数的取值范围（如方程有实数根，需Δ≥0，同时注意二次项系数a≠0）；③ 检验方程是否有实数根，避免无效解题。 韦达定理应用：常用于代数式求值，无需解方程，简化计算；注意：使用韦达定理的前提是方程有实数根（Δ≥0）。 变式演练 【变式01】选择适当的方法解方程； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ， 或， 解得：； （2）解：， ， 或， 解得：． 【变式02】定义：设，是方程的两个实数根，其中．若，则称这个方程为“俏方程”． (1)方程 ________“俏方程”（用“是”或“不是”填空）； (2)若关于x的方程是“俏方程”． ①不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为________； ②求m的取值范围． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②或 【分析】（1）求得方程的两个根分别为，，，不满足，故判定不是即可； （2）①根据题意，得，解得，故判定不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为； ②当时，此时，根据方程是“俏方程”，得，解答即可；当时，此时，根据方程是“俏方程”，得，解答即可； 本题考查了一元二次方程的解法，新定义方程，熟练掌握解方程的方法，正确理解新定义方程是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程， 得， 故，，不满足， 故方程不是“俏方程”， 故答案为：不是； （2）①解：根据题意，得， 解得， 故不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为， 故答案为：； ②解：当时，此时， 由方程是“俏方程”，得， 解得； 当时，此时， 由方程是“俏方程”，得， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 【变式03】对于实数m，n，定义一种运算“※”为：． (1)求的值； (2)如果关于x的方程有两个相等的实数根，求实数a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的运算，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况求参数； （1）根据定义，这种运算等于这两个数的乘积加上第二个数，列式计算即可； （2）先化简方程，根据方程有两个相等的实数根得到，进而求出的值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原方程可变形为， ∴， 整理得：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ， ∴． 题型04分式方程的解法与应用 典例引领 【典例01】解方程：． 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘，得：， 解得：． 检验：当时，， 是原分式方程的解． 【典例02】湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力． 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小张跑步的平均速度； (2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由． 【答案】(1)小张跑步的平均速度为180米/分 (2)小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由见解析 【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为米/分，根据时间路程速度结合骑车的时间比跑步的时间少用了5分钟，列出分式方程，解方程即可； （2）根据时间路程速度可求出小张跑步及骑车的时间，再求出总耗时29分钟，然后与30分钟比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：小张跑步的平均速度为180米/分； （2）解：小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由如下： 小张跑步的时间为：（分钟），骑车的时间为：（分钟）， ∵（分钟），， ∴小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场 方法透视 考向解读 中考常考，多以解答题（16-17题）形式出现，核心考查分式方程的解法（去分母转化为整式方程）、增根的判断与处理、实际应用（如行程、利润、浓度问题）。考向特点是“步骤繁琐，侧重易错点规避”，难度中等，容易因漏乘最简公分母、忽略增根、实际应用中数量关系找错丢分，是二轮复习的重点突破点。 方法技能 核心解法规范（必记步骤）：① 去分母：两边同乘最简公分母（各分母的最简公因式），注意“每一项都要乘”，将分式方程转化为整式方程；② 解整式方程：按一元一次或一元二次方程的解法求解；③ 检验（关键步骤，安徽中考必查）：将解得的未知数的值代入最简公分母，若公分母不为0，是原方程的解；若公分母为0，是增根，需舍去。 增根问题处理：增根是分式方程转化为整式方程的解，但使原分式方程的分母为0，需牢记“增根一定满足整式方程，且使最简公分母为0”，可用于求含参分式方程的参数取值（如已知分式方程有增根，先求增根，再代入整式方程求参数）。 实际应用技巧：与一元一次方程、二元一次方程组的实际应用思路一致，重点是找等量关系，注意“分式方程的解必须使分母不为0，且符合实际意义”，避免出现增根或无效答案。 变式演练 【变式01】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根； （2）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程无解； （2）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 【变式02】在学习“分式方程的应用”时，王老师给出了如下的例题，小明和小颖两名同学都列出了对应的方程． 例：某县城修一条通往市区的快速通道，有甲、乙两个工程队一起施工．已知甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且甲队每天比乙队少修，求乙队每天修路的长度． 小明：  小颖： 根据以上信息，解答下列问题： (1)①小明同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：________； ②小颖同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：_________； (2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题． 【答案】(1)①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用时间相等； ②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修； (2)若选小明的方法，乙队每天修路 【分析】本题考查分式方程的工程问题，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出等量关系式是解题的关键． （1）小明的方法是：设甲队每天修的路为x米，则甲队修路与乙队修路所用时间相等；小颖的方法是：设甲队修路所用时间为y天，乙队每天比甲队多修，以此数量关系列出两个分式方程； （2）解出分式方程即可． 【详解】（1）解：①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用的时间相等； ②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修； （2）解：若选小明的方法，设甲队每天修， 则有， 解这个分式方程，得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：乙队每天修路． 【变式03】周末骑自行车去郊游成了新的时尚．某骑行社团欲团购一批自行车，已知每辆A型自行车的价格是每辆B型自行车价格的1.2倍，用6000元单独购买A型自行车的辆数比单独购买B型自行车的辆数少1辆．求每辆B型自行车的价格． 甲同学所列的方程为；乙同学所列的方程为． (1)甲同学所列方程中的x表示________，乙同学所列方程中的y表示________． (2)请你选择其中一位同学的方法完整地解答这个问题． 【答案】(1) 每辆B型自行车的价格（单位：元）；用6000元单独购买A型自行车的辆数 (2) 解析 【分析】（1）根据方程中的等量关系即可求解； （2）根据解分式方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵用元单独购买型自行车的辆数比单独购买型自行车的辆数少辆， ∴甲同学所列的方程为， ∴表示型自行车单价（单位：元）， ∵型自行车每辆的价格是型自行车每辆价格的倍， ∴乙同学所列的方程为， ∴表示用元单独购买型自行车的辆数； （2）解：若选择甲同学的：， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，且符合题意， ∴每辆型自行车的价格是元； 若选择乙同学的：， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，且符合题意， ∴单独购买型自行车的辆数是辆， ∴， ∴每辆型自行车的价格是元 题型05一元一次不等式（组）的解法与应用 典例引领 【典例01】明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 【答案】 【分析】先解出第一个不含参数的不等式，再用参数表示第二个不等式的解集，最后结合已知的不等式组解集，利用“同大取大”的原则来确定参数的取值范围． 【详解】解：由题意，得 解不等式①，得， 解不等式②，得． 不等式组的解集为， ， ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法与含参数不等式组的解集分析，解题关键是熟练掌握不等式组解集法则，并能结合已知解集反向推导参数的取值范围． 【典例02】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 方法透视 考向解读 中考每年必考，多以小题（选择题、填空题）或解答题（18题）形式出现，核心考查一元一次不等式（组）的解法、解集的表示（数轴表示）、整数解的确定、实际应用（如方案设计问题）。考向特点是“解法固定，侧重应用”，难度中等，是必得分点，但容易因不等式两边同乘（除）负数时不变号、解集表示错误、整数解遗漏丢分。 方法技能 不等式（组）解法规范：① 一元一次不等式：步骤与一元一次方程类似（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），核心区别是“系数化为1时，若两边同乘（除）负数，不等号方向必须改变”；② 一元一次不等式组：先分别解每个不等式，再找解集的公共部分，牢记解集口诀（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找）。 解集表示与整数解：① 数轴表示：空心圆圈表示不包含该点（<、>），实心圆点表示包含该点（≤、≥），方向与不等号一致；② 整数解：先确定不等式组的解集，再找出其中的整数，注意“端点值是否包含”，避免遗漏 实际应用：核心是“根据题干限制条件列不等式（组），求整数解，确定方案”，如利润最大化、耗材最省等问题，需注意变量的实际意义（如人数、件数为正整数），最后筛选出符合题意的方案。 变式演练 【变式01】已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【变式02】已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【变式03】已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围： 题●型●训●练 一、单选题 1．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 2．若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组的解集、方程的解和方程的解，再根据关于的不等式组 的解集中点大于方程的解且小于方程的解，即可得到的取值范围，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程的方法． 【详解】由可得：， 方程的解为， 方程的解为， ∵关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程 的解， ∴， 解得， 故选：． 3．下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组； D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 4．从前有座山，山上有座庙，庙里有60个和尚吃了60个馒头，大和尚一人吃2个，小和尚2人吃一个，大和尚和小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，根据题意，总人数为60，总馒头数也为60．大和尚每人吃2个，小和尚每2人吃1个，据此建立方程组． 【详解】人数关系：大和尚人数x与小和尚人数y之和为60，即； 馒头数量关系：大和尚共吃馒头数为，小和尚共吃馒头数为（因2人吃1个，故每人吃个），总馒头数为60，即； 综上，正确方程组为选项B， 故选：B． 5．某汽车生产企业上半年生产电动和燃油两种类型的汽车若干辆．已知电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆，燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆．设电动汽车为x万辆，燃油汽车为y万辆．根据题意可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实际问题与二元一次方程组．分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】解：设电动汽车万辆，燃油汽车万辆， ∵电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆， ∴， ∵燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆， ∴， 联立可得：， 故选：C． 6．股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．先设原价为a元，可得跌停后的价格，再根据增长两天回到原价列出方程即可． 【详解】解：设原价为a元，则跌停后的价格，根据题意，得 ， 即． 故选：B． 7．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 8．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，先将分式方程化成整式方程，再分两种情况：方程无解，原分式方程有增根，据此求解即可，正确分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，即，整式方程无解； 当，即时，分式方程无解， 把代入，得， 解得， ∴， 故选：． 9．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于的分式方程方程有整数解， ∴或或， 解得：或或或或或， ∵， ∴， ∵， ∴或或或， ∴满足条件的整数之和为， 故选：C． 二、填空题 10．使等式成立的x的值为或；使等式成立的x的值为或；使等式成立的x的值为4或．根据上述材料，则： （1）使等式成立的x的值为_____； （2）使等式成立的x的值为_____． 【答案】 或 或 【分析】本题考查等式的性质，解一元一次方程，理解材料是解题的关键： （1）根据材料即可得出答案； （2）先将式子变形为，原方程可化为，得出或，求解即可． 【详解】（1）使等式成立的x的值为或， 故答案为：或； （2）∵， ∴原方程可化为， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 11．已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 得：，即：； ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 12．已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 13．若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．利用不等式组的整数解个数来列出关于a的不等式组是解题的关键． 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而得出a的范围． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∵不等式组的整数解共有三个， ∴这三个整数解为：2，3，4， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 14．某商店对出售的，两种商品开展促销活动，活动方案如表： 商品 标价/元 每件商品出售价格 200 按标价降价 400 按标价降价 (1)商品降价后的出售价格为_______元．（用含的代数式表示） (2)小华购买商品20件，商品10件，共花费6000元，求的值． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式和方程是解题的关键： （1）根据现价等于标价乘以，列出代数式即可； （2）根据总价等于单价乘以数量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，商品降价后的出售价格为元； （2）解：由题意，得， 解得． 15．随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元． (1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案； (3)若该超市销售1个型玩具可获利8元，销售1个型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案一；购进型玩具6个，型玩具5个；方案二：购进型玩具4个，型玩具10个；方案三：购进型玩具2个，型玩具15个 (3)购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元，根据“2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元”即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型玩具个，购进型玩具个，根据题意可得，再由m，n均为正整数，即可得出结论； （3）分别将三个方案的利润求出，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元， 由题意，得 解得， 答：型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元； （2）设购进型玩具个，购进型玩具个， 由题意，得， 解得， 因为m，n均为正整数， 所以或或， 所以共有3种购买方案， 方案一：购进型玩具6个，型玩具5个； 方案二：购进型玩具4个，型玩具10个； 方案三：购进型玩具2个，型玩具15个； （3）方案一可获得利润：（元）， 方案二可获得利润：（元）， 方案三可获得利润：（元）， 因为， 所以购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元． 16．为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【答案】需准备的预算金额为1950元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元，根据“购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元”列二元一次方程组，解方程组求出笔记本和马克杯的单价，再计算预算金额即可． 【详解】解：设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元．根据题意，得 ， 解得， 所以，准备的预算金额（元）． 答：需准备的预算金额为1950元． 17．有一根直尺短边长，长边长，还有一块锐角为的直角三角形纸板，它的斜边长为，如图，将直尺的短边与直角三角形纸板的斜边重合，且点与点重合．将直尺沿射线方向平移，设平移的长度为，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为． (1)当直角顶点落在直尺的长边上时，______． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为？若存在直接写出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)4或8 (2) (3)存在， 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，梯形的面积，分类思想的应用，方程思想的应用，二次函数的应用，综合性较强，解题的关键是对于每个涉及到的知识点和性质较为熟悉，能够灵活运用． （1）根据等腰三角形的高的性质求解即可； （2）设直尺与直角三角形的直角边交于、两点，分情况讨论：①当时，②当时；③当时，用含的式子表示梯形各边，再根据梯形的面积公式列出式子化简即可； （3）根据重叠部分面积为，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，，，直角三角形的锐角为， 当直角顶点落在直尺的点边上时，为等腰直角的高， ， ， 当直角顶点落在直尺的点D边上时，为等腰直角的高， ， 故答案为：4或8； （2）解：设直尺与直角三角形的直角边交于、两点， ①当时，如图1所示， 由题意可知：，， ； ②当时，如图2，过点作于点， ，，，，， ； ③当时，如图3， ，， ， 综上，． （3）解：当时，， 所以当时，必然大于4，即， 解得， 所以当时，阴影部分面积为． 18．如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2)四边形与的面积不能相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 19．某班班主任为了表扬表现优秀的学生，在文具店购买了A，B两类笔记本，A类笔记本比B类笔记本每本贵3元，且用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，求A，B两类笔记本的单价． 【答案】A类笔记本的单价是15元，B类笔记本的单价是12元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A类笔记本的单价是x元，则B类笔记本的单价是元，根据用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设A类笔记本的单价是x元，则B类笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：A类笔记本的单价是15元，B类笔记本的单价是12元． 20．用蒸发的方法可以提高溶液的浓度．某化学实验室里有一瓶质量为40克的食盐水，其中含食盐4克，蒸发掉多少克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍？ 【答案】蒸发掉20克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍 【分析】本题考查分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．设蒸发掉克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍．根据前后的浓度关系列出方程求解即可，注意检验． 【详解】解：设蒸发掉克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍． 依题意，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解 答：蒸发掉20克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍 21．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 22．为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元 (2)有5种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用， （1）设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲品牌羽毛球x个，购买乙种品牌品牌羽毛球个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，由题意得 ， 解得：， 答：每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元； （2）解：设购买甲种品牌羽毛球x个，购买乙种品牌羽毛球个． 由题意得：， 解得：， 且均为正整数， ∴可以为：， ∴购买甲种品牌羽毛球106个，乙种羽毛球21个； 购买甲种品牌羽毛球108个，乙种羽毛球18个； 购买甲种品牌羽毛球110个，乙种羽毛球15个； 购买甲种品牌羽毛球112个，乙种羽毛球12个； 购买甲种品牌羽毛球114个，乙种羽毛球9个， ∴共有5种购买方案． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $