专题04 实数与代数式综合（题型专练）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04实数与代数式综合 内●容●导●航 第部分题型破译微观解剖，精细教学 行典明引领 自方法透视 自变式演练 题型01实数的概念与性质 题型02实数的混合运算 题型03代数式的化简与求值 题型04因式分解 题型05分式的化简与求值 题型06二次根式的化简与运算 第二部分题型训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01实数的概念与性质 ◆典例引领 【典例01】下列计算正确的是（) A.-a)=-a B.-a3=-a c.a3.(-a'=a D.（-a2'=a 【典例01】下列各数中，比-2小的是() B.-元 C.-1 D.0 》方法透视 向 中考每年必考，多以选择题、填空题形式出现，核心考查实数的分类、相反数、绝对值 解读 倒数、平方根与立方根、无理数的估算。考向特点是“基础单一，侧重辨析”，难度偏 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 低，是必得分点，但需注意概念辨析和易错点规避，尤其容易在“平方根与算术平方根” “无理数判断”上丢分。 方法 核心概念辨析：牢记实数分类，无理数是“无限不循环小数”（常见类型：含π的数、 开方开不尽的数、无限不循环小数，如0.1010010001…)，注意“分数、有限小数、无 技能 限循环小数均为有理数”；区分平方根与算术平方根（非负，如4的算术平方根是2）， 立方根无正负之分。 核心性质应用：相反数、倒数、绝对值，可快速求解基础计算题；无理数估算，关键是 确定无理数所在的整数范围，用于比较大小或估算取值。 易错点规避：0没有倒数；负数没有平方根，但有立方根；绝对值的化简需先判断符号， 避免直接去掉绝对值符号出错；估算无理数时，无需精确计算，只需确定范围即可。 ◆变式演练 【变式01】比较大小：52（填“>”、“<"或“="）. 【变式02】我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式， 称为海伦一一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=a+b+C,那么三角形的面积 2 为S=√p(p-a)(p-b)(p-c)·若一个三角形的三边长分别为3,3,4，其面积S介于两个连续整数n和 n+1之间，则n的值为· 【变式03】己知x=1+√28，若对x取近似值保留到个位，则x 题型02实数如的混合运算 ◆典例领 【典例01】计算： （-5-+-2 【典别2】计第：5-2-(+2x6. 2/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 《。方法透视 考向 核心考查实数的加减、乘除、乘方、开方运算，结合绝对值、相反数、负整数指数幂、 零指数幂、特殊角的三角函数值。考向特点是“计算量适中，侧重运算顺序和法则”， 解读 难度中等，是必得分点，但容易因运算顺序错误、符号失误、公式混淆丢分。 方法 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减：有括号的先算括号内的（先小括 号，再中括号，最后大括号)；同级运算从左到右依次进行。 技能 核心公式应用：零指数幂(P=1,a≠0)、负整数指数幂(an=产，a≠0，n为正整 数)，避免混淆“负指数幂”与“负数的幂”；特殊角的三角函数值，必须熟练记忆， 避免代入错误。 解题技巧：计算前先化简（如绝对值化简、二次根式化简），再计算；注意符号判断（尤 其是负号的个数、乘方的符号)，计算过程中分步验算，减少失误；结果需化为最简形 式（如无理数保留根号，分数化为最简分数）。 ◆变式演练◆ 【式01】计算：(-2+2014+z-+tam60. 式2]计算：(-+-+ 【变式3】计第：(x-3++列2sm45-8。 ◆题型03代数式的化简与求值 ◆典例领◆ 【典例01】先化简，再求值：(a+b)2+2b(a-b)-6ab,其中a=2,b= 2 【奥刚02】先化简，再求值：2x-小-2+训x-2引，其中月 原式=12-3x(13 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《。方法透视 考向 核心考查整式的加减、乘除、幂的运算，代数式的化简（去括号、合并同类项），代入 解读 求值（含字母取值、整体代入）。考向特点是“化简为主，求值为辅”，常结合分式、 二次根式综合考查，难度中等，侧重运算法则的应用和化简的规范性，是基础得分点。 方法 整式运算核心：幂的运算法则（同底数幂相乘：a·=叶n;同底数幂相除： 技能 am÷a严=a;幂的乘方：（am°=am;积的乘方：(ab)”=b),避免法则混淆（如 误将同底数幂相加写成指数相加)；去括号法则，合并同类项。 代入求值技巧：先化简代数式，再代入求值；若字母取值含无理数或分式，代入后需化 简；遇到“字母取值不确定”或“字母满足某个等式”时，优先用“整体代入法”易错 点规避：去括号时，负号的变号容易遗漏；合并同类项时，误将不同类项合并；幂的运 算中，负指数幂、零指数幂的符号判断错误。 ◆变式演练· 【变式01】先化简，再求值：(-2x+y)2-(2x-y)y+2x)-6y÷2y,其中x=-1,y=2. 【点晴】此题考查了整式的混合运算一化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键 【变式02】先化简，再求值：a(a-2b)+(a+b)2-(a+b)(a-b),其中a=1,b=-2 【点晴】本题考查了单项式乘以多项式法则，完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则等知识，能灵 活运用相关知识进行正确的化简是解题的关键 [变式03】先化简，再求值：[x-20+(x-2b2b+-2x2x-b]÷2x,其中x=6=2 【点晴】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键 >题型04因式分解 ◆典例引领● 【典例01】把a3-9a分解因式，结果正确的是() A.a(a+3)a-3)B.aa2-9 C.a(a-3)2 D.a(a+3)2 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例02】已知三个实数a、b、c满足2a+b=0(a<0),4a+4b+c≤0，则() A.c≥0，b2>acB.c<0,b2≤ac C.c>0,b2≤ac D.c≤0，b22ac 》方法透视 既是基础小题（选择题、填空题）的考查内容，也是分式化简、代数式求值、二次函数 因式分解法的核心工具，核心考查提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）， 解读 偶尔考查十字相乘法（仅限简单题型）。考向特点是“方法灵活，侧重应用”，难度中 等，掌握因式分解的方法是后续综合题解题的关键。 方法 因式分解步骤：①先提取公因式（公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低 次幂的积，如2a2b+4ab2的公因式是2ab),提取公因式后，若剩余部分仍可因式分解， 技能 继续分解；②再套用公式（平方差公式：-b=(a+a-b;完全平方公式： ±2ab+b=(a±))，注意公式的适用条件（平方差公式适用于二项式，完全平 方公式适用于三项式)。 关键技巧：遇到二次三项式，先看是否能提取公因式，再看是否符合完全平方公式，若 都不符合，可尝试简单的十字相乘法（如x2+3x+2=(x+1)(x+2));因式分解要彻底（直 到每个因式不能再分解为止)，避免分解不彻底丢分（如x4-1分解为(x2+1)(x2-1)是 不彻底的，需继续分解为(x2+1)(x+1)(x-1))。 应用场景：因式分解可用于分式化简（约分）、代数式求值（提取公因式后整体代入）、 解一元二次方程（因式分解法），二轮复习需重点掌握“因式分解与分式化简”的联动 应用。 ◆变式演练 【变式01】因式分解：x3-4x= 【变式02】分解因式：3mm2-12m= 【变式03】【问题提出】 因式分解：(1+x)+x1+x)+x1+x)2…+x1+x)+x1+x)” 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ①(1+x)+x(1+x)=(1+x)(1+x)=(1+x)月 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②由①知(1+x)+x(1+x)=(1+x)2,继续添加下一项得：(1+x)+x(1+x)2=(1+x)2(1+x)=(1+x) (1)仿照②，把代数式1+x)+x(1+x)+x(1+x)+x(1+x)进行因式分解. 【发现规律】 (2)推广到一般形式：(1+x+x(1+x)+x(1+x2+x1+x)”+x(1+x)”=一 【问题解决】 (3)化简：a+a1+2)+a1+2)2+a1+23+…+a1+2)2025= 320261 故答案为： 2a-20 题型05分式的化简与求值 x+3 【典例01】先化简，再求值： 2x-4x+2- 5 x-2 ,其中x=3+√2 【典例02】化简： x2-4x+4 ②方法透视 考向 中考常考，多以解答题(16题)形式出现，核心考查分式的加减、乘除、混合运算，分 式的化简求值，结合因式分解、整式运算综合考查。考向特点是“步骤繁琐，侧重规范 解读 性”，难度中等偏上，容易因分式有意义的条件、通分约分失误、符号错误丢分，是二 轮复习的重点突破点之一。 方法 分式运算核心：先因式分解（分子、分母分别因式分解），再约分（约去分子、分母的 公因式)，最后通分（加减运算时，找最简公分母）；分式乘除运算，将除法转化为乘 技能 法（乘以除数的倒数），再约分计算；分式加减运算，同分母分式直接加减分子，异分 母分式先通分再加减。 易错点核心规避：①分式有意义的条件（分母不能为0），代入求值前需先判断字母取 值是否使分母为0，避免无意义；②通分时分母要乘多少，分子也要乘多少，避免分子 漏乘；③约分只能在分子、分母为因式乘积形式时进行，不能直接约分单个项 求值技巧：先化简分式（化为最简分式），再代入求值；若字母取值为无理数或分式， 代入后需化简；若题干给出“分式的值为0”，则分子为0且分母不为0，可据此求字 母取值。 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆变式演练· 【变式01】先化简，再求值： 【变式02】先化简，再求值 品 a2-4a+4 a-1 ,其中a=3. 【变式03】化简求值.先化简 2x+2 r-4+4,再从0,1,2，中选择一个合适的数代入并求值。 x2-2x 十 题型06一次根式的化简与运算 ◆典例领◆ 【典例01】计算：(-12o2+1-tan60-2+(-5° 奥刚2】计第：⑧-巾+ 》方法透视 考狗 核心考查二次根式的概念、性质、化简、加减乘除运算，结合实数运算、代数式求值综 合考查。考向特点是“基础规范，侧重化简”，难度偏低，是必得分点，但容易因二次 解读 根式有意义的条件、化简不彻底、运算顺序错误丢分。 方法 核心概念与性质：二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）；化简原则（化为最简 二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，；二次根式的性质 技能 FE-伍=66，层-焉，其中a≥0.b0) 运算技巧：二次根式加减，先将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式（只有被 开方数相同的二次根式才能合并；二次根式乘除，先化简再运算，结果化为最简二次根 式；避免先运算再化简，减少计算量。 易错点规避：二次根式有意义的条件容易忽略；化简时，被开方数含分母的，需分母有 理化；√a2的化简需判断a的符号，避免直接写成a。 ◆变式演练 7/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式01】计算： 周-s+网5- 【变式2】计第：(5-八+ -2cos30°+√12 【变式03】观察下列等式： ①3-2√2=(N2-1)2: ②5-2√6=(5-√2)2； ③7-2V12=(√4-√3)2； … 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式：-；第n个等式：- (2)计算：V5-2√6+√7-212+V9-4V5+V11-2W30. 题●型●训●练 一、单选题 1.下列各式中，计算结果等于9a‘的是() A.(-3a) B.（-3a）3 c.（-9ay D.(3a2 2.从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图 甲)，然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公 式为() A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+b)=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.若x=7,y=5,且x+y>0,那么x-y的值是() A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12 4.下列计算正确的是() A.m2+m=m B.m.m=m C.m÷m3=m2 D.(m2)3=m8 5.下列等式成立的是() A.2ax2b=2abB.V5+√2=√5 C.ma=m"n"-n D.(x-y)(x+y)=x2-y 6.对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号Max{a,b;表示a、b中的较大值，如：Max{2,4}=4,按照 这个规定，方程Mrx-=2x+l的解为（) A.1-√2 B.2-√2 C.1+√2或1-√2D.1+√2或-1 7.若不论x取何值，不等式(x+3a-1)(x-a)20都成立，则a的值为() A.0 B. c D.I 4 8.如图，数轴上的无理数a被挡住了，则数a可能是() -2-105 3 A.√2 B.√2 C.5 D.-5 二、填空题 9.分解因式：4x2-16=一 10.2的平方银是一 1业已加号专号0，则9的雀为 12.比较大小：32 2√5（填“>，<，="). 13.若式子x+1有意义，则x的取值范围是 x-1 三、解答题 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.计算： +8-(π-3.14°+V2-1 15.化简： x2-4x+1x x2+2x+1x-2x-1 16.计算： -)+V2x5. 17.先化简，再求值： 2x-8y 1 4-16y,其中x+4y= 2)a2-4ab+4 3ab-6b2 -,其中a=-2,b=2. 18.计算：（π-4）°-2cos45°-V2-D0 日化简：火中= 20.先化简，再求值：9二2+2，其中x2-4r+4+5==0. y2 x+3'y 10/10 专题04实数与代数式综合 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 实数的概念与性质 题型02 实数的混合运算 题型03 代数式的化简与求值 题型04 因式分解 题型05 分式的化简与求值 题型06 二次根式的化简与运算 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 实数的概念与性质 典例引领 【典例01】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 【典例01】下列各数中，比小的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了实数大小的比较，根据实数大小的比较方法，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 方法透视 考向解读 中考每年必考，多以选择题、填空题形式出现，核心考查实数的分类、相反数、绝对值、倒数、平方根与立方根、无理数的估算。考向特点是“基础单一，侧重辨析”，难度偏低，是必得分点，但需注意概念辨析和易错点规避，尤其容易在“平方根与算术平方根”“无理数判断”上丢分。 方法技能 核心概念辨析：牢记实数分类，无理数是“无限不循环小数”（常见类型：含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数，如0.1010010001…），注意“分数、有限小数、无限循环小数均为有理数”；区分平方根与算术平方根（非负，如4的算术平方根是2），立方根无正负之分。 核心性质应用：相反数、倒数、绝对值，可快速求解基础计算题；无理数估算，关键是确定无理数所在的整数范围，用于比较大小或估算取值。 易错点规避：0没有倒数；负数没有平方根，但有立方根；绝对值的化简需先判断符号，避免直接去掉绝对值符号出错；估算无理数时，无需精确计算，只需确定范围即可。 变式演练 【变式01】比较大小：______2（填“”、“”或“”）． 【答案】> 【分析】该题考查了实数比较大小．根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根越大． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：>． 【变式02】我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．若一个三角形的三边长分别为3，3，4，其面积S介于两个连续整数n和之间，则n的值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 依据题意，先计算出三角形的面积为，再估算的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由题意，可得， ， ， ， 故答案为： 【变式03】已知，若对x取近似值保留到个位，则______． 【答案】6 【分析】利用夹逼法估算后即可求得答案． 本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 题型02 实数的混合运算 典例引领 【典例01】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、乘方进行计算即可． 【详解】解： ． 【典例02】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的混合运算，二次根式的性质，零次幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先化简绝对值，利用二次根式的性质化简，零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解：原式． 方法透视 考向解读 核心考查实数的加减、乘除、乘方、开方运算，结合绝对值、相反数、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值。考向特点是“计算量适中，侧重运算顺序和法则”，难度中等，是必得分点，但容易因运算顺序错误、符号失误、公式混淆丢分。 方法技能 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号）；同级运算从左到右依次进行。 核心公式应用：零指数幂（）、负整数指数幂（，a≠0，n为正整数），避免混淆“负指数幂”与“负数的幂”；特殊角的三角函数值，必须熟练记忆，避免代入错误。 解题技巧：计算前先化简（如绝对值化简、二次根式化简），再计算；注意符号判断（尤其是负号的个数、乘方的符号），计算过程中分步验算，减少失误；结果需化为最简形式（如无理数保留根号，分数化为最简分数）。 变式演练 【变式01】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算,零指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 根据乘方，绝对值，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式02】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 【变式03】计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 题型03 代数式的化简与求值 典例引领 【典例01】先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 代入 和 得 原式 【典例02】先化简，再求值：，其中 【答案】；13 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先计算整式的四则混合运算，然后再代入计算后的结果求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 方法透视 考向解读 核心考查整式的加减、乘除、幂的运算，代数式的化简（去括号、合并同类项），代入求值（含字母取值、整体代入）。考向特点是“化简为主，求值为辅”，常结合分式、二次根式综合考查，难度中等，侧重运算法则的应用和化简的规范性，是基础得分点。 方法技能 整式运算核心：幂的运算法则（同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂的乘方：；积的乘方：），避免法则混淆（如误将同底数幂相加写成指数相加）；去括号法则，合并同类项。 代入求值技巧：先化简代数式，再代入求值；若字母取值含无理数或分式，代入后需化简；遇到“字母取值不确定”或“字母满足某个等式”时，优先用“整体代入法”易错点规避：去括号时，负号的变号容易遗漏；合并同类项时，误将不同类项合并；幂的运算中，负指数幂、零指数幂的符号判断错误。 变式演练 【变式01】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】原式括号中利用完全平方公式，平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键 【变式02】先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【分析】先根据单项式乘以多项式法则，完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则进行化简，然后把a，b的值代入计算即可． 【详解】解：原式= =   =， 当，时， 原式=． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式法则，完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则等知识，能灵活运用相关知识进行正确的化简是解题的关键 【变式03】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据整式的混合计算法则先化简，然后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键 题型04因式分解 典例引领 【典例01】把分解因式，结果正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，提取公因式，再用平方差公式进行分解，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故选：A． 【典例02】已知三个实数a、b、c满足（），，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，因式分解等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先由得到，然后代入，根据不等式的性质，等式的性质化简判断的符号；，再由，判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 而， ∴， ∴ 故选：B． 方法透视 考向解读 既是基础小题（选择题、填空题）的考查内容，也是分式化简、代数式求值、二次函数因式分解法的核心工具，核心考查提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），偶尔考查十字相乘法（仅限简单题型）。考向特点是“方法灵活，侧重应用”，难度中等，掌握因式分解的方法是后续综合题解题的关键。 方法技能 因式分解步骤：① 先提取公因式（公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积，如2a²b+4ab²的公因式是2ab），提取公因式后，若剩余部分仍可因式分解，继续分解；② 再套用公式（平方差公式：；完全平方公式：），注意公式的适用条件（平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式）。 关键技巧：遇到二次三项式，先看是否能提取公因式，再看是否符合完全平方公式，若都不符合，可尝试简单的十字相乘法（如x²+3x+2=(x+1)(x+2)）；因式分解要彻底（直到每个因式不能再分解为止），避免分解不彻底丢分（如x⁴-1分解为(x²+1)(x²-1)是不彻底的，需继续分解为(x²+1)(x+1)(x-1)）。 应用场景：因式分解可用于分式化简（约分）、代数式求值（提取公因式后整体代入）、解一元二次方程（因式分解法），二轮复习需重点掌握“因式分解与分式化简”的联动应用。 变式演练 【变式01】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解． 【详解】解， 故答案为：． 【变式02】分解因式：________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式，公式法因式分解是关键． 先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式03】【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【答案】1） ；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律，解题的关键是从简单情形出发，找出规律，解决问题． （1）直接利用题意规律求出结果； （2）利用题意规律求出结果； （3）利用提公因式和题意规律求出结果． 【详解】解：（1） ． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． 题型05分式的化简与求值 【典例01】先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算括号里面的，进行通分，然后根据分式除法法则，将除法转化为乘法计算，再进行约分， 过程中能进行因式分解的进行因式分解，最后将的值代入求值时即可． 【详解】解： ， ， 时，原式． 【典例02】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先利用完全平方公式、提公因式法进行分解因式，括号内通分，再进行除法计算，即可得答案． 【详解】解：原式 ． 方法透视 考向解读 中考常考，多以解答题（16题）形式出现，核心考查分式的加减、乘除、混合运算，分式的化简求值，结合因式分解、整式运算综合考查。考向特点是“步骤繁琐，侧重规范性”，难度中等偏上，容易因分式有意义的条件、通分约分失误、符号错误丢分，是二轮复习的重点突破点之一。 方法技能 分式运算核心：先因式分解（分子、分母分别因式分解），再约分（约去分子、分母的公因式），最后通分（加减运算时，找最简公分母）；分式乘除运算，将除法转化为乘法（乘以除数的倒数），再约分计算；分式加减运算，同分母分式直接加减分子，异分母分式先通分再加减。 易错点核心规避：① 分式有意义的条件（分母不能为0），代入求值前需先判断字母取值是否使分母为0，避免无意义；② 通分时分母要乘多少，分子也要乘多少，避免分子漏乘；③ 约分只能在分子、分母为因式乘积形式时进行，不能直接约分单个项 求值技巧：先化简分式（化为最简分式），再代入求值；若字母取值为无理数或分式，代入后需化简；若题干给出“分式的值为0”，则分子为0且分母不为0，可据此求字母取值。 变式演练 【变式01】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式等运算，解题的关键是掌握分式的化简步骤． 先对分式进行化简，再利用完全平方公式整理等式，最后代入可得解． 【详解】解： ， ∵ ∴， 所以，原式． 【变式02】先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，最后将给定的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解、约分等知识，熟练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【变式03】化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，0 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 本题先将括号里面的式子通分并进行计算，然后将因式分解，然后按照加减运算法则进行计算，然后即可求解． 【详解】解： 原式 ； 当时，； 题型06二次根式的化简与运算 典例引领 【典例01】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂，再化简绝对值，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【典例02】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质、绝对值、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 方法透视 考向解读 核心考查二次根式的概念、性质、化简、加减乘除运算，结合实数运算、代数式求值综合考查。考向特点是“基础规范，侧重化简”，难度偏低，是必得分点，但容易因二次根式有意义的条件、化简不彻底、运算顺序错误丢分。 方法技能 核心概念与性质：二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）；化简原则（化为最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，；二次根式的性质（，，其中a≥0，b>0）。 运算技巧：二次根式加减，先将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式（只有被开方数相同的二次根式才能合并；二次根式乘除，先化简再运算，结果化为最简二次根式；避免先运算再化简，减少计算量。 易错点规避：二次根式有意义的条件容易忽略；化简时，被开方数含分母的，需分母有理化；的化简需判断a的符号，避免直接写成a。 变式演练 【变式01】计算： 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，绝对值，求立方根，利用完全平方公式计算，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先将二次根式化简，利用完全平方公式计算，计算负整数指数幂，化去绝对值，求立方根，再计算加减． 【详解】解：原式 ． 【变式02】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算、二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算零指数幂与负整数指数幂、特殊角的三角函数值、化简二次根式，再计算二次根式乘法与加减法即可得． 【详解】解： ． 【变式03】观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总结规律求解即可． （1）由已知的等式，即可归纳出规律； （2）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解： （2）原式 ． 题●型●训●练 一、单选题 1．下列各式中，计算结果等于的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，需根据相关运算法则分别计算各选项，再与对比得出答案． 【详解】解：∵积的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴对各选项计算如下： A选项：，符合要求； B选项：； C选项：； D选项：； ∴只有A选项计算结果等于． 故选：A． 2．从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴． 故选：D． 3．若，且，那么的值是（    ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据绝对值的意义，x和y各有两种可能值，结合 的条件，排除不满足的组合，计算 的值． 【详解】解：，， ，， 又， 当时，，， 当时，，， 当时，，不符合题目要求， 当时，，不符合题目要求， 的值为2或12． 故选：A． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方以及同类项的概念，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．依次对每个选项根据幂运算的相关法则进行计算，判断其正确性． 【详解】解： 与不是同类项，不能合并，故 A选项错误． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故 B选项正确． 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故 C选项错误． 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故 D选项错误． 故选：B． 5．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的加法运算、平方差公式、单项式乘以单项式，熟练掌握各个运算是解题的关键．根据以上运算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、与均为最简二次根式，无法合并，原计算错误，故不符合题意； C、右侧提取公因式得，与左侧无必然相等关系，原计算错误，故不符合题意； D、，正确，故符合题意； 故选：D． 6．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程．分和两种情况，将变形为分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：，（舍去）， 经检验，是分式方程的解； 当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上可知，方程的解为或， 故选：D． 7．若不论取何值，不等式都成立，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方式，对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使，则称A是完全平方式． 当为完全平方式时，不等式恒成立，易得，然后解关于a的方程即可． 【详解】解：∵不论x取何值，不等式都成立， ∴为完全平方式， ∴，解得． 故选：D． 8．如图，数轴上的无理数被挡住了，则数可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，根据a的位置估算选项中的无理数的大小，即可求解．数轴上的无理数的取值范围为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴1，23， ∵数轴上的无理数的取值范围为， ∴a， 故选：A． 二、填空题 9．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 10．的平方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，将带分数化为假分数，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：，的平方根是． 故答案为：． 11．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的比值计算，根据等式得到，是解题的关键． 由题可得，，再代入求值即可． 【详解】， ，解得； ，解得； ． 故答案为：． 12．比较大小：______（填“，，”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 13．若式子有意义，则的取值范围是_________ 【答案】且 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数大于等于，分母不等于解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故答案为：且． 三、解答题 14．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据负整数指数幂，算术平方根，零指数幂、绝对值的意义进行化简，最后合并即可，掌握实数的有关性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 15．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先将分子分母中能分解因式的部分先分解因式，再算乘法进行约分计算，然后再进行分式的减法运算，通分化简即可． 【详解】解： ． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，零指数幂，先计算二次根式乘法，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 17．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是正确的化简； （1）把分子分母分别分解因式进行约分，再把式子整体代入即可求得答案； （2）把分子分母分别分解因式进行约分，再代入求值即可； 【详解】（1）解∶ ； 因为 ，所以原式 ； （2）解：   ． 因为，所以原式 18．计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值、零次幂、化简绝对值以及实数的基本运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先计算零次幂，余弦值，化简绝对值，再利用实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 19．化简求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，从而化简式子，最后将的值代入化简后的式子求值． 本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、除法运算、因式分解以及二次根式的化简．熟练掌握分式的运算法则、因式分解的方法以及二次根式的化简方法是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴原式 ． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对原式进行化简，通过因式分解和约分简化式子；再根据非负数的性质（平方数和算术平方根均为非负，若和为则各自为 ）求出、的值，最后代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值、因式分解、非负数的性质，熟练掌握分式运算规则和非负数性质（几个非负数的和为，则每个非负数都为 ）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴原式． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $