第一章 数列（复习讲义）高二数学北师大版选择性必修第二册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第一章数列（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 数列是高考数学的核心必考内容，在单元复习中，我们要可按以下月标进行： 一、基础目标（公式记忆与简单计算) (1)能复述数列、项、通项公式的定义 (2)能识别等差数列、等比数列，并说出公差、公比，默写等差、等比数列的通项公式与前项和公式， 能代入公式计算首项、公差（比）、项数、通项、和中的未知量（基本量运算）。 二、进阶目标（性质应用与常规解题方法） (1)熟悉等差等比数列的性质以及前项和的性质，等差等比数列的函数性质（单调性以及数列最大最小 项)。 (2)能运用累加法、累乘法、待定系数法（构造法）、倒数法求递推数列的通项公式，熟悉周期数列的常 见形式。 (3)熟悉常见的求和方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法、倒序相加求和。 三、拓展目标（综合创新与数学思想） (1)会构造函数模型解决数列最值、不等式问题 (2)会运用放缩法证明数列型不等式（结合裂项或等比求和） (3)能迁移数列知识解决与函数、概率、解析几何的综合题 (4)能解读并解决新定义数列问题（现场学习并转化为已有模型） 知识图谱梳理·固基础 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 数列的概念、数列的分类、数列的性质 观察法、定义法求通项 数列的表示方法：通项公式法、列表法、图形法 数列的概念 由前n项和求通项 数列的函数性质：单调性、周期性 累加法、累乘法求通项 数列求通项 等差数列的定义及通项公式、等差中项 构造法求通项 等差数列的判定以及证明 到数型求通项 等差数列的常用性质 等差数列 周期性数列 数列 等差数列的前n项和的性质 倒序相加求和 等差数列以及前项和的单调性，正负性 错位相减求和 等比数列的定义及通项公式、等比中项 数列求和 裂项相消求和 等比数列的判定以及证明 分组（并项求和 等比数列的常用性质 等比数列 数列与不等式 等差数列的前n项和、前n项积的性质 等差数列以及前n项和的单调性，正负性 教材要点精析·夯重点 知识点 重点归纳 常见易错点 数列的函数性质 数列的函数性质主要考察的是单调性， 1、作商比较时注意数列的正负性 可通过单调性的定义、作差或者作商来 非零。 找数列的单调性。 2、注意数列是不连续的，这在找 单调性转折的时候要考虑到。 等差数列的概念 熟悉等差数列的定义及通项公式、求和 1、等差数列的公差可以是0、正 公式，等差中项的定义，等差数列的判 数，负数。 定可以通过定义法、等差中项法、通项 2、验证等差数列或者求通项的时 公式法跟前n项和公式。 候，不要漏掉验证首项。 等差数列的性质 等差数列的子数列的性质，等差中项在 在等差数列的等差中项的应用问 等差数列中的应用，由前n项和构造的 题是，注意奇数跟偶数的区别。 新数列的性质，奇偶项的性质等。等差 数列的单调性与前n项和的最值问题与 公差的关系。 等比数列的概念 熟悉等比数列的定义及通项公式、求和 1、在等比中项的概念中，构成等 公式，等比中项的定义，等比数列的判 比中项的三项不能为0 定可以通过定义法、等比中项法、通项 2、公比不能为0 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 公式法。 3、验证等比数列或者求通项的时 候，要验证首项。 等比数列的性质 等比数列的子数列的性质，等比中项在 由等比数列重新构造的数列为等 等比数列中的应用，由子数列构造的新 差或者等比数列，情况比较多。 数列的性质，奇偶项的性质等。等比数 列的单调性与前n项积的最值问题 数列求通项 在求通项的方法中，累加累乘法、倒数 识别数列的构造，选择合适的方 法，由前n项和求通项这几个方法使用 法来求通项。求通项时要验证首 的比较多，构造法、周期性这种比较复 项。 杂。 数列求和 熟悉倒序相加求和、错位相减求和的方 识别数列的性质，选择合适的方 法，跟等差求和等比求和的方法一致、 法来求和。 分组求和的关键在于给数列中的项合适 的分组，绝对值的分类，奇偶项的分类， 不同类型的数列的分类以及合并求和。 对裂项相消的求和或者裂项相消求不等 式问题，关键在对常见的分裂方式的熟 悉。 考点题型突破·拓思维 题型一等差数列的判定与求通项 【例1】(2026高三全国专题练习)已知数列@，}中，4=3，=8+1 nn+1nm+D·证明：数列na是 等差数列； 【变式1-1】（25-26高二上江苏南京·月考)(1)己知数列{an}的各项均为正数，且对任意的正整数n, 都有1=8，+3 a,a-3成立，证明：数列a,是等差数列 (2)设数列a,a2,.,an,中的每一项都不为0.对任何n∈N,都有 1+1 +…+1=”证 aaz a2a3 andn adnti 3/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 明：数列an}为等差数列. 【变式1-2】(25-26高二上重庆期中)在数列{an}中，41=0，a2=4,且a+2=2am+1-an+2. (1)证明：{a1-an}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. 题型二等差数列的单调性 【例2】(25-26高三上，安微阜阳·期末)己知等差数列an}的前n项和为Sn,公差为d,且{Sn}为递减数列， 若a,=-5,则d的取值范围是() B.-1,0 C.（-1,0] D. (5,0 30 【变式2-1】（25-26高二上浙江·期末)设Sn为等差数列{an}的前n项和，则{an}是递增数列”是“{Sn}是 递增数列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式2-2】（多选）(25-26高二上·安徽安庆期末)若数列{an}的通项公式是an=2n-3,则() A.95是数列{an}中的项 B.数列{na,}是递增数列 C.数列an}的前n项和有最大值 D.数列{an}的前n项和无最小值 题型三等差数列的前n项和的性质 【例3】（多选）(25-26高二上山东淄博·月考)己知数列{an},bn}均为等差数列，记数列{an},{bn}的 前n项和分别为Sn,工，下列说法中正确的有() A.若a2+b2=7,ag+b=11,则a+b=10 B若产则贤昌 b13 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.若S=S,=6,则S2的值为0 D.己知a1=10,公差d=-2,则Sn的最大值为32 【变式3-1】（多选）(25-26高二上浙江宁波期末)已知公差不为零的两个等差数列a}和{b,},记它们 的前n项和分别为Sn,n,则() A.当S=So时，ag=0 B.当a,>0,且S6>S时，数列{Sn}的前14项均是正数 C.当T5=5(b+b+b)时，k=16 D当务急治 【变式3-2】（多选)(25-26高二上山东淄博·月考)己知公差为d的等差数列{an},S,为其前n项和，下 列说法正确的是() A.若S,<0,S>0,则a是数列{an}中绝对值最小的项 。轻测经 C.若a1=8,a4=2,Tn为数列{an}的前n项的和，则T5=8210 D.若a=a,d≠0则S2=0 题型四等比数列的判定与求通项 【例4】（25-26高二下·全国课堂例题)己知a,=1,a=2a+aa1,试证明数列{an}是等比数列，并求 an}的通项公式. 【变式4-1】(2025高二上全国专题练习)已知数列{an},{b}满足 4=14=方4=a+号，2方0+么：证阴：数列Q+么为等比数列： 1 交式42】（2026高三全国专题骏习》）已数列口，中，43，“。证明：数网 1为 等比数列， 5/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五等比数列的的单调性 【例5】（多选）(25-26高二上·福建厦门期末)无穷数列{an}不是常数列，其前n项和为Sn,下列说法 正确的是() A.若{an}是等差数列，Sn<0恒成立，则{an}为递减数列 B.若{an}是递增的等差数列，a4a<0,则Sn在n=7时取得最小值 C若{a,是正项等比数列，4>1，-<0，则公比g>1 43-1 D.若{an}是等比数列，则Sa>0 【变式5-1】(25-26高三下·北京·开学考试)设无穷等比数列{a}的前n项和为Sn,则下列结论一定成立的 是() A.若a,<0,{Sn}递减，则{an}递增 B.若a,<0,Sn}递减，则{an}递减 C.若a,>0,{a}递减，则{Sn}递减D.若a,>0,{an}递减，则{Sn}递增 【变式52】(25-26高二上广西崇左期末)者等比数列a,的公比为9，则0<9<是a是遍减数 列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型六等比数列的的前n项和的性质 【例62526格二下山西太原月考)设等比数列2的n项和为5，若3，> A.3 c D. 【变式6-1】(2027高三·全国.专题练习)在正项等比数列{a}中，Sn为其前n项和，若So=7S。, S10+S30=80,则S20= 【变式6-2】(25-26高二上江苏无锡期末)等比数列{an}中，a=4,项数为奇数，所有奇数项和为 85 16 所有偶数项和为 9，则数列的公比9 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型七等比数列的前n项积的性质 【例7】（多选）(25-26高三上·福建漳州月考)己知等比数列{an}的前n项积为T，,并且满足条件4>1， 数列{a}为单调递减数列， 6-1 a-1 <0,则下列结论正确的是() A.a6>1 B.dds >1 C.Tn的最大值为TD.T>1 【变式7-1】（多选)(25-26高二上江苏苏州月考)等比数列{an}的公比为q,前n项积为Tn,且满足 a1≥1，a201sa2o16>1,(a2o15-1)(a2o16-1)<0,以下四个命题中正确的命题为(） A.9>1 B.a201s42017<1 C.Tos为Tn的最大值 D.使T,>1成立的最大的正整数4031 【变式7-2】（多选）(25-26高二下·云南昭通·开学考试)在各项均为正数的等比数列{a}中，已知a=14 ,2a4+3a,-2a2=0,数列前n项积为Tn,则() A.{an}是单调递减数列 B.{an}是单调递增数列 C.{an}中的项为整数的只有2个 D.Tn的最大值为T 题型八等比数列的性质 【例8】（多选）(25-26高二上·安徽期末)已知数列an}是等比数列，则下列说法一定正确的是（) A.数列an}是等比数列 B.数列ana+}是等比数列 C.数列lga}是等比数列 D.数列{2}是等差数列 【变式8-1】（多选）(25-26高二上广东广州期末)在数列{an}中，a1=1,a2=5,且an+2+6an=5am+1 (neN),则下列选项正确的是() A.数列{a1-2an}为等比数列 B.数列{an1-3a}为等比数列 7113 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.数列a,-2为等比数列 D.数列{an-3”}为等比数列 【变式8-2】（多选）(25-26高二下·全国课后作业)（多选）己知数列{an},下列选项不正确的是() A.若a=4”,n∈N,则{an}为等比数列 B.若a,a2=a,neN,则{an}为等比数列 C.若anan=2m+,m,neN,则{an}为等比数列 D.若ana3=an+1an+2,n∈N,则{an}为等比数列 题型九数列求通项 【例9】(2026陕西榆林模拟预测)已知数列an}的前n项和为Sn,4=2,S,1=(n+1)S。+n2+n,则 an= 【变式9-1】(2027高三·全国专题练习)设数列{an}满足4=1，an=-an-1+2"(n≥2)，则数列的通项公 式an等于() A2+月 3 C.21+ 1 3 3 【变式9.2】(25-26高二上贵州黔东南期末)在数列a,中，4=1，a,=51+a,若vneN, an>n(-3)2,则2的取值范围为() B.(-1,1) 题型十数列求和 【例10】(25-26高二上浙江杭州期末)己知数列{a,}满足a1=5,a2=5，a1=an+6ann≥2). (I)求证：{a+1+2an}是等比数列。 (2)记bn=a,-3”，求数列{bn}及{an}的通项公式： (3)设3”cn=n3”-an),求c+c2+…+c. 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式10-1】(2026内蒙古鄂尔多斯一模)已知等差数列an}满足a,+a,=6,a,a2=3.数列b}的各项均 为正数，b=2,且2b-bb1+2b,-b1=0. (1)求数列(a},{b,}的通项公式； b n为奇数 (2)设cn= 求数列Cn}的前2n项和Tm· 1 n为偶数 an-1an+i 【变式10-2】(25-26高二下山西太原·月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,4,=5,a2=17,且 S=3S,-2S-1+a +2(n22). (1)求数列a}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和. 题型十一 数列与不等式综合 【例11】(25-26高二下.广西玉林·月考)记Sn为数列an}的前n项和，已知4Sn=3a.+4. (I)求{an}的通项公式： (2)设bn=(-1)”nan,记数列bn}的前n项和Tn. (i)求Tn; (i)若对任意的n∈N，（-“入<T恒成立，求入的取值范围. 【变式11-1】(2026湖北孝感二模)己知数列{an}的前n项和为Sn,若对任意n∈N,向量 an+l,n为奇数 Pn=(4,-2n-1),9n=(Sn,an),有Pn·q=1.数列bn}满足bn= 3a,n为偶数， 其前n项和为Tn. (I)求数列{a}的通项公式： (2)若Tn-Sn>1n对任意n∈N恒成立，求实数1的取值范围. 【变式11-2】(25-26高二下湖北襄阳月考)己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn1=Sn+an+1,其中 a2,a,a1成等比数列，数列bn}满足b,-=2. 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：数列{bn}为等比数列； 6 1 (②已知数列c}满足C,=b.+1(b1+a, 一，{cn}的前n项和为T,若Tn<对neN恒成立，试求实 数2的取值范围. 分层阶梯训练•提能力 基础巩固通关测 1.(25-26高二下·河北保定·开学考试)在公差不为0的等差数列{an}中，a1+am=a3+a2,则m=（） A.12 B.13 C.14 D.15 2.(河北沧州市泊头市第二中学等校2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题)已知正项等比数 列{an}满足a4,=16,若b,=l0g2an,则数列{bn}的前19项和为() A.36 B.38 C.40 D.44 3.（多选)(2026内蒙古鄂尔多斯一模)记数列an}的前n项和为Sn,若na+1=Sn+n2+n,且S,=2, 则() A.a2=4 B.{an}是等差数列 C.S。=n2+2n-1 D.当n=11时，Sn-20n有最小值 1 4.(25-26高三下上海·月考)已知数列a,}满足4=2,0-4，=2，则S,=一 5.(2026河南开封模拟预测)已知数列{an}为正项等比数列，数列{bn}满足b,=lnan,若b+b,=4, b7+b=12,则b1+b2= 6.(2026重庆一模)已知Sn是等比数列an}的前n项和，a1+a2+a3=3,a4+a;+a6=6,则S21= 7.(25-26高三下.青海西宁.月考)已知数列{an}的首项41=1，且满足a1=2a.+1. (1)求证：{an+1是等比数列： (②)求数列an}的通项公式及前10项的和. 8.（25-26高二下，宁夏银川开学考试)己知公比大于1的等比数列an}满足4+a4=20,4=8. 10/13 第一章 数列（复习讲义） 数列是高考数学的核心必考内容，在单元复习中，我们要可按以下目标进行： 一、基础目标（公式记忆与简单计算） （1）能复述数列、项、通项公式的定义 （2）能识别等差数列、等比数列，并说出公差、公比，默写等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，能代入公式计算首项、公差（比）、项数、通项、和中的未知量（基本量运算）。 二、进阶目标（性质应用与常规解题方法） （1）熟悉等差等比数列的性质以及前n项和的性质，等差等比数列的函数性质（单调性以及数列最大最小项）。 （2）能运用累加法、累乘法、待定系数法（构造法）、倒数法求递推数列的通项公式，熟悉周期数列的常见形式。 （3）熟悉常见的求和方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法、倒序相加求和。 三、拓展目标（综合创新与数学思想） （1）会构造函数模型解决数列最值、不等式问题 （2）会运用放缩法证明数列型不等式（结合裂项或等比求和） （3）能迁移数列知识解决与函数、概率、解析几何的综合题 （4）能解读并解决新定义数列问题（现场学习并转化为已有模型） 知识点 重点归纳 常见易错点 数列的函数性质 数列的函数性质主要考察的是单调性，可通过单调性的定义、作差或者作商来找数列的单调性。 1、作商比较时注意数列的正负性、非零。 2、注意数列是不连续的，这在找单调性转折的时候要考虑到。 等差数列的概念 熟悉等差数列的定义及通项公式、求和公式，等差中项的定义，等差数列的判定可以通过定义法、等差中项法、通项公式法跟前n项和公式。 1、等差数列的公差可以是0、正数，负数。 2、验证等差数列或者求通项的时候，不要漏掉验证首项。 等差数列的性质 等差数列的子数列的性质，等差中项在等差数列中的应用，由前n项和构造的新数列的性质，奇偶项的性质等。等差数列的单调性与前n项和的最值问题与公差的关系。 在等差数列的等差中项的应用问题是，注意奇数跟偶数的区别。 等比数列的概念 熟悉等比数列的定义及通项公式、求和公式，等比中项的定义，等比数列的判定可以通过定义法、等比中项法、通项公式法。 1、在等比中项的概念中，构成等比中项的三项不能为0 2、公比不能为0 3、验证等比数列或者求通项的时候，要验证首项。 等比数列的性质 等比数列的子数列的性质，等比中项在等比数列中的应用，由子数列构造的新数列的性质，奇偶项的性质等。等比数列的单调性与前n项积的最值问题 由等比数列重新构造的数列为等差或者等比数列，情况比较多。 数列求通项 在求通项的方法中，累加累乘法、倒数法，由前n项和求通项这几个方法使用的比较多，构造法、周期性这种比较复杂。 识别数列的构造，选择合适的方法来求通项。求通项时要验证首项。 数列求和 熟悉倒序相加求和、错位相减求和的方法，跟等差求和等比求和的方法一致、分组求和的关键在于给数列中的项合适的分组，绝对值的分类，奇偶项的分类，不同类型的数列的分类以及合并求和。对裂项相消的求和或者裂项相消求不等式问题，关键在对常见的分裂方式的熟悉。 识别数列的性质，选择合适的方法来求和。 题型一 等差数列的判定与求通项 【例1】（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列的定义推理得证. 【详解】数列中，由，得，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏南京·月考）（1）已知数列的各项均为正数，且对任意的正整数n，都有成立，证明：数列是等差数列； （2）设数列，，…，，…中的每一项都不为0.对任何，都有.证明：数列为等差数列. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知得，整理得，根据等差数列的定义得证； （2）根据题设等式化简得且，结合及等差数列的定义得证. 【详解】（1）由可得， 展开得，即， 整理得， 依题意，则，可得， 故数列是公差为3的等差数列. （2）当时，，此式恒成立； 记①， 当时，②， 由①②可得：， 依题意，等式两边同时乘以，， 即时，③， 当时，④， 用③④：， 整理得， 将等式两边同时除以，可得， 即且， 由时且，则，可得， 根据等差数列的定义，可知数列是等差数列. 【变式1-2】（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义进行证明. （2）利用累加法求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以 题型二 等差数列的单调性 【例2】（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·浙江·期末）设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，结合反例，利用充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】设等差数列的通项公式为，此时数列的公差， 可得，则，所以充分性不成立； 反之：若是递增数列，取， 当时，；当时，，所以， 此时数列为常数列，不是递增数列，所以必要性不成立， 所以“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·安徽安庆·期末）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 【答案】AB 【分析】由，计算即可判断A；求出，利用配方法得：，即可判断数列是递增数列；由，得数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增，即可判断C D. 【详解】数列的通项公式是， 令，得， 是数列的第49项，故A正确； ， 在时递增， 故数列是递增数列，故B正确； 数列的通项公式是， ， ， ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， 数列的前项和没有最大值，故C错误； ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， ， 数列的前项和有最小值，故D错误． 故选：AB 题型三 等差数列的前n项和的性质 【例3】（多选）（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为0 D．已知，公差，则的最大值为32 【答案】BC 【分析】通过等差数列的等差中项性质分析的项；利用前项和与中间项的关系求；借助前项和的二次函数对称性求；通过通项公式确定前项和的最大值，逐一验证选项. 【详解】数列、为等差数列，则是等差数列. 选项A： ，，因2、5、8成等差数列， 故是与的等差中项，得，A错误. 选项B： 等差数列前项和满足， 故，，则. 代入，得，B正确. 选项C： 设数列的公差为，由， 得，解得， 所以，C正确. 选项D： 由，，得. 令，解得，故的最大值为，D错误. 故选：BC 【变式3-1】（多选）（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知公差不为零的两个等差数列和，记它们的前项和分别为，，则（    ） A．当时， B．当，且时，数列的前14项均是正数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】对A，由与关系及等差数列性质判断；对B，由得，判断的符号；对C，用基本量表示求解判断；对D，由设的二次表达式，计算并求其比值. 【详解】对于A：因为，所以，解得，A正确； 对于B：由可得，所以，B错误； 对于C：， 又，所以，解得，C正确； 对于D：因为，所以可设， 则， ， 所以，D正确； 故选：ACD. 【变式3-2】（多选）（25-26高二上·山东淄博·月考）已知公差为的等差数列为其前项和，下列说法正确的是（   ） A．若，则是数列中绝对值最小的项 B．若则 C．若为数列的前项的和，则 D．若则 【答案】ABC 【分析】利用等差数列的性质以及前项和得到，进而判定选项A；利用为等差数列可判定选项B；先利用方程思想求出通项公式，再求出前95项的和可判定选项C；利用等差数列的求和公式判定选项D. 【详解】对于A：因为为等差数列，且， 所以，即， 所以且， 因为， 所以数列为递增数列， 当时，； 当时，， 所以， 即是数列中绝对值最小的项，故选项A正确； 对于B：因为为等差数列， 所以为等差数列， 设，由得：， 故， 所以， ， 所以，， 所以，故选项B正确； 对于C：因为为等差数列，且， 所以， 则，则， 令，得，解得， 为数列的前项的和， 所以 ，故选项C正确； 对于D：因为为等差数列，且， 所以，则，，即 所以，故选项D错误. 故选：ABC. 题型四 等比数列的判定与求通项 【例4】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知，，试证明数列是等比数列，并求的通项公式． 【答案】证明见解析，或． 【分析】根据递推公式证明是等比数列，进而求出通项公式. 【详解】因为， 所以，即， 所以或， 当时，， 又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 当时，， 又，所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 综上：或． 【变式4-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知数列，满足 ．证明： 数列为等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】将条件中两个递推式相加整理，根据等比数列的定义，可得答案. 【详解】由题， 所以， 得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，．证明：数列为等比数列. 【答案】证明见解析 【分析】利用等比数列的定义结合构造法即可证明. 【详解】证明：因为，， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 题型五 等比数列的的单调性 【例5】（多选）（25-26高二上·福建厦门·期末）无穷数列不是常数列，其前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，恒成立，则为递减数列 B．若是递增的等差数列，，则在时取得最小值 C．若是正项等比数列，，，则公比 D．若是等比数列，则 【答案】AD 【分析】A根据等差数列的前项和公式判断的正负；B根据项的正负性判断；C根据与的大小即可判断；D化简，根据各项的正负即可判断. 【详解】A选项，设公差为， 因为恒成立，所以，恒成立， 则，则为递减数列，故A正确； B选项，若是递增的等差数列，，则， 则在时取得最小值，故B错误； C选项，由题意可得，或， 若，则；若，则，故C错误； D选项，设公比为，则，故D正确. 故选：AD 【变式5-1】（25-26高三下·北京·开学考试）设无穷等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若递减，则递增 B．若递减，则递减 C．若 递减，则递减 D．若递减，则递增 【答案】D 【分析】AB选项，由递减可推出，进而得到公比的范围，分类讨论得到AB选项的判断；CD选项，根据递减可推出公比的范围，进而验证的单调性. 【详解】AB选项，若递减，则， 设等比数列公比为，则，于是， 又，则，则，， 时，，递减； 时，，递增，AB错误； CD选项，若递减，则， 由于，则对于一切正整数成立，解得， 此时，则递增，C错误，D正确 【变式5-2】（25-26高二上·广西崇左·期末）若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举例即可说明，充分性以及必要性均不成立，即可得出答案. 【详解】充分性：在等比数列中，设首项为，由， 取，此时等比数列的通项公式为： ， 随着的逐渐增大，增大， 则等比数列是递增数列，不是递减数列，故充分性不成立， 必要性：取首项， 则等比数列的通项公式为： ， 从而得出数列是递减数列，但是，所以必要性不成立， 故“”是“是递减数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 题型六 等比数列的的前n项和的性质 【例6】（25-26高二下·山西太原·月考）设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可； 解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可. 【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，， 则公比，否则，，，不符题意； 所以，解得， 所以． 所以． 解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列， 则，即， 求得，故，所以． 【变式6-1】（2027高三·全国·专题练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则________． 【答案】30 【分析】先联立方程求出与的值，再利用等比数列前项和的性质​成等比数列列方程求解​，结合正项数列舍去负根． 【详解】由题意知数列的公比，，，成等比数列， 若，，则，， 所以， 即， 解得或（舍去）． 故答案为：30． 【变式6-2】（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 题型七 等比数列的前n项积的性质 【例7】（多选）（25-26高三上·福建漳州·月考）已知等比数列的前项积为，并且满足条件，数列为单调递减数列，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】AC 【分析】先分析数列的单调性与公比范围，结合题中不等式，利用等比数列的性质计算判断各个选项. 【详解】已知等比数列为单调递减数列，且.设公比为， 若，则单调递增（舍去）；若，则，数列是常数列（舍去）； 若，则不具有单调性(舍去)；若，则单调递减； 可知，. 对于A，因为，所以或， 解得或，根据单调性，所以，A正确. 对于B，因为，，B错误. 对于C，前项积，因为， 故，而，后续因乘以小于的项而递减， 故的最大值为，C正确. 对于D，根据等比数列性质，因为， 故，D错误. 故选：AC. 【变式7-1】（多选）（25-26高二上·江苏苏州·月考）等比数列的公比为q，前n项积为，且满足，，，以下四个命题中正确的命题为（   ） A． B． C．为的最大值 D．使成立的最大的正整数4031 【答案】BC 【分析】利用等比数列的性质可知，，得出，进而判断即可. 【详解】等比数列的公比为，且满足，，， ∴，，则，A错误； 由，B正确； 由，，，，所以的最大值为，C正确； ， 所以成立的最大正整数为4030，D错误. 故选：BC 【变式7-2】（多选）（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（   ） A．是单调递减数列 B．是单调递增数列 C．中的项为整数的只有2个 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】结合题意求出等比数列的通项公式，再逐项判断即可. 【详解】设等比数列的公比为． 由，得， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，则A正确，B错误． 因为，，，，， 又，所以当时，不为整数，所以C正确． 因为，且，所以最大，D正确． 题型八 等比数列的性质 【例8】（多选）（25-26高二上·安徽·期末）已知数列是等比数列，则下列说法一定正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 【答案】AB 【分析】设等比数列的公比为，然后利用等比数列和等差数列概念逐项判断，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，是等比数列，，，故A正确； 因为，所以数列是等比数列，故B正确； 设，则，，， 此时数列不是等比数列，故C错误； 不为常数，故D错误. 故选：AB. 【变式8-1】（多选）（25-26高二上·广东广州·期末）在数列中，，，且（），则下列选项正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 【答案】ABD 【分析】根据递推关系结合等比数列的定义分析判断即可. 【详解】选项A：由可得，， 又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，A正确. 选项B：由可得，， 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，B正确. 选项C：由可得，，所以， 所以，，， 因为，所以数列不是等比数列，C错误. 选项D：由A知，数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，则 所以，又， 所以数列是首项为-2，公比为2的等比数列，D正确. 故选：ABD. 【变式8-2】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）已知数列，下列选项不正确的是（   ） A．若，则为等比数列 B．若，则为等比数列 C．若，则为等比数列 D．若，则为等比数列 【答案】ABD 【分析】ABD选项举反例即可；C选项利用等比数列的定义求证. 【详解】由知，当时数列不是等比数列，故A错误； 若数列中存在零项，且满足、， 此时数列不是等比数列，故B，D错误； 由知，，两式相除得， 故数列是等比数列，故C正确． 故选：ABD． 题型九 数列求通项 【例9】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，则______． 【答案】2n 【分析】根据递推公式及等差数列的概念可得，然后根据通项与前n项和的关系可得数列的通项公式． 【详解】因为，等式两边同时除以， 得，当时，， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，即， 所以当时，， 当时，也符合上式， 所以． 【变式9-1】（2027高三·全国·专题练习）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 【变式9-2】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，依题意可得对恒成立，再分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得. 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 题型十 数列求和 【例10】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列． (2)记，求数列及的通项公式； (3)设，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出的通项公式，再利用求出为等比数列，利用等比数列的通项公式即可； （3）利用错位相减法求出. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以， 由以上递推关系可知，，则， 故是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，， 因为，所以，则， 即， 因为，所以由以上递推关系可知，，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，； （3）由（2）可知，，则，则， 设，则， 则， 则 ， 则. 【变式10-1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因式分解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到通项公式； （2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最终将两部分相加得到前项和. 【详解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和：， 所以. 【变式10-2】（25-26高二下·山西太原·月考）已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1); (2)． 【分析】（1）利用与的关系得到数列通项的递推关系式，再利用递推关系式构造基本数列求通项公式； （2）利用分组求和法求出. 【详解】（1）由， 得，得， 则， 因为，，所以，满足上式， 所以， 又，所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列． 所以，． （2）由（1）得 所以 即． 题型十一 数列与不等式综合 【例11】（25-26高二下·广西玉林·月考）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）;（ⅱ） 【分析】（1）利用退位相减法可得，求出后可求通项； （2）利用错位相减法可求，再就的奇偶性分类讨论后可求参数的范围. 【详解】（1）因为，故，， 故即，， 而，故，故，故， 所以是首项为，公比为的等比数列，故. （2）（ⅰ）， ，故， 所以， 所以. （ⅱ）若对任意的，恒成立， 当为正偶数时，，因为，故为增数列， 故此时的最小值为，故； 当为正奇数时，，同理此时的最小值为，故， 故. 【变式11-1】（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 【变式11-2】（25-26高二下·湖北襄阳·月考）已知数列的前n项和为，且，其中成等比数列，数列满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)已知数列满足，的前n项和为，若对恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助与关系可得数列为公差为1的等差数列，再借助等比数列性质可得，即可求出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再利用等比数列定义即可证明； （2）借助裂项相消法计算即可得解. 【详解】（1），所以， 即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 由成等比数列，得，解得， 所以， 由，则，且，所以数列为等比数列； （2）， ， 则 ， 由对恒成立，得． 基础巩固通关测 1．（25-26高二下·河北保定·开学考试）在公差不为0的等差数列中，，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】利用等差数列的下标和性质求解，即可得答案. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，， 所以，所以． 2．（河北沧州市泊头市第二中学等校2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题）已知正项等比数列满足，若，则数列的前19项和为（    ） A．36 B．38 C．40 D．44 【答案】B 【详解】数列的前19项和为 . 3．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）记数列的前项和为，若，且，则（   ） A． B．是等差数列 C． D．当时，有最小值 【答案】AB 【分析】利用与的关系，得到（），结合已知条件判断数列为等差数列，求出通项公式及前项和，即可判断选项A、B、C，结合数列的函数性质即可判断选项D. 【详解】选项A：当时，，，故A正确. 选项B：当时，， 则， 即（），又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确. 选项C：由B知，，，故C错误. 选项D：由C知，， 因为，所以当或时，取最小值，故D错误. 4．（25-26高三下·上海·月考）已知数列满足，，则_______． 【答案】60 【详解】因为数列满足，， 所以是一个首项为，公差为2的等差数列， 由等差数列前项和公式得：. 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列为正项等比数列，数列满足，若，，则________. 【答案】20 【详解】因为数列为正项等比数列，数列满足，则， 所以为定值，所以数列为等差数列， 由，故. 6．（2026·重庆·一模）已知是等比数列的前项和，，则__________． 【答案】381 【详解】由题知，，且 因为成等比数列， 该等比数列的首项为3，公比为2， 则. 7．（25-26高三下·青海西宁·月考）已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2)，2036 【分析】（1）利用递推证明等比数列即可； （2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，， 所以，即是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）得，即， 设数列的前项和为， 所以． 8．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为， 则，两式相除得，解得或（舍去）， 则，即. （2）由，得， 所以， 两式相减得， 则. 9．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知等比数列的各项均为正数，满足：，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项公式可得答案； （2）先求解的通项公式，利用裂项相消法可求答案. 【详解】（1）因为是与的等差中项，所以，即， 设的公比为，则，即，解得或（舍）， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） . ， . 10．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知公差不为0的等差数列的首项为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质求得的公差，然后可得通项公式； （2）由等比数列的前项和公式计算. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可知，即， 从而． 因为，所以．故通项公式． （2）由（1）知，， ． 能力提升进阶练 1．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知数列满足，若数列是递增数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件形式设，则原式为其前项和，利用，即可求得的通项公式，验证首项后根据是递增数列，即可求得公差，即. 【详解】由， 等式两边同时除以可得， 不妨设，则其前项和， 则， 则， 所以， 当时，，适合上式，故， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 又因为数列是递增数列，所以，解得. 2．（2027高三·全国·专题练习）已知数列与均为等差数列，且，则________． 【答案】1013 【分析】设，将其代入，根据等差数列不含项的性质求出，再由求出，进而得到通项公式并计算． 【详解】因为数列与均为等差数列， 设，则， 可知，即，则， 则，解得，即， 所以． 3．（25-26高二上·浙江杭州·期末）设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】由，则，，则， 因为是等差数列，则，即是递减数列， 又，， 则满足的正整数的值为14. 4．（25-26高二上·广西百色·期末）已知数列满足，其前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．数列是单调递减数列 B．中的最大项只有 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据数列的通项公式知数列为等差数列，进而分析数列的性质依次判断各项的正误. 【详解】由题可知，数列为等差数列，首项，公差， A，公差，则数列是单调递减数列，A正确； B，当时，当时，则中的最大项为或，B错误； C，，，C正确； D，当时，当时， ，D正确. 故选：ACD 5．（2026高三·北京·专题练习）已知数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定的递推公式，利用及构造法求出，进而判断AB；利用裂项相消法求和及放缩法推理判断CD. 【详解】数列中，，当时，， 整理得，即，则， 当时，数列是常数列，因此，， 当时，，解得，满足上式， 当时，，解得，满足上式， 所以数列的通项公式为， A，，A正确； B，，B错误； C，当时，， 因此，C正确； D，，， 则，即， 因此，D正确. 6．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C．数列是递增数列 D．若，则的最小值为11 【答案】BC 【分析】对递推公式取倒数，进行变形即可判断出选项B；根据等比数列的通项公式求出，即可判断选项A；对通项公式分离常数，结合复合函数单调性的判断方法即可判断出选项C；解不等式即可判断出选项D. 【详解】由可得，，则. 所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确. 所以，即， 所以数列的通项公式为. 所以，故A错误. 因为，当增大时，增大，减小，增大， 所以是递增数列，故C正确. 若，则，即，整理得， 因为，，， 所以，解得，所以的最小值为12，故D错误. 7．（2026高二下·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步，构造数列1，，，，…，；第二步，将第一步中数列的各项乘以，得到的新数列记为，，，…，．则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合裂项相消法及作差法求解即可. 【详解】由题意得，新数列为，，，，…，. 故 ，故A正确，B错误. ，故C正确，D错误． 8．（河南省南阳市2026届高三下学期一模考试数学试题）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)存在，使得原等式成立． 【分析】（1）结合等差中项的定义得到，利用与的关系即可求出的通项公式，进而求出的通项公式. （2）求出，结合等差数列的前项和求出，进而得到，再结合，为正整数代入验证即可. 【详解】（1）由题，，成等差数列，所以，① 当时，，② ①②得：，即，所以， 当时，，解得，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即，又满足上式， 因此，从而． 综上：，． （2）由（1）得，，， 从而． 由于，为正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上只有当，时满足条件， 因此存在，使得原等式成立． 9．（广东江门市2026届高考模拟数学考试卷）已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【详解】（1）由，① 当时，，由，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式基本量运算计算求解； （2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法求和； （3）放缩法解等比数列求和公式证明不等式问题． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可知 解得，故． （2）由（1）得，所以， 数列的前项和为； （3）由（2）知，其中， 当时， ，    当时，．             综上所述，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $