第2章 1.1 平均变化率&1.2 瞬时变化率（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

[例13]解析：根据题意可得，A,十B,=3,A,=子A1十 A,=A,1+子3-A1)=A1+是， 数列， 1 31 1 31 1 1 B,=3-A,=220心A,-B,=2X2=2（n∈ N+). 答案品 第二章导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 1.1平均变化率 1.2瞬时变化率 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.改变量△x改变量△y函数值自变量 2.快慢 [思考] [提示]不一定.当x0取定值，△x取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当△x取定值，取不同的数值时， 函数的平均变化率也不一定 预习自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)/ 2B是-）@-2x2+》9X1+D-2] b-a 2-1 3A[因为△=3+)-s(3)=6心十(y3,所以是=6 +△t.] 4.解析：△y=f(2十△x)-f(2)=3(2+Ax)+1-(3×2+1)= 3△r,则义=3A=3当△x趋于0时，义趋于3. '△x△x A 答案：3 课堂互动学案 [例]解：当自变量从x0变化到x0十△x时，函数的平均变化 率为 Ay f(to+Ar)-f(ro) △x △r _[2(+4x)2+3]-(2x8+3) △x =46△+2（△x)2 =4x0+2△x. △x 当。=2，A=一号时，年均变化率的值为4X2+2X （)= 变式训练 1D会=21+2X-4计2A.这D △x ·9 参考答案 [例2][解]s1(t)=2(to),(t0一△t)>2(t一)， 故1）-。-A)2)-2(-△) △ △t 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，即在如题图所示 的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快， 变式训练 2,ABD[在0到t0范国内，甲，乙的平均速度都为，故A,B 错误：在0到1范国内，甲的平均速度为2二0，乙的平均速 t1-to 度为二因为一>1一01一0>0，所以2> t1-to ti一to 1一0，故C正确，D错误.] t-to [例3][解](1)质点P在[1,1十△]这段时间内的平均速 度为 -8-31+△)2-8+3X1=-6-3Y(m/s. At △t (2)由1D知念=-6-34，当△趋于0时，是趋于-6， △t 所以质点P在t=1时的瞬时速度为-6m/s. 变式训练 3.解：△y=f(1+△x)-f(1) =3(1+△x)2+(1+△x)-(3+1) =7△x+3(△x)2. :.Ay=7△r+3(A)2=7+3A △x △x 当4x趋于0时会2-7+3ax趋于7+3X0=7. .函数y=3.x2十x在点x=1处的瞬时变化率为7. 当堂达标 1.B[年均变化奉为}=-1] 2.C[由平均变化率的概念知C正确.] 3.D会是-f)fB x2一x1 AC=tan∠BAC=kAB.] 4.解析：△y=[2(x0十△x)2+1]-(2x8+1)=4xo△x十 2(△r)2,是=4)十2A,当△r趋于0时，趋于4 =-8.x0=一2.点M的坐标为(-2,9) 答案：(-2,9) §2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 课前预习学案 知识梳理 [思考] [提示]曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可 以有多个，甚至可以无穷多，与曲线只有一个公共点的直 线也不一定是曲线的切线. 预习自测 1.(1)/(2)×(3)×(4)×(5)×(6)× 2.B[由导数的几何意义，f(xA),f(xB)分别是切线在点 A、B处切线的斜率，由图像可知f(xA)<f(xB).]第二章导数及其应用 五维课堂兰 第二章 导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 1.1平均变化率 1.2瞬时变化率 课程标准 素养解读 1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，1.通过对变化率是描述函数变化快慢的量的学习，培养 会求简单函数的平均变化率， 了学生直观想象和数学抽象的核心素养 2.知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变2.借助求简单函数的平均变化率的学习，养成了学生的 化率是描述函数变化快慢的量。 数学运算的核心素养」 课前。预习学案 [情境引入] 2思考 函数的平均变化率是固定不变的吗？ 高台跳水运动中，运动员 在运动过程中的重心相对水 面的高度h(单位：m)与起跳 后的时间t(单位：s)存在函数 关系h(t)=-4.9t+4.8. 如何利用上述函数关系 描述运动员从起跳到入水的过程中运动速度的快慢 程度呢？这就是这节课我们要学习的变化率问题 [知识梳理] [知识点一]平均变化率 1.定义：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从 x1变为x2时，函数值从f(1)变为f(2),它在区 [知识点二]瞬时变化率 间[1·]的平均变化率=f)-f(2) 通常 1.定义：对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0 X2一1 变到x1的过程中，若设△x=x1一2，△y=f(x1) 我们把自变量的变化2一，称作自变量的 记作 ,函数值的变化f(x2)一f(x1)称作 一f(),则函数的平均变化率为Ay △x 函数值的 ,记作 ·这样，函数的平 f2)-f2o）_fx+△)-f2o) 均变化率就可以表示为 的改变量与 21-20 △x 的改变量之比，即Ay=)-fx) 当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x。点的 △.x x2一x1 瞬时变化率。 2.作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x,x2] 2.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的 上变化的 快慢， ·41· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [预习自测] 2.y=2x十1在(1,2)内的平均变化率为 1.判断下列说法是否正确（正确的打“/”，错误的打 A.3 B.2 “X”) C.1 D.0 (1)由△x=x2一x1,知△x可以为0. ( 3.质点运动规律为s(t)=t十3，则从3到3十△t的平 (2)△y=f(x2)一f()是△x=x2一x1相应的改变 均速度为 量，△y的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率 A.6+△t 可正，可负，可为零 &6+a+品 C.3+△t D.9+△t (3)瞬时速度刻画某物体在某时刻变化快慢的 4.函数y=f(x)=3x+1在点x=2处的瞬时变化率 情况. 为 (4)平均速度与瞬时速度可能相等. ( 课堂⊙互动学案 题型 求函数的平均变化率 题型二 平均变化率的实际应用 [例1]求函数y=2x2+3在x到x。十△x之间的 [例2]甲、乙两人走过的路程s,(t),s(t)与时间t 时该函数的 的关系如下图所示，试比较两人的速度哪个快？ 平均变化率，并求当x。=2,△x=一 s10 平均变化率。 0 to-△i 规律方法 (1)①求函数值的增量：△y=f(x,十△x)一f(x,): ②计算平均变化率是： _f,+△)-f) 规律方法 △2 (2)要注意△x,△y的值可正，可负，但△x≠0.若 平均变化率的意义 函数f(x)为常值函数，则△y=0. (1)本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走 过的路程相对时间的平均变化率，通过比较平 ◇[变式训练] 均变化率的大小关系得出结论 1.已知运动方程y=f(x)=2x2的图像上点P(1,2) (2)平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上 及邻近点Q1十△，2+△)，侧会的值为( ) 变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数 A.4 B.4z 在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越 C.4+2△x2 D.4+2△x 小，函数在区间上的变化越慢 ·42· 第二章导数及其应用 五维课堂 ◇[变式训练] ⊙[变式训练] 2.(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到无1范围内路 3.求函数y=f(x)=3.x2十x在点x=1处的瞬时变 程的变化情况，则下列说法不正确的是 ( 化率. A.在0到t。范围内，甲的平均速度大于乙的平均 速度 [当堂达标] B.在0到t。范围内，甲的平均速度小于乙的平均 1.如图，函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率 速度 等于 ) C.在t,到t范围内，甲的平均速度大于乙的平均 速度 D.在t。到t范围内，甲的平均速度小于乙的平均 速度 题型写 求瞬时变化率 A.1 B.-1 [例3]质点P的运动方程为s=8一3t,其中s表示 C.2 D.-2 位移（单位：m),t表示时间（单位：s). 2.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t (1)求质点P在[1,1+△t]这段时间内的平均 的函数s=s(t),则物体在时间间隔[t。,t。十△t]内 速度； 的平均速度是 (2)求质点P在t=1时的瞬时速度. △t A.0 B.(t,+△)-s(io） C.,+△)-s) △t D.) t 3.观察函数f(x)的图像如图所示，平均变化率Ay △x fx)-f》表示 x2一x1 y↑ B -y=fx) f八x)- fx)-fx） f(x) 0 1 规律方法 A.直线AB的点斜式方程 B.直线AB的斜截式方程 求函数f(x)在点x=x。处的瞬时变化率的步骤 C.直线AB的两点式方程 (1)求△y=f(x十△x)-f(a); D.直线AB的斜率 (2)计算，并化筒，直到当A0或r趋于0 4.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x,,y)处的瞬时 时有意义为止； 变化率为一8，则点M的坐标为 (3)将△0或△x趋于0代入化简后的Ay即得 ©温馨提西 △.x 学习至此，请完成配套训练 瞬时变化率 ·43·